专题12 全等模型-角平分线模型（教师卷）.docx

1、专题12 全等模型-角平分线模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）【模型解读与图示】条件：如图1，为的角平分线、于点A时，过点C作.结论：、. 图1 图2常见模型1（直角三角形型）条件：如图2，在中，为的角平分线，过点D作.结论：、.（当是等腰直角三角形时，还有.） 图3常见模型2（邻等对补型）条件：如图3，OC是COB的角平分线，AC=BC，过点C作CDOA、CEOB。结

2、论：；.例1（2022北京中考真题）如图，在中，平分若则_【答案】1【分析】作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可【详解】解：如图，作于点F，平分，故答案为：1【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边的高是解题的关键例2（2022山东泰安中考真题）如图，ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC的平分线BP交于点P，若BPC40，则CAP（）A40B45C50D60【答案】C【分析】根据外角与内角性质得出BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出CAPFAP，即可得出答案.【详解】解：延长BA，作PNBD，PFBA，PMA

3、C，设PCDx，CP平分ACD，ACPPCDx，PMPN，BP平分ABC，ABPPBC，PFPN，PFPM，BPC40，ABPPBCPCDBPC（x40），BACACDABC2x（x40）（x40）80，CAF100，在RtPFA和RtPMA中，RtPFARtPMA（HL），FAPPAC50故选C【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PMPNPF是解题的关键例3（2023广东中山八年级校联考期中）如图，中，、的角平分线、交于点P，延长、，则平分；上述结论中正确的是（）ABCD【答案】D【分析】过点作于，根据角平分线的判定定理和性质

4、定理即可判断结论；证明，得出，进而得到，再利用四边形内角和，即可判断结论；根据角平分线的定义和三角形的外角性质，即可判断结论；根据全等三角形的性质，即可判断结论【详解】解：如图，过点作于，平分，平分，平分，结论正确；，在和中，同理可得，结论正确；平分， ，平分，结论正确；由可知，结论正确，正确的结论是，故选：D【点睛】本题考查了角平分线的平分线的判定定理和性质定理，全等三角形的判定和性质，四边形内角和，三角形的外角性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键例4（2023秋浙江八年级专题练习）如图，四边形中，点O为的中点，且平分(1)求证：平分；(2)求证：；(3)求证：【答案】(

5、1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，从而求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可；（2）利用，证明，根据全等三角形对应角相等，可得，同理可得，然后求出，再根据垂直的定义即可证明；（3）根据全等三角形对应边相等，可得，然后根据线段之间的数量关系，即可得出结论【详解】（1）证明：过点作于，平分，点为的中点，又，平分；（2）证明：在和中，在和中，；（3）证明：，【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线的定义，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键例5（2022河北九年级专题练习）

6、已知OP平分AOB，DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G（1）如图1，若CDOA，CEOB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若AOB=120，DCE=AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析【分析】（1）结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断（2）结论：CF=CG，作CMOA于M，CNOB于N，证明CMFCNG，利用全等三角形的性质即可解决问题【详解】解：（1）结论：CF=CG； 证明：OP平分AOB，CFOA，CGOB，CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；（

7、2）CF=CG理由如下：如图，过点C作CMOA，CNOB，OP平分AOB，CMOA，CNOB，AOB=120，CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），AOC=BOC=60（角平分线的性质），DCE=AOC，AOC=BOC=DCE=60，MCO=90-60 =30，NCO=90-60 =30，MCN=30+30=60，MCN=DCE，MCF=MCN-DCN，NCG=DCE-DCN，MCF=NCG，在MCF和NCG中，MCFNCG（ASA），CF=CG（全等三角形对应边相等）【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明

8、三角形全等模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）【模型解读与图示】条件：如图1，为的角平分线，结论：AOCBOC，是等腰三角形、是三线合一等。 图1 图2 图3条件：如图2，为的角平分线，延长BA，CE交于点F.结论：BECBEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。例1（2023山东淄博校考二模）如图，点在内部，平分，且，连接若的面积为，则的面积为 【答案】4【分析】延长交于，由证明，得出，根据三角形中线的性质即可求解【详解】解：延长交于，如图所示：平分，垂直于，在和中，)，的面积为，的面积为，故答案为：【点睛】此题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，中线的

