专题12 二次函数（10类重点考向）（原卷版）.docx

1、 专题12 二次函数目录一览知识目标（新课程标准提炼）中考命题趋势（分析考察方向，精准把握重难点）重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）考向一 二次函数的图像考向二 二次函数的性质考向三 二次函数图象与系数的关系考向四 二次函数图象上点的坐标特征考向五 二次函数图象与几何变换考向六 二次函数的最值考向七 待定系数法求二次函数解析式考向八 抛物线与x轴的交点考向九 二次函数的应用考向十 二次函数综合题最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）1. 会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质；用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为ya(xh)k的形式，并能由此得

2、到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题；2. 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解结合具体情况体会二次函数的意义，能根据已知条件确定二次函数的表达式；会利用待定系数法确定二次函数的表达式3. 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为ya(xh)k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决实际问题4.能运用二次函数的知识解决综合型问题.二次函数是非常重要的函数，年年都会考查,总分值为1820分，预计2024年各地中考还会考，它经常以一个压轴题独立出现，有

3、的地区也会考察二次函数的应用题，小题的考察主要是二次函数的图象和性质及或与几何图形结合来考查。二次函数一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数二次函数解析式的三种形式1.一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0）2.顶点式：y=a（xh）2+k（a，h，k为常数，a0），顶点坐标是（h，k）3.交点式：y=a（xx1）（xx2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a0解析式二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）对称轴x=顶点（，）a的符号a0a0图象开口方向开口向上开口向下最值当x=时，y最小值=当x=时，y最大值=

4、最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x时，y随x的增大而增大当x时，y随x的增大而减小二次函数图像的平移1将抛物线解析式化成顶点式y=a（xh） 2+k，顶点坐标为（h，k） 2保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：【注意】二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式二次函数与一元二次方程1二次函数y=ax2+bx+c（a0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）2ax2+bx+c=0（a0）的解是抛

5、物线y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴交点的横坐标 3（1）b24ac0方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2）b24ac=0方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；（3）b24ac0开口向上a0（a与b同号）对称轴在y轴左侧ab0与y轴正半轴相交c0与y轴负半轴相交7（2023烟台）如图，抛物线yax2+bx+c的顶点A的坐标为（，m），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：abc0；2b+c0；若图象经过点（3，y1），（3，y2），则y1y2；若关于x的一元二次方程ax2+bx+c30无实数根，则m3其中正确结论的个数是（）A1B2C3D48（2

6、023广元）已知抛物线yax2+bx+c（a，b，c是常数且a0）过（1，0）和（m，0）两点，且3m4，下列四个结论：abc0；3a+c0；若抛物线过点（1，4），则1a；若关于x的方程a（x+1）（xm）3有实数根，则4acb212a，其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个考向四 二次函数图象上点的坐标特征9（2023广东）如图，抛物线yax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（）A1B2C3D410（2023广州）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线yx23上，且0x1x2，则y1 y2.（填“”或“”或“”）11（2023丽水）已知

7、点（m，0）和（3m，0）在二次函数yax2+bx+3（a，b是常数，a0）的图象上（1）当m1时，求a和b的值；（2）若二次函数的图象经过点A（n，3）且点A不在坐标轴上，当2m1时，求n的取值范围；（3）求证：b2+4a0考向五 二次函数图象与几何变换12（2023徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）Ay（x+3）2+2By（x1）2+2Cy（x1）2+4Dy（x+3）2+413（2023广西）将抛物线yx2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（）Ay（x3）2+4By（

8、x+3）2+4Cy（x3）24Dy（x+3）2414（2023益阳）我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数y2x的图象向上平移1个单位得到y2x+1的图象；将二次函数yx2+1的图象向左平移2个单位得到y（x+2）2+1的图象，若将反比例函数y的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是 考向六 二次函数的最值15（2023杭州）设二次函数ya（xm）（xmk）（a0，m，k是实数），则（）A当k2时，函数y的最小值为aB当k2时，函数y的最小值为2aC当k4时，函数y的最小值为aD当k4时，函数y的最小值为2a16（2023镇江）二次函数y2x2+9的最

9、大值等于 17（2023绍兴）在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形例如：如图，函数y（x2）2（0x3）的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b 考向七 待定系数法求二次函数解析式18（2023上海）一个二次函数yax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 19（2023宁波）如图，已知二次函数yx2+bx+c图象经过点A（1，2）和B（0，5）（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐

10、标（2）当y2时，请根据图象直接写出x的取值范围20（2022黑龙江）如图，抛物线yx2+bx+c经过点A（1，0），点B（2，3），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P，使PBC的面积是BCD面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由考向八 抛物线与x轴的交点21（2023衡阳）已知mn0，若关于x的方程x2+2x3m0的解为x1，x2（x1x2），关于x的方程x2+2x3n0的解为x3，x4（x3x4）则下列结论正确的是（）Ax3x1x2x4Bx1x3x4x2Cx1x2x3x4Dx3x4x1x222（2023娄底）如图，抛物

