专题12 三角函数图象与性质（教师版）.docx

1、专题12 三角函数图象与性质（核心考点精讲精练）1. 近几年真题考点分布三角函数图象与性质近几年考情考题示例考点分析关联考点2022年全国乙（理科），第11题,5分三角函数的性质导数求最值2022年全国乙（文科），第8题,5分三角函数图象反比例型函数2022年全国乙（理科），第15题,5分根据性质求三角函数解析式求参2022年全国甲（文科），第5题,5分正弦函数图形变换，奇偶性求参2022年全国甲（理科），第11题,5分正弦函数图象的应用导数求极值2022年全国甲（理科），第5题,5分2022年全国甲（文科），第7题,5分三角函数图象指数函数2023年全国甲（理科），第10题,5分2023年全

2、国甲（文科），第12题,5分三角函数的综合应用函数的零点2023年全国乙（理科），第6题,5分2023年全国乙（文科），第10题,5分根据性质求三角函数解析式，再求值2. 命题规律及备考策略【命题规律】1.本节内容为高考必考内容，考查选择题、填空题（常出现在压轴题位置）； 2.根据图象、性质求三角函数的解析式，再求特殊角的三角函数值； 3.根据图象变换得到三角函数新解析式，判断三角函数的性质； 4.函数解析式中含三角函数，判断图象； 5.函数解析式中含三角函数，求最值、极值、切线；【备考策略】1.能画出y=sin x，y=cos x，y=tan x的图象.2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在0

3、,2,正切函数在-2,2上的性质(如单调性、最值、图象与x轴交点等).3.会使用正弦型函数、余弦型函数、正切型函数解决实际问题.4.能借助图象理解参数，A的意义,了解参数的变化对函数图象变化的影响.5.掌握三角函数的周期性、奇偶性、对称性、最值.6.会用三角函数解决简单的实际问题,能够利用三角函数构建事物周期变化的数学模型.【命题预测】1.根据图象、性质求三角函数的解析式，再求特殊角的三角函数值； 2.根据图象变换得到三角函数新解析式，判断三角函数的性质； 3.重点考查三角函数的周期性、奇偶性、对称性、最值； 4.函数解析式中含三角函数，判断图象； 5.函数解析式中含三角函数，求最值、极值、切

4、线；知识讲解一、用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y=sin x,x0,2的图象中,五个关键点分别为(0,0),2,1,(,0),32,-1,(2,0).(2)在余弦函数y=cos x,x0,2的图象中,五个关键点分别为(0,1),2,0,(,-1),32,0,(2,1).二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ)函数y=sin xy=cos xy=tan x图象定义域RR值域-1,1-1,1R最小正周期22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上单调递增;在上单调递减在2k,2k+ 上单调递减;在2k-,2k 上单调递增在上单调递增对称中心(k,0)k+2,0k2,0对

5、称轴x=k+2x=k无1、三角函数值域的不同求法把所给的三角函数式变换成y=Asin(x+)的形式求值域.把sin x或cos x看作一个整体,转换成二次函数求值域.利用sin xcos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域.2、求三角函数周期的常用方法(T为最小正周期)(1)公式法求周期函数f(x)=Asin(x+)+B与f(x)=Acos(x+)+B的周期T=2|;函数f(x)=Atan(x+)+B的周期T=|.(2)对称性求周期两对称轴距离的最小值或两对称中心距离的最小值都等于T2;对称中心到对称轴距离的最小值等于T4;两个最大(小)值点的横坐标之差的最小值等于T.三、正弦

6、型函数：“”1、定义域：2、值域：当时，；当时，3、单调性：当与同号时，增区间：减区间：当与异号时，增区间：减区间：4、奇偶性：当且时，为奇函数；当时，为偶函数.5、最小正周期：6、对称性：对称轴：；对称中心：四、余弦型函数：“”1、定义域：2、值域：当时，；当时，3、单调性：当与同号时，增区间：减区间：当与异号时，增区间：减区间：4、奇偶性：当且时，为奇函数；当时，为偶函数.5、最小正周期：6、对称性：对称轴：；对称中心：五、正切型函数：“”1、定义域：2、值域：3、单调性：当与同号时，增区间：当与异号时，减区间：4、最小正周期：5、对称性：对称中心：六、用“五点法”作y=Asin(x+)(