9、性质，证明三角形全等得出是解题关键例2（2022秋湖北黄冈八年级校考期中）如图， 中， 是 的角平分线， ；若的最大值为，则长为 【答案】【分析】延长和相交于点，构造出，从而求出的值；根据当时， 有最大值求解即可；【详解】解：延长和相交于点，如图： 是 的角平分线 ， 当时， 有最大值；此时，即： 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的定义；通过角平分线构造全等三角形是解题关键例3（2022绵阳市九年级期中）在ABC中，AB=AC，BAC=90，BD平分ABC交AC于点D（1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E若AB=BF，求证：BD垂直平分AF（2）如图2，CEBD，

10、垂足E在BD的延长线上试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由（3）如图3，点F为BC上一点，EFC=ABC，CEEF，垂足为E，EF与AC交于点M直接写出线段CE与线段FM的数量关系【答案】（1）见解析；（2）BD=2CE，理由见解析；（3）FM=2CE【分析】(1) 由BD平分ABC，可得ABE=FBE，可证ABEFBE（SAS），可得AE=FE，AEB=FEB=180=90即可；（2）延长CE，交BA的延长线于G，由CEBD，ABE=FBE，可得GE=2CE=2GE，可证BADCAG（ASA），可得BD=CG=2CE；（3）作FM的中垂线NH交CF于N，交FM于H，由FN=MN，MH=

11、FH=FM，可得NMH=NBH，由EFC=ABC=22.5，可求ABC=ACB=MNC=45，可得NM=CM=FN，由外角EMC=MFC+MCF=22.5+45=67.5，可求ECM=90-EMC=22.5，可证FNHCME（AAS），可得FH=CE即可【详解】证明(1) BD平分ABC，ABE=FBE，BA=BF，BE=BE，ABEFBE（SAS），AE=FE，AEB=FEB= 180=90，BD垂直平分AF（2）BD=2CE，理由如下：延长CE，交BA的延长线于G，CEBD，ABE=FBE，GE=2CE=2GE，CED=90=BAD，ADB=EDC，ABD=GCA，又AB=AC，BAD=C

12、AG，BADCAG（ASA），BD=CG=2CE， （3）FM=2 CE，理由如下：作FM的中垂线NH交CF于N，交FM于H，FN=MN，MH=FH=FM，NMH=NBH，EFC=ABC=22.5，MNC=2NFH=2ABC=ABC，AB=AC，BAC=90，ABC=ACB=MNC=45，NM=CM=FN，EMC=MFC+MCF=22.5+45=67.5，ECM=90-EMC=22.5，NFH=MCE，又FHN=E=90，FNHCME（AAS），FH=CE，FM=2FH=2CE【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线，三角形外角性质，掌握角平分线

13、性质，三角形全等判定与性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线是解题关键例4（2022安徽黄山九年级期中）如图，在中，是边上一动点，于（1）如图（1），若平分时，求的度数；延长交的延长线于点，补全图形，探究与的数量关系，并证明你的结论；（2）如图（2），过点作于点，猜想线段，之间的数量关系，并证明你的猜想【答案】（1），BD=2EC，理由见详解；（2）BE=CE+2AF，理由见详解【分析】（1）由题意易得ABC=ACB=45，则有CBD=ABD=22.5，进而可求ECD=DBA，则问题得解；由题意易得CE=EF，则可证ABDACF，进而可得BD=CF，最后根据线段的数量关系可求解；（2）在B

14、E上截取BH=CE，连接AH，则易证BHACEA，则有AE=AH，BAH=CAE，进而可得HAE=90，然后根据线段的数量关系可求解【详解】解：（1），ABC=ACB=45，BD平分ABC，CBD=ABD=22.5，ABD+BDA=CDE+ECD=90，CDE=BDA，ABD=ECD=22.5；BD=2EC，理由如下：如图所示：，CEB=FEB=90，BE=BE，CEBFEB（ASA），CE=FE，DBA+F=90，FCA+F=90，DBA=FCA，BAD=CAF=90，AB=AC，ABDACF（ASA），BD=CF，BD=2CE； （2）BE=CE+2AF，理由如下：在BE上截取BH=CE，

