专题10 导数含参单调性讨论详述版（解析版）.docx

1、导数章节知识全归纳专题10 导数含参单调性讨论（详述版）一 知识点归纳： 核心知识：1.函数的单调性与导数（1）设函数在某个区间可导，如果，则在此区间上为增函数；如果，则在此区间上为减函数。（2） 如果在某区间内恒有，则为常函数。总结：含参单调性讨论主要针对学生对于含有参数的函数进行单调性讨论存在严重问题，时常分不清楚何时讨论参数，以及先哪一步在哪一步：这里君哥给大家总结如下：第一类：简单含参-独立含参，先讨论恒成立，再分类。第二类：多位置含参数：首先考虑是否可以进行十字相乘，在讨论根的大小，再讨论单调性。第三类：二次函数型含参：必考虑，在讨论根的大小，最后讨论单调性。第四类：其他函数型含参：

2、画图看交点。二 导数含参单调性讨论典型例题： 类型一：独立含参讨论：例：1已知函数.（1）讨论函数的单调性；解：【分析】（1） 求导，对参数进行分类讨论判断导函数的正负，最后判断原函数的单调。【详解】（1）解：函数的定义域为，当时，恒成立，所以在内单调递增；当时，令，得，所以当时，单调递增；当时，单调递减，综上所述，当时，在内单调递增；当时，在内单调递增，在内单调递减.例：2已知函数.（1）讨论的单调性；解：【分析】（1）对参数a分类讨论，分别求得对于范围内的单调区间；【详解】（1）函数的定义域为当时，恒成立，故函数f(x)在上单调递增当时，令，得；令，得.故函数在上递增，在递减变式：1函数（

3、1）求函数的单调区间；解：【分析】（1）求导，分别讨论和两种情况的正负，即可求得的单调区间.【详解】（1）当时，所以在为增函数，当时，令，解得；当时，为增函数，当时， 为减函数，综上：当时，的单调增区间为，当时，的单调增区间为，单调减区间为.变式：2已知函数，其中.（1）讨论函数的单调性；解：【分析】（1） 对参数进行分类讨论，根据导函数的正负判断函数的单调性；【详解】（1），当时，故在上单调递增，当时，令，得，从而在上单调递减，在上单调递增.变式：3已知函数，.（1）求函数的单调区间；解：【分析】（1）先求导得到，再分和两种情况讨论的单调性和单调区间；【详解】解：（1）由题意知的定义域是，当

4、时，恒成立，所以在上单调递增；当时，由得，所以在上单调递增，由得，所以在上单调递减.综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.类型二：独立含参难：例：1.已知函数，.（1）讨论函数的单调性；解：【分析】（1）求导，分，讨论求解；【详解】（1），当时，在上恒成立，在上是递增的.当时，令，则；令，则.在上递减，在上递增.综上所述，当时，是上的增函数，当时，在是减函数，在上是增函数.例2已知函数.（1）讨论的单调性；解：【分析】（1）首先对函数进行求导，通过对a进行分类讨论，可得的单调性；【详解】（1）函数的定义域为，当时，所以在上单调递增；当时，若，

5、则；若，则，所以在上单调递减，在上单调递增.综上：当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增；例3已知函数，（1）讨论的单调性；解：【分析】（1）先写定义域，对函数求导，再讨论时和时导数的正负情况，即得函数的单调性；【详解】解：（1）的定义域为，当时，即在上单调递减；当时，由解得，由解得，即在上单调递减，在上单调递增；综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增变式：1已知函数.（1）讨论的单调性；解：【分析】（1）先求导函数，然后分析导函数符号只与含参一次因式有关，所以对分三种情况进行讨论；【详解】解：（1）因为，所以.若，则，是上的增函数；若，则当时，；当时，.

6、故的单调递增区间为，单调递减区间为；若，则当时，；当时，故的单调递减区间为，单调递增区间为.变式：2已知函数.（1）讨论的单调性；解：【分析】（1）求导，分，讨论求解；【详解】（1）函数，求导得：，当时，所以在上递减；当时，令，则方程有两个不同的根，.，当时，当时，所以在上递减，在上递增；当时，在上递减，在上递减，所以在递减；类型三：二次函数类型含参：例：1.已知函数，（1）讨论函数的单调性；解：【分析】（1）先求函数的导数，再分和两种情况讨论函数的单调性；【详解】（1）由题意的定义域为，若，则，所以在上为单调递增函数；若，由解得，的解为或，的解为，即的增区间为，减区间为例2已知函数.（1）时

7、，求在处的切线方程；（2）讨论的单调性；解：【分析】（1） 利用导数的几何意义，直接求切线方程；（2）首先求函数的导数，分和两种情况讨论函数的单调性；【详解】当时，在处的切线方程是.（2）， 当时，在上单调递减，当时，令，解得：，令，解得：，的增区间是，减区间是，综上可知：时，函数的减区间是，无增区间；时，函数的增区间是，减区间是.变式：1已知函数，其中且（1）求函数的单调区间；解：【分析】（1）求出，然后分a0、a0时，f(x)在(0，+)上单调递增，此时的增区间为(0，+)；当a0时，的增区间为(0，+)；当a0时，的单调减区间是，单调增区间是变式：2已知函数.（1）讨论的单调性.解：【分

