专题1.7平面图形的认识13大必考考点精讲精练（知识梳理 典例剖析 变式训练）（解析版）【苏科版】.docx

1、 专题1.7平面图形的认识13大必考考点精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）【目标导航】【知识梳理】1直线、射线、线段（1）直线、射线、线段的表示方法直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）（2）点与直线的位置关系：点经过直线，说明点在直线上；点不经过直线，说明点在直线外2直线的性质：两点确定一条直线（1）

2、直线公理：经过两点有且只有一条直线 简称：两点确定一条直线（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了3两点间的距离（1）两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形线段的长度才是两点的距离可以说画线段，但不能说画距离4角的概念（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示其中顶点

3、字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角角还可以用一个希腊字母（如，、）表示，或用阿拉伯数字（1，2）表示（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位1度=60分，即1=60，1分=60秒，即1=60（5）比较角的大小有两种方法：测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置5角的计算（1）角的和差倍分AO

4、B是AOC和BOC的和，记作：AOB=AOC+BOCAOC是AOB和BOC的差，记作：AOC=AOB-BOC若射线OC是AOB的三等分线，则AOB=3BOC或BOC=13AOB（2）度、分、秒的加减运算在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60（3）度、分、秒的乘除运算乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除6方向角方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90的角（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向（2）用方向角描述方向时，通常以

5、正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南）（3）画方向角以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线7.余角与补角（1）余角：如果两个角的和等于90（直角），就说这两个角互为余角即其中一个角是另一个角的余角（2）补角：如果两个角的和等于180（平角），就说这两个角互为补角即其中一个角是另一个角的补角（3）性质：等角的补角相等等角的余角相等（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系不论这两个角在哪儿

6、，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系8.对顶角与邻补角（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角（3）对顶角的性质：对顶角相等（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系它们都是在两直线相交的前提下形成的9.平行：（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 （2）平行公理中要准

7、确理解“有且只有”的含义从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用10.垂直：（1）垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足（2）垂线的性质在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（3）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段（4）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离【典例剖析

8、】【考点1】直线、射线、线段的认识【例1】（2019年秋东海县校级月考）如图，两条平行直线m，n上各有4个点和5个点任选这9个点中的两个连一条直线，则一共可以连条直线（）A20B36C34D22【分析】采用分类讨论的思想，有两种情况：一是任选两点都在m（或n）上；二是任选两点分别在m，n上【解析】任选两点都在m（或n）上，只能连出直线m（或n）若任选两点分别在m，n上，则可连452O条所以一共可以连22条直线故选：D【变式1.1】（2021江苏七年级专题练习）如图，下列说法正确的是（）A点O在线段AB上B点B是直线AB的一个端点C射线OB和射线AB是同一条射线D图中共有3条线段【答案】D【分析

9、】根据直线、线段、射线的有关知识判断即可【详解】解：A、点O在线段AB外，选项说法错误，不符合题意；B、点B是直线AB的一个点，直线没有端点，选项说法错误，不符合题意；C、射线OB和射线AB不是同一条射线，选项说法错误，不符合题意；D、图中共有3条线段，选项说法正确，符合题意；故选：D【点睛】此题考查直线、线段、射线，关键是根据直线、线段、射线的区别解答【变式1.2】（2022江苏七年级专题练习）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，且ABBCCD，点P沿直线l从左向右移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发

10、出警报的点P有（）A3个B4个C5个D6个【答案】C【分析】点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，而图中共有六条线段，由此可以得到出现报警的最多次数【详解】解：根据题意可知：当点P经过任意一条线段中点时会发出报警，图中共有线段AB、AC、AD、BC、BD、CD，AD和BC的中点是同一个，直线l上会发出警报的点P有5个故选：C【点睛】本题考查了两点间的距离，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类【变式1.3】（2021江苏七年级专题练习）同一平面内有四条直线，最多有m个交点，最少有n个交点，那么m+2n（）A

11、1B6C8D4【答案】B【分析】根据题意分情况讨论，当四条直线两两相交时，当四条直线互相平行时，据此分别求得m,n的值，再代入代数式求解即可，【详解】同一平面内有四条直线，当四条直线两两相交时，最多有432=6个交点，当四条直线互相平行时，最少有0个交点，则m=6,n=0， m+2n6故选B【点睛】本题考查了直线之间的位置关系，交点个数，代数式求值，分类讨论求得m,n的值是解题的关键【考点2】直线、线段的性质【例2】（2019秋雨花区期末）在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是（）A1枚B2枚C3枚D任意枚【分析】根据直线的性质，两点确定一条直线解答【解析】两点确定一条直线，至少需

12、要2枚钉子故选：B【变式2.1】（2022江苏盐城七年级期末）下列生活、生产现象：用两个钉子就可以把木条固定在墙上；从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设；植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；把弯曲的公路改直，就能缩短路程其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）ABCD【答案】C【分析】根据两点确定一条直线，两点之间，线段最短进行逐一判断即可【详解】解：用两个钉子就可以把木条固定在墙上是因为两点确定一条直线，不符合题意；从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设是因为两点之间，线段最短，符合题意；植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线是因

13、为两点确定一条直线，不符合题意；把弯曲的公路改直，就能缩短路程是因为两点之间，线段最短，符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了两点之间，线段最短，两点确定一条直线，熟知相关定义是解题的关键【变式2.2】（2019江苏南通田家炳中学七年级阶段练习）观察图形，下列说法正确的个数是（）（1）直线BA和直线AB是同一条直线；（2）AB+BDAD；（3）射线AC和射线AD是同一条射线；（4）三条直线两两相交时，一定有三个交点A1个B2个C3个D4个【答案】C【详解】试题解析：（1）直线BA和直线AB是同一条直线；正确，（2）AB+BDAD；正确（3）射线AC和射线AD是同一条射线；正确，（4）三条直线

