专题12 二次函数（10类重点考向）（解析版）.docx

1、 专题12 二次函数目录一览知识目标（新课程标准提炼）中考命题趋势（分析考察方向，精准把握重难点）重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）考向一 二次函数的图像考向二 二次函数的性质考向三 二次函数图象与系数的关系考向四 二次函数图象上点的坐标特征考向五 二次函数图象与几何变换考向六 二次函数的最值考向七 待定系数法求二次函数解析式考向八 抛物线与x轴的交点考向九 二次函数的应用考向十 二次函数综合题最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）1. 会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质；用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为ya(xh)k的形式，并能由此得

2、到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题；2. 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解结合具体情况体会二次函数的意义，能根据已知条件确定二次函数的表达式；会利用待定系数法确定二次函数的表达式3. 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为ya(xh)k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决实际问题4.能运用二次函数的知识解决综合型问题.二次函数是非常重要的函数，年年都会考查,总分值为1820分，预计2024年各地中考还会考，它经常以一个压轴题独立出现，有

3、的地区也会考察二次函数的应用题，小题的考察主要是二次函数的图象和性质及或与几何图形结合来考查。二次函数一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数二次函数解析式的三种形式1.一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0）2.顶点式：y=a（xh）2+k（a，h，k为常数，a0），顶点坐标是（h，k）3.交点式：y=a（xx1）（xx2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a0解析式二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）对称轴x=顶点（，）a的符号a0a0图象开口方向开口向上开口向下最值当x=时，y最小值=当x=时，y最大值=

4、最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x时，y随x的增大而增大当x时，y随x的增大而减小二次函数图像的平移1将抛物线解析式化成顶点式y=a（xh） 2+k，顶点坐标为（h，k） 2保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：【注意】二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式二次函数与一元二次方程1二次函数y=ax2+bx+c（a0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）2ax2+bx+c=0（a0）的解是抛

5、物线y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴交点的横坐标 3（1）b24ac0方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2）b24ac=0方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；（3）b24ac0开口向上a0（a与b同号）对称轴在y轴左侧ab0与y轴正半轴相交c0与y轴负半轴相交7（2023烟台）如图，抛物线yax2+bx+c的顶点A的坐标为（，m），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：abc0；2b+c0；若图象经过点（3，y1），（3，y2），则y1y2；若关于x的一元二次方程ax2+bx+c30无实数根，则m3其中正确结论的个数是（）A1B2C3D4【思路

6、点拨】利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；利用抛物线的对称轴求出ab，根据图象可得当x1时，ya+b+c0，即可判断；利用抛物线的对称轴，设（3，y1），（3，y2）两点横坐标与对称轴的距离为d1、d2，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；根据根的判别式即可判断【规范解答】解：抛物线yax2+bx+c的顶点A的坐标为（，m），即ab0，由图可知，抛物线开口方向向下，即a0，b0，当x0时，yc0，abc0，故正确，符合题意；直线x是抛物线的对称轴，ab，由图象可得：当x1时，ya+b+c0，2b+c0，故错误，不符合题意；直线x是抛物线的对称轴，设（3，y1）

7、，（3，y2）两点横坐标与对称轴的距离为d1、d2，则，d2d1，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，y1y2，故正确，符合题意；关于x的一元二次方程ax2+bx+c30无实数根，b24a（c3）0，b24ac+12a0，b24ac12a，4acb212a，m3，故正确，符合题意故选：C【真题点拨】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质8（2023广元）已知抛物线yax2+bx+c（a，b，c是常数且a0）过（1，0）和（m，0）两点，且3m4，下列四个结论：abc0；3a+c0；若抛物线过点（1，4），则1

8、a；若关于x的方程a（x+1）（xm）3有实数根，则4acb212a，其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个【思路点拨】根据题意得出开口向下，对称轴在y轴的右侧，即可判b0，c0，则abc0；根据对称轴是直线x1，计算b2a，由抛物线yax2+bx+c（a，b，c是常数），过A（1，0），得到ab+c0，即可得到3a+c0；由待定系数法确定抛物线yax2+2x+2a，根据题意抛物线为ya（x+1）（xm）ax2+a（1m）xam，即可得出am2a，则m1，根据3m4，即可得出关于a的不等式，解得即可；抛物线yax2+bx+c（a，b，c是常数且a0）与直线y3有交点，即可得出，求得4ac

9、b212a【规范解答】解：抛物线yax2+bx+c（a，b，c是常数），过A（1，0），B（m，0）两点，且3m4，对称轴x1，对称轴在y轴右侧，0，a0，b0，c0，abc0，故错误；1，a0，b2a，抛物线yax2+bx+c（a，b，c是常数），过A（1，0），ab+c0，3a+c0，故正确；抛物线yax2+bx+c（a，b，c是常数），过A（1，0），点（1，4），解得，抛物线yax2+2x+2a，抛物线yax2+bx+c（a，b，c是常数且a0）过（1，0）和（m，0）两点，ya（x+1）（xm）ax2+a（1m）xam，am2a，m1，3m4，314，a0，1a，故正确；若关于x的方