15、连接AH，如图，由（1）易得HBA=ECA，AB=AC，BHACEA（SAS），AH=AE，BAH=CAE，BAH+HAC=90，EAC+HAC=90，即HAE=90，AFBE，AF=HF=FE，BE=BH+HF+FE，BE=CE+2AF【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线定理及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握直角三角形斜边中线定理及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）【模型解读与图示】条件：如图，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结.结论：，CB=CA。 条件：如图，分别为和的角平分线，在上截取，连结.结论：，AB+CD=B

16、C。例1（2022秋江苏八年级专题练习）在ABC中，AD为ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若E48，AEADDC，则ABC的度数为 （2）如图2，ACAB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明（3）连接AE，若DAE90，BAC24，且满足AB+ACEC，请求出ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）【答案】（1）；（2），见解析；（3）44或104；详见解析【分析】（1）根据等边对等角，可得，再根据三角形外角的性质求出，由此即可解题；（2）在AC边上取一点M使AM=AB，构造，根据即可得出答案；

17、（3）画出图形，根据点E的位置分四种情况，当点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG=AB，可得，可得，设，则；根据BAC24，AD为ABC的角平分线，可得，可证（SAS），得出，利用还有 ，列方程；当点E在BD上时，EAD90，不成立；当点E在CD上时，EAD90，不成立；当点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB， 可得，得出，设，则；BAC24，根据AD为ABC的角平分线，得出，证明（SAS），得出，利用三角形内角和列方程，解方程即可【详解】解：（1）AEADDC，AD为ABC的角平分线，即，；（2）如图2，在AC边上取一点M使AM=AB，连接MP，在和中， ，（SAS），；（

18、3）如图，点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG=AB，AB+ACEC，AG+ACEC，即，设，则；又BAC24，AD为ABC的角平分线，又，在和中， ，（SAS），又，解得：，；当点E在BD上时，EAD90，不成立；当点E在CD上时，EAD90，不成立；如图，点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB， AB+ACEC，AG+ACEC，即，设，则；又BAC24，AD为ABC的角平分线，又，在和中， ，（SAS），解得：，ACB的度数为44或104【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质、全等三角形判定和性质，角平分线，三角形外角性质，三角形内角和，解一元一次方程，根据角平分线模型构造全

19、等三角形转换线段和角的关系是解题关键例2（2023浙江九年级专题练习）如图，在中，是的平分线，延长至点，试求的度数【答案】40【分析】在上截取，连接，通过证明，可得，再通过证明，即可求得【详解】解：如图，在上截取，连接，是的平分线，在和中，DE=DF，又，在和中，故【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键例3（2022北京九年级专题练习）在四边形中，是边的中点 （1）如图（1），若平分，则线段、的长度满足的数量关系为_；（直接写出答案）；（2）如图（2），平分，平分，若，则线段、的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明【答案】（1）AEABDE；（2）A

20、EABDEBD，证明见解析【分析】（1）在AE上取一点F，使AFAB，由三角形全等的判定可证得ACBACF，根据全等三角形的性质可得BCFC，ACBACF，根据三角形全等的判定证得CEFCED，得到EFED，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE上取点F，使AFAB，连结CF，在AE上取点G，使EGED，连结CG，根据全等三角形的判定证得ACBACF和ECDECG，由全等三角形的性质证得CFCG，进而证得CFG是等边三角形，就有FGCGBD，从而可证得结论【详解】解：（1）如图（1），在AE上取一点F，使AFABAC平分BAE，BACFAC在ACB和ACF中，ACBACF（SAS）BCFC，

21、ACBACFC是BD边的中点，BCCDCFCDACE90，ACBDCE90，ACFECF90ECFECD在CEF和CED中，CEFCED（SAS）EFEDAEAFEF，AEABDE故答案为：AEABDE；（2）AEABDEBD证明：如图（2），在AE上取点F，使AFAB，连结CF，在AE上取点G，使EGED，连结CGC是BD边的中点，CBCDBDAC平分BAE，BACFAC在ACB和ACF中，ACBACF（SAS）CFCB，BCAFCA同理可证：ECDECGCDCG，DCEGCECBCD，CGCFACE120，BCADCE18012060FCAGCE60FCG60FGC是等边三角形FGFCBD