7、A0,0,xR)一个周期内的简图时,要找五个特征点如下表所示:x-22-3-222-x+02322y=Asin(x+)0A0-A0七、函数的有关概念y=Asin(x+)(A0,0),x0,+)振幅周期频率相位初相平衡位置AT=2f=1T=2x+八、图形变换1、：纵坐标的伸缩2、：横坐标的伸缩（注意：乘倒数）3、：左右平移（注意：左“+”右“-”）4、：上下平移（注意：上“+”下“-”）已知函数y=Asin(x+)+B(A0,0)的图象,确定其解析式的步骤(1)求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则A=M-m2,B=M+m2.(2)求,确定函数的周期T,则=2T.(3)求,将图象上的已知点代

8、入解析式,求解时注意点在上升区间还是下降区间.如果已知图象上有最值点,最好代入最值点求解.考点一、三角函数的定义域与值域1（2023年内蒙古赤峰三模）函数的定义域为（ ）.A BC D【答案】C【详解】由题意知,函数的定义域为.2（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）A B C D【答案】D【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.【详解】，所以在区间和上，即单调递增；在区间上，即单调递减，又，所以在区间上的最小值为，最大值为.3（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）函数（）的最大值是 【答案】1【详解】

9、化简三角函数的解析式，可得，由，可得，当时，函数取得最大值11函数的定义域为.【答案】【详解】要使函数有意义,必须有即故函数的定义域为.2函数在区间上的值域为（ ）. A B C D【答案】B【详解】当时,函数的值域为.3（2023年广东三模）已知函数,则函数在区间上的值域是.【答案】【详解】.,即函数在区间上的值域是.考点二、三角函数的周期性1（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）函数的最小正周期和最大值分别是（ ）A和B和2C和D和2【答案】C【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【详解】由题，所以的最小正周期为，最大值为.2若函数的最小正周期

10、满足,则自然数的值为.【答案】2或3【详解】由题意得所以,所以.3（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）若x1=，x2=是函数f(x)=(0)两个相邻的极值点，则=（ ）A2 B C1 D【答案】A【分析】从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得.【详解】由题意知，的周期，得故选A【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养采取公式法，利用方程思想解题1（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）函数的最小正周期为（ ）A B C D【答案】C【详解】由题意，故选C【名师点睛】函数的性质：(1).(2)最小正周期(3)由求对称

11、轴.(4)由求增区间;由求减区间.2（【全国百强校】宁夏模拟）函数的最小正周期为（ ）ABCD【答案】C【详解】分析:将函数进行化简即可详解：由已知得的最小正周期点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题3（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷）已知函数，则（ ）A的最小正周期为，最大值为B的最小正周期为，最大值为C的最小正周期为，最大值为D的最小正周期为，最大值为【答案】B【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.【详解】根据题意有，所以函数的最小正周期为，且最大值为，

12、故选B.【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.考点三、三角函数的奇偶性1（2023年河南洛阳月考）若函数是奇函数,则.【答案】【详解】,因为函数为奇函数,所以,即.故.2（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）ABCD【答案】C【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，解得，又，故当时，的最小值为.3（2021年北京市高考数学试题

13、）函数是（ ）A奇函数，且最大值为2B偶函数，且最大值为2C奇函数，且最大值为D偶函数，且最大值为【答案】D【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，所以该函数为偶函数，又，所以当时，取最大值.1若函数为奇函数,则的一个值为（ ）.A B C D【答案】A【详解】,因为为奇函数,所以.2若函数是偶函数,则的值可以是（ ）.A B C D【答案】A【详解】是偶函数,则,当时,当时,故选A.变式训练：若将本例条件中的偶函数改为奇函数,则正确选项为.【答案】C【详解】因为为奇函数,所以,所以,所以的取值可以是,所以C选项正

14、确.考点四、三角函数的对称性1已知函数的图象关于直线对称,则的值为.【答案】【详解】由题意得当时,.,.2（2022年全国新高考I卷数学试题）记函数的最小正周期为T若，且的图象关于点中心对称，则（）A1BCD3【答案】A【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，又因为函数图象关于点对称，所以，且，所以，所以，所以.3（2023年新高考天津数学高考真题）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为（ ）ABCD【答案】B【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满

15、足题意的函数解析式.【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：A选项中，B选项中，C选项中，D选项中，排除选项CD，对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A，对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴.1（2023年海南模拟）已知函数图象的一条对称轴为,则的最小值为（ ）.A2 B4 C6 D8【答案】B【详解】由题意知,又,.2已知函数在处取得最大值,则函数的图象（ ）.A.关于点对称 B.关于点对称C.关于直线对称 D.关于直线对称【答案】A【详解】函数在处取得最大值,解得,.当时,是函数图象的对称中心.3（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）已知

