专题11二次函数中矩形存在性综合应用（专项训练）（解析版）.docx

1、专题11 二次函数中矩形存在性综合应用（专项训练）1.已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），且与x轴交于点B（1，0）（1）求二次函数的表达式；（2）如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P（m，0）旋转180，此时点A、B的对应点分别为点C、D连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；在的条件下，若点M是直线xm上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）二次函数的图象的顶点坐标为A（1，4），设二次函数的表达式为ya（x1）2+4，又B（1，0），0a（1

2、1）2+4，解得：a1，y（x1）2+4（或yx2+2x+3）；（2）点P在x轴正半轴上，m0，BPm+1，由旋转可得：BD2BP，AC2AP，四边形ABCD是平行四边形BD2（m+1），过点A（1，4）作AEx轴于点E，BE2，AE4，在RtABE中，AB2BE2+AE222+4220，当四边形ABCD为矩形时，ADAB，BADBEA90，又ABEDBA，BAEBDA，AB2BEBD，4（m+1）20，解得m4；由题可得点A（1，4）与点C关于点P（4，0）成中心对称，C（7，4），点M在直线x4上，点M的横坐标为4，存在以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，1）当以BC为边时，平行四边形为

3、BCMQ，点C向左平移8个单位，与点B的横坐标相同，将点M向左平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，Q（4，y1）代入yx2+2x+3，解得：y121，Q（4，21），2）当以BC为边时，平行四边形为BCQM，点B向右平移8个单位，与点C的横坐标相同，将M向右平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，Q（12，y2）代入yx2+2x+3，解得：y2117，Q（12，117），3）当以BC为对角线时，点M向左平移5个单位，与点B的横坐标相同，点C向左平移5个单位后，与点Q的横坐标相同，Q（2，y3）代入yx2+2x+3，得：y33，Q（2，3），综上所述，存在符合条件的点Q，其坐标为（4，21）或（2，

4、3）或（12，117）2如图1，抛物线yax2+x+c（a0）与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PDx轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m（1）求抛物线的表达式；（2）设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；（3）如图2，过点P作PFCE，垂足为F，当CFEF时，请求出m的值；（4）如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标【解答】解：（1）抛物线yax2+x+c（a0）与x轴交

5、于A（2，0），B（6，0）两点，解得：，抛物线的表达式为yx2+x+3；（2）抛物线yx2+x+3与y轴交于点C，C（0，3），设直线BC的解析式为ykx+b，把B（6，0）、C（0，3）代入，得：，解得：，直线BC的解析式为yx+3，设点P的横坐标为m，则P（m，m2+m+3），E（m，m+3），hm2+m+3（m+3）m2+m，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，0m6，hm2+m（0m6）；（3）如图，过点E、F分别作EHy轴于点H，FGy轴于点G，P（m，m2+m+3），E（m，m+3），PEm2+m，PFCE，EPF+PEF90，PDx轴，EBD+BED90，又PEFBED，EPF

6、EBD，BOCPFE90，BOCPFE，在RtBOC中，BC3，EFPE（m2+m）（m2+m），EHy轴，PDx轴，EHOEDODOH90，四边形ODEH是矩形，EHODm，EHx轴，CEHCBO，即，CEm，CFEF，EFCEm，m（m2+m），解得：m0或m1，0m6，m1；（4）抛物线yx2+x+3，抛物线对称轴为直线x2，点Q在抛物线的对称轴上，设Q（2，t），设抛物线对称轴交x轴于点H，交CP边于点G，则GQ3t，CG2，CGQ90，当点O恰好落在该矩形对角线OP所在的直线上时，如图，则CQ垂直平分OO，即CQOP，COP+OCQ90，又四边形OCPD是矩形，CPOD4，OC3，O

7、CP90，PCQ+OCQ90，PCQCOP，tanPCQtanCOP，tanPCQ，解得：t，Q（2，）；当点O恰好落在该矩形对角线CD上时，如图，连接CD交GH于点K，点O与点O关于直线CQ对称，CQ垂直平分OO，OCQDCQ，GHOC，CQGOCQ，DCQCQG，CKKQ，C、P关于对称轴对称，即点G是CP的中点，GHOCPD，点K是CD的中点，K（2，），GK，CKKQt，在RtCKG中，CG2+GK2CK2，22+（）2（t）2，解得：t14（舍去），t21，Q（2，1）；当点O恰好落在该矩形对角线DC延长线上时，如图，过点O作OKy轴于点K，连接OO交CQ于点M，点O与点O关于直线C