14、两两相交时，一定有三个交点，还可能有一个，故不正确共3个说法正确故选C【变式2.3】（2022江苏七年级专题练习）小亮准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）能解释这一现象的数学知识是（）A两点之间，线段最短B垂线段最短C平行于同一直线的两直线平行D两点确定一条直线【答案】A【分析】根据两点之间，线段最短即可得【详解】解：由题意可知，能解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，故选：A【点睛】本题考查了两点之间，线段最短，熟练掌握两点之间，线段最短是解题关键【考点3】线段的中点【例3】（2019秋沭阳县期

15、末）已知点A、B、C、D在同一条直线上，线段AB8，C是AB的中点，DB1.5则线段CD的长为（）A2.5B3.5C2.5或5.5D3.5或5.5【分析】根据点D在点B左右两侧进行推理计算即可求解【解析】AB8，C是AB的中点，ACBC4，DB1.5当点D在点B左侧时，CDBCBD41.52.5，当点D在点B右侧时，CDBC+BD4+1.55.5，则线段CD的长为2.5或5.5故选：C【变式3.1】（2022江苏江阴市敔山湾实验学校七年级阶段练习）如图，已知B是线段AC上一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为AN的中点，Q为AM的中点，则BC：PQ等于（）A2B3C4D5【答案】C

16、【分析】根据B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q是AM的中点，可知BC=AC-AB=2AN-2AM=2MN，PQ=AP-AQ=12AN-12AM=12（AN-AM）=12MN，即可得出答案【详解】解：M、N分别是AB、AC的中点，AC=2AN，AB=2AM，BC=AC-AB=2AN-2AM=2MN，P、Q分别为AN，AM的中点，AP=12AN，AM=12AB，PQ=AP-AQ=12AN-12AM=12（AN-AM）=12MN，BC：PQ=4故选C【点睛】本题考查了比较线段的长短的知识，注意理解线段的中点的概念利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的

17、关键【变式3.2】（2022江苏扬州七年级期末）已知点M在线段AB上，点N是线段MB的中点，若AN6，则AM+AB的值为（）A10B8C12D以上答案都不对【答案】C【分析】画出图形，设NMx，根据点N是线段MB的中点，得MNBNx，进而表示出AM、AB的长，然后求和即可【详解】解：如图所示：设NMx，点N是线段MB的中点，MNBNx，AN6AMANMN6x，ABAN+BN6+x，AM+AB6x+6+x12故选：C【点睛】本题主要考查了线段的和差，熟练掌握线段中点定义的应用，线段之间的数量转化是解题关键【变式3.3】（2022江苏省南通中学附属实验学校七年级阶段练习）如图，已知A，B（B在A的

18、左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且AB=6，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为tt0秒，则下列结论中正确的有（）B对应的数是2；点P到达点B时，t=3；BP=2时，t=2；在点P的运动过程中，线段MN的长度不变ABCD【答案】D【分析】根据两点间距离进行计算即可；利用路程除以速度即可；分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，由题意求出AP的长，再利用路程除以速度即可；分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可【详解】解：设点B对应的数是x，点A对应的数为4，

19、且AB=6 ，4-x=6 ，x=-2 ，点B对应的数是-2，故错误；由题意得：62=3（秒），点P到达点B时，t=3，故正确；分两种情况：当点P在点B的右侧，AB=6，BP=2，AP=AB-BP=6-2=4，42=2（秒），BP=2时，t=2，当点P在点B的左侧，AB=6，BP=2，AP=AB+BP=6+2=8，82=4（秒），BP=2时，t=4，综上所述，BP=2时，t=2或4，故错误；分两种情况：当点P在点B的右侧，M，N分别为AP，BP的中点，MP=12AP，NP=12BP，MN=MP+NP=12AP+12BP=12AP+BP=12AB=3，当点P在点B的左侧，M，N分别为AP，BP的中

20、点，MP=12AP，NP=12BP，MN=MP-NP=12AP-12BP=12AP-BP=12AB=3，在点P的运动过程中，线段MN的长度不变，故正确所以，上列结论中正确的是故选：D【点睛】本题考查了数轴，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键【考点4】线段的长短比较【例4】（2019秋路南区期末）下列说法不正确的是（）A若点C在线段BA的延长线上，则BAACBCB若点C在线段AB上，则ABAC+BCC若AC+BCAB，则点C一定在线段AB外D若A，B，C，三点不在一直线上，则ABAC+BC【分析】熟练掌握线段的概念和定义，进行分析【解析】A、根据线段的延长线的概念，则BABCAC，故错

21、误；B、根据线段的和的计算，正确；C、根据两点之间，线段最短，显然正确；D、根据两点之间，线段最短，显然正确故选：A【变式4.1】（2022江苏南通七年级期末）如图，A，B，C，D四点在同一直线上，点M是线段AB的中点，点N是线段CD的中点，MN=a，BC=b，则线段AD的长度可表示为（）Aa+bBa+2bC2abD2ba【答案】C【分析】由已知M是AB的中点，N是CD的中点，推出AM=MB=12AB，CN=ND=12CD，进一步推出AB+CD=2a-2b，从而得出答案【详解】解：点M是线段AB的中点，点N是线段CD的中点，AM=MB=12AB，CN=ND=12CD，MN=MB+BC+CN=a