16、函数的图象关于直线对称，则的值是 【答案】.【详解】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得，所以，因为，所以点睛：函数（A0,0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间; 由求减区间.考点五、三角函数的单调性1函数的单调递增区间是.【答案】【详解】,由,解得.故函数的单调递增区间为,又,所以函数的单调递增区间为.2（2021年全国新高考卷数学试题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）ABCD【答案】A【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数的单调递增区间为，对于函数，由，解得，取，可得函数的一个单调递增区间为，则，A选项满足条件

17、，B不满足条件；取，可得函数的一个单调递增区间为，且，CD选项均不满足条件.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数3（2022年北京市高考数学试题）已知函数，则（）A在上单调递减B在上单调递增C在上单调递减D在上单调递增【答案】C【分析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为.对于A选项，当时，则在上单调递增，A错；对于B选项，当时，则在上不单调，B错；对于C选项，当时，则在上单调递减，C对；对于D选项，当时，则在上不单调，D错.4（2023年高考全国乙卷

18、数学（理）真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）AB C D【答案】D【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.【详解】因为在区间单调递增，所以，且，则，当时，取得最小值，则，则，不妨取，则，则，1函数的单调递减区间为.【答案】【详解】,由,得,故所求函数的单调递减区间为.2已知且函数在上单调递减,则的取值范围是.【答案】【详解】由,得.又的单调递减区间为,所以,解得.又函数在上单调递减,所以周期,解得,所以.3已知函数在区间上单调递增,则的取值范围是（ ）.A B C D【答案】C【详解】函数在区间上单调递增,函数在区间上单

19、调递减,由,解得,即,令,的取值范围是.考点六、三角函数图象与性质的综合应用经常出压轴题1设函数，则下列结论错误的是（ ）A的一个周期为 B的图像关于直线对称C的一个零点为 D在单调递减【答案】D【详解】的最小正周期为，易知A正确；，为的最小值，故B正确；，故C正确；由于，为的最小值，故在上不单调，故D错误2（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）关于函数有如下四个命题：的图象关于轴对称的图象关于原点对称的图象关于直线对称的最小值为2其中所有真命题的序号是 【答案】【分析】利用特殊值法可判断命题的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题的正误；利用对称性的定义可判断命题的正误；取可判断命

20、题的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题，则，所以，函数的图象不关于轴对称，命题错误；对于命题，函数的定义域为，定义域关于原点对称，所以，函数的图象关于原点对称，命题正确；对于命题，则，所以，函数的图象关于直线对称，命题正确；对于命题，当时，则，命题错误.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.3（2020年天津市高考数学试卷）已知函数给出下列结论：的最小正周期为；是的最大值；把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象其中所有正确结论的序号是（ ）ABCD【答案】B【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.【详解】

21、因为，所以周期，故正确；，故不正确；将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，故正确.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.1（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）已知函数，则（ ）A的最小值为2 B的图象关于轴对称C的图象关于直线对称 D的图象关于直线对称【答案】D【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.【详解】可以为负，所以A错；，关于原点对称；故B错；关于直线对称，故C错，D对.【点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.

22、2已知函数的图像关于直线对称，将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，则下列说法正确的是（ ）A的图像关于直线对称B是奇函数C在上单调递减D的图像关于点对称【答案】D【分析】根据函数的对称轴得到，结合平移变换相关知识得到函数表达式，根据三角函数图像性质、利用整体代入法进而判断各个选项即可.【详解】因为函数的图像关于直线对称，所以，即，又因为，所以当时，所以，因为将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，所以.对于A，因为，所以的图像不关于直线对称，故A错误；对于B，定义域为，显然，所以不是奇函数，故B错误；对于C，则，根据三角函数图像性质可知，在上不完全单调递减，故C错误；对于D，所

23、以的图像关于点对称，故D正确.3（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）设函数=sin（）(0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：在（）有且仅有3个极大值点在（）有且仅有2个极小值点在（）单调递增的取值范围是)其中所有正确结论的编号是（ ）ABCD【答案】D【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得，结合正弦函数的图像分析得出答案【详解】当时，f（x）在有且仅有5个零点，故正确，由，知时，令时取得极大值，正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，不正确；因此由选项可知只需判断是否正确即可得到答案，当时，若f（x）在单调递增，则 ，即 ，故正确【点睛】极小值

24、点个数动态的，易错，正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题考点七、三角函数的图形变换1（2022年浙江省高考数学试题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度【答案】D【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象2（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（）A BC D【答案】B【分析】

25、解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，根据已知得到了函数的图象，所以，令,则,所以,所以；解法二：由已知的函数逆向变换，第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，即为的图象，所以.3（2020年江苏省高考数学试卷）将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中