8、Q对称，CQ垂直平分OO，OCMOCM，OMCOMC90，OCOC3，OKCDOC90，OCKDCO，OCKDCO，即，OK，CK，OKOC+CK3+，O（，），点M是OO的中点，M（，），设直线CQ的解析式为ykx+b，则，解得：，直线CQ的解析式为yx+3，当x2时，y2+34，Q（2，4）；综上所述，点Q的坐标为（2，）或（2，1）或（2，4）3如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B（0，4）经过原点O的抛物线yx2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D（1）求抛物线yx2+bx+c的表达式；（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MNy轴且

9、MN2时，求点M的坐标；（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛物线yx2+bx+c过点A（4，0）和O（0，0），解得：，抛物线的解析式为：yx2+4x；（2）直线AB经过点A（4，0）和B（0，4），直线AB的解析式为：yx+4，MNy轴，设M（t，t+4），N（t，t2+4t），其中0t4，当M在N点的上方时，MNt+4（t2+4t）t25t+42，解得：t1，t2（舍），M1（，），当M在N点下方时，MNt2+4t（t+4）t2+5t42，解得：t12，t23，

10、M2（2，2），M3（3，1），综上，满足条件的点M的坐标有三个（，）或（2，2）或（3，1）；（3）存在，如图2，若AC是矩形的边，设抛物线的对称轴与直线AB交于点R，且R（2，2），过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点P1，P2，C（1，3），D（2，4），CD，同理得：CR，RD2，CD2+CR2DR2，RCD90，点P1与点D重合，当CP1AQ1，CP1AQ1时，四边形ACP1Q1是矩形，C（1，3）向右平移1个单位，向上平移1个单位得到P1（2，4），A（4，0）向右平移1个单位，向上平移1个单位得到Q1（5，1），此时直线P1C的解析式为：yx+2，直线P2A与P1C平行且过

11、点A（4，0），直线P2A的解析式为：yx4，点P2是直线yx4与抛物线yx2+4x的交点，x2+4xx4，解得：x11，x24（舍），P2（1，5），当ACP2Q2时，四边形ACQ2P2是矩形，A（4，0）向左平移3个单位，向上平移3个单位得到C（1，3），P2（1，5）向左平移3个单位，向上平移3个单位得到Q2（4，2）；如图3，若AC是矩形的对角线，设P3（m，m2+4m）当AP3C90时，过点P3作P3Hx轴于H，过点C作CKP3H于K，P3KCAHP390，P3CKAP3H，P3CKAP3H，点P不与点A，C重合，m1或m4，m23m+10，m，如图4，满足条件的点P有两个，即P3（

12、，），P4（，），当P3CAQ3，P3CAQ3时，四边形AP3CQ3是矩形，P3（，）向左平移个单位，向下平移个单位得到C（1，3），A（4，0）向左平移个单位，向下平移个单位得到Q3（，），当P4CAQ4，P4CAQ4时，四边形AP4CQ4是矩形，P4（，）向右平移个单位，向上平移个单位得到C（1，3），A（4，0）向右平移个单位，向上平移个单位得到Q4（，）；综上，点Q的坐标为（5，1）或（4，2）或（，）或（，）4【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD4m，宽AB1m的长方形水池ABCD进行加长改造（如图，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1）同

13、时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图，以下简称水池2）【建立模型】如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x（m）（x0），加长后水池1的总面积为y1（m2），则y1关于x的函数解析式为：y1x+4（x0）；设水池2的边EF的长为x（m）（0x6），面积为y2（m2），则y2关于x的函数解析式为：y2x2+6x（0x6），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图【问题解决】（1）若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是 3x6（可省略单位），水池2面积的最大值是 9m2；（2）在图字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是 C，E，此时的x（m）值是 1或