22、，MB+CN=MN-BC=a-b，AB+CD=2MB+2CN=2(a-b)，AD=AB+BC+CD=2a-2b+b=2a-b【点睛】此题考查线段中点的定义及线段和、差关系，本题的关键是根据线段的中点找出各线段间的关系求解【变式4.2】（2021江苏七年级专题练习）如图，C是AB的中点，D是BC的中点，则下列等式中正确的是（）DB=3AD-2AB；CD=13AB；DB=2AD-AB；CD=AD-CBABCD【答案】C【分析】根据线段中点的性质，设AB=4x，分别得到其他线段的长度，从而判断各项【详解】解：C是AB的中点，D是BC的中点，AC=BC，CD=BD，设AB=4x，BD=x，AD=3x，

23、则3AD-2AB=x=BD，故正确；CD=x，则CD=14AB，故错误；BD=x，AD=3x，则2AD-AB=2x=2BD，故错误；AD=3x，BC=2x，则AD-CB=3x-2x=x=CD，故正确；故选C【点睛】此题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的概念和性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键【变式4.3】（2022江苏七年级单元测试）点A、B、C在同一直线上，AB=10cm，AC=2cm，则BC=（）A12cmB8cmC12cm或8cmD以上均不对【答案】C【分析】分两种情况分别计算，即可分别求得【详解】解：当点C在线段AB上时，BC=AB-AC=10-2=8(cm)，当点C在线段

24、BA的延长线上时，BC=AB+AC=10+2=12(cm)，故BC的长为12cm或8cm，故选：C【点睛】本题考查了求线段的和差，采用分类讨论的思想是解决本题的关键【考点5】角的概念及表示【例5】（2019秋高邮市期末）下列四个图形中的1也可用AOB，O表示的是（）ABCD【分析】根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角可得答案【解析】A、图形中的1可用AOB，但不能用O表示，故此选项错误；B、图形中的1可用AOB，也可用O表示，故此选项正确；C、图形中的1不可用AOB和O表示，故

25、此选项错误；D、图形中的1可用AOB，但不能用O表示，故此选项错误；故选：B【变式5.1】（2021江苏南通市北城中学七年级阶段练习）下列四个图形中，能用1，AOB，O三种方法表示同一个角的是（）ABCD【答案】B【分析】根据角的三种表示方法，可得正确答案【详解】A、因为顶点O处有四个角，所以这四个角均不能用O表示，故本选项错误；B、因为顶点O处只有一个角，所以这个角能用1，AOB，O表示，故本选项正确；C、因为顶点O处有三个角，所以这三个角均不能用O表示，故本选项错误；D、因为顶点O处有三个角，所以这三个角均不能用O表示，故本选项错误故选：B【点睛】本题考查了角的概念，熟记角的表示方法是解题

26、关键在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个大写字母来记这个角【变式5.2】（2021江苏七年级专题练习）如图所示，与B不是同一个角的是（）A1BABCCDBEDDAC【答案】D【分析】根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案【详解】解：除了DAC，其他三种表示方法表示的都是同一个角B故选：D【点睛】利用了角的概念求解从一点引出两条射线组成的图形就叫做角角的表示方法一般有以下几种：1、角+3个大写英文字母；2、角+1个大写英文字母；3、角+小写希腊字母；4、角+阿拉伯数字【变式5.3】（2021江苏七年级专题练习）下列说法中：（1）角的两边越长，角就越大；（2）AOB与BOA表示同一个角

27、；（3）在角一边的延长线上取一点D；（4）角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形错误的个数是（）A1个B2个C3个D4个【答案】B【分析】由共一个端点的两条射线组成的图形叫做角，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，角的大小与角的两边张开的程度有关；根据角的概念、表示及大小逐一进行判断即可【详解】（1）角的大小与角的两边张开的程度有关，与角的两边长短无关，故说法错误；（2）AOB与BOA表示同一个角，此说法正确；（3）角的两边是两条射线，射线是向一端无限延伸的，故此说法错误；（4）此说法正确；所以错误的有2个故选：B【点睛】本题考查了角的概念、角的大小、角的表示等知识，

28、掌握这些知识是关键【考点6】度分秒的换算及角的大小比较【例6】（2020秋锦江区校级期末）杨老师到几何王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到A、B、C在吵架，A说：“我是4815，我应该最大!”B说：“我是48.3，我应该最大!”C也不甘示弱：“我是48.15，我应该和A一样大!”听到这里，杨老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判!”，杨老师评判的结果是（）AA最大BB最大CC最大DAC【分析】根据度、分、秒的换算1度60分，即160，1分60秒，即160将4815，48.3，48.15的单位统一，再进行大小的比较【解析】A481548+（）48.25，B48.3，C48.15，B

29、AC，即B最大，故选：B【变式6.1】（2019江苏宿迁市钟吾初级中学七年级期末）下列各数中，正确的角度互化是（）A63.5=6350B231236=23.48C181818=18.33D22.25=2215【答案】D【分析】根据大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率，即可得到答案【详解】解：A、63.5=63306350，故A不符合题意；B、23.48=232848231236，故B不符合题意；C、18.33=181948181818，故C不符合题意；D、22.25=2215，故D正确.故选D【点睛】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握角度的互化是解题关键【变式6.2】（2020江苏南通

30、七年级期末）如图，将一个三角板60角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，1=2740，则2的度数是（）A2740B6220C5740D5820【答案】C【分析】根据BAC60，12740，求出EAC的度数，再根据290EAC，即可求出2的度数【详解】解：BAC60，12740，EAC3220，EAD90，290EAC9032205740；故选：C【点睛】本题主要考查了度分秒的换算，关键是求出EAC的度数，是一道基础题【变式6.3】（2022江苏七年级专题练习）杨老师到几何王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到A、B、C在吵架，A说：“我是3015，我应该最大!”B说：“我是30.3，我应该最大

