（全国版）2021届高考数学二轮复习 专题检测（七）三角恒等变换与解三角形（理含解析）.doc

1、专题检测（七）三角恒等变换与解三角形 A 组“633”考点落实练一、选择题1(2019全国卷)tan 255()A2 3 B2 3C2 3D2 3解析：选 D tan 255tan(18075)tan(4530)tan 45tan 301tan 45tan 301 331 332 3.故选 D.2(2019重庆市学业质量调研)已知 15sin cos(2)，则 tan 2()A 157B 157C 158D 158解析：选 B 法一：由 15sin cos(2)，得 15sin cos，所以 tan 1515，则 tan 2 2tan 1tan22 1515115152 157.故选 B.法二

2、：由 15sin cos(2)，得 15sin cos，所以 tan 2sin 2cos 2 2sin cos cos2sin22sin 15sin 15sin 2sin2 157.故选 B.3(2019湖北省 5 月冲刺)已知 为锐角，为第二象限角，且 cos()12，sin()12，则 sin(3)()A12B12C 32D 32解析：选 B 法一：因为 为锐角，为第二象限角，cos()0，sin()0，所以 为第四象限角，为第二象限角，因此 sin()32，cos()32，所以 sin 2sin()32 32 12121.因为 为锐角，所以 22，所以 sin(3)sin(2)cos()

3、12.故选 B.法二：同法一可得，sin()32，cos()32.所以 cos 2()2cos2()12 122112，sin 2()2sin()cos()2 32 12 32.所以 sin(3)sin2()()sin 2()cos()cos 2()sin()32 32 12 1212.故选 B.4(2019湖南省湘东六校联考)若ABC 的三个内角满足 6sin A4sin B3sin C，则ABC是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形D以上都有可能解析：选 C 由题意，利用正弦定理可得 6a4b3c，则可设 a2k，b3k，c4k，k0，则 cos C4k29k216k222k3k0，

4、所以 C 是钝角，所以ABC 是钝角三角形故选 C.5(2019长春市质量监测(一)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 bacos C12c，则角 A 等于()A60B120C45D135解析：选 A 法一：由 bacos C12c 及正弦定理，可得 sin Bsin Acos C12sin C，即 sin(AC)sin Acos C12sin C，即 sin Acos Ccos Asin Csin Acos C12sin C，所以 cos Asin C12sin C，又在ABC 中，sin C0，所以 cos A12，所以 A60.故选 A.法二：由 bacos C

5、12c 及余弦定理，可得 bab2a2c22ab12c，即 2b2b2a2c2bc，整理得 b2c2a2bc，于是 cos Ab2c2a22bc12，所以 A60.故选 A.6已知台风中心位于城市 A 东偏北(为锐角)的 150 千米处，以 v 千米/时沿正西方向快速移动，2.5 小时后到达距城市 A 西偏北(为锐角)的 200 千米处，若 cos 34cos，则 v()A60B80C100D125解析：选 C 如图，台风中心为 B,2.5 小时后到达点 C，则在ABC 中，ABsin ACsin，即 sin 43sin，又 cos 34cos，sin2cos2169 sin2 916cos2

6、1sin2cos2，sin 34cos，sin 35，cos 45，sin 45，cos 35，cos()cos cos sin sin 354545350，2，BC2AB2AC2，(2.5v)215022002，解得 v100.故选 C.二、填空题7(2019浙江高考)在ABC 中，ABC90，AB4，BC3，点 D 在线段 AC 上若BDC45，则 BD_，cosABD_.解析：如图，易知 sinC45，cosC35.在BDC 中，由正弦定理可得BDsin CBCsinBDC，BDBCsinCsinBDC3452212 25.由ABCABDCBD90，可得 cosABDcos(90CBD)

7、sinCBDsin(CBDC)sin(CBDC)sinCcosBDCcosCsinBDC45 22 35 22 7 210.答案：12 25 7 2108(2019开封市定位考试)已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ABC 的面积为 4 3，且 2bcos Aa2c，ac8，则其周长为_解析：因为ABC 的面积为 4 3，所以12acsin B4 3.因为 2bcos Aa2c，所以由正弦定理得 2sin Bcos Asin A2sin C，又 ABC，所以2sin Bcos Asin A2sin Acos B2cos Asin B，所以 sin A2cos Bsin A

8、，因为 sin A0，所以 cos B12，因为 0B，所以 B3，所以 ac16，又 ac8，所以 ac4，所以ABC 为正三角形，所以ABC 的周长为 3412.答案：129.(2019安徽五校联盟第二次质检)如图，在平面四边形 ABCD 中，AD2，sinCAD 2114，3ACsinBACBCcos B2BC，且 BD，则ABC 的面积的最大值为_解析：在ABC 中，由 3ACsinBACBCcos B2BC，结合正弦定理可得 3sin BsinBACsinBACcos B2sinBAC，sinBAC0，3sin Bcos B2,2sinB6 2，sinB6 1，0B，B62，B3.又

9、 BD，ADC23.在ACD 中，ADC23，sinCAD 2114，cosCAD5 714，则 sinACDsin180(ADCCAD)sin(ADCCAD)32 5 714 12 2114 217，由正弦定理得ACsinADCADsinACD，即AC32 2217，AC 7.在ABC 中，7AC2AB2BC2ABBC2ABBCABBCABBC，当且仅当 ABBC时取“”，则 SABC 34 ABBC7 34，即ABC 的面积的最大值为7 34.答案：7 34三、解答题10(2019北京高考)在ABC 中，a3，bc2，cos B12.(1)求 b，c 的值；(2)求 sin(BC)的值解：

