专题11 相似三角形的性质-原卷版.docx

1、专题11 相似三角形的性质知识点1 重心的有关性质 三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为典例分析【例1】（2022秋上海徐汇九年级校考阶段练习）如图，在中，中线相交于点G，下列说法错误的是（）A点G为的重心BC当为等边三角形时，D【例2】（2023陕西西安统考三模）在中，点为的重心，连接并延长交边于点，若有，则为（）A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形【即学即练】1（2023河北沧州统考三模）题目：如图，的三边均不相等，在此三角形内找一点O，使得，的面积均相等甲、乙两人的做法如下，判断正确的是（）A甲、乙皆正确B甲、乙皆错误C甲错误，乙正确D甲正确，乙错误2（2

2、023春安徽九年级专题练习）下列说法中正确的是（）等边三角形三条高的交点就是它的重心；三角形的重心到一边的距离等于这边上中线长的三分之一；三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一；三角形的重心到一边的距离等于这边上高的三分之一ABCD知识点2：相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边的比相等相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.相似三角形的面积比等于相似比的平方典例分析【例1】（2022秋上海嘉定九年级校考阶段练习）下列命题中，正确的是（）A相似三角形的角平分线的比等于相似比B所有的菱形都相似C一般来说，一条线段的黄

3、金分割点有两个D如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线一定平行于三角形的第三边【例2】（2022秋浙江金华九年级校联考阶段练习）已知，和是它们的对应高线，若，则与的面积比是（）ABCD即学即练1（2022秋上海徐汇九年级校考阶段练习）如果，点A、B、C的对应点分别是D、E、F，的三边长为3、4、6，的一边长为12，那么的周长不可能是（）A26B39C52D652（2023重庆统考中考真题）如图，已知，若的长度为6，则的长度为（）A4B9C12D知识点3 证明对应线段成比例典例分析【例1】（2022春全国九年级专题练习）如图，则下列比例式正确的是（）ABCD【例2】（

4、2022秋广东深圳九年级校考期末）已知与相似，且，那么下列结论中，一定成立的是（）ABC相似比为D相似比为即学即练1（2019秋上海长宁九年级上海市天山初级中学校考期中）若,顶点A、B、C分别与D、E、F对应，且，则这两个三角形的对应中线之比为（）ABCD2（2022秋全国九年级专题练习）已知，且相似比为，则与的对应高之比为（）ABCD知识点4 利用相似求坐标典例分析【例1】（2022海南九年级专题练习）如图，在ABC中，ACB90，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（2，6）和（7，0）将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（）A2B3C4D5【例2】（202

5、0秋广东韶关九年级校考期末）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则线段CD的长为（）A2BC3D即学即练1（2022春九年级课时练习）如图，已知点A（1，0），点B（b，0）（b1），点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若POA和PAB相似，则符合条件的P点个数是（）A0B1C2D32（2022春九年级课时练习）如图，在直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若COBCAO，则点C的坐标为（）A（1，）B（，）C（，2）D（，2）知识点5 相似三角形中的动

6、点问题1 研究基本图形，标注基本图形是动点运动的背景，需要研究边和角，寻找模型或结构，或者转化坐标和表达式2 分析运动过程，分段，定范围关注起点、终点和状态转折点状态转折点是图形状态发生变化的点，常见的状态转折点有拐点、相遇点等3 根据不变特征建等式依分段画图形，表达相关线段长，根据不变特征建等式，结合范围验证结果表达的常用手段有s=vt、相似、勾股定理等；根据不变特征建等式需要把不变特征跟基本图形信息结合起来考虑，常见不变特征有相似、直角、等腰等典例分析【例1】（2023春江苏苏州八年级统考期末）如图，在中，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为

7、4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时与相似？【例2】（2023春山东济宁八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，现有两动点P，Q，点P以每秒3个单位的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点A出发向终点B运动，连接，设运动时间为t秒(1)点P的坐标为_，点Q的坐标为_（用含t的代数式表示）；(2)请判断四边形的面积是否会随时间t的变化而变化，并说明理由；(3)若A，P，Q为顶点的三角形与相似时，请求出t的值即学即练1（2022湖南株洲校考二模）如图，在矩形中，米，米，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿向

8、点C移动，同时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿向点B移动，设P、Q两点同时移动的时间为t秒（）(1)当t为何值时，；(2)当t为何值时，是等腰三角形；(3)设四边形的面积为y，当t为何值时，y的值最小？并求出这个最小值2（2019秋广东佛山九年级佛山市禅城区澜石中学校考期中）如图1，动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为t秒（），连接(1)_；_(2)若与相似，求的值；(3)连接，如图2，若，求的值知识点6 相似三角形中的折叠问题典例分析【例1】（2022山东临沂模拟预测）综合与实践【问题背景】如图1，矩形中，点E为边上一点，沿

