专题10 相似三角形中的“8”字型相似模型(解析版).docx

1、专题10 相似三角形中的“8”字型相似模型 【模型展示】特点结论ABCDAOBCOD.【模型证明】解决方案ADAOBDOC.【题型演练】一、单选题1如图，正方形的对角线、相交于点，是的中点，交于点，若，则等于A3B4C6D8【答案】D【分析】因为四边形ABCD是正方形，E是BC中点，所以CE=AD，由相似三角形的判定定理得出CEFADF，再根据相似三角形的对应边成比例可得出【详解】解：四边形ABCD是正方形，E是BC中点，CE=AD，ADBC，ADF=DEC，AFD=EFC，CEFADF，解得DF=8，故选：D【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质及正方形的性质，先根据题意判断出CEFAD

2、F，再根据相似三角形的对应边成比例进行解答是解答此题的关键2如图，在ABC中，BC6，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，CBP的平分线交CE于点Q，当CQCE时，EP+BP的值为（）A9B12C18D24【答案】C【分析】如图，延长EF交BQ的延长线于G首先证明PBPG，EP+PBEG，由EGBC，推出3，即可求出EG解决问题【详解】解：如图，延长EF交BQ的延长线于G，EGBC，GGBC，GBCGBP，GPBG，PBPG，PE+PBPE+PGEG，CQEC，EQ3CQ，EGBC，EQGCQB，3，BC6，EG18，EP+PBEG18，故选：C【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行

3、线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键3如图，在平行四边形ABCD中，ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF2FD，则的值为（）ABCD【答案】C【分析】由AF2DF，可以假设DFk，则AF2k，AD3k，证明ABAF2k，DFDGk，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题【详解】解：由AF2DF，可以假设DFk，则AF2k，AD3k，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，ABCD，AFBFBCDFG，ABFG，BE平分ABC，ABFCBG，ABFAFBDFGG，ABCD2k，DFDGk，CGCD+DG3k

4、，ABDG，ABECGE，故选：C【点睛】本题考查了比例的性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质及定理是解题的关键4如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE平分DCB交BD于点F，且ABC60，AB2BC，连接OE，下列结论：ACD30；S平行四边形ABCD；OE：AC1：4；SOCF2SOEF其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个【答案】C【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到ABC=ADC=60，BAD=120，根据角平分线的定义得到DCE=BCE=60推出CBE是等边三角形，证得ACB

5、=90，求出ACD=CAB=30，故正确；由ACBC，得到SABCD=ACBC，故正确；根据直角三角形的性质得到AC=BC，根据三角形的中位线的性质得到OE=BC，于是得到OE：AC=：6，故错误；由三角形的中位线可得BCOE，可判断OEFBCF，根据相似三角形的性质得到=2，求得SOCF=2SOEF；故正确【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，ABC=ADC=60，BCD=120，CE平分BCD交AB于点E，DCE=BCE=60CBE是等边三角形，BE=BC=CE，AB=2BC，AE=BC=CE，ACB=90，ACD=CAB=30，故正确；ACBC，SABCD=ACBC，故正确，在RtAC

6、B中，ACB=90，CAB=30，AC=BC，AO=OC，AE=BE，OE=BC，OE：AC=：6；故错误；AO=OC，AE=BE，OEBC，OEFBCF， =2SOCF：SOEF=2，SOCF=2SOEF；故正确故选C【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线、相似三角形的性质，熟练掌握并灵活运用是解题的关键5如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（）ABCD 【答案】A【分析】先根据平行四边形的性质得到ABCD，则可判断ABGCFG，ABEDFE，于是根据相似三角形的性质和AE2ED即可得结果【详解】解：四边形AB

7、CD为平行四边形，ABCD，ABGCFG，ABEDFE，AE2ED，AB2DF，故选：A【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题6如图，在ABCD中，E为CD的中点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则：为（）A1：5B4：25C4：31D4：35【答案】A【分析】根据平行四边形对边互相平行可得，然后求出和相似，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出两三角形的面积的比为1：4，设，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出，然后表示出的面积，再根据平行四边形的性质可得，然后相比计算即可得解【详解】解：四边形ABC