14、4；（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是 0x1或4x6；（4）在1x4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；（5）假设水池ABCD的边AD的长度为b（m），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积y3（m2）关于x（m）（x0）的函数解析式为：y3x+b（x0）若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，求b的值【解答】解：（1）y2x2+6x（x3）2+9，又10，抛物线的开口方向向下，当x3时，水池2的面积随EF长度的增加而减小，0x6，当3x6时，水池2的面积随EF长度的增加而减小，水池2面积的最大值是9m2故答案为：3x6

15、；9；（2）由图象可知：两函数图象相交于点C，E，此时两函数的函数值相等，即：x+4x2+6x，解得：x1或4，表示两个水池面积相等的点是：C，E，此时的x（m）值是：1或4故答案为：C，E；1或4；（3）由图象知：图象中点C的左侧部分和点E的右侧部分，一次函数的函数值大于二次函数的函数值，即当0x1或4x6时，水池1的面积大于水池2的面积，故答案为：0x1或4x6；（4）在抛物线上的CE段上任取一点F，过点F作FGy轴交线段CE于点G，则线段FG表示两个水池面积差，设F（m，m2+6m），则G（m，m+4），FG（m2+6m）（m+4）m2+5m4+，10，当m时，FG有最大值为在1x4范围

16、内，两个水池面积差的最大值为，此时x的值为；（5）水池3与水池2的面积相等，y3y2，即：x+bx2+6x，x25x+b0若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，（5）241b0，解得：b若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，b的值为米5如图，抛物线yax2+2x+c的对称轴是直线x1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DMx轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；（3）

17、已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛物线yax2+2x+c的对称轴是直线x1，与x轴交于点A，B（3，0），A（1，0），解得，抛物线的解析式yx2+2x+3；（2）yx2+2x+3，C（0，3），设直线BC的解析式为ykx+3，将点B（3，0）代入得：03k+3，解得：k1，直线BC的解析式为yx+3；设点D坐标为（t，t2+2t+3），则点N（t，t+3），A（1，0），C（0，3），AC212+3210，AN2（t+1）2+（t+3）22t24t+10，CN

18、2t2+（3+t3）22t2，当ACAN时，AC2AN2，102t24t+10，解得t12，t20（不合题意，舍去），点N的坐标为（2，1）；当ACCN时，AC2CN2，102t2，解得t1，t2（不合题意，舍去），点N的坐标为（，3）；当ANCN时，AN2CN2，2t24t+102t2，解得t，点N的坐标为（，）；综上，存在，点N的坐标为（2，1）或（，3）或（，）；（3）设E（1，a），F（m，n），B（3，0），C（0，3），BC3，以BC为对角线时，BC2CE2+BE2，（3）212+（a3）2+a2+（31）2，解得：a，或a，E（1，）或（1，），B（3，0），C（0，3），m+1

19、0+3，n+0+3或n+0+3，m2，n或n，点F的坐标为（2，）或（2，）；以BC为边时，BE2CE2+BC2或CE2BE2+BC2，a2+（31）212+（a3）2+（3）2或12+（a3）2a2+（31）2+（3）2，解得：a4或a2，E（1，4）或（1，2），B（3，0），C（0，3），m+01+3，n+30+4或m+31+0，n+032，m4，n1或m2，n1，点F的坐标为（4，1）或（2，1），综上所述：存在，点F的坐标为（2，）或（2，）或（4，1）或（2，1）6如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax2+x+c经过A（2，0），B（0，4）两点，直线x3与x轴交于点C（

20、1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x3交于点D，E，且BDO与OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）把A（2，0），B（0，4）两点代入抛物线yax2+x+c中得：解得：；（2）由（1）知：抛物线解析式为：yx2+x+4，设直线AB的解析式为：ykx+b，则，解得：，AB的解析式为：y2x+4，设直线DE的解析式为：ymx，2x+4mx，x，当x3时，y3m，E（3，3m）

21、，BDO与OCE的面积相等，CEOC，3（3m）4，9m218m160，（3m+2）（3m8）0，m1，m2（舍），直线DE的解析式为：yx；（3）存在，B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况：设P（t，t2+t+4），如图1，过点P作PHy轴于H，四边形BPGF是矩形，BPFG，PBFBFG90，CFG+BFOBFO+OBFCFG+CGFOBF+PBH90，PBHOFBCGF，PHBFCG90，PHBFCG（AAS），PHCF，CFPHt，OF3t，PBHOFB，即，解得：t10（舍），t21，F（2，0）；如图2，过点G作GNy轴于N，过点P作PMx轴于M，同可得：NG