9、直线将矩形折叠，使点C落在边的点处【问题解决】（1）填空：的长为_（2）如图2，将沿线段向右平移，使点与点B重合，得到与交于点F，与交于点G求的长；【拓展探究】（3）在图2中，连接，则四边形是平行四边形吗？若是，请予以证明；若不是，请说明理由【例2】（2021上海九年级专题练习）（1）问题探究：如图1，在正方形中，点、分别是、上的点，且，求证：；（2）类比应用：如图2，在矩形中，将矩形沿折叠使点落在点处，得到矩形 若点为的中点，试探究与的数量关系；拓展延伸：连，当时，求的长即学即练1（2020秋广东深圳九年级深圳市宝安中学（集团）校考阶段练习）如图，已知四边形ABCD中，ABDC，ABDC，且

10、AB4cm，BC8cm，对角线ACcm（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）如图2，点Q是AC上一点，点P是BC上一点，点P不与点B重合，连接BQ、AP，若APBQ，求BP的值；（3）如图3，若动点Q从点C出发，以每秒cm的速度在对角线AC上运动至点A止，过点Q作BC垂线于点P，连接PQ，将PQC沿PQ折叠，使点C落在直线BC上的点E处，得PQE，是否存在某一时刻t，使得EAQ为直角三角形？请求出所有可能的结果2（2020江苏南通统考中考真题）矩形ABCD中，AB8，AD12将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE（1）如图，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值；（2）如图，若E是AB的中

11、点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长知识点7 相似三角形的实际应用解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，利用相似及方程思想有效解决.典例分析【例1】（2022秋浙江金华九年级校联考阶段练习）如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，且测得，求该古城墙的高度是多少m？【例2】（2023陕西西安校考二模）在一个阳光明媚的下午，小华和小红相约去测量一座古塔的高，如图，他们在塔周围平地上找到塔尖的影子点，并在点处竖立一根3米长的标杆，测得影长为2米，随后后退到

12、点处放置了一个小平面镜，小华站在点处正好看到镜子中的塔尖，点、在同一条直线上，已知小华的身高为1.62米，为1.8米，为4.4米，求古塔的高（平面镜的厚度忽略不计）即学即练1（2023陕西渭南统考二模）如图，某天傍晚，数学兴趣小组的小敏和小芳在公园散步时作了如下探索：当小芳竖直站立在A处时，她在路灯D下的影子为线段，并测得米，已知、均与地面垂直，且E、A、C在同一直线上，小芳的身高为米，小芳与灯杆底部E的距离为为8米(1)求路灯的高度；(2)如果要缩短小芳的影子的长度，同时不能改变路灯的高度和位置，请你写出一种方法2（2023陕西咸阳统考三模）西安古城墙凝聚了中国古代劳动人民的智慧，它作为古城

13、西安的地标性建筑，吸引了不少人慕名而来节假日，乐乐去城墙游玩，看见宏伟的城墙后，他想要测量城墙的高度如图，他拿着一根笔直的小棍，站在距城墙约30米的点N处（即米），把手臂向前伸直且让小棍竖直，乐乐看到点B和城墙顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上已知乐乐的臂长约为60厘米，小棍的长为24厘米，求城墙的高度1（2023秋浙江九年级期末）如图，P是重心，且经过点P，则的值为（）ABCD2（2022秋福建泉州九年级校考期中）如图，在中，点G是的重心，连接，若，则线段的长度为（）A4B5C6D93（2023春安徽九年级专题练习）如图，E，F为矩形内两点，垂直，垂足分别为E、F，若，则（）AB5

14、CD64（2023春辽宁锦州八年级统考期末）如图，在中，于点，若，则的长为（）ABCD5（2023春山东烟台八年级统考期末）如图，在中，D是AB边上的点，则AC的长为（）A1.5B2C2.5D6（2023春八年级课时练习）已知，若，则的长为（）A1B4C8D167（2023春云南临沧八年级校联考期末）如图，在中，的周长是18，D、E分别是边的中点，则的周长为（）A6B8C9D128（2023秋山东聊城九年级统考期末）在直角坐标平面内，一点光源位于处，线段垂直于x轴，D为垂足，则的长为（）AB3C4D9（2023秋湖南娄底九年级统考期末）如下图所示，在ABC中，点D在线段AC上，且ABCADB，

15、则下列结论一定正确的是()ABCD10（2020秋广东江门九年级统考期末）如图，在44的正方形网格中，小正方形的边长均为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，则在下列选项中与相似的是（）ABCD11（2020秋广东汕尾九年级校考阶段练习）如图，直线与轴交于点，将该直线绕着点逆时针旋转所得的直线对应的函数解析式为（）ABCD12（2023春安徽九年级专题练习）如图，中，分别是边，的中点，为边上一动点，于，交于(1)_；(2)当和相似时，求的长13（2023江苏苏州统考三模）【问题探究】课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：如图1，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，且于点，若，求的值(1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由【初步运用】(2)如图2，在中，点为的中点，连接，过点作于点，交于点，求的值【灵活运用】(3)如图3，在四边形中，点，分别在边，上，且，垂足为，则_