31、!”C也不甘示弱：“我是30.15，我应该和A一样大!”听到这里，杨老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判!”，杨老师评判的结果是（）AA最大BB最大CC最大DAC【答案】B【分析】根据度、分、秒的换算1度=60分，即1=60，1分=60秒，即1=60将3015，30.3，30.15的单位统一，再进行大小的比较【详解】解：A=3015=30+(1560)=30.25，B=30.3，C=30.15， BAC，即B最大， 故选：B【点睛】本题考查了度分秒的换算和角的大小比较，关键是统一单位，再进行大小的比较【考点7】角平分线【例7】（2019秋宿豫区期末）若射线OC在AOB的内部，则下

32、列式子中：能判定射线OC是AOB的平分线的有（）AOCBOC，AOB2AOC，BOC=12AOBAOC+BOCAOB，A1个B2个C3个D4个【分析】根据角平分线的定义分析出角之间的倍分关系进行判断【解析】当OC在AOB的内部，OC是AOB的平分线时，AOCBOC，AOB2AOC，BOC=12AOB，所以、都能判定OC是AOB的平分线AOC+BOCAOB只能说明射线OC在AOB内，不一定是角平分线故选：C【变式7.1】（2022江苏射阳县第六中学七年级期末）有下列说法：射线AB与射线BA表示同一条直线；若ABBC，则点B是线段AC的中点；过一点有且只有一条直线与已知直线平行；两点之间，线段最短

33、；已知三条射线OA，OB，OC，若AOC=12AOB，则射线OC是AOB的平分线；在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有两种：相交或平行其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个【答案】B【分析】根据射线的定义，线段中点的定义，平行公理，线段的性质以及直线的位置关系分别判断即可【详解】解：射线AB与射线BA不是同一条直线，故错误；若ABBC，当A、B、C不在同一条直线上时，点B不是线段AC的中点，故错误；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误；两点之间，线段最短，故正确；已知三条射线OA，OB，OC，若AOC=12AOB，则OC不一定在AOB的内部，故错误；在同一平面内，两条不

34、重合的直线的位置关系只有两种：相交或平行，故正确；故选：B【点睛】本题考查了射线的定义，线段中点的定义，平行公理，线段的性质以及直线的位置关系等知识，比较基础，需要熟练掌握【变式7.2】（2021江苏兴化市乐吾实验学校七年级阶段练习）如图，已知O为直线AB上一点，OC平分AOD，BOD=4DOE，COE=则BOE的度数为（）AB150-C180-2D270-3【答案】D【分析】设DOE=x，则BOD=4x，BOE=3x，根据角之间的等量关系求出AOD、COD、COE的大小，然后解得x即可【详解】解：设DOE=x，则BOD=4x，BOD=BOE+EOD，BOE=3x，AOD=180-BOD=18

35、0-4x，OC平分AOD，COD=12AOD=12(180-4x)=90-2x，COE=COD+DOE=90-2x+x=90-x，由题意有90-x=，解得x=90-，则BOE=270-3，故选：D【点睛】本题主要考查角的计算，运用好角的平分线这一知识点是解答的关键【变式7.3】（2020江苏沭阳县修远中学七年级阶段练习）如图，OC是AOB内的一条射线，OD、OE分别平分AOB、AOC，若AOC=m，BOC=n，则DOE的大小为（）A(m2)B(n2)C(m+n2)D(m-n2)【答案】B【分析】根据角平分线定义得出DOA=12AOB，EOA=12AOC，求出DOE=DOA-EOA=12BOC，

36、代入求出即可【详解】解：OD、OE分别平分AOB、AOC，AOC=m，BOC=n，DOA=12AOB，EOA=12AOC，DOE=DOA-EOA=12AOB-12AOC=12（AOB-AOC）=12BOC=(n2)，故选：B【点睛】本题考查了角平分线定义和角的有关计算的应用，主要考查学生的推理能力，数形结合思想的运用【考点8】平行与垂直【例8】（2019秋邗江区校级期末）点P为直线外一点，点A、B在直线l上，若PA4cm，PB5cm，则点P到直线l的距离是（）A4cmB小于4cmC不大于4cmD5cm【分析】根据垂线段最短，即可求解【解析】根据垂线段最短，则点P到直线l的距离应该小于PA、PB

37、中最小的，故选：C【变式8.1（2021江苏七年级专题练习）已知直线l1，l2，l3互相平行，直线l1与l2的距离是2cm，直线l2与l3的距离是5cm，那么直线l1与l3的距离是（）A3cm或7cmB3cmC5cmD7cm【答案】A【分析】分l1与l3在l2同侧和l1与l3在l2两侧两种情况，根据直线l1与l2的距离是2cm，直线l2与l3的距离是5cm分别求出l1与l3的距离即可得答案【详解】当l1与l3在l2同侧时，直线l1，l2，l3互相平行，直线l1与l2的距离是2cm，直线l2与l3的距离是5cm，l1与l3的距离为5-2=3cm，当l1与l3在l2两侧时，直线l1，l2，l3互相

38、平行，直线l1与l2的距离是2cm，直线l2与l3的距离是5cm，l1与l3的距离为5+2=7cm，综上所述：l1与l3的距离是3cm或7cm，故选：A【点睛】本题考查平行线之间的距离求法，从平行线上任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫做两条平行线之间的距离；灵活运用分类讨论的思想是解题关键【变式8.2】（2022江苏南京七年级期末）如图，河道l的同侧有A，B两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至A，B两地，下面的四个方案中，管道长度最短的是（）ABCD【答案】B【分析】根据两点之间线段最短与垂线段最短可判断方案B比方案C、D中的管道长度最短，根据垂线段最短可判断方案B比方案A中的管道长度