22、FM3，OFt3，OFBFPM，tanOFBtanFPM，即，解得：t1，t2（舍），F（，0）；综上，点F的坐标为（2，0）或（，0）7如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+x+（m0）与x轴交于A（1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C，连接BC（1）若OC2OA，求抛物线对应的函数表达式；（2）在（1）的条件下，点P位于直线BC上方的抛物线上，当PBC面积最大时，求点P的坐标；（3）设直线yx+b与抛物线交于B，G两点，问是否存在点E（在抛物线上），点F（在抛物线的对称轴上），使得以B，G，E，F为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点E，F的坐标；若不存在，说明理由【解答】解：（1

23、）A的坐标为（1，0），OA1，OC2OA，OC2，C的坐标为（0，2），将点C代入抛物线yx2+x+（m0），得2，即m4，抛物线对应的函数表达式为yx2+x+2；（2）如图，过P作PHy轴，交BC于H，由（1）知，抛物线对应的函数表达式为yx2+x+2，m4，B、C坐标分别为B（4，0）、C（0，2），设直线BC解析式为ykx+n，则，解得，直线BC的解析式为yx+2，设点P的坐标为（m，m2+m+2）（0m4），则H（m，m+2），PHm2+m+2（m+2）m2+2m（m24m）（m2）2+2，SPBCSCPH+SBPH，SPBCPH|xBxC|（m2）2+24（m2）2+4，当m2时，

24、PBC的面积最大，此时点P（2，3）；（3）存在，理由如下：直线yx+b与抛物线交于B（m，0），直线BG的解析式为yxm，抛物线的表达式为yx2+x+，联立解得，或，G的坐标为（2，m1），抛物线yx2+x+的对称轴为直线x，点F的横坐标为，若BG为边，不妨设E在x轴上方，如图，过点E作EHx轴于H，设E的坐标为（t，t2+t+），GBE90，OBGBEH，tanOBGtanBEH，解得：t3或m（舍），E的坐标为（3，2m6），由平移性质，得：B的横坐标向左平移m+2个单位得到G的横坐标，EFBG且EFBG，E横坐标向左平移m+2个单位，得：到F的横坐标为3（m+2）m+1，m+1，解得m

25、1，E（3，4），F（0，），这说明E不在x轴上方，而在x轴下方；若BG为对角线，设BG的中点为M，由中点坐标公式得，M的坐标为（，），矩形对角线BG、EF互相平分，M也是EF的中点，E的横坐标为，E的坐标为（，），BEG90，EM，整理得：16+（m2+4m+1）220（m+2）2，变形得：16+（m+2）23220（m+2）2，换元，令t（m+2）2，得：t226t+250，解得：t1或25，（m+2）21或25，m0，m3，即E的坐标为（0，），F的坐标为（1，4），综上，即E的坐标为（0，），F的坐标为（1，4）或E（3，4），F（0，）8综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线ya

26、x2+2x+c（a0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA1，对称轴为直线x2，点D为此抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C、D两点之间的距离是 2；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标【解答】解：（1）OA1，A（1，0），又对称轴为x2，B（5，0），将A，B代入解析式得：，解得，自变量x为全体实数；（2）由（1）得：C（0，），D（2，），CD，故答案为2；（3）B（5，0），C（0，），直线BC的解析式为：，设E

27、（x，），且0x5，作EFy轴交BC于点F，则F（x，），EF（），当x时，SBCE有最大值为；（4）设P（2，y），Q（m，n），由（1）知B（5，0），C（0，），若BC为矩形的对角线，由中点坐标公式得：，解得：，又BPC90，PC2+PB2BC2，即：，解得y4或y，n或n4，Q（3，）或Q（3，4），若BP为矩形的对角线，由中点坐标公式得，解得，又BCP90，BC2+CP2BP2，即：，解得y，Q（7，4），若BQ为矩形的对角线，由中点坐标公式得，解得：，又BCQ90，BC2+CQ2BQ2，即：，解得n，Q（3，），综上，点Q的坐标为（3，）或（3，4），或（7，4）或（3，）10在平

