专题11 相似三角形的综合问题（重点突围）(原卷版).docx

1、专题11 相似三角形的综合问题【中考考向导航】目录【直击中考】1【考向一 (双)A字型相似】1【考向二 (双)8字型相似】8【考向三 母子型相似】16【考向四 旋转相似】24【考向五 K字型相似】37【直击中考】【考向一 (双)A字型相似】例题：（2022上海九年级专题练习）如图，在ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，（1）求证：DFBE；（2）如且AF2，EF4，AB6求证ADEAEB【变式训练】1（2022江苏九年级专题练习）如图，在中，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则_2（2023秋安徽六安九年级校考期末）如图，在中，、分别是、边上的高求证：3（2021

2、秋山东济宁九年级校考阶段练习）中，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动设运动时间为t秒（1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm?（2）若的面积为，求关于t的函数关系式（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似?4（2023全国九年级专题练习）如图，中，点D在边上，且（1）求证：；（2）点E在边上，连接交于点F，且，求的度数（3）在（2）的条件下，若，的周长等于30，求的长【考向二 (双)8字型相似】例题：（

3、2023全国九年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，ADE、CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC于点M，且ADECDF （1）求证：CEAF；（2）连接ME，若，AF2，求的长【变式训练】1（2022春九年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（）ABCD 2（2022春陕西渭南八年级统考期末）如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则_3（2022秋北京房山九年级统考期中）如图，AD与BC交于O点，求CD的长4（2023秋安徽六安九年级校考期末）如图1，在

4、RtABC中，ACB90，ACBC1，D为AB上一点，连接CD，分别过点A、B作ANCD，BMCD（1）求证：ANCM；（2）若点D满足BD：AD2：1，求DM的长；（3）如图2，若点E为AB中点，连接EM，设sinNADk，求证：EMk5（2022广东佛山校考三模）如图1，、分别是的内角、的平分线，过点作，交的延长线于点(1)求证：；(2)如图2，如果，且，求的值；(3)如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值【考向三 母子型相似】例题：（2022秋全国八年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”(1)如图，若点D是的边AB的中点，试判

5、断点D是不是的“理想点”，并说明理由；(2)如图，在中，若点D是的“理想点”，求CD的长【变式训练】1（2022秋黑龙江哈尔滨九年级校考期中）如图，中，点在上，若，则线段的长为_2（2022秋安徽蚌埠九年级校考期中）如图，在ABC中，D为BC边上的一点，且AC=，CD4，BD2，求证：ACDBCA3（2022秋安徽蚌埠九年级校考期中）如图，在中，为边上的高，的平分线分别交，于点，(1)求证：；(2)若，求的面积，(3)若，请直接写出的值为_4（2022江苏九年级专题练习）如图：在矩形ABCD中，动点以的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两

6、点移动的时间为t秒（1）_m，_m，_m（用含t的代数式表示）（2）t为多少秒时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？（3）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由【考向四 旋转相似】例题：（2022秋贵州贵阳九年级校考期中）如图1，在中，点分别是边的中点，连接将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为(1)问题发现当时，_；当时，_；(2)拓展探究试判断当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；(3)问题解决当绕点逆时针旋转至三点在同一条直线上时，求线段的长【变式训练】1（2023浙江宁波校考一模）如图1，在中，点D，E分别是的中点把绕

7、点B旋转一定角度，连结(1)如图2，当线段在内部时，求证：(2)当点D落在直线上时，请画出图形，并求的长(3)当面积最大时，请画出图形，并求出此时的面积2（2022山东枣庄校考模拟预测）如图1，在等腰直角三角形中，点是的中点，以为边作正方形，连接，将正方形绕点顺时针旋转，旋转角为（）(1)如图2，在旋转过程中，判断与是否全等，并说明理由；当时，与交于点，求的长(2)如图3，延长交直线于点求证：；3（2022山东济南统考二模）（1）【方法尝试】如图1，矩形是矩形以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转所得的图形，分别是它们的对角线则与数量关系_，位置关系_；（2）【类比迁移】如图2，在和中，将绕点A在

8、平面内逆时针旋转，设旋转角为（），连接请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）【拓展延伸】如图3，在中，过点A作，在射线上取一点D，连接，使得，请求线段的最大值4（2023秋河南南阳九年级校考期末）如图，将绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，我们称与互为“旋转位似图形”(1)知识理解：两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形 （填“是”或“不是”“旋转位似图形”；如图1，与互为“旋转位似图形”，若，则 ；若，则 ；(2)知识运用：如图2，在四边形中，于，求证：和互为“旋转位似图形”；(3)拓展提高：如图3，为等腰直角三角形，点为中点，点是上一点，是延长线上一点，点在线段上，且与互为

9、“旋转位似图形”，若，求出和的值【考向五 K字型相似】例题：（2022山东济南山东师范大学第二附属中学校考模拟预测）如图，在中，点D、E分别是边、上的点，且(1)如图1，若，求证：；(2)若如图2，当时，求的长；如图3，当时，直接写出的长是_【变式训练】1（2021秋湖南永州九年级校考阶段练习）（1）如图，点在线段上，点在直线的同侧，求证：；（2）如图，点在线段上，点在直线的同侧，求的值；（3）如图，中，点在边上，且，点在边上，连接，求的值2（2022春全国九年级专题练习）如图1，在中，点P为斜边上一点，过点P作射线，分别交、于点D，E(1)问题产生若P为中点，当时，；(2)问题延伸：在（1）的情况下，将若DPE绕着点P旋转到图2的位置，的值是否会发生改变？如果不变，请证明；如果改变，请说明理由；(3)问题解决：如图3，连接，若与相似，求的值3（2022山东济南校考三模）已知ABC中，ABC90，点D、E分别在边BC、边AC上，连接DE，DFDE，点F、点C在直线DE同侧，连接FC，且(1)点D与点B重合时，如图1，k1时，AE和FC的数量关系是 ，位置关系是 ；如图2，k2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由；(2)BD2CD时，如图3，k1时，若AE2，6，求FC的长度；如图4，k2时，点M、N分别为EF和AC的中点，若AB10，直接写出MN的最小值