11、线yax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）、点B（3，0），与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当CDx轴时，CD 23（2023牡丹江）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（4，0），与y轴交于点C（1）求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标；（2）求BCP的面积注：注抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴是直线x，顶点坐标是（，）考向九 二次函数的应用解题技巧/易错易混1. 二次函数的实际应用在生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，解决这类问题的一般思路：首先要读懂题意，弄清题目中牵连的几个量的关系，并且建立适当的直角坐标系，再根据题目中的已知

12、条件建立数学模型，即列出函数关系式，然后运用数形结合的思想，根据函数性质去解决实际问题考察背景主要有：经济问题；物体运动轨迹问题；拱桥问题等2. 二次函数与几何图形此类问题一般是通过分析动点在几何图形边上的运动情况，确定出有关动点函数图象的变化情况分析此类问题，首先要明确动点在哪条边上运动，在运动过程中引起了哪个量的变化，然后求出在运动过程中对应的函数表达式，最后根据函数表达式判别图象的变化24（2023天津）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：AB的长可以为6m；AB的长有两个不同的值

13、满足菜园ABCD面积为192m2；菜园ABCD面积的最大值为200m2其中，正确结论的个数是（）A0B1C2D325（2023滨州）某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心的水平距离也为3m，那么水管的设计高度应为 26（2023菏泽）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药学校已定购篱笆120米（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；（2）在花园面

14、积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？考向十 二次函数综合题解题技巧/易错易混一、解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在二、函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题2.解答动点函数图象问

15、题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；3. 3.解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算26（2023绵阳）如图，抛物线经过AOD的三个顶点，其中O为原点，A（2，4），D（6，0），点F在线段AD上运动，点G在直线AD上方的抛物线上，GFA0，GEDO于点E，交AD于点I，AH平分OAD，C（2，4），AHCH于点H，连接FH（1）求抛物线的解析式及AOD的面积；（2）当点F运动至抛物线的对称轴

16、上时，求AFH的面积；（3）试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由27（2023武汉）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）如图（1），作直线xt（0t4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若BDE与CEF相似，求t的值；（3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点直线y2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由1（20

17、23牡丹江）如图，抛物线yax2+bx+c经过点（2，0），（3，0）下列结论：0；c2b；若抛物线上有点（，y1），（3，y2），（，y3），则y2y1y3；方程cx2+bx+a0的解为x1，x2其中正确的个数是（）A4B3C2D12（2021阜新）如图，二次函数ya（x+2）2+k的图象与x轴交于A，B（1，0）两点，则下列说法正确的是（）Aa0B点A的坐标为（4，0）C当x0时，y随x的增大而减小D图象的对称轴为直线x23（2023湖北）已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x1，下列结论中：ab+c0；若点（3，y1），（2，y2），

18、（4，y3）均在该二次函数图象上，则y1y2y3；若m为任意实数，则am2+bm+c4a；方程ax2+bx+c+10的两实数根为x1，x2，且x1x2，则x11，x23正确结论的序号为（）ABCD4（2023武汉）抛物线yax2+bx+c（a，b，c是常数，c0）经过（1，1），（m，0），（n，0）三点，且n3下列四个结论：b0；4acb24a；当n3时，若点（2，t）在该抛物线上，则t1；若关于x的一元二次方程ax2+bx+cx有两个相等的实数根，则其中正确的是 （填写序号）5（2023宜昌）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y（x10）（

19、x+4），则铅球推出的距离OA m6（2022六盘水）如图是二次函数yx2+bx+c的图象，该函数的最小值是 7（2023淮安）已知二次函数yx2+bx3（b为常数）（1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为（3，0），b的值是 ，点B的坐标是 ；当0y5时，借助图象，求自变量x的取值范围；（2）对于一切实数x，若函数值yt总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）；（3）当myn时（其中m、n为实数，mn），自变量x的取值范围是1x2，求n与b的值及m的取值范围8（2023济南）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，C（2，3），D（1，3）抛物线yax22a

20、x+c（a0）与x轴交于点E（2，0）和点F（1）如图1，若抛物线过点C，求抛物线的表达式和点F的坐标；（2）如图2，在（1）的条件下，连接CF，作直线CE，平移线段CF，使点C的对应点P落在直线CE上，点F的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标；（3）若抛物线yax22ax+c（a0）与正方形ABCD恰有两个交点，求a的取值范围9（2022绍兴）已知函数yx2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3）（1）求b，c的值（2）当4x0时，求y的最大值（3）当mx0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值10（2023金昌）如图1，抛物线yx2+bx与x轴交于点A，与直线yx交

21、于点B（4，4），点C（0，4）在y轴上点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止（1）求抛物线yx2+bx的表达式；（2）当BP2时，请在图1中过点P作PDOA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD的形状，并说明理由；（3）如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动连接BQ，PC，求CP+BQ的最小值11（2023青海）如图，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）（1）求此二次函数的解析式；（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）