28、面直角坐标系中，O为原点，OAB是等腰直角三角形，OBA90，BOBA，顶点A（4，0），点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E（，0），点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B（）如图，求点B的坐标；（）将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形OCDE，点O，C，D，E的对应点分别为O，C，D，E设OOt，矩形OCDE与OAB重叠部分的面积为S如图，当点E在x轴正半轴上，且矩形OCDE与OAB重叠部分为四边形时，DE与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；当t时，求S的取值范围（直接写出结果即可）【解答】解：（）如图，过点B作BHOA，垂足为H，由点A（4

29、，0），得OA4，BOBA，OBA90，OHBHOA2，点B的坐标为（2，2）；（）由点E（，0），得OE，由平移知，四边形OCDE是矩形，得OED90，OEOE，OEOOOEt，FEO90，BOBA，OBA90，BOABAO45，OFE90BOA45，FOEOFE，FEOEt，SFOEOEFE（t）2，SSOABSFOE，即St2+t（4t）；a当4t时，由知St2+t（t）2+4，当t4时，S有最大值为，当t时，S有最小值为，此时S；b当t4时，如图2，令OC与AB交于点M，DE与DB交于点N，SSOABSOENSOAM4（t）2（4t）2t2+t（t）2+，此时，当t时，S有最大值为，当

30、t4时，S有最小值为，S；c当t时，如图3，令OC与AB交于点M，此时点D位于第二象限，SSOABSOAM4（4t）2t2+4t4（t4）2+4，此时，当t时，S有最小值为，当t时，S有最大值为，S；综上，S的取值范围为S；S的取值范围为S11如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+3（a0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA1，对称轴为直线x2，点D为此抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C、D两点之间的距离是11；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q

31、为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标【解答】解：（1）OA1，A（1，0），又对称轴为x2，B（5，0），将A，B代入解析式得：，解得，自变量x为全体实数；（2）由（1）得：C（0，3），D（2，），CD，故答案为；（3）B（5，0），C（0，3），直线BC的解析式为：y，设E（x，），且0x5，作EFy轴交BC于点F，则F（x，），EF（），EF5x（x3）当x时，SBCE有最大值为；（4）设P（2，y），Q（m，n），由（1）知B（5，0），C（0，3），若BC为矩形的对角线，由中点坐标公式得：，解得：，又BPC90，PC2+PB2BC2，即：22+（3y）2+32+y252+32，

32、解得y4或y，n或n4，Q（3，）或Q（3，4），若BP为矩形的对角线，由中点坐标公式得，解得，又BCP90，BC2+CP2BP2，即：，解得y，Q（7，4），若BQ为矩形的对角线，由中点坐标公式得，解得：，又BCQ90，BC2+CQ2BQ2，即：，解得n，Q（3，），综上，点Q的坐标为（3，）或（3，4），或（7，4）或（3，）12综合与探究如图，抛物线与x轴交于点A（1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点P是抛物线对称轴上一点，点Q为平面内一点，当以点B、C、P、Q为顶点的四边形是以BC为边的矩形时，请直接写出点P的坐标；（3）点D是

33、第四象限内抛物线上一动点，当BCD2ABC时，求点D的坐标【解答】解：（1）由题意得：y（x+1）（x4）x2x2；当x0时，y2，即点C（0，2）；（2）以点B、C、P、Q为顶点的四边形是以BC为边的矩形时，如下图，分点P在BC上方和下方两种情况，当点P在BC的上方时，设抛物线的对称轴交x轴于点H，OBC+PBH90，HPB+PBH90，OBCHPB，OBCHPB，解得：PH5，即点P（，5）；当点P在BC的下方时，过点P作PHy轴于点H，同理可得：tanHCPtanOBC，即，即，解得：HC3，则OH5，即点P（，5）；综上，点P的坐标为：（，5）或（，5）；（3）作点C关于x轴的对称点E