26、与y轴最近的对称轴的方程是 .【答案】/【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.【详解】当时【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.1将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A在区间 上单调递增B在区间 上单调递减C在区间 上单调递增 D在区间 上单调递减【答案】A【详解】分析：首先确定平移之后的对应函数的解析式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可.详解：由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得函数的一个单调递增区间为，选项A正确，B错误；

27、函数的单调递减区间满足：，即，令可得函数的一个单调递减区间为，选项C，D错误；点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2为了得到的图象，可以将函数的图象（ ）A每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度B每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度C每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度D每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度【答案】D【分析】根据函数解析式判断图象平移过程即可.【详解】将每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得，再向左平移个

28、单位长度得.3已知函数的一个零点为要得到偶函数的图象，可将函数的图象（ ）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位【答案】D【分析】首先代入，求的值，再化简函数，再结合平移规律，以及偶函数的性质，即可求解.【详解】，得，所以，若向左平移个单位得到函数，函数为偶函数，即，得，AC都不符合；若向右平移个单位得到函数，函数为偶函数，即，得，当时，只有D成立.考点八、根据三角函数的图象、性质求解析式1（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷）设函数，其中，.若，且的最小正周期大于，则A，B， C， D，【答案】A【详解】由题意，其中，所以，又，所以，所以，由得【

29、考点】求三角函数的解析式【名师点睛】有关问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据周期或周期或周期求出，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求或的值或最值或范围等.2（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为 【答案】2【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.【详解】由图可知，即，所以；由五点法可

30、得，即；所以.因为，；所以由可得或；因为，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，解得，令，可得，可得的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.3（2023年新课标全国卷数学真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 【答案】【分析】设，依题可得，结合的解可得，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得【详解】设，由可得，由可知，或，由图可知，即，因为，所以，即，所以，所以或，又因为，所以，【点睛】本题主要考查根据图象求出以及

31、函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键1已知函数在一个周期内的图象如图所示；若为偶函数，则的值可以为（ ） ABCD【答案】B【分析】由图象的顶点坐标求出，由周期求出值，根据五点法作图求出，可得函数的解析式，根据为偶函数，求出的值【详解】根据函数，在一个周期内的图象，可得，再根据五点法作图，可得，所以，由于，故若为偶函数，则，即，取，则，故的值可以为，2函数的部分图象如图所示， 则（ ）ABCD【答案】D【分析】根据函数图象，依次求得的值，从而确定正确选项.【详解】由图象可知，所以，即，所以.由图象可知，当时，所以，即，由于，所以，所以.3已知函数

32、为奇函数,该函数的部分图象如图所示,EFG(G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形,则f(1)=. 【答案】-3【详解】由题意得,.又因为为奇函数，所以,所以.考点九、三角函数的零点问题1（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）函数在的零点个数为A2B3C4D5【答案】B【解析】令，得或，再根据x的取值范围可求得零点.【详解】由，得或，在的零点个数是3，【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题2（2023年辽宁省重点高中联合模拟）已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为 【答案】【分析】结合余弦函数的性质

33、可得，进而求解即可.【详解】函数在上有且仅有2个零点，由，得，所以，即，所以的取值范围为.3（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可【详解】解：依题意可得，因为，所以，要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：则，解得，即1（2018年全国卷理数高考试题）函数在的零点个数为 【答案】【分析】方法一：求出的范围，再由函数值为零，得到的取值即得零点个数【详解】方法一：【最优解】由题可知，或解得,或故有3个零点故答案为：方法二：令

34、，即，解得，分别令，得，所以函数在的零点的个数为3故答案为：【整体点评】方法一：先求出的范围，再根据余弦函数在该范围内的零点，从而解出，是该题的最优解；方法二：先求出函数的所有零点，再根据题中范围限制，找出符合题意的零点2将函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象，若函数在区间内有零点，无最值，则的取值范围是 .【答案】【分析】利用三角函数图象变换规律得，依题意得，可得，根据条件：函数在区间内有零点，无最值，结合角的范围及三角函数的性质，列出关于的不等式组，求解即可.【详解】由题意得，依题意得，因为函数在区间内有零点，无最值，解得，当时，满足条件，当时，满足条件，当或时，显然不满足条件综

35、上可得3（2022年北京市高考数学试题）若函数的一个零点为，则 ； 【答案】 1 【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为，代入自变量，计算即可.【详解】，考点十、三角函数中含有绝对值的问题常考压轴题1（2023年上海市模拟）函数的值域为 【答案】【分析】分类讨论角的象限及为轴线角即可求的值域【详解】由函数，当的终边落在第一象限时，有，又，故此时，当的终边落在第二象限时，有；当的终边落在第三象限时，有，又，故此时，当的终边落在第四象限时，有当的终边落在两个坐标轴上时，有.综上所述的值域是.2（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）关于函数有下述四个结论：f(x)是偶函数f(x)