8、析】（1）求导，分，情况讨论导函数的正负，可得原函数的单调性；【详解】（1）解：.当，即时，所以在上单调递增.当，即或时，令，得.当时，两根均为负数，则，所以在上单调递增；当时，两根均为正数，所以在，上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减.变式：3已知函数.（1）讨论的单调性；解：【分析】（1）明确函数的定义域，求出导函数，对参数分类讨论，结合导函数与单调性的关系得到结果；【详解】（1）的定义域是，求导得.记，当时，令，当时，单调递减，当时，单调递增；当时，（负根舍去），当时，单调递减，当时，单调递增；当时，令得，则在恒成立，于是在恒成立，在

9、定义域上单调递减.若，则，令，有2个不相等正根，在上单调递减，在单调递增，在单调递减.综上，当时，函数增区间为，减区间为；当时，函数增区间为，减区间为；当时，函减区间为，无增区间；当时，函数增区间为，减区间为，；类型四：多参函数讨论：例：1.已知函数（1）当时，求的极值；（2）若，求的单调区间解：【分析】（1）首先求函数的导数，判断函数的单调性后得到函数的极值；（2），分，和三种情况讨论求函数的单调递减区间.【详解】解：（1）因为当时，所以，由得或，当变化时，的变化情况列表如下：1200单调递增单调递减单调递增所以当时，取极大值；当时，取极小值（2），当时，当，单调递增，当，单调递减，当，单调

10、递增当时，在恒成立，所以在上单调递增；当时，当，单调递增，当，单调递减，当，单调递增，综上所述，当时，单调递增区间为，单调递减区间为；当时，单调增区间为，无减区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为例2已知函数.（1）若，求的最小值；（2）求函数的单调区间.解：【分析】（1）若，利用导数得出在的单调性即可求解.（2）再讨论、函数的单调区间即可.【详解】（1）若，定义域为，由可得，由可得，所以在单调递减，在单调递增，所以的最小值为；（2）当时，由可得，由可得，此时的单调递减区间为，单调递增区间为，当时，由可得或由可得，此时的单调递减区间为，单调递增区间为和，当时，恒成立，此时的单调递增区间为，

11、当时，由可得或，由可得，此时的单调递减区间为，单调递增区间为和，综上所述：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为和，当时， 的单调递增区间为，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为和，变式：1已知函数，（1）当时，求证：；（2）当时，讨论函数的单调性解：【分析】（1）当时，可得，利用导数求得，由此可证得结论成立；（2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数单调递增区间和递减区间.【详解】（1）当时，该函数的定义域为，当时，此时函数单调递减；当时，此时函数单调递增.所以，因此，当时，求证：；（2）当时，函数的定义域为，.当时，即

12、当时，则.由可得，由可得.此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，即当时，由可得，由可得或.此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、；当时，即当时，则对任意的恒成立，此时，函数的单调递增区间为；当时，即当时，由可得，由可得或.此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、.综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、.变式：2已知函数.（1）讨论函数的单调性；解：【分析】（1），分，两种情况，根据二次函数的性质,利用判别式结合函数的定义域，由导数的正负判断

13、；【详解】（1），若，则，函数在上单调递减.若，则二次函数的判别式，当，即或时，若，则，等号不恒成立，函数在上单调递增；若，则，等号不恒成立，函数在上单调递减.当，即且时，令，即，此时，若，则，此时恒成立，函数在上单调递减；若，则，当时，当时，当时，即函数在和上单调递增，在上单调递减.综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.变式：3已知实数，函数，（1）讨论函数的单调性；解【分析】（1）求导后得；分别在和两种情况下，根据的符号可确定的单调性；【详解】（1）.，.当，即当时，在上单调递减；当，即时，当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增.综

14、上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.类型五：其他函数含参讨论：例：1.已知函数（1）讨论的单调性；解：【分析】（1）对函数求导，分和两种情况，分别得出函数的单调性；【详解】（1），当时，在上单调递减；当时，令，得，当时，；当时，故在上单调递减，在上单调递增例2.已知函数，为自然对数的底数（1）讨论的单调性；解：【分析】（1）求导，分，讨论求解.【详解】（1），当时，单调递减，单调递增当时，单调递增，单调递减，单调递增，当时，单调递增当时，单调递增，单调递减，单调递增例3已知函数（）（1）讨论函数的单调性；解：【分析】（1）求导后，分类讨论，利用导数的符号可得函数的单调

15、性；【详解】（1）的定义域为，且当时，则在上单调递增当时，若，则，在上单调递增；若，则，在上单调递减综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减变式：1设，,其中，且.（1）试讨论的单调性；解：【分析】（1）分别在和两种情况下，结合定义域，根据导函数的正负可确定原函数的单调性；【详解】（1），当时，由得：，即定义域为；当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增；当时，由得：，即定义域为；当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增；综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.变式：2已知函数（1）求讨论函数的单调性；解：【分析】（1）当时，是常

16、数函数，可得结论，当时，求出分和进行讨论得到答案.【详解】（1）函数的定义域是，当时，是常数函数，不具有单调性；当时，对任意恒成立，故函数在上单调递增；当时，令，得，令，得，故函数在上单调递增，在上单调递减综上：当时，函数在上单调递增；当时，不具有单调性；当时，函数在上单调递增，在上单调递减变式：3已知函数，.（1）求的单调区间；解：【分析】（1）利用导数的基本运算可得，讨论、或，利用导数与函数单调性之间的关系即可得出结果.【详解】解：（1）由题意得，令，当时，即当时，；当时，故的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，令，则，故的单调递减区间为，单调递增区间为，；当时，令，则，满足，故在上单调递增；当时，令，则，故的单调递减区间为，单调递增区间为，.综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，；当时，的单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，.