10、程a（x+1）（xm）3有实数根，抛物线yax2+bx+c（a，b，c是常数且a0）与直线y3有交点，4acb212a，故错误故选：B【真题点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，函数与方程的关系，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题考向四 二次函数图象上点的坐标特征9（2023广东）如图，抛物线yax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（）A1B2C3D4【思路点拨】过A作AHx轴于H，根据正方形的性质得到AOB45，得到AHOH，利用待定系数法求得a、c的值，即可求得结论【规范解答】解：过A作AH

11、x轴于H，四边形ABCO是正方形，AOB45，AOH45，AHOH，设A（m，m），则B（0，2m），解得am1，m，ac的值为2，故选：B【真题点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据图象得出抛物线经过的点的坐标是解题的关键10（2023广州）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线yx23上，且0x1x2，则y1y2.（填“”或“”或“”）【思路点拨】依据题意，求出抛物线yx23的对称轴x0，从而由二次函数的性质，根据抛物线开口向下，故当x0时y随x的增大而减小，进而判断得解【规范解答】解：由题意得抛物线yx23的对称轴x0，又a10，抛物线yx23开口向上当x0时y随x

12、的增大而增大对于A、B当0x1x2时，y1y2故答案为：【真题点拨】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并理解是关键11（2023丽水）已知点（m，0）和（3m，0）在二次函数yax2+bx+3（a，b是常数，a0）的图象上（1）当m1时，求a和b的值；（2）若二次函数的图象经过点A（n，3）且点A不在坐标轴上，当2m1时，求n的取值范围；（3）求证：b2+4a0【思路点拨】（1）当m1时，二次函数yax2+bx+3图象过点（1，0）和（3，0），用待定系数法可得a的值是1，b的值是2；（2）yax2+bx+3图象过点（m，0）和（3m，0），可知抛物线的对称轴为直线xm

13、，而yax2+bx+3的图象过点A（n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，可得m，根据2m1，即得4n2；（3）由抛物线过（m，0），（3m，0），可得m，b2am，把 （m，0），（3m，0）代入yax2+bx+3变形可得am2+10，故b2+4a（2am）2+4a4a（am2+1）4a00【规范解答】（1）解：当m1时，二次函数yax2+bx+3图象过点（1，0）和（3，0），解得，a的值是1，b的值是2；（2）解：yax2+bx+3图象过点（m，0）和（3m，0），抛物线的对称轴为直线xm，yax2+bx+3的图象过点A（n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，由图象的对称性得n2

14、m，m，2m1，21，4n2；（3）证明：抛物线过（m，0），（3m，0），抛物线对称轴为直线xm，m，b2am，把（m，0），（3m，0）代入yax2+bx+3得：，3+得：12am2+120，am2+10，b2+4a（2am）2+4a4a（am2+1）4a00【真题点拨】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，涉及待定系数法，不等式，方程组等知识，解题的关键是整体思想的应用考向五 二次函数图象与几何变换12（2023徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）Ay（x+3）2+2By（x1）2+2Cy

15、（x1）2+4Dy（x+3）2+4【思路点拨】直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案【规范解答】解：将二次函数y（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为y（x+12）2+31，即y（x1）2+2故选：B【真题点拨】本题主要考查二次函数的几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的法则是解题的关键13（2023广西）将抛物线yx2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（）Ay（x3）2+4By（x+3）2+4Cy（x3）24Dy（x+3）24【思路点拨】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解得即可【规范解答】

16、解：将抛物线yx2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是y（x3）2+4故选：A【真题点拨】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟记“左加右减，上加下减”的法则是解决问题的关键14（2023益阳）我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数y2x的图象向上平移1个单位得到y2x+1的图象；将二次函数yx2+1的图象向左平移2个单位得到y（x+2）2+1的图象，若将反比例函数y的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是 y3【思路点拨】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可【规范解答】解：由题意，将反比例函数y的图象向下平移3个单位，得

17、到的图象对应的函数表达式为y3故答案为：y3【真题点拨】本题考查的是一次函数、二次函数、反比例函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键考向六 二次函数的最值15（2023杭州）设二次函数ya（xm）（xmk）（a0，m，k是实数），则（）A当k2时，函数y的最小值为aB当k2时，函数y的最小值为2aC当k4时，函数y的最小值为aD当k4时，函数y的最小值为2a【思路点拨】令y0，求出二次函数与x轴的交点坐标，继而求出二次函数的对称轴，再代入二次函数解析式即可求出顶点的纵坐标，最后代入k的值进行判断即可【规范解答】解：令y0，则（xm）（xmk）0，x1m，x2m+