36、在区间（,）单调递增 f(x)在有4个零点f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是（ ）ABCD【答案】C【分析】化简函数，研究它的性质从而得出正确答案【详解】为偶函数，故正确当时，它在区间单调递减，故错误当时，它有两个零点：；当时，它有一个零点：，故在有个零点：，故错误当时，；当时，又为偶函数，的最大值为，故正确综上所述，正确【点睛】画出函数的图象，由图象可得正确1（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是（ ）Af(x)=cos 2x Bf(x)=sin 2xCf(x)=cosx Df(x)= sinx【答案】A【分析】本题主要考查

37、三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养画出各函数图象，即可做出选择【详解】因为图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为，周期为，排除C，作出图象，由图象知，其周期为，在区间单调递增，A正确；作出的图象，由图象知，其周期为，在区间单调递减，排除B【点睛】利用二级结论：函数的周期是函数周期的一半；不是周期函数；考点十一、解析式中含三角函数的问题1（2022年全国高考乙卷数学（文）试题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）A BCD【答案】A【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设，则，故排除B;设，当时，所以，故排除C;设，则，

38、故排除D.2（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）函数在区间的图象大致为（ ）ABCD【答案】A【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令，则，所以为奇函数，排除BD；又当时，所以，排除C.3（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）曲线y=2sinx+cosx在点(，1)处的切线方程为ABCD【答案】C【分析】先判定点是否为切点，再利用导数的几何意义求解.【详解】当时，即点在曲线上则在点处的切线方程为，即【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养采取导数法，利用函数与方程思想解题学生易在非切点处直接求导

39、数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程1（2021年浙江省高考数学试题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（）ABCD【答案】D【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.【详解】对于A，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；对于B，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；对于C，则，当时，与图象不符，排除C.2（2020年浙江省高考数学试卷）函数y=xcosx+sinx在区间，的图象大致为（ ）ABCD【答案】A【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排

40、除错误选项即可确定函数的图象.【详解】因为，则，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD错误；且时，据此可知选项B错误.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项3（2019年天津市高考数学试卷（文科） 曲线在点处的切线方程为 .【答案】【分析】利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程【详解】，当时其值为，故所求的切线方程为，即【点睛】曲线切线方程

41、的求法：(1)以曲线上的点为切点的切线方程的求解步骤：求出函数的导数；求切线的斜率；写出切线方程，并化简(2)如果已知点不在曲线上，则设出切点，解方程组得切点，进而确定切线方程考点十二、三角函数图象与性质在解答题中的应用1（2021年浙江省高考数学试题）设函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.【详解】（1）由辅助角公式得，则，所以该函数的最小正周期;（2）由题意，由可得，所以当即时，函数取最大值.2（2020年山东

42、省春季高考数学真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数在一个周期内的图象时，列表如下：0030-30根据表中数据，求：（1）实数，的值；（2）该函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（1），；（2）最大值是3，最小值是.【分析】（1）利用三角函数五点作图法求解，的值即可.（2）首先根据（1）知：，根据题意得到，从而得到函数的最值.【详解】（1）由表可知，则，因为，所以，解得，即，因为函数图象过点，则，即，所以，解得，又因为，所以.（2）由（1）可知.因为，所以，因此，当时，即时，当时，即时，.所以该函数在区间上的最大值是3，最小值是.3（2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷）已

43、知函数（I）求的值（II）求的最小正周期及单调递增区间.【答案】（I）2；（II）的最小正周期是，.【分析】（）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值（）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间【详解】（），则，（）因为所以的最小正周期是由正弦函数的性质得，解得，所以，的单调递增区间是4（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷）已知函数.（）求的最小正周期； （）若在区间上的最大值为，求的最小值.【答案】（） ；（）.【分析】（I）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根据，可求的范围，结合函数图象的性质，可得参

44、数的取值范围.【详解】（），所以的最小正周期为.（）由（）知.因为，所以.要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.所以，即，所以的最小值为.点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.1已知函数(1)求函数的最小正周期及其单调递增区间；(2)当时，求的最小值【答案】(1)最小正周期；单调递增区间为，(2)【分析】（1）由题意，利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性和单调性，得出结论；（2）由题意，利用正弦函数的定义域和值域，求出的最小值【详解】（1）根据函数，可得函