39、最短【详解】解：四个方案中，管道长度最短的是B故选：B【点睛】本题考查了垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段【变式8.3】（2022江苏七年级专题练习）在同一平面内，若A与B的两边分别垂直，且A比B的3倍少40，则A的度数为（）A20B55C20或125D20或55【答案】C【分析】因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因A比B的3倍少40，所以可设B是x度，利用方程即可解决问题【详解】解：设B是x度，根据题意，得两个角相等时，如图1：B=A=x，x=3x-40解得，x=20，故A=20，两个角互补时，如图2：x+3x-40=180，所以x=55，3

40、55-40=125故A的度数为：20或125故选：C【点睛】此题主要考查了考查了垂线，本题需仔细分析题意，利用方程即可解决问题关键是得到A与B数量关系【考点9】余角与补角【例9】（2019秋南京期末）如图所示，点O在直线AB上，COBEOD90，那么下列说法错误的是（）A1与2相等BAOE与2互余CAOE与COD互余DAOC与COB互补【分析】根据余角和补角的定义逐一判断即可得【解析】COBEOD90，1+COD2+COD90，12，故A选项正确；AOE+190，AOE+290，即AOE与2互余，故B选项正确；COB90，AOC+BOC180，即AOC与COB互补，故D选项正确；无法判断AOE

41、与COD是否互余，C选项错误；故选：C【变式9.1】（2022江苏扬州七年级期末）若钝角1与2互补，2与3互余，则1与3的关系满足（）A1390B1+390C1+3180D13【答案】A【分析】根据1与2互补，2与3互余，先把1、3都用2来表示，再进行运算【详解】解：1+2180，21801，又2+390，2903，1801903，1390故选：A【点睛】本题考查了余角和补角，解决本题的关键是主要记住互为余角的两个角的和为90，互为补角的两个角的和为180度【变式9.2】（2022江苏七年级专题练习）下列关于余角、补角的说法，正确的是（）A若90，则与互余B若1290，则1 与2 互补C若12

42、390，则1，2，3 互余D若180，则，互补【答案】A【分析】若两个角的和为90，则这两个角互余；若两个角的和为180，则这两个角互补根据此定义判断即可【详解】A若90，则与互余，此选项符合题意；B若1290，则1 与2 互余，此选项不符合题意；C3个角不符合互余的定义，此选项不符合题意；D3个角不符合互补的定义，此选项不符合题意故选：A【点睛】本题考查了余角和补角，解题的关键是熟悉余角和补角的定义和性质【变式9.3】（2021江苏七年级专题练习）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中与一定互余的是（）ABCD【答案】C【分析】根据余角：若两角和为90则两角互余；计算判断即可；【详解】解：A两

43、角不一定互余，选项错误，不符合题意；B=45，=30，两角不互余，选项错误，不符合题意；C+=180-90=90，两角互余，选项正确，符合题意；D+=180，两角互补，选项错误，不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了余角的定义，掌握互余的两角和是90是解题关键【考点10】对顶角与邻补角【例10】（2018秋兴化市期末）如图，要测量两堵围墙形成的AOB的度数，先分别延长AO、BO得到COD，然后通过测量COD的度数从而得到AOB的度数，其中运用的原理是（）A对顶角相等B同角的余角相等C等角的余角相等D垂线段最短【分析】根据对顶角相等的性质，延长AO、BO得到AOB的对顶角，测量出对顶角的度数，也

44、就是AOB的度数【解析】延长AO到C，延长BO到D，然后测量COD的度数，根据对顶角相等可得AOBDOC故其中运用的原理是对顶角相等故选：A【变式10.1】（2021江苏七年级专题练习）下面的四个图形中，1与2是对顶角的是（）ABCD【答案】C【分析】根据定义判断即可：有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角【详解】解：根据对顶角的定义可知：只有C选项中的1与2是对顶角，其它都不是；故选： C【点睛】本题考查了对顶角的定义；掌握定义是解题关键【变式10.2】（2022江苏无锡七年级期末）如图，点O在直线AB上，AOC与BOD互余，AOD148

45、，则BOC的度数为（）A122B132C128D138【答案】A【分析】利用AOC与BOD互余得出AOC+BOD90，再由平角的定义求出COD，即可求出答案【详解】解：点O在直线AB上，AOC与BOD互余，AOC+BOD90，COD180（AOC+BOD）1809090，AOD148，BOD180AOD18014832，BOCCOD+BOD90+32122，故选：A【点睛】本题考查余角，解题关键是掌握余角的定义：如果两个角的和是直角，那么称这两个角“互为余角”，简称“互余”，也可以说其中一个角是另一个角的余角【变式10.3】（2022江苏七年级单元测试）如图，点O是直线AB上的一点，若AOC=

46、50，AOD=13AOE，BOE=90，下列正确的是（）ABOD=155BBOC=120CDOE=60DAOD=25【答案】C【分析】利用补角、余角、角的n等分线的性质进行角度的和差倍数计算，判断选项的正确性【详解】解：AOB=180，BOE=90，AOE=90，AOC=50，AOD=13AOE，AOD=13AOE=30，故D不符合题意；DOE=90-AOD=60,故C符合题意；BOD=180-AOD=150，故A不符合题意；AOC=50，BOC=180-AOC=130，故B不符合题意；故选：C【点睛】此题主要考查角度求解，解题的关键是熟知补角和余角定义、角的n等分线的性质【考点11】方位角【