18、k，二次函数ya（xm）（xmk）与x轴的交点坐标是（m，0），（m+k，0），二次函数的对称轴是：直线，a0，y有最小值，当时，y最小，即，当k2时，函数y的最小值为；当k4时，函数y的最小值为，故选：A【真题点拨】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握求二次函数的顶点坐标是解题的关键16（2023镇江）二次函数y2x2+9的最大值等于 9【思路点拨】依据题意，根据二次函数的图象与性质，由二次函数y2x2+9的a20，开口向下，结合解析式可以得解【规范解答】解：由题意，根据二次函数的图象与性质，由二次函数y2x2+9的a20，开口向下，二次函数y2x2+9有最大值为9故答案为：9【真题点拨】

19、本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时需要熟练掌握并理解是关键17（2023绍兴）在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形例如：如图，函数y（x2）2（0x3）的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b或【思路点拨】根据题意求得点A（3，0），B（3，4），C（0，4），然后分两种情况，利用待定系数法求出解析式即可【规范解答】解：由y（x2）2（0x3），当x0时，y4，C（0，4），A（3，0），四边形ABCO是矩形，B（3，4），当抛物线

20、经过O、B时，将点O（0，0），B（3，4）代入yx2+bx+c（0x3）得，解得b；当抛物线经过A、C时，将点A（3，0），C（0，4）代入yx2+bx+c（0x3）得，解得b，综上所述，b或b，故答案为：或，【真题点拨】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，能够理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键考向七 待定系数法求二次函数解析式18（2023上海）一个二次函数yax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是yx2+1（答案不唯一）【思路点拨】根据二次函数的图象与系数的关系求解（答案不唯一）【规范解答】解：由题意得：b0，a0，c0

21、，这个二次函数的解析式可以是：yx2+1，故答案为：yx2+1（答案不唯一）【真题点拨】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握数形结合思想是解题的关键19（2023宁波）如图，已知二次函数yx2+bx+c图象经过点A（1，2）和B（0，5）（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标（2）当y2时，请根据图象直接写出x的取值范围【思路点拨】（1）用待定系数法求出函数表达式，配成顶点式即可得顶点坐标；（2）求出A关于对称轴的对称点坐标，由图象直接可得答案【规范解答】解：（1）把A（1，2）和B（0，5）代入yx2+bx+c得：，解得，二次函数的表达式为yx2+2x5，yx2+2x5（x+1）2

22、6，顶点坐标为（1，6）；（2）如图：点A（1，2）关于对称轴直线x1的对称点C（3，2），当y2时，x的范围是3x1【真题点拨】本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出函数表达式20（2022黑龙江）如图，抛物线yx2+bx+c经过点A（1，0），点B（2，3），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P，使PBC的面积是BCD面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【思路点拨】（1）待定系数法求解析式即可；（2）设抛物线上的点P坐标为（m，m22m3），结合方程思想和三角形面积公式列方程求解【规范解答】解：（

23、1）抛物线yx2+bx+c经过点A（1，0），点B（2，3），解得b2，c3，抛物线的解析式：yx22x3；（2）存在，理由如下：yx22x3（x1）24，D点坐标为（1，4），令x0，则yx22x33，C点坐标为（0，3），又B点坐标为（2，3），BCx轴，SBCD211，设抛物线上的点P坐标为（m，m22m3），SPBC2|m22m3（3）|m22m|，当|m22m|41时，解得m1，当m1+时，m22m31，当m1时，m22m31，综上，P点坐标为（1+，1）或（1，1）【真题点拨】本题考查二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法，理解二次函数图象上点的坐标特征，利用方程思想解题

24、是关键考向八 抛物线与x轴的交点21（2023衡阳）已知mn0，若关于x的方程x2+2x3m0的解为x1，x2（x1x2），关于x的方程x2+2x3n0的解为x3，x4（x3x4）则下列结论正确的是（）Ax3x1x2x4Bx1x3x4x2Cx1x2x3x4Dx3x4x1x2【思路点拨】画出抛物线yx2+2x3，直线ym，直线yn，根据一元二次方程与二次函数的关系，观察图象可得答案【规范解答】解：关于x的方程x2+2x3m0的解为抛物线yx2+2x3与直线ym的交点的横坐标，关于x的方程x2+2x3n0的解为抛物线yx2+2x3与直线yn的交点的横坐标，如图：由图可知，x1x3x4x2，故选：B