45、数的最小正周期，由，得，函数的单调递增区间为，；（2）当时，故的最小值为2（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷）设函数，其中.已知.（）求；（）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.【答案】() .() .【详解】试题分析：（）利用两角和与差的三角函数化简得到由题设知及可得.（）由（）得从而.根据得到，进一步求最小值.试题解析：（）因为，所以由题设知，所以，.故，又，所以.（）由（）得，所以.因为，所以，当，即时，取得最小值.【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本

46、题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.3（2017年全国普通高等学校招生统一考试（江苏卷）已知向量（1）若，求x的值；（2）记，求函数yf（x）的最大值和最小值及对应的x的值【答案】（1）（2）时，取到最大值3； 时，取到最小值.【分析】（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值（2）根据求解求函数解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的的值【详解】解：（1）向量由，可得：，即，（2）由，当时，即时；当，即

47、时【点睛】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键【基础过关】1函数的定义域为（ ）.A BC D【答案】B【详解】由题意得,即,所以,解得,所以函数的定义域为.2函数的最小正周期为（ ）A B C D2【答案】C【分析】利用辅助角公式将函数化简，再利用周期公式计算可得.【详解】，【点睛】该题考查三角函数的性质与辅助角公式，属于基础题目.3的最小值为（）ABCD【答案】B【分析】利用诱导公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得.【详解】，所以当，时取最小值为.4函数在单调递减，求 .【答案】【分析】根据题意，由正弦型函数的单调

48、区间列出不等式，即可得到结果.【详解】因为函数在单调递减，所以，当时，则有，又，解得，5（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II）若在是减函数，则的最大值是（ ）AB C D【答案】A【详解】因为，所以由得因此，从而的最大值为.6（2019年天津市高考数学试卷（理科）已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（ ）A BCD【答案】C【解析】只需根据函数性质逐步得出值即可【详解】因为为奇函数，；又，又，【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数7（2023年北京市模拟）将函数图象上

49、的点向右平移个单位长度得到点P.若P位于函数的图象上，则（ ）A，的最小值为B，的最小值为C，的最小值为D，的最小值为【答案】A【分析】由题意在函数上，可得的值，求出的坐标，由题意可得关于的方程，可得的最小值【详解】点在函数上，所以，则,，将,代入中可得,，可得或，由于，所以的最小值为8（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷）函数y=sin2x的图象可能是（ ）A B C D【答案】D【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令， 因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：

50、（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复9（2023年北京市阶段性考试数学试题）设函数，将函数图像上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若对于任意的实数，恒成立，则的最小值等于（ ）ABCD【答案】C【分析】根据题意，先由三角函数的图像变换得到函数的解析式，再由，即可得到结果.【详解】将函数图像上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则可得，且对于任意的实数，恒成立，则，即，解得，且，所以当时，.10（202

51、3年山东省模拟）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（ ）A向左平移个单位长度，然后把图象上各点的坐标纵坐标伸长到原来的2倍B向右平移个单位长度，然后再把图象上各点的纵坐标缩短到原来的倍C向左平移个单位长度，然后再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍D向右平移个单位长度，然后再把图象上每点的纵坐标缩短到原来的倍【答案】A【分析】用辅助角公式先把函数化为，再用三角函数的图象变换法则即可求解.【详解】因为，把的图象上的所有点向左平移个单位长度后，得到的图象，然后再把图象上各点的坐标纵坐标伸长到原来的2倍即可得到的图象.11（2023年北京二模）已知函数的部分图象如图所示,则f(x)的表达

52、式为（ ）.A B C D【答案】A【详解】由图象知,解得,将最大值点代入,得,解得,所以.12已知函数，若，为的两个零点，则当取得最小值时， 【答案】【分析】根据给定条件，结合正弦函数的图象性质求出的函数关系，确定其最小值，进而求出，再利用诱导公式、二倍角公式计算作答.【详解】依题意，函数的周期满足，即，解得，因此当时，由，得，所以.13（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷）已知函数.（I）求f(x)的最小正周期；（II）求证：当时，【答案】（1）（2）见解析【详解】试题分析：（）首先根据两角差的余弦公式化简，再根据辅助角公式化简为，最后根据公式求周期；（）先求的范围再求

53、函数的最小值.试题解析:（）.所以的最小正周期.（）因为，所以.所以.所以当时，.【名师点睛】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，属于基础题，要求准确应用两角差的余弦公式和辅助角公式进行变形，化为标准的的形式，借助正弦函数的性质去求函数的周期、最值等，但要注意函数的定义域，求最值时要注意自变量的取值.【能力提升】1设函数，则（）A且在单调递增B且在单调递减C且在单调递增D且在单调递减【答案】C【分析】首先证明函数的周期为，然后分与两种情况分别讨论函数的值域，判断函数的单调区间即可【详解】由于，得的最小正周期不是；，则的周期为，当时，由于，得，故，当时，由于，得，故，综上所述，可