47、例11】（2019秋姜堰区期末）如图，OA是北偏东30方向的一条射线，若射线OB与OA垂直，则射线OB表示的方向是（）A东偏北30B东偏北60C北偏西30D北偏西60【分析】根据题意得到AOC的度数，根据垂直的定义计算即可【解析】由题意得，AOC30，射线OB与射线OA垂直，BOC60，OB的方向角是北偏西60故选：D【变式11.1】（2022江苏七年级专题练习）如图，海上有两艘军舰A和B，由A测得B的方向是（）A北偏西30B北偏西60C南偏东30D南偏东60【答案】D【分析】根据方向角的分类及已知角度即可求解【详解】解：由图可得A在B的北偏西60的方向上，故B在A的南偏东60的方向上故选：D

48、【点睛】本题考查了方向角的分类及表示，熟练掌握方向角的概念及分类是解题的关键【变式11.2】（2022江苏七年级专题练习）如图，轮船A位于灯塔O的北偏西54的方向，OBOA，那么轮船B的方向是（）A南偏西46B北偏西36C南偏西36D南偏西54【答案】C【分析】根据题意：轮船A位于灯塔O的北偏西54的方向，OBOA，再结合平角的定义，即可得出结论【详解】解：轮船A位于灯塔O的北偏西54的方向，又OBOA，根据平角定义，可得：180-54-90=36，轮船B位于灯塔O的南偏西36的方向故选：C【点睛】本题考查了方位角问题，解本题的关键在正确描述方位角【变式11.3】（2022江苏扬州市梅岭中学七

49、年级阶段练习）如图，甲从O点出发向北偏西27方向走到点A，乙从点O出发向南偏东42方向走到点B，则AOB的度数是_【答案】165#165度【分析】AOB等于三个角的和，求出各角的度数，相加即可【详解】解：由题意得，AOB27+90+9042165，故答案为：165【点睛】本题主要考查方向角，解决此题时，能准确找到方向角是解题的关键【考点12】线段的综合计算问题【例12】（2019秋姜堰区期末）如图：A、B、C、D四点在同一直线上（1）若ABCD比较线段的大小：ACBD（填“”、“”或“”）；若BC=34AC，且AC12cm，则AD的长为cm；（2）若线段AD被点B、C分成了3：4：5三部分，且

50、AB的中点M和CD的中点N之间的距离是16cm，求AD的长【分析】（1）根据等式的性质，得出答案；求出BC的值，在求出AB、CD的长，进而求出AD的长即可；（2）根据线段的比，线段中点的意义，设未知数，列方程求解即可【解析】（1）ABCD，AB+BCCD+BC，即，ACBD，故答案为：；BC=34AC，且AC12cm，BC=34129（cm），ABCDACBC1293（cm），ADAC+CD12+315（cm），故答案为：15；（2）如图1所示，设每份为x，则AB3x，BC4x，CD5x，AD12x，M是AB的中点，点N是CD的中点N，AMBM=32x，CNDN=52x，又MN16，32x+4

51、x+52x16，解得，x2，AD12x24（cm），如图2所示，M是AB的中点，点N是CD的中点N，AMBM=72x，CNDN=92x，又MN16，12x-72x92x16，解得，x4，AD12x48（cm），所以，AD24或AD48，答：AD的长为24cm或48cm【变式12.1】（2022江苏七年级专题练习）如图，点C在线段AB上，AC=6cm,CB=4cm，点M、N分别是AC、BC的中点(1)求线段MN的长；(2)若C为线段AB上任一点，满足AC=acm,CB=bcm，点M、N分别是AC、BC的中点，猜想：MN=cm(3)若C在线段AB的延长线上，且满足AC=acm,CB=bcm(ab)

52、，点M、N分别为AC、BC的中点，猜想：MN=cm【答案】(1)5cm(2)12(a+b)(3)12(a-b)【分析】（1）根据“点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用MN=CM+CN即可求出MN的长度即可；（2）当C为线段AB上一点，且M，N分别是AC、BC的中点，则存在MN=12(a+b)；（3）点在AB的延长线上时，根据M、N分别为AC、BC的中点，即可求出MN的长度【详解】（1）解：AC=6 cm，点M是AC的中点，CM=12AC=3 cm，CB=4 cm，点N是BC的中点，CN=12BC=2 cm，MN=CM+CN=5 cm，线段MN的长度为5cm；（2）解

53、：AC=a cm，点M是AC的中点，CM=12AC=12a cm，CB=b cm，点N是BC的中点，CN=12BC=12b cm，MN=CM+CN=12a+12b=12(a+b) cm，线段MN的长度为12(a+b) cm，故答案为：12(a+b)；（3）解：当点C在线段AB的延长线时，如图：则ACBC，M是AC的中点，CM=12AC=12a cm，点N是BC的中点，CN=12BC=12b cm，MN=CM-CN=12(AC-BC)=12(a-b) cm，故答案为：12(a-b)【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差分情况讨论是解题的关键【变式12.2】（2022江苏

54、七年级单元测试）如图，已知点C为线段AB上一点，AC=12cm，CB=8cm，D、E分别是AC、AB的中点求：(1)求AD的长度；(2)求DE的长度；(3)若M在直线AB上，且MB=6cm，求AM的长度【答案】(1)6cm(2)4cm(3)26cm或14cm【分析】（1）直接根据D是AC的中点可得答案；（2）先求出AB的长，然后根据E是AB的中点求出AE，做好应AE-AD即为DE的长；（3）分M在点B的右侧、M在点B的左侧两种情况进行计算即可【详解】（1）解： 由线段中点的性质，AD=12AC=1212=6cm；（2）由线段的和差，得AB=AC+BC=12+8=20cm，由线段中点的性质，得A

