福州九师教学联盟2023-2024学年高一上学期1月联考数学试卷（解析版）.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司高一数学答案解析第 1 页 共 11 页2023-2024 学年第一学期福州市九师教学联盟 1 月联考高一数学答案解析一、选择题部分：1-8 小题为单项选择题，每小题 5 分，共 40 分；9-12 小题为多项选择题，每小题 5 分，共 20 分。题号12345678答案CBACDADA题号9101112答案ACDABDABAD1C【分析】根据集合的并集运算求解即可.【详解】根据集合的并集运算，得A B=x|x 1.故选：C.2B【分析】选项 A，不等式两边同乘一个正数才能保证不等号不变；选项 B，不等式ac2 0，两边同乘c2，不等号不变；选项 C，从不等式a b到

2、不等式ab 1，是不等式两边同乘1b，但1b不一定是正数；选项 D，对于结论a c b d，实际上是a+(c)b+(d)，但c bc不成立，即 A 错误；选项 B：由不等式性质可知：若ac2 bc2，则有a 0,b b，可得ab b,c d成立，但此时a c=5 11=6，b d=2 2=0，由6 b d不成立，即 D 错误.故选：B.3A【分析】由函数的定义域排除 C，由函数的奇偶性排除 D，由特殊的函数值排除 B，结合奇偶性和单调性判断 A.【详解】由3|x|0得3 x 3，则函数y=ln(3|x|)的定义域为(3,3)，排除选项 C；又ln(3|x|)=ln(3|x|)，所以y=ln(3

3、|x|)为偶函数，则图象关于 y 轴对称，排除选项 D；当x=52时，y=ln12 x 0时，函数y=ln(3|x|)=ln(3 x)单调递减，选项 A 中图象符合.故选：A 4C【分析】根据三角函数的定义及充分条件、必要条件的定义即可判断.【详解】在角终边上任取点P（异于原点）其坐标为(x,y)，|OP|=r(r 0)，学科网（北京）股份有限公司高一数学答案解析第 2 页 共 11 页若sin 0且tan 0，且tan=yx 0，可得x 0，所以的终边在第二象限，所以“sin 0且tan 0”是“的终边在第二象限”的充分条件，若的终边在第二象限，则x 0，所以sin=yr 0，且tan=yx

4、 0且tan 0且tan 0”是“的终边在第二象限”的充要条件.故选：C.5D【分析】根据齐次式问题分析求解.【详解】因为tan=2，所以sin23sincossin2+cos2=tan23tantan2+1=464+1=25.故选：D.6A【分析】根据题意，利用结定的函数模型求得，进而利用对数的运算法则列式即可得解.【详解】因为Q=T+1，Q=6，T=60，所以6=60+1，解得=12，设初始时间为K1，初始累计繁殖数量为n，累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍的时间为K2，则K2 K1=12log3(6n)12log3n=12log36=12 ln2+ln3ln3=12 0.30+0.48

5、0.48 19.5（天)故选：A.7D【分析】根据含有一个量词的命题的否定，可知命题：x R,ax2+2ax 1 0为真命题，讨论 a 是否为 0，结合a 0时，解不等式，即可求得答案.【详解】由题意知命题：x0 R,ax02+2ax0 1 0为假命题，则命题：x R,ax2+2ax 1 0为真命题，故当a=0时，ax2+2ax 1 0，即为1 0，符合题意；当a 0时，需满足a 0=4a2+4a 0，解得1 a 1)单调递增，得到ab ac；B 选项，根据y=lnx单调性得到0 lnb lnc，lna 0，lnalnb lnalnc，结合换底公式得到 B 错误；C 选项，根据y=x13的单调

6、性得到b13 1)单调递增，又b c，所以ab ac，A 正确；B 选项，因为y=lnx在(0,+)单调递增，因为a 1 b c 0，所以0 lnb lnc，lna 0，故1lnb 1lnc 0，lnalnb lnalnc，即logba c 0，所以b13 c 0，故logbc logbb=1，因为y=bx单调递减，而a 0，故0 ba ba，D 正确.故选：ACD 学科网（北京）股份有限公司高一数学答案解析第 4 页 共 11 页10ABD【分析】对于 A：利用周期公式判断；对于 B：通过计算f(512)判断；对于 C：通过计算f(3)判断；对于 D：将2x+6看成一个整体，通过函数y=2c