25、【真题点拨】本题考查一元二次方程与二次函数的关系，解题的关键是画出图象，数形结合解决问题22（2023娄底）如图，抛物线yax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）、点B（3，0），与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当CDx轴时，CD4【思路点拨】先根据点A和点B的坐标求出该抛物线的对称轴，再根据二次函数具有对称性，即可得到点D的横坐标，从而可以求得CD的长【规范解答】解：抛物线yax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）、点B（3，0），该抛物线的对称轴为直线x2，抛物线与y轴相交于点C，点D在抛物线上，CDx轴，点D的横坐标为：2204，CD404，故答案为：4【真题点拨】本题考查抛物线与

26、x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答23（2023牡丹江）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（4，0），与y轴交于点C（1）求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标；（2）求BCP的面积注：注抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴是直线x，顶点坐标是（，）【思路点拨】（1）直接运用待定系数法即可求解（2）连接OP，用割补求解即可【规范解答】解：（1）抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（4，0），解得，抛物线的解析式为yx23x4，P（，）；（2）连接OP，A（1，0），B（4，0），C（0，4）

27、，P（，）；SOPC3，SBOP，SBOC8，SBPCSOPC+SBOPSBOC3+8【真题点拨】本题考查二次函数的图象性质和三角形的面积，学会灵活求三角形的面积是解题关键考向九 二次函数的应用解题技巧/易错易混1. 二次函数的实际应用在生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，解决这类问题的一般思路：首先要读懂题意，弄清题目中牵连的几个量的关系，并且建立适当的直角坐标系，再根据题目中的已知条件建立数学模型，即列出函数关系式，然后运用数形结合的思想，根据函数性质去解决实际问题考察背景主要有：经济问题；物体运动轨迹问题；拱桥问题等2. 二次函数与几何图形此类问题一般是通过分析动点在几何图

28、形边上的运动情况，确定出有关动点函数图象的变化情况分析此类问题，首先要明确动点在哪条边上运动，在运动过程中引起了哪个量的变化，然后求出在运动过程中对应的函数表达式，最后根据函数表达式判别图象的变化24（2023天津）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：AB的长可以为6m；AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2；菜园ABCD面积的最大值为200m2其中，正确结论的个数是（）A0B1C2D3【思路点拨】设AD边长为x m，则AB边长为长为m，根据AB6列出方程，解方程求出x的

29、值，根据x取值范围判断；根据矩形的面积192解方程求出x的值可以判断；设矩形菜园的面积为y m2，根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判断【规范解答】解：设AD边长为x m，则AB边长为m，当AB6时，6，解得x28，AD的长不能超过26m，x26，故不正确；菜园ABCD面积为192m2，x192，整理得：x240x+3840，解得x24或x16，AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2，故正确；设矩形菜园的面积为y m2，根据题意得：yx（x240x）（x20）2+200，0，2026，当x20时，y有最大值，最大值为200故正确正确的有2个，故选

30、：C【真题点拨】此题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意，找到等量关系准确地列出函数解析式和方程是解题的关键25（2023滨州）某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心的水平距离也为3m，那么水管的设计高度应为 m【思路点拨】利用顶点式求得抛物线的解析式，再令x0，求得相应的函数值，即为所求的答案【规范解答】解：由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点，设这段抛物线的解析式为ya（x1）2+3该抛物线过点（3，0），0a（31）2+3，解得：ay（x1）2+3当x

31、0时，y（01）2+3+3，水管的设计高度应为m故答案为：m【真题点拨】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法及二次函数的相关性质是解题的关键26（2023菏泽）某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药学校已定购篱笆120米（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？【思

32、路点拨】（1）设垂直于墙的边为x米，根据矩形面积公式得：Sx（1203x）3x2+120x3（x20）2+1200，由二次函数性质可得答案；（2）设购买牡丹m株，根据学校计划购买费用不超过5万元，列不等式可解得答案【规范解答】解：（1）设垂直于墙的边为x米，围成的矩形面积为S平方米，则平行于墙的边为（1203x）米，根据题意得：Sx（1203x）3x2+120x3（x20）2+1200，30，当x20时，S取最大值1200，1203x12032060，垂直于墙的边为20米，平行于墙的边为60米，花园面积最大为1200平方米；（2）设购买牡丹m株，则购买芍药12002m（2400m）株，学校计划

33、购买费用不超过5万元，25m+15（2400m）50000，解得m1400，最多可以购买1400株牡丹【真题点拨】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式考向十 二次函数综合题解题技巧/易错易混一、解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在二、函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题2.解答动点函

34、数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；3. 3.解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算26（2023绵阳）如图，抛物线经过AOD的三个顶点，其中O为原点，A（2，4），D（6，0），点F在线段AD上运动，点G在直线AD上方的抛物线上，GFA0，GEDO于点E，交AD于点I，AH平分OAD，C（2，4），AHCH于点H，连接FH（1）求抛物线的解析式及AOD的面积；（2）当点F运动至抛物线