22、AEAFEGFG，AEABDEBD【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键例4（2022湖北十堰九年级期末）在ABC中，ACB2B，如图，当C90，AD为BAC的角平分线时，在AB上截取AEAC，连结DE，易证ABACCD（1）如图，当C90，AD为BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（2）如图，当AD为ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明【答案】（1）；证明见解析；（2）；证明见解析【分析】（1）首先在AB上截取AE

23、AC，连接DE，易证ADEADC（SAS），则可得AEDC，EDCD，又由AEDACB，ACB2B，所以AED2B，即BBDE，易证DECD，则可求得ABACCD；（2）首先在BA的延长线上截取AEAC，连接ED，易证EADCAD，可得EDCD，AEDACD，又由ACB2B，易证DEEB，则可求得ACABCD【详解】（1）猜想：证明：如图，在上截取，连结， 为的角平分线时，（2）猜想：证明：在的延长线上截取，连结平分，在与中，又，【点睛】此题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型

24、课后专项训练1（2022秋福建厦门九年级校考期中）如图，（是常量）点P在的平分线上，且，以点P为顶点的绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，的两边分别与，相交于M，N两点，若始终与互补，则以下四个结论：；的值不变；四边形的面积不变；点M与点N的距离保持不变其中正确的为（）ABCD【答案】B【分析】如图作于点E，于点F，只要证明，即可一一判断【详解】解：如图所示：作于点E，于点F， ，平分， 在和中， ，在和中，故正确，定值，故正确，定值，故正确，的位置是变化的，之间的距离也是变化的，故错误；故选：B【点睛】本题考查了全等三角形的性质，角平分线的性质定理，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加辅助

25、线，构造全等三角形解决问题2（2022江苏常州一模）如图，已知四边形的对角互补，且，过顶点C作于E，则的值为（）AB9C6D72【答案】B【分析】要求值，主要求出AE和BE的长即可，注意到AC是角平分线，于是作CFAD交AD的延长线于点F，可以证得两对全等三角形，结合已知数据可以求得AE和BE的长，从而解决问题【详解】解：作CFAD交AD的延长线于点F，则CFD=90，CEAB， CEB=90， CFD=CEB=90， BAC=DAC， AC平分BAD， CE=CF， 四边形ABCD对角互补， ABC+ADC=180， 又CDF+ADC=180， CBE=CDF， 在CBE和CDF中， CBE

26、CDF（AAS）， BE=DF， 在AEC和AFC中， AECAFC（AAS）， AE=AF， 设BE=a，则DF=a， AB=15，AD=12， 12+2a=15，得， AE=12+a=，BE=a=， ， 故选B【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解答本题的关键是巧妙构造全等三角形进而得出等量关系3（2023成都中考模拟）已知，如图，BC=DC，B+D=180 连接AC，在AB，AC，AD上分别取点E，P，F，连接PE，PF 若AE=4，AF=6，APE的面积为4，则APF的面积是（）A2B4C6D8【答案】C【分析】作于点，于点，延长，取，连接，先证明，由全等三角形对应

27、边相等、对应角相等，得到，结合等边对等角得到，再由角平分线的性质证得，最后根据三角形面积公式解题即可.【详解】解：如图，作于点，于点，延长，取，连接，故选：C.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边对等角、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度一般，作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键.4（2023福建厦门九年级校考期中）如图，（是常量）点P在的平分线上，且，以点P为顶点的绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，的两边分别与，相交于M，N两点，若始终与互补，则以下四个结论：；的值不变；四边形的面积不变；点M与点N的距离保持不变其中正确的为（）ABCD【答案】B【分析】如图作于点E，于点F，