8、D是平行四边形，AB=CDE为CD的中点，DE：CD=1：2AB/DE，：4，EF:AF=1:2设，则，：2，：2，是平行四边形ABCD的对角线，：5故选A【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定以及相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键，不容易考虑到的是等高的三角形的面积的比等于底边的比的应用7如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F若AEF 的面积为2，则ABC的面积为( )A8B10C12D14【答案】C【分析】先利用平行四边形的性质得，AD=BC，由可判断AEFCBF，根据相似三角形的性质得，然后根据三角

9、形面积公式得，则【详解】平行四边形ABCD，AD=BCE为边AD的中点BC=2AEEAC=BCA又EFA=BFCAEFCBF如图，过点F作FHAD于点H，FGBC于点G，则， AEF的面积为2故选C【点睛】本题考查了相似三角形的性质，属于同步基础题8如图，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（）ABCD【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可【详解】解：ABCD，A选项正确，不符合题目要求；AEDF，CGE=CHD，CEG=D，CEGCDH，ABCD，B选项正确，不符合题目要求； ABCD，AEDF，四边形AEDF是平行四边形，AF=DE，AEDF，

10、； C选项正确，不符合题目要求；AEDF，BFHBAG，ABFA，D选项不正确，符合题目要求 故选D【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键二、填空题9如图，G为ABC的重心，AG=12，则AD=_【答案】18【分析】连接CG并延长交AB于点E，连接DE，根据题意，可以得到DE时ABC的中位线，从而可以得到DEAC且DE=AC，然后即可得到DEGACG，由相似三角形的性质得到DG和AG的比值，求出然后DG，即可得到结果【详解】解：如图，连接CG并延长交AB于点E，连接DE，点G是ABC的重心，点E和点D分别是AB和BC的中点，D

11、E是ABC的中位线，DEAC且DE=AC，DEGACG，AG=12，DG=6，AD=AG+GD=18故答案为：18【点睛】本题考查三角形的重心、三角形的中位线、三角形相似，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答10如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则_【答案】2【分析】延长CF、BA交于M，根据已知条件得出EFAF，CEDC，根据平行四边形的性质得出DCAB，DCAB，根据全等三角形的判定得出CEFMAF，根据全等三角形的性质得出CEAM，求出BM3CE，根据相似三角形的判定得出CEGMBG，根据相似三角形的性质得出比例式，再求出答案即

12、可【详解】解：延长CF、BA交于M，E是CD的中点，F是AE的中点，EFAF，CEDC，四边形ABCD是平行四边形，DCAB，DCAB，CEAB，ECFM，在CEF和MAF中 ，CEFMAF（AAS），CEAM，CEAB，BM3CE，DCAB，CEGMBG， ，BE8， ，解得：GE2，故答案为：2【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键11如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F设（0）（1）若AB2，1，求线段C

13、F的长为_；（2）连接EG，若EGAF，则的值为_【答案】 【分析】（1）根据AB2，1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长；（2）证明ADGFGC，得出点G为CD边的中点，根据三角形相似，可以得到CE和EB的比值，从而可以得到的值【详解】解：（1）在正方形ABCD中，ADBC，DAGF，又AG平分DAE，DAGEAG，EAGF，EAEF，AB2，B90，点E为BC的中点，BEEC1，AE，EF，CFEFEC1；故答案为：1；（2）证明：EAEF，EGAF，AGFG，在ADG和FCG中，

14、ADGFCG（AAS），DGCG，设CD2a，则CGa，CFDA2a，EGAF，GCF90，EGC+CGF90，F+CGF90，ECGGCF90，EGCF，EGCGFC，GCa，FC2a，ECa，BEBCEC2aaa，；故答案为：【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，熟练运用相关性质进行推理解答12如图，在中，点是的中点，连结，过点作，分别交、于点、，与过点且垂直于的直线相交于点，连结给出以下五个结论：；点是的中点；其中正确结论的序号是_【答案】【分析】根据题意证明，进而可确定；由，可得由，进而判断结论 ，可得，进而由