35、的对称轴上时，求AFH的面积；（3）试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由【思路点拨】（1）运用待定系数法可得yx2+3x设点O到AD的距离为d，点A的纵坐标为yA，根据三角形面积公式即可求得SAOD12；（2）当点F运动至对称轴上时，点F的横坐标为3，可得AFAD连接OC、OH，由点A与点C关于原点O对称，可得点A、O、C三点共线，且O为AC的中点推出HOAD，可得点H到AD的距离为d再根据三角形面积公式即可求得答案；（3）过点A作ALOD于点L，过点F作FKGE于点K运用勾股定理可得OA2再证得FIK为等腰直角三角形设FKm，则KIm，再运用解直角三角形可求得G

36、K2m，FGm，即可求得答案【规范解答】解：（1）设抛物线的解析式为yax2+bx（a0）将A（2，4），D（6，0）代入，得，解得：，yx2+3x设点O到AD的距离为d，点A的纵坐标为yA，SAODADdODyA6412（2）yx2+3x（x3）2+，抛物线的对称轴为直线x3当点F运动至对称轴上时，点F的横坐标为3，则，即AFAD如图，连接OC、OH，由点C（2，4），得点A与点C关于原点O对称，点A、O、C三点共线，且O为AC的中点AHCH，OHACOA，OAHAHOAH平分CAD，OAHDAH，AHODAH，HOAD，HO与AD间的距离为d，点H到AD的距离为dSAFHAFd，SAODA

37、Dd12，SAFHAFdADd（ADd）123当点F运动至抛物线的对称轴上时，AFH的面积为3；（3）如图，过点A作ALOD于点L，过点F作FKGE于点K由题意得AL4，OL2，OA2DLODOL624，在RtADL中，ALDL，ADL45，GEDO，FIK45，即FIK为等腰直角三角形设FKm，则KIm，在RtAOL和RtGFK中，GFAO，AOLGFK，tanAOLtanGFK，即，GK2m，GIGK+KI2m+m3m又sinAOLsinGFK，即，FGm，的值是定值，定值为【真题点拨】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，图

38、形的面积计算，相似三角形判定和性质，解直角三角形等，添加辅助线构造直角三角形是解题关键27（2023武汉）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）如图（1），作直线xt（0t4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若BDE与CEF相似，求t的值；（3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点直线y2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由【思路点拨】（1

39、）分别令x、y为0，解方程即可求得点A、B、C的坐标；（2）分两种情况：若BE1D1CE1F1 时，可得BCF1CBO，由平行线的判定可得CF1OB，即CF1x轴，点F与C的纵坐标相同，建立方程求解即可若BE2D2F2E2C 时，过 F2 作F2Ty轴于点T可证得BCOCF2T，即，解方程即可求得答案；（3）由题意知抛物线C2：yx2，联立方程求解即可得G（2，4）根据中点坐标公式可得H（1，2）设 M（m，m2），N（n，n2），可得直线MN的解析式为y（m+n）xmn将点H的坐标代入可得mnm+n2同理，直线GN的解析式为y（n+2）x2n；直线MO的解析式为ymx联立方程组求解可得P（，

40、）代入ykx+b，整理得2m+2n42kn+bnbm+2bbm+（2k+b）n+2b，比较系数可得k2，b2，故点P在定直线y2x2上【规范解答】解：（1）当y0时，x22x80，解得：x12，x24，当x0时，y8，A（2，0），B（4，0），C（0，8）（2）F是直线xt与抛物线 C1的交点，F（t，t22t8）如图，若BE1D1CE1F1时则BCF1CBO，CF1OBC（0，8），t22t88解得：t0（舍去）或t2如图，若BE2D2F2E2C时过 F2 作F2Ty轴于点TBCF2BD2E290，CBO+BCO90，F2CT+BCO90，F2CTOBC，又CTF2BOC，BCOCF2T，

41、B（4，0），C（0，8），OB4，OC8F2Tt，CT8（t22t8）2tt2，2t23t0，解得：t0（舍去）或 ，综上，符合题意的t的值为2或；（3）点P在一条定直线上由题意知抛物线C2：yx2，直线OG的解析式为y2x，G（2，4）H是OG的中点，H（1，2）设 M（m，m2），N（n，n2），直线MN的解析式为yk1x+b1则，解得：，直线MN的解析式为y（m+n）xmn直线MN经过点H（1，2），mnm+n2同理，直线GN的解析式为y（n+2）x2n；直线MO的解析式为ymx联立，得，直线OM与NG相交于点P，nm+20解得：，mnm+n2，P（，）设点P在直线ykx+b上，则，整