54、得的值域为，当时，由于，得，根据余弦函数性质可知在上单调递增故C选项正确2（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）A B C D【答案】C【分析】由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.【详解】由图可得：函数图象过点，将它代入函数可得：又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，所以，解得：所以函数的最小正周期为【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.3（2023届安徽省考前适应性检测数学试卷）已知函数，其中，

55、若，对任意的都有，且在上单调，则下列说法错误的是（ ）A关于对称 B C一定是奇数 D有两个不同的值【答案】B【分析】根据给定的条件，利用余弦型函数的性质、结合“五点法”作图逐一分析计算判断作答.【详解】对于函数，由知的图象关于对称， A正确；设为的最小正周期，又，且对任意的都有，则，即，从而；又由在上单调知，即，也即，则或，CD均正确；由，及有两个值知，对应也有两个值，B错误.4（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷）已知函数，则的最小值是 【答案】【分析】方法一：由，确定出函数的单调区间，减区间，从而确定出函数的最小值点，代入求得函数的最小值.【详解】方法一： 【通性

56、通法】导数法令，得，即在区间内单调递增；令，得，即在区间内单调递减则方法二： 三元基本不等式的应用因为，所以当且仅当，即时，取等号根据可知，是奇函数，于是，此时方法三： 升幂公式多元基本不等式，当且仅当，即时，根据可知，是奇函数，于是方法四： 化同角多元基本不等式+放缩，当且仅当时等号成立方法五：万能公式换元+导数求最值设，则可化为，当时，；当时，对分母求导后易知，当时，有最小值方法六： 配方法，当且仅当即时，取最小值方法七：【最优解】周期性应用导数法因为，所以，即函数的一个周期为，因此时，的最小值即为函数的最小值当时，当时， 因为，令，解得或，由，所以的最小值为【整体点评】方法一：直接利用导

57、数判断函数的单调性，得出极值点，从而求出最小值，是求最值的通性通法；方法二：通过对函数平方，创造三元基本不等式的使用条件，从而解出；方法三：基本原理同方法三，通过化同角利用多元基本不等式求解，难度较高；方法四：通过化同角以及化同名函数，放缩，再结合多元基本不等式求解，难度较高；方法五：通过万能公式化简换元，再利用导数求出最值，该法也较为常规；方法六：通过配方，将函数转化成平方和的形式，构思巧妙；方法七：利用函数的周期性，缩小函数的研究范围，再利用闭区间上的最值求法解出，解法常规，是该题的最优解5（2023年辽宁省模拟）已知函数在上单调，且的图象关于点对称，则（ ）A的周期为B若，则C将的图像向

58、右平移个单位长度后对应的函数为偶函数D函数在上有2个零点【答案】B【分析】对于A，根据题意确定周期范围，再根据图象关于点对称，结合正弦函数的对称中心求解即可；对于B，由A知，结合余弦函数的最值与周期性质判断即可；对于C，根据三角函数平移性质判断即可；对于D，根据余弦函数值直接求解即可.【详解】对于A，因为函数在上单调，所以的最小正周期T满足，即，所以，因为的图象关于点对称，所以，得，所以当时，所以，故A错误；对于B，则为，则为半周期，即，故B正确；对于C，将的图象向右平移个单位长度后得的图象，为奇函数，故C错误；对于D，即，令，当时，故仅有，故D错误6（2021年天津高考数学试题）设，函数，若

59、在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.【详解】最多有2个根，所以至少有4个根，由可得，由可得，（1）时，当时，有4个零点，即；当，有5个零点，即；当，有6个零点，即；（2）当时，当时，无零点；当时，有1个零点；当时，令，则，此时有2个零点；所以若时，有1个零点.综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足或或，则可解得a的取值范围是.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.7（2023年陕西省质量检测数学试题）同时具有下列性质：“对

60、任意，恒成立；图象关于直线对称；在上是增函数”的函数可以是（ ）ABCD 【答案】B【分析】对四个选项逐个分析判断是否具有的性质即可得到答案.【详解】由对任意，恒成立，得的周期为，对于A，的周期为，所以不符合题意，对于B，的周期为，则满足条件，因为，所以的图象关于直线对称，所以满足条件，由，得，因为在上是增函数，所以在上是增函数，所以满足条件，所以B符合题意，对于C，的周期为，则满足条件，因为，所以的图象关于直线对称，所以满足条件，由，得，因为在上不单调，所以在上不单调，所以不满足条件，所以C不符合题意，对于D，的周期为，则满足条件，因为，所以的图象不关于直线对称，所以不满足条件，所以D不符合

