专题11 二次函数与图形几何综合（6大考点）（原卷版）.docx

1、第三部分 函数 专题11 二次函数与图形几何综合（6大考点） 核心考点核心考点一 线段问题核心考点二 面积问题核心考点三 角度问题核心考点四 特殊三角形判定问题核心考点五 特殊四边形判定问题核心考点六 相似三角形判定问题新题速递核心考点一 线段问题例1 （2020吉林长春统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为_例2 （2020山东滨州中考真题）如图，抛物线的顶点为A(h，1)，与y轴交于点B，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C(0，3)且垂直于y轴的定直线，若抛物

2、线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PFd；（3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使DFQ的周长最小，并求此时DFQ周长的最小值及点Q的坐标1. 确定线段长关系式（根据已知线段关系求点坐标）： 先在图中找出对应线段，弄清已知点和未知点； 再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含一个未知数； 继而表示出线段的长度（如果该线段与坐标轴平行的话，则利用横纵坐标相加减确定；如果与坐标轴不平行的话，先转化为有边在与坐标轴平行的三角形中，再利用勾股定理、锐角三角函数或相似确定）2. 线段数量关系问题：根据前面所得的线段长的关系式，结合题干列出满足线段数量关

3、系的方程，解方程求解即可（注意排除不符合题意的数值）3. 线段最值问题：求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，首先联想到“对称性质”，最常见的有以下模型：（1） 定直线与两定点同侧和最小值问题同侧差最小值问题同侧差最大值问题异侧差最大值问题（2）角与定点一定点与两条直线上两动点问题两定点与两条直线上两动点问题【变式1】（2020贵州遵义统考二模）如图，二次函数图象经过，且有最小值，若A点关于y轴的对称点为B点，过B作y轴平行线交抛物线于点C，在的斜边上有一动点D，过D作于E，于F，则EF的最小值为（）ABCD【变式2】（2021浙江湖州模拟预测）如图，已知在平面直角坐标系xOy

4、中，抛物线C1：ya1x2（a10）与抛物线C2：ya2x2+bx（a20）的交点P在第三象限，过点P作x轴的平行线，与物线C1，C2分别交于点M，N若，则的值是（）ABn1CnD【变式3】（2022山东聊城统考二模）平面直角坐标系中，将抛物线平移得到抛物线C，如图所示，且抛物线C经过点和，点P是抛物线C上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则的最大值为_【变式4】（2021陕西西安交大附中分校校考模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB2，BC4，AE为BAD的角平分线，F为AE上一动点，M为DF的中点，连接BM，则BM的最小值是_核心考点二 面积问题例1 （2021山东淄博统考中考

5、真题）已知二次函数的图象交轴于两点若其图象上有且只有三点满足，则的值是（）A1BC2D4例2 （2021浙江统考中考真题）已知抛物线与轴的交点为和，点，是抛物线上不同于的两个点，记的面积为的面积为有下列结论：当时，；当时，；当时，；当时，其中正确结论的个数是（）A1B2C3D4中考数学，最后的三道压轴题，一般都会有一题考察二次函数动点。本文只是针对常考的二次函数面积问题进行解析，其它类型在以后的文章中陆续上传。解决二次函数动点面积问题，常用的方法有三种。1、铅垂高法：一般用来求图形中三角形的面积；2、平行法：平行法最关键的知识点，是平行线之间高的问题，一般这种情况都是平移高到与坐标轴交点处，最

6、后用相似求值。3、矩形覆盖法：这是最容易想到的方法，但也是计算最麻烦的方法。利用面积的大减小去解决，一般不太建议使用这种方法，庞大的计算量很容易出错。【变式1】（2022陕西西安校联考二模）已知抛物线yx22ax2a1与x轴交于A、B两点，与y轴交负半轴于点C，ABC的面积为15，则该抛物线的对称轴为（）A直线x2B直线xC直线xD直线x【变式2】（2022江苏常州校考一模）抛物线上有三个点A、，其横坐标分别为、，则的面积为（）ABCD【变式3】（2022吉林长春校考二模）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE十DE的

7、值最小时，的面积为是_【变式4】（2022辽宁统考二模）如图，在中，的面积是24，在中截出一个矩形，其中，在边上，分别在边，上设，那么，当_时，矩形的面积最大核心考点三 角度问题例1 （2020黑龙江统考中考真题）如图，已知二次函数的图象经过点，与轴交于点（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点，使，若存在请直接写出点的坐标若不存在，请说明理由例2 （2021江苏连云港统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知（1）求m的值和直线对应的函数表达式；（2）P为抛物线上一点，若，请直接写出点P的坐标；（3）Q为抛物线上一点，若，求点Q的坐标题型归纳：1、 角度相等问