42、理得，2m+2n42kn+bnbm+2bbm+（2k+b）n+2b，比较系数，得，k2，b2当k2，b2时，无论m，n为何值时，等式恒成立点P在定直线y2x2上【真题点拨】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线与坐标轴的交点，相似三角形的判定和性质，一次函数图象上点的坐标特征等要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，运用分类讨论思想思考解决问题1（2023牡丹江）如图，抛物线yax2+bx+c经过点（2，0），（3，0）下列结论：0；c2b；若抛物线上有点（，y1），（3，y2），（，y3），则y2y1y3；方程cx2+bx+a0的解为x1，x2其中正确的个数是（）A4B3

43、C2D1【思路点拨】由二次函数的图象可判断出个系数的符号，即可判断，由对称轴可判断，然后根据增减性可判断，由根与系数的关系可判断【规范解答】解：抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，a0，b0，c0，错误；抛物线yax2+bx+c经过点（2，0），（3，0）对称轴为直线x，即，ba，ab，把（2，0）代入解析式得4a2b+c0，把ab，4b2b+c0，c6b，故错误；抛物线开口向下，越靠近对称轴的点的函数值越大，y2y1y3，故正确；ab，c6b，选项可变成6bx2+bxb0，即6x2+x10；即可求出两根，x2，故错误故选：D【真题点拨】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握

44、二次函数的性质是解题关键2（2021阜新）如图，二次函数ya（x+2）2+k的图象与x轴交于A，B（1，0）两点，则下列说法正确的是（）Aa0B点A的坐标为（4，0）C当x0时，y随x的增大而减小D图象的对称轴为直线x2【思路点拨】因为图象开口方向向上，所以a0，故A错误，因为图象对称轴为直线x2，且过B（1，0），所以A点坐标为（3，0），故B错误，D正确，当x0时，由图象可知y随x的增大先减小后增大，故C错误，即选D【规范解答】解：二次函数ya（x+2）2+k的图象开口方向向上，a0，故A错误，图象对称轴为直线x2，且过B（1，0），A点的坐标为（3，0），故B错误，D正确，由图象知，当x

45、0时，由图象可知y随x的增大先减小后增大，故C错误，故选：D【真题点拨】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图形性质是解题的关键3（2023湖北）已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x1，下列结论中：ab+c0；若点（3，y1），（2，y2），（4，y3）均在该二次函数图象上，则y1y2y3；若m为任意实数，则am2+bm+c4a；方程ax2+bx+c+10的两实数根为x1，x2，且x1x2，则x11，x23正确结论的序号为（）ABCD【思路点拨】由抛物线经过（1，0）可判断，由各点到抛物线对称轴的距离大小可判断从而判断，由x1时

46、y取最大值可判断，由抛物线的对称性可得抛物线与x轴交点坐标，从而判断【规范解答】解：抛物线经过（1，0），ab+c0，正确，a0，抛物线开口向下，点（3，y1），（2，y2），（4，y3）均在该二次函数图象上，且点（3，y1）到对称轴的距离最大，点（2，y2）到对称轴的距离最小，y1y3y2，错误；1，b2a，ab+c0，cba3a，抛物线的最大值为a+b+c，若m为任意实数，则am2+bm+ca+b+c，am2+bm+c4a，正确；方程ax2+bx+c+10的两实数根为x1，x2，抛物线与直线y1的交点的横坐标为x1，x2，由抛物线对称性可得抛物线与x轴另一交点坐标为（3，0），抛物线与x轴

47、交点坐标为（1，0），（3，0），抛物线开口向下，x1x2，x11，x23，正确故选：B【真题点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系4（2023武汉）抛物线yax2+bx+c（a，b，c是常数，c0）经过（1，1），（m，0），（n，0）三点，且n3下列四个结论：b0；4acb24a；当n3时，若点（2，t）在该抛物线上，则t1；若关于x的一元二次方程ax2+bx+cx有两个相等的实数根，则其中正确的是 （填写序号）【思路点拨】根据图象经过（1，1），c0，且抛物线与x轴的一个交点一定在（3，0）或（3，0）的右侧，判断出抛物线的开口向下，即a0，再

48、把（1，1）代入 yax2+bx+c 得a+b+c1，即可判断错误；先得出抛物线的对称轴在直线x1.5的右侧，得出抛物线的顶点在点（1，1）的右侧，得出，根据4a0，利用不等式的性质即可得出4acb24a，即可判断正确；先得出抛物线对称轴在直线 x1.5 的右侧，得出（1，1）到对称轴的距离大于（2，t）到对称轴的距离，根据a0，抛物线开口向下，距离抛物线的对称轴越近的函数值越大，即可得出正确；根据方程有两个相等的实数解，得出（b1）24ac0，把（1，1）代入yax2+bx+c 得a+b+c1，即1ba+c，求出ac，根据根与系数的关系得出 ，即 ，根据 n3，得出 求出m的取值范围，即可判