7、osx的图象性质来判断.【详解】对于 A：T=22=，A 正确；对于 B：f(512)=2cos 2 512+6=2，B 正确；对于 C：f(3)=2cos 2 3+6 0，C 错误；对于 D：当x (0,)时，2x+6 (6,136)，函数y=2cosx在(6,136)上有两个零点，故f(x)在区间(0,)上有两个零点，D正确.故选：ABD.11AB【分析】由三角函数的定义可判断 A；取=6,2=3可判断 B；由扇形的面积公式可判断 C；对sin+cos=15两边同时平方可得sincos=1225，可得tan=34或tan=43，再由|sin|cos|可判断 D.【详解】对于 A，(3k,4

8、k)(k 0)到原点的距离为r=5|k|，若r 0时，cos=3k5|k|=35；若r 0，sincos=1225 0，且0|cos|，所以tan=43，故 D 正确.故选：AB.12AD【分析】由题设得f(x)=21+|cos(2x+6)|，根据三角形函数y=cos2x与y=|cos2x|的周期、对称轴变化性质判断f(x)最小正周期和对称轴，根据方程恒能成立有a R，x1,x2 512,0且x1 x2使af(xk)=f(x)+1f(x)52,924 能成立求 a 的范围即可，利用f(x)在x 0,2512 的图象，根据零点个数确定 b 的范围，结合对称性求零点的和.学科网（北京）股份有限公司

9、高一数学答案解析第 5 页 共 11 页【详解】由题设f(x)=2|sin(x+3)|+2|cos(x+3)|，所以f 2(x)=4(1+|sin(2x+23)|)=4(1+|cos(2x+6)|)，故f(x)=21+|cos(2x+6)|，由y=cos2x的最小正周期为，则y=|cos2x|的最小正周期为2，同理y=21+cos(2x+6)的最小正周期为，则f(x)的最小正周期为2，A 正确；对于f(x)，令2x+6=k2，则对称轴方程为x=k4 12且k Z，B 错误；对任意x有f(x)2,22，a R，x1,x2 512,0且x1 x2满足af(xk)=f(x)+1f(x)52,924

10、且(k=1,2)，而x 512,0的f(x)图象如下：所以af(xk)(2a,6a (3+1)a,22a)，则52,924 (2a,6a (3+1)a,22a)，所以2a 924，无解，即不存在这样的 a，C 错误；由g(x)=0可转化为f(x)与y=b2交点横坐标，而x 0,2512 上f(x)图象如下：函数有奇数个零点，由图知：6 b2 3+1，此时共有 9 个零点，x1+x22=6、x2+x32=512、x3+x42=23、x4+x52=1112、x5+x62=76、x6+x72=1712、x7+x82=53，x8+x92=2312，所以x1+2(x2+x3+.+x8)+x9=503，D

11、 正确.故选：AD 学科网（北京）股份有限公司高一数学答案解析第 6 页 共 11 页【点睛】关键点点睛：求得f(x)的解析式，应用类比思想，根据y=cos2x与y=|cos2x|最小正周期、对称轴的关系得到f(x)的周期和对称轴；由对任意x有f(x)2,22，a R，x1,x2 512,0且x1 x2满足af(xk)=f(x)+1f(x)52,924 且(k=1,2)，进而转化为集合的包含关系求 a 范围；由f(x)的区间图象及其对称性求零点的和.二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。）11.4 12.1,0 13.24 14.0,6 134【分析】利用分段函数的性

12、质与偶函数的性质即可得解.【详解】因为f(x)=x2 3x,x 0g(x),x 0，x=0和x 0时，函数的单调性与值域，即可得出答案.【详解】因为f(x)=12 ex1+ex=12(1+ex)11+ex=12 1 11+ex=12+11+ex，定义域为R，因为y=1+ex在定义域上单调递增，则y=11+ex在定义域上单调递减，所以f(x)=12+11+ex在定义域R上单调递减，当x 0时，ex (1,+),11+ex 0,12,f(x)12,0,f(x)=1；所以，当x 0时x 0，则f(x)=1,f(x)=0，于是f(x)+f(x)=1+0=1；当x 0，则f(x)=0,f(x)=1，于是

13、f(x)+f(x)=0+(1)=1；当x=0时，f(x)+f(x)=0+0=0.综上所述，y=f(x)+f(x)的值域为1,0.故答案为：1,0.15 24/14 2【分析】由三角函数的定义及角所在象限、终边上的点列方程求参数，进而求正切值.【详解】由题设cos=xx2+1=13 x 0，则1x2+1=19且x 0，可得x=22，所以tan=1x=24.故答案为：24160,6 学科网（北京）股份有限公司高一数学答案解析第 7 页 共 11 页【分析】由函数解析式求出含参单调区间，根据0 4,6，结合角的范围确定4,6是那个单调区间的子区间，即可列不等式解除答案.【详解】函数y=3sin(2x