15、可得，即可判断，根据，以及是的中点即可判断【详解】依题意得，又，故正确；如图，标记如下角，在与中，（ASA），又点是的中点，在与中，（SAS），即，故正确；，是直角三角形，即点不是线段的中点，故不正确；是等腰直角三角形，故正确；，点是的中点，即，故错误综上所述，正确故答案为：【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形中线的性质，证明和是解题的关键13如图，在正方形中，点为边上一点，且，点为对角线上一点，且，连接交于点，过点作于点，若，则正方形的边长为_cm【答案】【分析】如图，过F作于I点，连接FE和FA，得到 设求出FE，AH，AG，

16、证明 得到 最后求值即可【详解】如图，过F作于I点，连接FE和FA，四边形为正方形， 为BC的三等分点， 为 BC的三等分点，设 为等腰直角三角形， 为AE的中点， 四边形ABCD为正方形， 故答案为：【点睛】本题属于四边形综合题，是填空题压轴题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是CE= 2BE，BF=2DF的利用以及这些性质的熟记三、解答题14如图，为平行四边形的边延长线上的一点，连接交于，交于求证：【答案】见解析【分析】根据ADBC，得AOFCOB，由ABDC，得AOBCOE，再根据相似三角形对应变成比例即可【详解】证明：ABDC，AO

17、BCOEADBC，AOFCOB，即【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练应用相似三角形的性质与判定，找到两组对应边的比例相等是解决本题的关键15已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BEAB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD（1）求证：BNDCNM；（2）如果AD2ABAF，求证：CMABDMCN【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，ABCD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BDCE，根据相似三角形的判定方法，由CMDB可判断BNDCNM；（2）先利用AD2=ABAF可证明AD

18、BAFD，则1=F，再根据平行线的性质得F=4，2=3，所以3=4，加上NMC=CMD，于是可判断MNCMCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论【详解】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，ABCD，而BE=AB， BE=CD，而BECD，四边形BECD为平行四边形，BDCE，CMDB，BNDCNM；（2）AD2=ABAF，AD：AB=AF：AD，而DAB=FAD，ADBAFD，1=F，CDAF，BDCE，F=4，2=3，3=4，而NMC=CMD，MNCMCD，MC：MD=CN：CD，MCCD=MDCN，而CD=AB，CMAB=DMCN【点睛

19、】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长也考查了平行四边形的判定与性质16如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CHBE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE（1）求证：CHBE；（2）如图2，若点E是CD的中点，当BE12时，求线段GE的长；（3）设正方形ABCD的面积为S1，四边形DEGH的面积为S2，点E将CD分成12两部分，求的值【

20、答案】（1）见解析（2）4（3）5或8【分析】（1）可得CHDBEC，根据AAS可证明DHCCEB，即可求解；（2）由三角形全等与平行线的性质，可得则GC2GH，可求出GH的长，故可得到GE的长；（3）点E将CD分成12两部分得到，再分别得到 S1和S2的关系进行求解【详解】解：（1）四边形ABCD是正方形，CDBC，HDCBCE90，DHCDCH90，CHBE，EFC90，ECFBEC90，CHDBEC，DHCCEB（AAS），CHBE；（2）DHCCEB，CHBE，DHCE，CEDECD，CDCB，DHBC，DHBC， ，GC2GH，设GHx，则，则CG2x，3x12，x4即GH4DH=D

21、E，HDG=EDG=45，DG=DGHDGEDG（SAS）GE=GH=4；（3）点E将CD分成12两部分则，当时，DHCE，DCBC，DHBC， ，设SDGHa，则SBCG9a，SDCG3a，SBCD9a3a12a，S12SBCD24a，SDEG：SCEG2：1，SDEG2a，S22aa3aS1：S224a：3a8当时，DHCE，DCBC，DHBC，设SDGH4a，则SBCG9a，SDCG6a，SBCD9a6a15a，S12SBCD30a，SDEG：SCEG1：2，SDEG2a，S22a4a6aS1：S230a：6a5故S1：S25或8【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角