34、（0，2），则CBE2ABCBCD，BECD，设直线BE的表达式为：ykx+2，将点B的坐标代入上式得：04k+2，解得：k；BECD，故设直线CD的表达式为：yx+t，由点C的坐标知，t2，即直线CD的表达式为：yx2，联立yx2x2和yx2，并解得：x0（舍去）或2，即点D（2，3）13已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点D在抛物线上运动（不与点A，B，C重合）（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当点D在第一象限抛物线上运动时，过点D作DFx轴，垂足为点F，直线DF与直线AC交于点E，若DEEA，求点D的坐标；（3）如图2，直线BD交直线

35、AC于点H，点G在坐标平面内，在抛物线上是否存在点D，使以点A，D，H，G为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛物线yx2+bx+c经过点点A（3，0）和B（1，0），抛物线的解析式为：yx2+2x+3；（2）由（1）得，抛物线的解析式为：yx2+2x+3，当x0时，y3，C（0，3），A（3，0），直线AC的解析式为yx+3；，设点D（m，m2+2m+3），E（m，m+3），DE（m2+2m+3）（3m）m2+3m，EFm+3，A（3，0），C（0，3），OACO，CAO45，AEEFsin45（3m），DEAE，m+3m（3m），m，或

36、m3（不合题意，舍去），把m代入得y（）2+2+32，点D坐标为（，2+1）；（3）存在，设点D的坐标为（t，t2+2t+3），当BDAC，AD为对角线时，过点D作DFx轴于点F，交AC于点E，如图，根据（2）可知，CAO45，AEF904545，DBHAEF45，DHE90，HDE45，DBF904545，DBFBDF，DFBF，即t（1）t2+2t+3，解得t2或t1（舍去），点D的坐标为（2，3）；当ADAC，AD为矩形的一条边时，过点D作DM轴于点M，如图，CAO45，DAC90，DAB45，DMA90，MDA904545，CMDMAD，MDMA，即（t2+2t+3）3t，解t2或t3

37、（舍去），点D的坐标为（2，5）；当ADDH，AD为条边时，过点D作DM轴于点M，如图，BDADMBDMA90，BDM+ADM90，BDM+DBM90，ADMDBM，BDMDAM，DM：AMBM：DM，即（t2+2t+3）：（3t）（t+1）：（t2+2t+3），解得t1+或t1，点D的坐标为（1+，1）或（1，1）；综上分析可知，点D的坐标为（2，3），（11），（1+，1），（2，5）14抛物线yx2+2x+3与x轴交于A，B两点与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点（1）求A，B，C，D的坐标；（2）点P为抛物线上的动点，当PAC是直角三角形时，求点P的坐标；（3）点M在y轴上，点Q为平面内

38、任意一点，当以A，D，M，Q为顶点的四边形是矩形时，直接写出点Q的坐标【解答】解：（1）令x0，则y3，C（0，3），令y0，则x2+2x+30，解得x1或x3，A（1，0），B（3，0），yx2+2x+3（x1）2+4，顶点D（1，4）；（2）设P（t，t2+2t+3），如图1，当ACP90时，过点C作EFx轴，过点A作AEEF交于E点，过点P作PFEF交于F点，FCP+ECA90，ECA+EAC90，EACFCP，CEAPFC，EC1，EA3，PF3（t2+2t+3）t22t，CFt，t0（舍）或t，P（，）；如图2，当CAP90时，过点A作GHy轴，过点C作CGGH交于G点，过点P作PH

39、GH交于H点，GAC+HAP90，GAC+GCA90，HAPGCA，GACHPA，GC1，GA3，AHt22t3，PHt+1，解得t1（舍）或t，P（，）；当APC90时，在抛物线上不存在点P；综上所述：P点坐标为（，）或（，）；（3）设M（0，m），Q（x，y），当以AD为矩形对角线时，AMMD，解得或，Q（0，2+）或（0，2）；当以AM为矩形对称轴轴时，ADDM，解得，Q（2，）；当以AQ为矩形对角线时，AMAQ，解得，Q（2，）；综上所述：Q点坐标为（0，2+）或（0，2）或（2，）或（2，）15如图1，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，m）