28、只要证明，即可一一判断【详解】解：如图所示：作于点E，于点F， ，平分， 在和中， ，在和中，故正确，定值，故正确，定值，故正确，的位置是变化的，之间的距离也是变化的，故错误；故选：B【点睛】本题考查了全等三角形的性质，角平分线的性质定理，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题5（2022安徽合肥一模）如图，中，AD平分，E是BC中点，则DE的值为（）A1B2CD【答案】D【分析】延长BD交AC于点F，先证明，得到BD=DF，D是BF的中点，再由中位线的性质解答即可【详解】解：延长BD交AC于点F，如图AD平分，D是BF的中点，E是BC中点，故选：D【点睛】本题

29、考查全等三角形判定与性质、中位线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键6（2022福建福州一模）如图，ABC中，ABC=45，CDAB于点D，BE平分ABC，且BEAC于点B，交CD于点F，H是BC边的中点，连接DH交BE于点G，现给出以下结论：ACDFBD；AE=CE；DGF为等腰三角形；S四边形ADGE=S四边形GHCE其中正确的有_（写出所有正确结论序号）【答案】【分析】证明ACDFBD（AAS），由全等三角形的性质得出ACBF则正确；证明ABECBE（ASA），由全等三角形的性质得出AECE，则可得出正确；证出DGFDFG，由等腰三角形的判定可得出正确过G作GMBD于点M，由

30、直角三角形的性质及全等三角形的性质得出S四边形ADGES四边形GHCE，故错误【详解】解：CDAB，CDABDF90，DBFDFB180BDF90，又BEAC，BEA90，DBFDAC180BEA90，DACDFB，又ABC45，DCB180ABCBDF45，BCD是等腰直角三角形，BDCD，在ACD和FBD中，ACDFBD（AAS），故正确；BE平分ABC，BEAC，ABECBE，BEABEC90，在ABE和CBE中，ABECBE（ASA），AECE，故正确；HBGBGH180GHB90，DBFDFG180BDF90，HBGDBF，BGHDFG，BGHDGF，DGFDFG，DGF为等腰三角形

31、故正确；如图所示，过G作GMBD于点M，H为等腰直角BCD斜边BC的中点，DHBC，即GHB90，又BE平分ABC，GMBD，GMGH，又BDBH，SBDGSBGH，又ABECBE，SABESCBE，S四边形ADGESABESBDG，S四边形GHCESCBESBGH，S四边形ADGES四边形GHCE，故错误；综上所述：正确的有故答案为：【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，证明ABECBE是解题的关键7（2023黑龙江哈尔滨统考模拟预测）如图，四边形中，为上一点，连接，若，则线段的长为 【答案】【分析】如下图，先构造并证明，从而得

32、出，再根据可推导出，最后在RtACM中求解【详解】解析：连接，过点作于点，于点，设，则，设，则，在中，由勾股定理得解得【点睛】本题考查了构造并证明全等三角形、勾股定理的运用，解题关键是利用进行角度转化，得到边8（2023达州校考一模）如图，已知四边形中，平分，求证：【答案】见解析【分析】过分别作，交的延长线于点，作于点，则由角平分线的性质得AE=AF，再证RtAEDRtAFB(HL)，得EDA=B，再由邻补角性质可得出结论【详解】证明：过分别作，交的延长线于点，作于点， CA平分，在和中， RtAEDRtAFB(HL)，EDA=B，EDA+ADC=180B+ADC=180【点睛】本题考查角平分

33、线的性质，全等三角形的判定和性质，过分别作，交的延长线于点，作于点，构造全等三角形是解题的关键9（2022安徽芜湖九年级期中）如图，已知，是的平分线，且交的延长线于点E求证：【答案】见解析【分析】延长与的延长线相交于点F，可以证明，再证明，得到，即可得出结论【详解】证明：如图，延长与的延长线相交于点F，在和中，是的平分线，在和中，【点睛】本题主要考查了角平分线性质，全等三角形判定和性质，能够想到延长CE、BA相交于点F，构造全等三角形是解决本题的关键10（2022江苏扬州中考真题）如图，在中，分别平分，交于点(1)求证：；(2)过点作，垂足为若的周长为56，求的面积【答案】(1)见详解(2)8