22、形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题17如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F（1）求证：；（2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积【答案】（1）证明见解析；（2）24【分析】（1）根据E是边DC的中点，可以得到，再根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到，再根据，即可得到，则答案可证；（2）先证明，根据相似三角形的性质得出，进而得出，由得，则答案可解【详解】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点，在和中 ，；（2）四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的

23、中点， ，的面积为2，即， ，【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答18综合与实践：数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答问题情境：在中，点P是边上一点将沿直线折叠，点D的对应点为E“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作，与交于点F，连接，则四边形是菱形(1)数学思考：请你证明“兴趣小组”提出的问题；(2)拓展探究：“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为的中点时，延长交于点F，连接试判断与的位置关系，并说明理由请你帮助他们解决此问题(3)问题解决：“创新小组”在前

24、两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在边上时，则的长为_（直接写出结果）【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3)【分析】（1）先证明，得到两组对边分别平行，再用邻边相等的平行四边形是菱形判定，也可以用四条边相等的四边形是菱形进行判断；（2）证明PAFPEF，得到APF=FPE，再由折叠得到DPC=EPC，从而证明FPC=90；（3）延长BA、CP相交于点F，得AFPDCP，再证EF=CE即可求出结果（1）证法一：由折叠得，四边形是平行四边形四边形是菱形证法二：证明：由折叠得， 四边形是菱形（2）解： 连接由折叠可得， 四边形是平行四边形 又 点P是的中点 （SSS）又，即（

25、3）解：延长BA、CP相交于点F，由题意，AFPDCP 即 DCP=ECP，DCP=FF=ECPEF=EC=DC=10故答案为【点睛】本题考查折叠、平行四边形、相似、菱形的判定等，属于综合性题目，解题关键在于灵活运用几何知识，构造常见的模型19如图，在等边边长为6，O是中心；在中，将绕点A按顺时针方向旋转一周(1)当、分别在、边上，连结、，求的面积；(2)设所在直线与的边或交于点F，当O、D、E三点在一条直线上，求的长；(3)连结，取中点M，连结，的取值范围为_【答案】(1)(2)(3)1DM5【分析】（1）由O是等边三角形的中心，可知OM=，进而得到，从而EOBM，所以可得OD=EN，即可求

26、解；（2）易证AEFOBF，得到，设AF=x，OF=y，求解即可；（3）取AE的中点N，连接MN，DN，由D、N在A上，可知即MN-DN DMDN+MN，易知MN是AEC的中位线，从而求得（1）连接AO，并延长交BC于M，连接OBO是等边ABC的中心OBM=30，BM=MC，AMBCOM= EOBM延长EO交AC于N，则AEN为等边三角形EOBMON=OE，CN=DN=AD=2OD=EN=2（2）连接OB，OA，如图，O是等边ABC的中心OBA=30，OA=OB=2 DAE=30AE=4，DE= 在AEF和OBF中ABO=AED=30，AFE=BFOAEFOBF(AA) 设AF=x，OF=y，

27、则解得，,所以（3）取AE的中点N，连接MN，DN，D,N在A的圆上当D、M、N三点共线时，DM最大或最小，即MN-DN DMDN+MN，MN-2DMMN+2当D、M、N三点共线如图1时，AND为等边三角形，NDA=DAC=60，MNACM，N为中点MN= DM1当D、M、N三点共线如图2时，AND为等边三角形，NDA=BAC=CAE=60，MNACM，N为中点MN= DM5故答案为：1DM5【点睛】本题主要考查了正三角形的中心的概念，三角形的中位线，直角三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例的性质与判定，相似三角形的判定与性质及方程思想，综合运用相关性质和判定是解题关键20如图1，ABC