40、（m0），点D（1，m）在边BC上，将ABD沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E（1）如图2，当m3时，抛物线过点A、E、C，求抛物线解析式；（2）如图3，随着m的变化，点E正好落在y轴上，求BAD的余切值；（3）若点E横坐标坐标为1，抛物线yax2+2ax+10（a0且a为常数）的顶点落在ADE的内部，求a的取值范围【解答】解：（1）如图，当m3时，点C的坐标为（0，3）（m0），点D（1，3），点A的坐标为（4，0），四边形OABC是矩形，OABC4，ABOC3，BD3，将ABD沿AD折叠压平，点B的对应点E在x轴上，AE3，OE1，E（1，0），设过点A、E、C的抛

41、物线解析式为ya1x2+bx+c（a10），解得，抛物线解析式为yx2+x+3；（2）当点E正好落在y轴上，如图：由折叠得DEDB3，AEDB90，DEC+AEO90，CE2，EAO+AEO90，DECEAO，AOEECD90，AOEECD，OE，ABOC3，cotBAD；（3）如图，过点E作ENx轴于N，延长NE交BC延长线于M，则M90，点E横坐标坐标为1，ONCM1，DMDC+CM2，ANOA+ON5，由折叠得AEDB90，AEN+DEM90，AEN+EAN90，DEMEAN，MAEN90，DEMEAN，在RtDEM中，ME，EN2，MNEN+ME3，D（1，3），E（1，2），设直线A

42、E的解析式为ykx+b，解得，直线AE的解析式为yx+，抛物线yax2+2ax+10a（x+1）2a+10，顶点为（1，a+10），当x1时，yx+，抛物线yax2+2ax+10（a0且a为常数）的顶点落在ADE的内部，a+103，103a1016如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，AB在x轴上，点A位于点B左侧，点E，F分别在边CD，AD上，BFEF，ECEF，AB9，BC15（1）求证：BECBEF；（2）若点A坐标为（1，0），抛物线yax2+bx经过B，D两点，求抛物线的解析式；（3）若点A坐标为（m，0）（m0），点G为平面内一点，以点O，B，F，G为顶点的四边形是菱形时

43、，求点A的坐标【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，C90，BFEF，BFE90，CBFE90，在RtBEC和RtBEF中，RtBECRtBEF（HL）；（2）解：四边形ABCD是矩形，AB在x轴上，AB9，BC15，A（1，0），ADBC15，OB10，B（10，0），D（1，15），分别将B（10，0），D（1，15）代入yax2+bx，得解得抛物线的解析式为yx2+；（3）由（1）BECBEF，则BFBC15，AF12，分三种情况讨论：以BO，BF为菱形的邻边时，则BOBF15，A点坐标为（m，0）（m0），OAm，BOm+9，即15m+9，m6，A坐标为（6，0）；以FB，FO为菱

44、形的邻边时，则FOFB15，由知，OAm，在RtOAF中，FO2OA2+AF2，152m2+122，m9或m9，m0，m9舍去，A坐标为（9，0）；以OB，OF为菱形的邻边时，则OBOF，由和知，OAm，OB2（m+9）2，OF2m2+122，（m+9）2m2+122，m，A点坐标为（，0）；综上，以O，B，F，G为顶点的四边形是菱形时，A点坐标为（，0），或（6，0），或（9，0）17如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与坐标轴交于A（0，2），B（4，0）两点，直线BC：y2x+8交y轴于点C点D为直线AB下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G，DG分别交直线BC，A

45、B于点E，F（1）求b和c的值；（2）当GF时，连接BD，求BDF的面积；（3）H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标【解答】解：（1）抛物线yx2+bx+c与坐标轴交于A（0，2），B（4，0）两点，解得：，b，c2；（2）b，c2，抛物线解析式为yx2x2，设直线AB的解析式为ykx+a，则，解得：，直线AB的解析式为yx2，设D（m，m2m2），则E（m，2m+8），F（m，m2），G（m，0），FG（m2）2m，当GF时，2m，解得：m3，D（3，2），F（3，），G（3，0），DF（2），BG431，SBDFDFBG1；（3）如图2，直线BC：y2x+8交y轴于点C，