55、E=12AB=1220=10cm，由线段的和差，得DE=AE-AD=10-6=4cm；（3）当M在点B的右侧时，AM=AB+MB=20+6=26cm；当M在点B的左侧时，AM=AB-MB=20-6=14cm，AM的长度为26cm或14cm【点睛】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解本题的关键【变式12.3】（2022江苏七年级专题练习）如图一，点C在线段AB上，图中有三条线段AB、AC和BC，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”(1)填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）(2)

56、（问题解决）如图二，点A和B在数轴上表示的数分别是-20和40，点C是线段AB的巧点，求点C在数轴上表示的数(3)（应用拓展）在（2）的条件下，动点P从点A处，以每秒2个单位的速度沿AB向点B匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿BA向点A匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当A、P、Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间t(s)的所有可能值【答案】(1)是(2)10或0或20(3)t=152；t=6；t=607；t=12；t=907；t=454【分析】（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进

57、行判断即可；（2）由题意设C点表示的数为x，再根据新定义列出合适的方程即可；（3）根据题意先用t的代数式表示出线段AP,AQ,PQ，再根据新定义列出方程，得出合适的解，即可求出t的值【详解】（1）原线段是中点分成的短线段的2倍，线段的中点是这条线段的巧点，故答案为：是；（2）设C点表示的数为x，则AC=x+20,BC=40-x,AB=40+20=60，根据“巧点”的定义可知：当AB=2AC时，有60=2x+20，解得，x=10；当BC=2AC时，有40-x=2x+20，解得，x=0；当AC=2BC时，有x+20=240-x，解得，x=20综上，C点表示的数为10或0或20；（3）由题意得AP=

58、2t,AQ=60-4t,PQ=60-6t(0t10)6t-60(10t15)，（i）、若0t10时，点P为AQ的“巧点”，有当AQ=2AP时，60-4t=22t，解得，t=152，当PQ=2AP时，60-6t=22t，解得，t=6；当AP=2PQ时，2t=260-6t，解得，t=607；综上，运动时间t(s)的所有可能值有t=152；t=6；t=607；（ii）、若10t15时，点Q为AP的“巧点”，有当AP=2AQ时，2t=260-4t，解得，t=12；当PQ=2AQ时，6t-60=260-4t，解得，t=907；当AQ=2PQ时，60-4t=26t-60，解得，t=454综上，运动时间t(

59、s)的所有可能值有：t=12；t=907；t=454故，运动时间t(s)的所有可能值有：t=152;t=6;t=607;t=12;t=907;t=454【点睛】本题是新定义题，是数轴的综合题，主要考查数轴上的点与数的关系，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列出方程并进行求解【考点13】角的综合计算问题【例13】（2019秋栖霞区期末）一个问题解决往往经历发现猜想探索归纳问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下【发现猜想】如图，已知AOB70，AOD100，OC为BOD的角平分线，则AOC的度数为 ；【探索归纳】如图，AOBm，AODn，OC为BOD的角平分线猜想

60、AOC的度数（用含m、n的代数式表示），并说明理由【问题解决】如图，若AOB20，AOC90，AOD120若射线OB绕点O以每秒20逆时针旋转，射线OC绕点O以每秒10顺时针旋转，射线OD绕点O每秒30顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线OA重合时，三条射线同时停止运动运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？【分析】【发现猜想】：根据AOB70，AOD100，OC为BOD的角平分线，即可求得AOC的度数；【探索归纳】：根据AOBm，AODn，OC为BOD的角平分线即可得AOC的度数；【问题解决】：根据AOB20，AOC90，AOD120分四种情况说明一条射线是另外两条射

61、线夹角的角平分线【解析】【发现猜想】AOB70，AOD100，BODAODAOB30，OC为BOD的角平分线，BOC=12BOD15，AOCAOB+BOC85则AOC的度数为85；故答案为85；【探索归纳】AOC=12（m+n）理由如下：AOBm，AODn，BODnm，OC为BOD的角平分线BOC=12（nm）AOC=12（nm）+m=12（m+n）答：AOC的度数为12（m+n）【问题解决】设经过的时间为x秒，AOB20，AOC90，AOD120DOA12030x，COA9010x，BOA20+20x当在x=32之前，OC为OB、OD夹角的角平分线：3020x7030x，解得x4（舍去）；当

62、x在32和2之间，OD为OC、OB夹角的角平分线：30+20x10050x，解得x=137；当x在2和73之间，OB为OC、OD夹角的角平分线：7030x100+50x，解得x=178；当x在73和4之间，OC为OB、OD夹角的角平分线：70+30x30+20x，解得x4答：经过137、178、4秒时，其中一条射线是另两条射线夹角的平分线【变式13.1】（2022江苏泰州七年级期末）如图，AOB=m，OC是AOB内的一条射线，OD、OE分别平分BOC、AOC(1)若BOC=90，AOC=30，求DOE的度数；(2)试用含m的代数式表示DOE；(3)在图中，将OC反向延长，得到OP，OM、ON分

63、别平分BOP、AOP请将图补充完整，并用含m的代数式表示MON【答案】(1)60；(2)12m；(3)图见解析，180-12m【分析】（1）利用OD、OE分别平分BOC、AOC，可知DOC=12BOC=45，EOC=12AOC=15，进一步可求出DOE=DOC+EOC=60；（2）利用DOE=DOC+EOC=12BOC+AOC=12AOB即可求出；（3）利用OM、ON分别平分BOP、AOP，可得MOP=12BOP，NOP=12AOP，进一步可得： MON=180-12m（1）解：OD、OE分别平分BOC、AOC，且BOC=90，AOC=30，DOC=12BOC=45，EOC=12AOC=15，