34、4【分析】（1）由平行四边形的性质证即可求证；（2）作，由即可求解；（1）证明：在中，分别平分，在和中，（2）如图，作，的周长为56，平分，【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、三角形的全等、角平分线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键11（2022秋湖北武汉九年级校联考阶段练习）如图，在ABE中，D、C分别在AE、BE上且CDCB，AC平分EAB，CHAB于点H(1)求证：；(2)若AD3，AB8，求AH的长【答案】(1)证明见解析 (2)【分析】（1）过点作于点，先根据角平分线的性质可得，再根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证；（2）过点作于点，先根据全等三角形的性质

35、可得，设，则，再根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，据此建立方程，解方程即可得【详解】（1）证明：如图，过点作于点，平分，在与中，（2）解：如图，过点作于点，由（1）已证：，设，则，在和中，解得，即的长为【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键12（2023宁夏银川校考二模）问题提出（1）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点C，画射线，连接，则图中与全等的是_；问题探究（2）如图，在中，平分，过点D作于点M，连接，若，求证：；问题解决（3）

36、如图，工人刘师傅有块三角形铁板，他需要利用铁板的边角裁出一个四边形，并要求，刘师傅先在纸稿上画出了三角形铁板的草图，再用尺规作出的平分线交于点D，作的平分线交于点E，交于点F，得到四边形请问，若按上述作法，裁得的四边形是否符合要求？请证明你的结论【答案】（1）；（2）见解析；（3）裁得的四边形符合要求，理由见解析【分析】（1）利用证明即可求解；（2）过点D作交的延长线于点N，证明，推出，结合已知推出，再证明，据此即可求解；（3）作出如图的辅助线，利用角平分线的定义结合四边形的内角和定理推出，证明，据此即可证明结论【详解】解：（1），理由如下：由作法知，又，故图中与全等的是，故答案为：；（2）如

37、图，过点D作交的延长线于点N，平分，即，；（3）符合要求，证明：如图，过点F分别作于点G，作于点H，作于点K，分别是的平分线，在四边形中，在中，在和中，裁得的四边形符合要求【点睛】本题考查了角平分线性质定理，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造全等三角形的解题的关键13（2022江苏一模）如图，已知，AE，BD是的角平分线，且交于点P（1）求的度数（2）求证：点在的平分线上（3）求证：；【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析，见解析【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的性质即可得解；（2）根据角平分线上的点到两边的距离相等，作，分别垂直于，即可得解；（3）根据（2）所做图像，证

38、明全等即可得解；在AB上取，证明，得到，证明，得到，证明，得到，再结合图像即可证明【详解】解：（1）已知，又 AE，BD是的角平分线，；（2）作，分别垂直于，如图， AE，BD是的角平分线，在的平分线上；（3）：如图所示，在四边形中，（对顶角），又，；：在AB上取，同理可证，又，又，又，【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质；掌握好相关的基本性质定理，熟练地使用全等三角形的性质是关键14（2022北京西城二模）在ABC中，AB=AC，过点C作射线CB，使ACB=ACB（点B与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且

39、DAE+ACD=90(1)如图1，当点E与点C重合时，AD 与的位置关系是_，若，则CD的长为_；（用含a的式子表示）(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE用等式表示与之间的数量关系，并证明；用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明【答案】(1)ADCB；(2)BAC=2DAE，理由见解析；BE=CD+DE，理由见解析【分析】（1）先证明ADC=90，再过点A作AFBC于点F，根据角平分线的性质，证明ADCAFC(HL)，即可求解；（2）ACB=ACB=B，利用三角形内角和定理得到=90-BAC，再由DAE+ACD=90，推出ACD=90-DAE=，进一步计算即可求解；在BC上截取BG=CD，先后证明ABGACD(SAS)，GAEDAE (SAS)，即可求解（1）解：点E与点C重合，且DAE+ACD=90，ADC=90，ADCB；过点A作AFBC于点F，AB=AC，CF=BF=BC=，ACB=ACB，AFBC，ADCB，AF= AD，ADCAFC(HL)，CD=CF=，故答案为：ADCB；（2）解：BAC=2DAE，理由如下：设ACB=ACB=B，ACB+B=180-BAC，即=90-BAC，DAE+ACD=90，ACD=90-DAE=，90-BAC=90-DAE，BAC=2DAE；