46、C（0，8），OC8，OA2，OB4，AOBBOC90，AOBBOC，ABOBCO，CBO+BCO90，CBO+ABO90，即ABC90，四边形BEHF是矩形，EHBF，FHBE，EHBF，FHBE，CEHABC90，AFHABC90，DEx轴，DEy轴，ECHBEF，FAHBFE，CEHEBF（AAS），HFAEBF（AAS），CHEF，HAEF，CHHA，H是AC的中点，H（0，3）18阅读材料：一般地，对于某个函数，如果自变量x在取值范围内任取xa与xa时，函数值相等，那么这个函数是“对称函数”例如：yx2，在实数范围内任取xa时，ya2；当xa时，y（a）2a2，所以yx2是“对称函数

47、”（1）函数y2|x|+1 是对称函数（填“是”或“不是”）当x0时，y2|x|+1的图象如图1所示，请在图1中画出x0时，y2|x|+1的图象（2）函数yx22|x|+1的图象如图2所示，当它与直线yx+n恰有3个交点时，求n的值（3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（3，0），B（2，0），C（2，3），D（3，3），当二次函数yx2b|x|+1（b0）的图象与矩形的边恰有4个交点时，求b的取值范围【解答】解：（1）在实数范围内任取xa时，y2|a|+1，当xa时，y2|a|+12|a|+1，y2|x|+1是“对称函数”故答案为：是；y2|x|+1的图象如图1所示

48、，（2）当直线yx+n经过点（0，1）时，函数yx22|x|+1的图象与直线yx+n恰有3个交点，n1；当直线yx+n与函数yx22|x|+1的图象的右半侧相切时，函数yx22|x|+1的图象与直线yx+n恰有3个交点，即方程组有一个解，方程x2x+1n0有两个相等的实数根（1）241（1n）0，解得：n综上，函数yx22|x|+1的图象与直线yx+n恰有3个交点，则n的值为1或；（3）当x0时，函数yx2bx+1的图象与x轴相切时，方程x2bx+10有两个相等的实数根，（b）24110，b0，b2；当x0时，函数yx2bx+1的图象与直线DC相切时，方程x2bx+13有两个相等的实数根，（b

49、）2414，b0，b4；当x0时，函数yx2+bx+1的图象经过点（3，3）时，3（3）23b+1，解得：b综上，当2b4或b时，二次函数yx2b|x|+1（b0）的图象与矩形的边恰有4个交点19综合与探究如图，抛物线与y轴交于点A（0，8），与x轴交于点B（6，0），C，过点A作ADx轴与抛物线交于另一点D（1）求抛物线的表达式；（2）连接AB，点P为AB上一个动点，由点A以每秒1个单位长度的速度沿AB运动（不与点B重合），运动时间为t，过点P作PQy轴交抛物线于点Q，求PQ与t的函数关系式；（3）点M是y轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M，N，使得以B，D，M，N

50、为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）将A（0，8），B（6，0）代入抛物线，得，解得抛物线的表达式为；（2）设直线AB的解析式为ykx+d，将A，B两点坐标代入解析式得解得直线AB的解析式为OA8，OB6，由勾股定理可得如图，过点P作PEy轴于点E，AEPAOB90，EPOB则AEPAOBAE：EP：APAO：OB：AB4：3：5根据题意可知APt，点P的横坐标为，PQ与t的函数关系式为（0t10）；（3）存在，点N的坐标为或要使以B，D，M，N为顶点的四边形是矩形，分以下情况进行讨论：如图，过点B作x轴的垂线交AD的延长线于点E，则AEEB，当y8时，解得x0或3点D的坐标为（3，8）AD3，DE3如图，当DM为矩形的边时，过点N作NKx轴，交x轴于点KMADDEB90，ADM+BDE90，AMD+ADM90，BDEAMDADMEBD，即，同理，可求得EBDKBNADMKBN，MADNKB90，ADMKBN，又MDNB，ADMKBNADKB3OK633，；如图，当DM为矩形的对角线时，过点N作NKx轴交DA的延长线于点K同理可得MBODBE，DNBM，DNKBMO，KDOB6，AK3，点N的纵坐，以BD为对角线这种情况不存在综上所述，存在点M，N，使得以B，D，M，N为顶点的四边形是矩形，点N的坐标为或