14、+)，令2k 2 2x+2k+2,k ，解得：2k22 x 2k+22,k ，令2k+2 2x+2k+32,k ，解得：2k+22 x 2k+32 2,k 则y=3sin(2x+)的单调递增区间为2k22,2k+22,k ，单调递减区间为2k+22,2k+32 2,k ，若函数y=3sin(2x+)在区间4,6上是单调递增函数，则4,6 2k22,2k+22,k ，是一个三角形的内角，2 32,2，2 2,2，0 4,6，要使0 2k22,2k+22,k ，只能令k=0，得22,22，且 0,2，此时0 22,22，则4,6 22,22，则22 4226，解得0 6，是一个三角形的内角，0,6

15、，若函数y=3sin(2x+)在区间4,6上是单调递减函数，则4,6 2k+22,2k+32 2,k ，2 2,2，32 2,32，要使0 2k+22,2k+32 2,k ，只能令k=0，得22,32 2，且 2,，此时0 22,32 2，则4,6 22,32 2，学科网（北京）股份有限公司高一数学答案解析第 8 页 共 11 页则22 432 26，解得 76，与 2,矛盾，函数y=3sin(2x+)在区间4,6上是不能是单调递减函数，综上所述，0,6，故答案为：0,6.四、解答题（本大题共 6 小题，满分 70 分。除第 17 小题 10 分以外，每小题 12 分。）17(1)(1,2)(

16、2)(32,2【分析】（1）代入a的值，求解一元二次不等式即得；（2）先求出命题p表示的范围，再根据p是q的必要不充分条件推得两个范围之间的包含关系，继而求得a的取值范围.【详解】（1）a=1时，由不等式x2 3x+2 0可得：1 x 2，即实数x的取值范围为(1,2).（2）由不等式x2 3ax+2a2 0可得：(x a)(x 2a)0，故a 2a，则有：a x 3a 2,即实数a的取值范围为(32,2.18(1)tan；(2)3.【分析】（1）利用三角函数的诱导公式化简即得；（2）根据同角关系式结合条件即得.【详解】（1）f()=(sin)(cos)(sin)cos5+2(cos)sin(

17、)sin(+)sin4+2+=sin2cos cos2 (cos)sin(sin)sin2+=sincos=tan.（2）因为f()=2，所以tan=2，sin+cossincos=tan+1tan1=31=3.19(1)b=5,a=2(2)1,4【分析】（1）利用待定系数法即可得解；（2）利用对数函数的单调性与单调性的加减性质即可得解.【详解】（1）因为f(x)=ax+b的图象经过点P(1,5)，Q(2,11)，学科网（北京）股份有限公司高一数学答案解析第 9 页 共 11 页所以 a1+b=5a2+b=11，两式相减得a2 a 6=0，又a 0且a 1，解得a=3或2（舍去），则b=5,a

18、=2.（2）由（1）得g(x)=log3(2x+1)+log2x，因为函数y=log3(2x+1)在1,4上单调递增，函数y=log2x在1,4上单调递增，所以g(x)在1,4上单调递增，则g(x)max=g(4)=log3(2 4+1)+log24=2+2=4，g(x)min=g(1)=log3(2 1+1)+log21=1+0=1，故g(x)在1,4上的值域为1,4.20(1)函数模型解析式为y=16 32x+4(x N)，85千人(2)1129【分析】（1）根据表格中的数据可选择模型，将表格中的数据代入函数模型解析式，求出三个参数的值，即可得出函数模型解析式，再将x=4代入函数模型解析式

19、，即可得解；（2）由已知可得出16 32x+4 k 94x，令t=32x32，则k 4t2+16t，令s=1t 0,23，f(s)=4s2+16s，求出函数f(s)在0,23上的最大值，即可得实数k的最小值.【详解】（1）解：由表格中的数据可知，函数是一个增函数，且函数增长得越来越快，故选择模型较为合适，由表格中的数据可得ta+s=28ta2+s=40ta3+s=58，解得a=32t=16s=4，所以，函数模型的解析式为y=16 32x+4(x N)，预测2023年年末的会员人数为16 324+4=85千人.（2）解：由题意可得16 32x+4 k 94x，令t=32x32，则16t+4 kt