64、DOE=DOC+EOC=60，（2）解：由（1）可知：DOE=DOC+EOC=12BOC+AOC，AOB=BOC+AOC=m，DOE=12AOB=12m，（3）解：补充图形如下：OM、ON分别平分BOP、AOP，且AOB=m，MOP=12BOP，NOP=12AOP， MON=MOP+NOP=12BOP+AOP=12360-m=180-12m【点睛】本题考查角平分线，几何图形中角的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，找出角之间的关系【变式13.2】（2022江苏淮安七年级期末）【阅读理解】射线OC是AOB内部的一条射线，若AOC12BOC，则称射线OC是射线OA在AOB内的一条“友好线”如

65、图1，若AOB75，AOC25，则AOC12BOC，所以射线OC是射线OA在AOB内的一条“友好线”【解决问题】(1)在图1中，若作BOC的平分线OD，则射线OD （填“是”或“不是”）射线OB在AOB内的一条“友好线”；(2)如图2，AOB的度数为n，射线OM是射线OB在AOB内的一条“友好线”，ON平分AOB，则MON的度数为 （用含n的代数式表示）；(3)如图3，射线OB先从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒1的速度逆时针旋转；10秒后射线OC也从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒5的速度逆时针旋转，当射线OC与射线OA的延长线重合时，运动停止问：当射线OC运动时间为多少秒时，射

66、线OA，OB，OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？【答案】(1)是(2)16n(3)57或2013或15或71011或3407秒【分析】（1）根据“友好线”定义即可作出判断；（2）根据“友好线”定义即可求解；（3）利用分类讨论思想，分别作出图形，分情况进行计算即可【详解】（1）解：OB是BOC的平分线，BODCOD，COA12BOC，BOD12AOD，射线OD是射线OB在AOB内的一条“友好线”故答案为：是（2）射线OM是射线OB在AOB内的一条“友好线”，AOB的度数为n，BOM13AOB13n，ON平分AOB，BON12AOB12n，MO

67、NBONBOM12n13n16n故答案为：16n（3）设运动时间为x秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是其余两条射线中某条射线的“友好线”当射线OC与射线OA的延长线重合时，运动停止x3605=72如图，当射线OC是射线OA在AOB内的一条“友好线”时，当AOC=12BOC时，根据题意可得AOB=10+x,AOC=5x,则BOC=AOB-AOC=10+x-5x=10-4x5x=1210-4x解得x=57如图,当射线OC是射线OB在AOB内的一条“友好线”时，当12AOC=BOC时，AOB=10+x,AOC=5x,BOC=AOB-AOC=10+x-5x=10-4x125x=10-4x解得

68、x=2013即运动时间为2013秒时，射线OC是射线OB的“友好线”如图，当射线OB是射线OA在AOC内的一条“友好线”时，则AOB12COB，AOB=10+x,AOC=5x,BOC=AOC-AOB=5x-10+x-5x=4x-10所以10+x12 4x-10，解得x15（符合题意），即运动时间为15秒时，射线OB是射线OA的“友好线”如图，当射线OB是射线OC在AOC内的一条“友好线”时，则12AOBCOB，AOB=10+x,AOC=5x,BOC=AOC-AOB=5x-10+x-5x=4x-101210+x=4x-10解得x=103如图， AOB=10+x,AOC=360-5x当AOC=12

69、AOB时360-5x=1210+x解得：x=71011当12AOC=AOB时12360-5x=10+x解得：x=3407综上所述，当运动时间为57或2013或15或71011或3407秒时，符合题意要求【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想【变式13.3】（2021江苏常州市金坛良常初级中学七年级阶段练习）如图（1），点O为线段AB上一点，过点O作射线OC，使AOCBOC12，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在线段AB的下方(1)将图（1）中的直角三角板绕点O按逆时针方向旋转，使ON落在射线OB上（如图2），则三角板

70、旋转的角度为 度；(2)继续将图（2）中的直角三角板绕点O按逆时针方向旋转，使ON在AOC的内部（如图3）试求AOM与NOC度数的差？(3)若图（1）中的直角三角板绕点O按逆时针方向旋转一周，在此过程中：当直角边OM所在直线恰好垂直于OC时，AOM的度数是 ；设直角三角板绕点O按每秒15的速度旋转，当直角边ON所在直线恰好平分AOC时，求三角板绕点O旋转时间t的值【答案】(1)90(2)30(3)150或30；4或16【分析】（1）根据旋转的性质知，旋转角是MON；（2）如图3，利用平角的定义，结合已知条件“AOC：BOC=1：2”求得AOC=60；然后由直角的性质、图中角与角间的数量关系推知

71、AOM-NOC=30；（3）需要分类讨论：（）当直角边ON在AOC外部时，旋转角是60；（）当直角边ON在AOC内部时，旋转角是240(1)由旋转的性质知，旋转角MON=90故答案是：90；(2)如图3，AOM-NOC=30设AOC=，由AOC：BOC=1：2可得BOC=2AOC+BOC=180，+2=180解得 =60即AOC=60AON+NOC=60MON=90，AOM+AON=90 由-，得AOM-NOC=30；(3)当直角边OM所在直线恰好垂直于OC时，AOM的度数是150或30；故答案为：150或30；（）如图4，当直角边ON在AOC外部时，由OD平分AOC，可得BON=30因此三角板绕点O逆时针旋转60此时三角板的运动时间为：t=6015=4（秒）（）如图5，当直角边ON在AOC内部时，由ON平分AOC，可得CON=30因此三角板绕点O逆时针旋转240此时三角板的运动时间为：t=24015=16（秒）【点睛】本题综合考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算解答（3）题时，需要分类讨论，以防漏解