49、断正确【规范解答】解：图象经过（1，1），c0，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点 都在（1，0）的左侧，（n，0）中n3，抛物线与x轴的一个交点一定在（3，0）或（3，0）的右侧，抛物线的开口一定向下，即a0，把（1，1）代入yax2+bx+c 得：a+b+c1，即b1ac，a0，c0，b0，故错误；a0，b0，c0，方程ax2+bx+c0的两个根的积大于0，即mn0，n3，m0，即抛物线的对称轴在直线x1.5的右侧，抛物线的顶点在点（1，1）的上方或者右上方，4a0，4acb24a，故正确；m0，当 n3 时，抛物线对称轴在直线x1.5的右侧，（1，1

50、）到对称轴的距离大于（2，t）到对称轴的距离，a0，抛物线开口向下，距离抛物线越近的函数值越大，t1，故正确；方程ax2+bx+cx可变为ax2+（b1）x+c0，方程有两个相等的实数解，（b1）24ac0把（1，1）代入 yax2+bx+c 得a+b+c1，即1ba+c，（a+c）24ac0，即a2+2ac+c24ac0，（ac）20，ac0，即ac，（m，0），（n，0）在抛物线上，m，n为方程 ax2+bx+c0 的两个根，n3， 故正确综上，正确的结论有：故答案为：【真题点拨】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，数形结合法，抛物线与x轴的交点，二次函

51、数与一元二次方程的联系，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数的性质和二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键5（2023宜昌）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y（x10）（x+4），则铅球推出的距离OA10m【思路点拨】令y0，得到关于x的方程，解方程即可得出结论【规范解答】解：令y0，则（x10）（x+4）0，解得：x10或x4（不合题意，舍去），A（10，0），OA10m故答案为：10【真题点拨】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质和利用点的坐标表示出相应线段的线段是解题的关键6（2022六盘水）如图是二次函数yx2

52、+bx+c的图象，该函数的最小值是 4【思路点拨】根据二次函数图象得出其对称轴和与x轴交点，进而得出二次函数解析式，即可求出最小值【规范解答】解：由函数图象可得：1，解得：b2，图象经过（3，0）点，0（3）232+c，解得：c3，故二次函数解析式为：yx2+2x3，则二次函数的最小值为：4故答案为：4【真题点拨】此题主要考查了二次函数的最值以及二次函数的图象，正确求出二次函数解析式是解题关键7（2023淮安）已知二次函数yx2+bx3（b为常数）（1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为（3，0），b的值是 2，点B的坐标是 （1，0）；当0y5时，借助图象，求自变量x的取值范围；（

53、2）对于一切实数x，若函数值yt总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）；（3）当myn时（其中m、n为实数，mn），自变量x的取值范围是1x2，求n与b的值及m的取值范围【思路点拨】（1）依据题意，由二次函数yx2+bx3过点A（3，0）代入可得b，进而得二次函数解析式，从而可以求出B；依据题意，由令y0，y5分别求出对应自变量进而可以得解；（2）依据题意，由不等式变形得x2+bx3t0，对于一切实数成立，即对函数yx2+bx3t与x轴无交点，可得0，进而可以得解；（3）依据题意可得抛物线上横坐标为x1与x2的两点关于对称轴对称，从而求出b，进而得二次函数解析式，再由自变量x的取值范围是1

54、x2，可得n的值，最后可以求出m的范围【规范解答】解：（1）由二次函数yx2+bx3过点A（3，0），9+3b30b2二次函数为：yx22x3令y0，x22x30解得，x1或x3B（1，0）故答案为：2；（1，0）由题意，令yx22x35，x4或x2又a10，二次函数图象开口向上当0y5时，满足题意的自变量有两部分，2x1或3x4（2）由题意，对于一切实数x，若函数值yt总成立，即x2+bx3t恒成立即x2+bx3t0yx2+bx3t开口向上，b24（3t）0t（3）由题意，抛物线上横坐标为x1与x2的两点关于对称轴对称，对称轴xb3二次函数为yx23x3（x）2当x1或x2时，y5，即此时n

55、5由题意，my5时，自变量x的取值范围是1x2，m【真题点拨】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键8（2023济南）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，C（2，3），D（1，3）抛物线yax22ax+c（a0）与x轴交于点E（2，0）和点F（1）如图1，若抛物线过点C，求抛物线的表达式和点F的坐标；（2）如图2，在（1）的条件下，连接CF，作直线CE，平移线段CF，使点C的对应点P落在直线CE上，点F的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标；（3）若抛物线yax22ax+c（a0）与正方形ABCD恰有两个交点，求a的取值范围【思路点拨】（1）抛