28、中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点（1）求证：BDE=ACD；（2）若DE=2DF，过点E作EG/AC交AB于点G，求证：AB=2AG；（3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2求证：ABBE=ADBC；若DE=4DF，请直接写出SABC:SDEC的值【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；【分析】（1）运用等腰三角形的性质及三角形的外角性质就可解决问题（2）如图1，证明DCAEDG（AAS），得AD

29、=EG，根据等腰三角形的判定得：DG=AB，由平行线分线段成比例定理得：，由此可得结论；（3）如图2，作辅助线，构建三角形全等，证明DCAEDG（AAS），得DA=EG，再证明ACBGEB，列比例式可得结论；如图3，作辅助线，构建ABC和DCE的高线，先得，设AF=a，则EG=AD=4a，DG=16a，根据AHPD，得，设PD=3h，AH=4h，根据EGAC，同理得，设BE=y，BC=4y，利用三角形面积公式代入可得结论【详解】（1）证明：AC=AB，ACB=B，DC=DE，DCE=DEC，ACD+ACB=B+BDE，BDE=ACD；（2）证明：如图1，EGAC，DAC=DGE，BEG=ACB

30、，由（1）知：DCA=BDE，DC=DE，DCAEDG（AAS），AD=EG，B=ACB=BEG，EG=BG=AD，DG=AB，DE=2DF，AFEG，DG=2AD=2AG，AB=DG=2AG；（3）解：如图2，过点E作EGAC，交AB的延长线于点G，则有A=G，AB=AC，CD=DE，ACB=ABC，DCE=DEC，ACD+DCE=EDG+DEC， ACD=EDG，在DCA和EDG中，DCAEDG（AAS）DA=EG，ACEG，ACBGEB， EG=AD，AC=AB，ABBE=ADBC；如图3，过A作AHBC于H，过D作DPBC于P，则AHPD，AFEG，DE=4DF，设AF=a，则EG=A

31、D=4a，DG=16a，ACB=ABC，GBE=BEG，BG=EG=4a，BD=12a，AHPD，设PD=3h，AH=4h，EGAC，设BE=y，BC=4y，SABC=BCAH=8yh，SDCE=CEPD=yh，SABC：SDEC=8yh：yh=16：15【点睛】本题是三角形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质和判定等知识，第三问有难度，利用参数表示各线段的长是本题的关键，综合性较强21如图，在等腰中，点、分别在轴、轴上（1）如图，若点的横坐标为5，求点的坐标；（2）如图，若轴恰好平分，交轴于点，过点作轴于点，求的值；（3）如图，

32、若点的坐标为，点在轴的正半轴上运动时，分别以、为边在第一、第二象限中作等腰，等腰，连接交轴于点，当点在轴上移动时，的长度是否发生改变？若不变求的值；若变化，求的取值范围【答案】（1）（0，5）（2）（3）不变，等于2【分析】（1）作CDBO，易证ABOBCD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题；（2）设ABBCa，根据勾股定理求出ACa，根据MA（即x轴）平分BAC，得到，求得BM（1）a，MC（2 ）a，AMa，再证明RtABMRtCDM，得到，即CD，即可解答，（3）作EGy轴，易证BAOEBG和EGPFBP，可得BGAO和PBPG，即可求得PBAO，即可解题【详解】解：（1）如图1，

33、作CDBO于D，CBDABO90，ABOBAO90，CBDBAO，在ABO和BCD中，ABOBCD（AAS），CDBO5，B点坐标（0，5）；（2）设ABBCa，则ACa，MA（即x轴）平分BAC，即MCBM，BCBMMCa，BMBMa，解得BM（1）a，MC（2）a则AMa，ABMCDM90且AMBCMDRtABMRtCDM，即CD，；（3）的长度不变，理由如下：如图3，作EGy轴于G，BAOOBA90，OBAEBG90，BAOEBG，在BAO和EBG中，BAOEBG（AAS），BGAO，EGOB，OBBF，BFEG，在EGP和FBP中，EGPFBP（AAS），PBPG，PBBGAO2【点睛