20、2，则k 4t2+16t，令s=1t 0,23，f(s)=4s2+16s，则函数f(s)在0,23上单调递增，所以，f(s)max=f 23=4 49+16 23=1129，故k 1129，故k的最小值为1129.21（1）当a 0时，f(x)在(0,+)上是单调增函数；当a 0)，分a 0和a 0进行分类讨论得出函数的单调性.（2）不等式f(x)2a+b 1恒成立，即f(x)max 2a+b 1，（1）可得，当a 0时，f(x)max=f 1a，即b ln 1a+1a学科网（北京）股份有限公司高一数学答案解析第 10 页 共 11 页在a 0)，求出g(t)单调性，得出g(t)的最大值即可得

21、出答案.【详解】（1）f(x)=lnx+ax2+(a+2)x，f(x)=1x+2ax+a+2=2ax2+(a+2)x+1x(x 0).当a 0时，f(x)0，f(x)在(0,+)上是单调增函数；当a 0；当x 1a,+时，f(x)0，所以f(x)在0,1a上单调递增，在1a,+上单调递减.综上，当a 0时，f(x)在(0,+)上是单调增函数；当a 0时，f(x)在0,1a上单调递增，在1a,+上单调递减.（2）由（1）可得，当a 0时，f(x)max=f 1a=ln 1a+1a a+2a=ln 1a 1a 1.由不等式f(x)2a+b 1恒成立，得ln 1a 1a a 2a+b 1恒成立，即b

22、 ln 1a+1a在a 0)，则g(t)=1t 1=1tt.当t (0,1)时，g(t)0，g(t)单调递增；当t (1,+)时，g(t)0，g(t)单调递减.所以g(t)的最大值为g(1)=1.得b 1，所以实数b的取值范围是1,+).【点睛】本题考查含参数的单调性的求解和恒成立求参数的问题，考查构造函数决绝问题的能力，考查等价转化的能力，属于中档题.22(1)证明见解析；(2)（i）f(x)=x，g(x)=(x+2)2 1,2 x 1x2+1,1 x 1(x 2)2 1,1 x 2；（ii）t=a42,0 a 22,2 a x2，应用作差法判断f(x1)f(x2)的符号，即可证单调性；（2

23、）（i）由题设函数f(x)为奇函数，且f(x)+g(x)=x2 x+1，即可求x 1,1上f(x),g(x)，再应用奇偶性、对称性求区间2,2上的解析式；（ii）根据题设可得h(x)=g(x)af(x)在2 x t上单调递减，写出h(x)的分段形式，结合二次函数性质，讨论0 a 2、2 a x2，则 f(x1)f(x2)=f(x1 x2+x2)f(x2)=f(x1 x2)+f(x2)f(x2)=f(x1 x2)，因为x1 x2，所以x1 x2 0，则f(x1 x2)0，故f(x1)f(x2)0 学科网（北京）股份有限公司高一数学答案解析第 11 页 共 11 页所以函数f(x)在定义域上单调递

24、增.（2）（i）令f(x)+f(y)=f(x+y)中x=y=0，则2f(0)=f(0)，f(0)=0.令y=x，f(x)+f(x)=f(0)，即f(x)=f(x)且函数f(x)定义域为 R，所以函数f(x)为奇函数.由f(x)+g(x)=x2+x+1，则f(x)+g(x)=f(x)+g(x)=x2 x+1，联立两式，可得f(x)=x,g(x)=x2+1，所以g(x)=x2+1，且x 1,1，而g(x)=g(2 x)，令1 x 2，则0 2 x 1，故g(x)=g(2 x)=(2 x)2 1；令2 x 1，则1 x 2，故g(x)=g(x)=(2+x)2 1；综上，g(x)=(x+2)2 1,2

25、 x 1x2+1,1 x 1(x 2)2 1,1 x 2，对f(x)在2,1)(1,2的部分，存在f(x)=f(a)+f(b)=f(a+b)，其中a,b 1,1，x=a+b，则f(x)=a+b=f(a+b)，所以f(x)=x对x 2,2均成立.（ii）g(x1)g(x2)af(x1)af(x2)g(x2)af(x2)，则h(x)=g(x)af(x)在2 x t上单调递减，h(x)=x2+(4 a)x+3,2 x 1x2 ax+1,1 x 1x2 (4+a)x+3,1 x 2，若2 4a2 1，即0 a 2，此时h(x)在2 x 4a2 上递减，故t=4a2=a42，若1 4a2 0，即2 a 4，此时a2 2，即h(x)在定义域x 2,2上单调递减，所以t=2.综上所述，t=a42,0 a 22,2 a 4.【点睛】关键点点睛：第二问，（i）应用方程法求解析式，再应用奇偶对称性求区间上的解析式；（ii）利用已知得到h(x)=g(x)af(x)在2 x t上单调递减为关键.