8、题通过平行线，等腰等角，轴对称、相似求解！2、45角问题通过等腰直角三角形、同弧所对圆周角等于90圆心角的一半、平分直角等解题！3、二倍角问题在求二倍角的问题中，先根据等腰三角形和外角定理构造二倍角，再利用三角函数（一般用正切）计算。【变式1】（2022秋浙江宁波九年级校考阶段练习）如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为（）ABCD【变式2】（2021秋河南九年级河南省淮滨县第一中学校考期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C若E为射线上一点，为抛物线上一点，E、A是位于直线同侧的不同两点，若，连接，则点E的坐标为_【变式3】（

9、2021秋河南九年级河南省淮滨县第一中学校考期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C若E为射线上一点，为抛物线上一点，E、A是位于直线同侧的不同两点，若，连接，则点E的坐标为_【变式4】（2022吉林吉林省实验校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-1的顶点为A，直线l过点P（0，m）且平行于x轴，与抛物线交于点B和点C若AB=AC，BAC=90，则m=_核心考点四 特殊三角形判定问题例1 （2022内蒙古赤峰统考中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点是抛物线上的点，则点关于直线的对称点的坐标为_例2 （2022四川广安统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛

10、物线（a0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，4），点C坐标为（2，0）(1)求此抛物线的函数解析式(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得PAB为直角三角形，请求出点P的坐标1、 二次函数中的等腰三角形存在性问题如果ABC是等腰三角形，那么存在ABAC，BABC，CACB三种情况因此，解等腰三角形的存在性问题时，通常要进行分类讨论。2、 二次函数中的直角三角形存在性问题如果ABC是直角三角形，那么存在A为直角，B为直角，

11、C为直角三种情况因此，解直角三角形的存在性问题时，通常要进行分类讨论。这类问题有几何法和代数法两种方法，我们要根据具体情况灵活选择简便的方法。3、 二次函数中的等腰直角三角形存在性问题在解决等腰直角三角形存在性问题时，往往要用到几何和代数相结合的方法，设出点的坐标后，利用等腰直角三角形的几何性质及函数关系式列方程求解，【变式1】（2022秋浙江温州九年级温州绣山中学校考期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，正方形的边在轴上，在抛物线上，连结，是正三角形，则阴影部分的面积为（）ABCD【变式2】（2022春黑龙江大庆九年级校考期中）如图所示，已知二次函数的图象与x轴交于A（1，0），B（3，

12、0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：2a+b0；2c3b；当ABC是等腰三角形时，a的值有2个；当BCD是直角三角形时，a其中正确的个数（ ）A0个B1个C2个D3个【变式3】（2022秋江苏盐城九年级统考阶段练习）如图，抛物线与坐标轴交于点、，点在直线下方的抛物线上运动，当时，点的坐标为_【变式4】（2022江苏泰州校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E点P为抛物线对称轴上一点以为边在的下方作等边三角形，则当点P从点D运动到点E的过程中，点Q经过路径的长度为_核心考点五 特

13、殊四边形判定问题例1 （2021广西来宾统考中考真题）如图，已知点，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，的对应点分别为，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为_例2 （2022四川攀枝花统考中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点(1)求二次函数的表达式；(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由本考点主要

14、考查平行四边形、矩形、菱形与二次函数的综合，主要考查平行四边形、矩形、菱形的性质与判定，把握对边相等和对角线互相平分是解决本题的关键；【变式1】（2022秋福建南平九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值（）A0.5B1C1.5D2【变式2】（2022四川眉山校考一模）如图，矩形OABC，点A的坐标为，AB1若抛物线与矩形OABC的边界总有两个公共点，则实数c的取值范围是（）Ac8或c1B1c8Cc1或c8D8c1【变式3】（2022秋辽宁葫芦岛九年级统考期中）如图所示，四边形的两条对角线，相互垂直，则四边形的最大面

15、积是_【变式4】（2022秋重庆九年级重庆巴蜀中学校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边与轴重合，顶点在抛物线上若抛物线的顶点到轴的距离比长，则的值为_核心考点六 相似三角形判定问题例1 （2022四川绵阳统考中考真题）如图，抛物线yax2bxc交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1(1)求抛物线的解析式；(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使APBACB180若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MFl，垂足为F，

16、使以M，F，E三点为顶点的三角形与ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由例2 （2022辽宁统考中考真题）抛物线yax22x+c经过点A(3，0)，点C(0，3)，直线yx+b经过点A，交抛物线于点E抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P为直线AC下方抛物线上的点，连接PA，PC，BAF的面积记为S1，PAC的面积记为S2，当S2S1时求点P的横坐标；(3)如图，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与CDF相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标根据相似三角形的

17、判定方法，结合二次函数的图象与性质是解决本题的关键；【变式1】（2021春九年级课时练习）抛物线，设该抛物线与轴的交点为和，与轴的交点为C，若，则的值为 （ ）ABCD【变式2】（2021春九年级课时练习）如图，已知二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，连接、，若平分，则的值为(）ABCD【变式3】（2022秋浙江宁波九年级校考期末）已知过点的抛物线与坐标轴交于点、如图所示，连结，第一象限内有一动点在抛物线上运动，过点作交轴于点，当点在点上方，且与相似时，点的坐标为_【变式4】（2022福建泉州统考二模）如图，在正方形中，点、分别是边、上的动点（不与正方形的端点重合），连接、，现给出以下结