34、】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明是解本题的关键22如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CHBE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE（1）求证：DHCE；（2）如图2，若点E是CD的中点，当BE8时，求线段GH的长；（3）设正方形ABCD的面积为S1，四边形DEGH的面积为S2，当时，值为 （直接写答案）【答案】（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）由题意可得，根据可证明，即可求解；（2）由以及，可得，即，则，即可求解；（3）设，则，求出和，即可求解【详解】解：（1）证明：

35、四边形为正方形，在和中（2），点E是CD的中点又又即（3）当，则，由正方形的性质可得平分，到、距离相等，由（2）得， 设，则，【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题23（1）问题背景：如图1，正方形ABCD中，F在直线CD上，E在直线BC上若EAF45，求证：BEFDEF；（2）迁移应用：如图2，将正方形ABCD的一部分沿GH翻折，使A点的对应点E在BC上，且AD的对应边EM交CD于F点若BE3，EC2，求EF的长；（3）联系拓展：如图3，正方形ABCD中，

36、E、Q在CD上，F在BC上，若EFEA，FQAFEA若CFQ34，则QAD_【答案】（1）见解析；（2）；（3）34【分析】（1）将ABE绕点A顺时针旋转90，使AB与AD重合，得到了旋转后的ADG，由此可得BAEDAG，AEAG，BADG90，BEDG，进而证明EAFGAF，由此即可证得结论；（2）根据翻折可设AGGEx，则BG5x，利用勾股定理可得，由此解得，在利用相似三角形的判定与性质即可求得答案；（3）连接AF，设FQAFEAm，根据等腰三角形的性质可得AFE，再通过相似三角形的判定与性质可得AQEAFE，最后根据三角形的内角和及平角的定义即可求得答案【详解】（1）证明：如图1，将AB

37、E绕点A顺时针旋转90，使AB与AD重合，得到了旋转后的ADG， BAEDAG，AEAG，BADG90，BEDG，ADF+ADG180，F，D，G三点共线，EAF45，BAE+FAD45，DAG+FAD45，EAFFAG，在EAF与GAF中，EAFGAF（SAS），EFFG，DG+FDFG，BEFDEF；（2）解：四边形ABCD为正方形，ABBC，BCAD90，BE3，EC2，ABBC5，翻折，设AGGEx，则BG5x，在RtBGE中，解得：，翻折，GEFA90，GEBFECGEBBGE90，FECBGE，又BC，即：，解得：，EF的长为；（3）解：如图，连接AF，设FQAFEAm，EFEA，

38、EAFEFA，FQAFEA，FOQAOE，又FOAQOE，AQEAFE，CFQ34，C90，CQF90CFQ56，CQFFQAAQE180，56m180，解得：m68，D90，QAD90AQE90()34，故答案为：34【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等相关知识，熟练运用相似三角形的判定与性质是解决本题的关键24在ABC中，ABAC，BAC，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为，得到线段PD，连接DB，DC（1）如图1，当60时，求证：PADC；（2）如图2，当120时，猜想PA和DC的数量关

39、系并说明理由（3）当120时，若AB6，BP，请直接写出点D到CP的距离【答案】（1）见解析；（2）；（3）或【分析】（1）当60时，ABC和PBD为等边三角形，根据三角形全等即可求证；（2）过点作，求得，根据题意可得，可得，再根据，判定，得到，即可求解；（3）过点作于点，过点作于点，分两种情况进行讨论，当在线段或当在线段延长线上时，设根据勾股定理求解即可【详解】解：（1）当60时，ABACABC为等边三角形，由旋转的性质可得：，PBD为等边三角形，在和中（2）过点作，如下图：当120时，由勾股定理得由旋转的性质可得：，又又，（3）过点作于点，过点作于点，则点D到CP的距离就是的长度当在线段上时，如下图：由题意可得：120，在中，在中，由（2）得由旋转的性质可得：设，则由勾股定理可得：即，解得则当在线段延长线上，如下图：则，由（2）得，设，则由勾股定理可得：即，解得则综上所述：点D到CP的距离为或【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，综合性比较强，熟练掌握相关基本性质是解题的关键