61、题意.8（2023年江西省部分学校调研测试数学试题）如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系如图（2），（单位：m）表示在时间（单位：）时，过山车（看作质点）离地平面的高度轨道最高点距离地平面，最低点距离地平面，入口处距离地平面时，过山车到达最高点时，过山车到达最低点，下列结论正确的是（ ）A函数的最小正周期为12B时，过山车距离地平面C时，过山车距离地平面D一个周期内过山车距离地平面低于的时间是【答案】ABD【分析】设，根据图象结合五点法可求得，从而可判断A；计算可判断B；计算可判断C；由解得，从而可求解一个周期内过山车距离地平面低于的时间，进而可判断D.【详解】

62、设，由题意可知，周期满足，得，所以，得，又，解得，所以，又，即，得，因为，所以，所以对于A， A正确；对于B， B正确；对于C， C错误；对于D，由，得，即，,解得，所以一个周期内过山车距离底面低于的时间是， D正确.9（2021年浙江省高考数学试题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）A0B1C2D3【答案】C【分析】利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值.【详解】法1：由基本不等式有，同理，故，故不可能均大于.取，则，故三式中大于的个数的最大值为2，法2：不妨设，则，由排列不等式可得：，而，故不可能均

63、大于.取，则，故三式中大于的个数的最大值为2，【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.10（2023浙江省绍兴市名校模拟）对中国文人来说，折扇既是一种身份的象征，又寄寓着个人的文化趣味折扇开合自如，开之则用，合之则藏，进退自如，逍遥自在，如下左图其平面图如下右图的扇形AOB，其中，点在弧上，则的最小值是（ ）ABC1D3【答案】A【分析】建立平面直角坐标系，表示出各点坐标，进而根据平面向量数量积的坐标表示表示出，结合三角恒等变换及正弦函数的图象及性质求解即可.【详解】建立如图所示平面直角坐标系，则，设，

64、故，则， 由，得，所以当，即时，有最小值.11已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的有 .（1）（2）的图象关于直线对称（3）（4）在上的值域为【答案】（1）（3）【分析】依据图象解出函数中的各参数，然后一一判别.【详解】由图知，.所以，.则.因为，所以，解得.所以.故（1）对.则函数图象不关于直线对称，（2）错.，（3）对.当时，令，则在上递减，在上递增，因为，所以当时，；当时，所以当时，函数的值域为，（4）错.故答案为：（1）（3）【点睛】注意图象中蕴含的周期，从而解出，在求值域时，可采用换元法或整体思想来求解.12（2019年浙江省高考数学试卷）设函数.（1）已知函数是偶

65、函数，求的值；（2）求函数 的值域.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定的值；(2)首先整理函数的解析式为的形式，然后确定其值域即可.【详解】(1)由题意结合函数的解析式可得：，函数为偶函数，则当时，即，结合可取，相应的值为.(2)由函数的解析式可得：.据此可得函数的值域为：.【点睛】本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，三角函数值域的求解，三角函数式的整理变形等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.【真题感知】1（全国甲卷理数）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）A1 B2 C3 D4【答案】C【分析

66、】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，而显然过与两点，作出与的部分大致图像如下，考虑，即处与的大小关系，当时，；当时，；当时，；所以由图可知，与的交点个数为.2（2022年高考天津卷（回忆版）数学真题）已知，关于该函数有下列四个说法：的最小正周期为；在上单调递增；当时，的取值范围为；的图象可由的图象向左平移个单位长度得到以上四个说法中，正确的个数为（ ）ABCD【答案】A【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假【详解】因为，所以的最小正周期为，不正确；令，而

67、在上递增，所以在上单调递增，正确；因为，所以，不正确；由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，不正确3（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）函数f(x)=在，的图像大致为ABCD【答案】D【分析】先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案【详解】由，得是奇函数，其图象关于原点对称又【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题4（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数的部分图像如图所示，则 .【答案】【分析】首先确定函数的解析式，然后求解的值即可.【详解】由题意

68、可得：，当时，令可得：，据此有：.故答案为：.【点睛】已知的部分图象求其解析式时，比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：(1)由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标，则令，即可求出.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.5（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 【答案】【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；【详解】解： 因为，（，）所以最小正周期，因为，又，所以，即，又为的零点，所以，解得，因为，所以当时；6（2023年新课标全国卷数学真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 【答案】【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.【详解】因为，所以，令，则有3个根，令，则有3个根，其中，结合余弦函数的图像性质可得，故，