18、论：若，则；若，则可能为直角；若，则平分；若，则的最大值为1.5其中正确的是_（写出所有正确结论的序号）【新题速递】1（2020秋九年级统考期末）抛物线是由平移得到，它经过原点，且交x轴正半轴于点，为上一点，为抛物线上一点，以，为边构造，点恰好落在抛物线上，连接交于点，若，则等于（）ABCD2（2022秋湖北孝感九年级汉川市实验中学校考阶段练习）如图，抛物线与x轴只有一个公共点，与y轴交于点，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移4个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为（）A4B2C6D83（2023河北九年级专题练习）如图，在中，边在x轴上，点P是边上一点，过点P分别作于点E，于点D，

19、当四边形的面积最大时，点P的坐标为（）ABCD4（2023秋安徽亳州九年级统考期末）如图，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴负半轴交于点C，其顶点为M，点D，E分别是的中点，若与的面积比为910，则c的值为（）ABCD5（2022秋新疆乌鲁木齐九年级校考期中）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C.点P是直线AC上方的抛物线上一动点，若点P使ACP的面积最大，则点P的坐标为（）A（，）B（，）C（，1）D（，3）6（2023春九年级单元测试）如图，抛物线与交于点，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C，则以下结

20、论：无论x取何值，的值总是正数当时，其中正确结论是（）ABCD7（2022秋九年级单元测试）如图，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，是的外接圆点D在抛物线的对称轴上，且，则点D的坐标是 _8（2022秋吉林长春九年级校考期末）如图，点P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为_9（2022秋河南安阳九年级校考阶段练习）如图，已知抛物线与抛物线的图象相交于点P，过P作x轴的平行线分别交于点M、N，则的值是 _10（2023秋广东广州九年级校考期末）如图，点P抛物线上一点，且点P位于直线BC的上方，D为对称轴与直线

21、BC的交点，连接PC，PD，过点P作轴，交BC于点M，则的面积的最大值为_11（2022秋湖北黄冈九年级校考期中）二次函数的图像如图，点位于坐标原点，点，在y轴的正半轴上，点，在二次函数位于第一象限的图像上，点，在二次函数位于第二象限的图像上，四边形，四边形，四边形，四边形都是菱形，菱形的周长为_12（2022秋湖北武汉九年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点为该图象在第一象限内的一点，过点作直线的平行线，交轴于点若点从点出发，沿着抛物线运动到点，则点经过的路程为_13（2022秋辽宁大连九年级校考期末）如图，二次函数经过点 ，

22、点D是抛物线的顶点，过D作x轴垂线交直线于E(1)求此二次函数解析式及点D坐标(2)连接，求三角形的面积(3)当时，x的取值范围是_14（2023秋江苏泰州九年级统考期末）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C(1)求出A、B、C三点的坐标；(2)将抛物线图像x轴上方部分沿x轴向下翻折，保留抛物线与x轴的交点和x轴下方图像，得到的新图像记作M，图像M与直线恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G若以为直径作圆，该圆记作图像N在图像M上找一点P，使得的面积为3，求出点P的坐标；当图像N与x轴相离时，直接写出t的取值范围15（2022秋河南安阳九年级校考阶段练习）如图，抛物线

23、与坐标轴交于，两点，直线与抛物线交于，两点，已知点坐标为(1)求二次函数和一次函数解析式；(2)求出点坐标，并结合图象直接写出不等式的解集；(3)点是直线上的一个动点，将点向上平移2个单位长度得到点，若线段与抛物线有公共点，请直接写出点的横坐标的取值范围16（2023秋山西大同九年级大同市第六中学校校考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，与y轴交于点，与x轴交于点E，B(1)求二次函数的表达式；(2)过点A作平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在上方），作平行于y轴交于点D，当点P在何位置时，四边形的面积最大？并求出最大面积；(3)若点M在抛物线上，点N在其对

24、称轴上，使得以A，E，N，M为顶点的四边形是平行四边形，且为其一边，求点N的坐标17（2022秋辽宁大连九年级大连市第三十四中学校考阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C抛物线的对称轴为直线，点C坐标为(1)求抛物线表达式；(2)在抛物线上是否存在点P，使，如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，若点P在x轴上方，点M是直线上方抛物线上的一个动点，求点M到直线的最大距离18（2023秋四川成都九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于，顶点为，对称轴与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，点在轴的左侧(1)求的值及点，的坐标；(2)当直线将四边形分为面积比为的两部分时，求直线的函数表达式；(3)当点位于第一象限时，设的中点为，点在抛物线上，则以为对角线的四边形能否为菱形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由