10、(1)由余弦定理 b2a2c22accos B，得 b232c223c12.因为 bc2，所以(c2)232c223c12，解得 c5，所以 b7.(2)由 cos B12得 sin B 32.由正弦定理得 sin Ccbsin B5 314.在ABC 中，B 是钝角，所以C 为锐角，所以 cos C1sin2C1114.所以 sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C 32 111412 5 314 4 37.11(2019长沙模拟)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2c2b2abcos Aa2cos B.(1)求 B；(2)若 b2 7，tan C

11、32，求ABC 的面积解：(1)因为 a2c2b2abcos Aa2cos B，所以由余弦定理，得 2accos Babcos Aa2cos B，又 a0，所以 2ccos Bbcos Aacos B，由正弦定理，得2sin Ccos Bsin Bcos Asin Acos Bsin(AB)sin C，又 C(0，)，sin C0，所以 cos B12.因为 B(0，)，所以 B3.(2)由 tan C 32，C(0，)，得 sin C 217，cos C2 77，所以 sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C 32 2 77 12 217 3 2114.由正弦定理 a

12、sin A bsin B，得 absin Asin B 2 73 2114326，所以ABC 的面积为12absin C1262 7 217 6 3.12(2019武汉部分学校调研)已知锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，sin2Bsin2Asin2C 3sin Asin C.(1)求 B；(2)求 sin Acos C 的取值范围解：(1)锐角三角形 ABC 中，sin2Bsin2Asin2C 3sin Asin C，故 b2a2c2 3ac，cos Ba2c2b22ac 32，又 B0，2，所以 B6.(2)由(1)知，C56 A，故 sin Acos Csi

13、n Acos56 A 32sin A 32 cos A 3sinA6.又 A0，2，C56 A0，2，所以 A3，2，A66，3，sinA6 12，32，故 sin Acos C 的取值范围为32，32.B 组大题专攻强化练1(2019重庆市七校联合考试)如图，在平面四边形 ABCD 中，E 为 AB 边上一点，连接CE，DE.CB2，BE1，BCED23.(1)求 sinAED 的值；(2)若 ABCD，求 CD 的长解：(1)在BEC 中，由余弦定理得，CE CB2BE22CBBEcosB 7，又BEsinBCE CEsinB，所以 sinBCE 2114，因为BCED，所以 sinAED

14、sinBCE 2114.(2)因为 ABCD，所以CDEAED，所以 sinCDEsinAED 2114，在CDE 中，CDsinCEDCEsinCDE，所以 CDCEsinCEDsinCDE 7 3221147.2在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sin Asin Bcos2C2，(c 3b)sin C(ab)(sin Asin B)(1)求 A 和 B；(2)若ABC 的面积为 3，求 BC 边上的中线 AM 的长解：(1)因为(c 3b)sin C(ab)(sin Asin B)，所以(c 3b)c(ab)(ab)，所以 a2b2c2 3bc，所以 cos A

15、32，所以 A30.因为 sin Asin Bcos2C2.所以 sin Asin B1cos C2，即 sin B1cos C.因为 BC150，所以 sin B1cos(150B)，解得 B30.(2)因为12absin C 3，C120，所以 ab2.因为 c2a2b22abcos C，所以 c2 3.在ABM 中，AM 2AB2BM 22ABBMcos B7，得 AM 7，所以 BC 边上的中线 AM 的长为 7.3(2019昆明市质量检测)ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 2(cacos B)3b.(1)求 A；(2)若 a2，求ABC 面积的取值范围解：

16、(1)由 2(cacos B)3b 及正弦定理得 2(sin Csin Acos B)3sin B，所以 2sin(AB)2sin Acos B 3sin B，即 2cos Asin B 3sin B，因为 sin B0，所以 cos A 32，又 0A，所以 A6.(2)因为 a2，所以由正弦定理得 b4sin B，c4sin C，所以 SABC12bcsin A14bc，所以 SABC4sin Bsin C，因为 C(AB)56 B，所以 sin Csin56 B，所以 SABC4sin Bsin56 B 4sin B12cos B 32 sin B，即 SABC2sin Bcos B2

17、3sin2Bsin 2B 3cos 2B 32sin2B3 3.因为 0B56，所以32B343，所以 32 sin2B3 1，所以 0SABC2 3.即ABC 面积的取值范围为(0,2 3 4(2019福州市质量检测)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若角 A，B，C成等差数列，且 b 32.(1)求ABC 的外接圆直径；(2)求 ac 的取值范围解：(1)因为角 A，B，C 成等差数列，所以 2BAC，又因为 ABC，所以 B3.根据正弦定理得，ABC 的外接圆直径 2R bsin B32sin31.(2)法一：由 B3，知 AC23，可得 0A23.由(1)知ABC 的外接圆直径为 1，根据正弦定理得，asin A bsin B csin C1，所以 acsin Asin Csin Asin23 A 332 sin A12cos A 3sinA6.因为 0A23，所以6A656.所以12sinA6 1，从而 32 3sinA6 3，所以 ac 的取值范围是32，3.法二：由(1)知，B3，b2a2c22accos B(ac)23ac(ac)23ac2214(ac)2(当且仅当 ac 时，取等号)，因为 b32，所以(ac)23，即 ac3，又三角形两边之和大于第三边，所以 32 ac3，所以 ac 的取值范围是32，3.