56、物线 yax22ax+c 过点C（2，3），E（2，0），代入即可求得解析式，令y0即可求得F点的坐标；（2）设直线CE的表达式为 ykx+b，直线过点C（2，3），E（2，0），代入即可求得解析式，则点Q向左平移2个单位，向上平移3个单位得点 ，代入即可；（3）求出顶点坐标，再分情况解答即可【规范解答】解：（1）抛物线 yax22ax+c 过点C（2，3），E（2，0），得 ，解得，抛物线表达式为 ，当 y0 时，解得 x12 （舍去），x24，F（4，0）；（2）设直线CE的表达式为 ykx+b，直线过点C（2，3），E（2，0），得 ，解得 ，直线CE的表达式为 ，设点 ，则点Q向左平移

57、2个单位，向上平移3个单位得到点 ，将 代入 ，解得 t14，t24 （舍去），Q点坐标为（4，6）；（3）将 E（2，0）代入 yax22ax+c 得c8a，yax22ax8aa（x1）29a，顶点坐标为 （1，9a），当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，09a3，解得 ，当抛物线与直线BC交点在点C上方，且与直线AD交点在点D下方时，与正方形有两个交点，解得 综上所述，a的取值范围为 或 【真题点拨】本题考查一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，坐标与图形的性质，求得点的坐标解题的关键9（2022绍兴）已知函数yx2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，

58、3）（1）求b，c的值（2）当4x0时，求y的最大值（3）当mx0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值【思路点拨】（1）将图象经过的两个点的坐标代入二次函数解析式解答即可；（2）根据x的取值范围，二次函数图象的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质判定y的最大值即可；（3）根据对称轴为x3，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出m的取值范围即可【规范解答】解：（1）把（0，3），（6，3）代入yx2+bx+c，得b6，c3（2）yx26x3（x+3）2+6，又4x0，当x3时，y有最大值为6（3）当3m0时，当x0时，y有最小值为3，当xm时，y有最大值为m26m3，m26m3+（3）2，m

59、2或m4（舍去）当m3时，当x3时y有最大值为6，y的最大值与最小值之和为2，y最小值为4，（m+3）2+64，m或m（舍去）综上所述，m2或【真题点拨】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识，正确分类讨论得出m的取值范围是解题关键10（2023金昌）如图1，抛物线yx2+bx与x轴交于点A，与直线yx交于点B（4，4），点C（0，4）在y轴上点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止（1）求抛物线yx2+bx的表达式；（2）当BP2时，请在图1中过点P作PDOA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD的形状，并说明理由；（3）如图2，点P从点

60、B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动连接BQ，PC，求CP+BQ的最小值【思路点拨】（1）利用待定系数法将B点坐标代入抛物线yx2+bx中，即可求解（2）作辅助线，根据题意，求出PD的长，PDOC，PDOC，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证（3）作出图，证明CBPMOQ（SAS），CP+BQ的最小值为MB，根据勾股定理求出MB即可解答【规范解答】解：（1）抛物线yx2+bx过点B（4，4），16+4b4，b3，yx2+3x答：抛物线的表达式为yx2+3x（2）四边形OCPD是平行四边形，理由如下：如图1，作PD

61、OA交x轴于点H，连接PC、OD，点P在yx上，OHPH，POH45，连接BC，OCBC4，当xD2时，DHyD4+322，PDDH+PH2+24，C（0，4），OC4，PDOC，OCx轴，PDx轴，PDOC，四边形OCPD是平行四边形（3）如图2，由题意得，BPOQ，连接BC，在OA上方作OMQ，使得MOQ45，OMBC，OCBC4，BCOC，CBP45，CBPMOQ，BPOQ，CBPMOQ，BCOM，CBPMOQ（SAS），CPMQ，CP+BQMQ+BQMB（当M，Q，B三点共线时最短），CP+BQ的最小值为MB，MOBMOQ+BOQ45+4590，即CP+BQ的最小值为4答：CP+BQ的

62、最小值为4【真题点拨】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题11（2023青海）如图，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）（1）求此二次函数的解析式；（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）【思路点拨】（1）将B，C两点坐标代入抛物线的解析式，进一步得出结果；（2）连接OP，将二次函数的解析式配方求得顶点

63、的坐标，令y0求得A的坐标，从而求得OQ，PQ，OA的长，再根据S四边形AOBPSAOP+SBOP求得结果；（3）设M（1，m），表示出AM和BM，根据AM2BM2列出方程求得m的值，进而求得结果【规范解答】解：（1）由题意得，yx22x+3；（2）如图，连接OP，yx22x+3（x+1）2+4，P（1，4），PQ4，OQ1，由x22x+30得，x11，x23，OA3，S四边形AOBPSAOP+SBOP；（3）设M（1，m），由AM2BM2得，（3）（1）2+m2（1）2+（m3）2，m1，M（1，1）【真题点拨】本题考查了二次函数及其图象的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识