2021高考数学大一轮复习高考大题专项练二高考中的三角函数与解三角形理新人教A版.docx

1、高考大题专项练二高考中的三角函数与解三角形高考大题专项练第4页1.在ABC中,a=7,b=8,cos B=-17.(1)求A;(2)求AC边上的高.解:(1)在ABC中,cosB=-17,B2,sinB=1-cos2B=437.由正弦定理得asinA=bsinB,即7sinA=8437,sinA=32.B2,A0,2,A=3.(2)在ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=32-17+12437=3314.如图所示,在ABC中,过点B作BDAC于点D.sinC=hBC,h=BCsinC=73314=332,AC边上的高为332.2.ABC的内角A,B,C的对边

2、分别为a,b,c.已知sin A+3cos A=0,a=27,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.解:(1)由已知可得tanA=-3,所以A=23.在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos23,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4.(2)由题设可得CAD=2,所以BAD=BAC-CAD=6.故ABD面积与ACD面积的比值为12ABADsin612ACAD=1.又ABC的面积为1242sinBAC=23,所以ABD的面积为3.3.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(

3、2)若ABC的面积S=a24,求角A的大小.(1)证明由正弦定理,得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB.于是sinB=sin(A-B).又A,B(0,),故0A-B,所以B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)解由S=a24,得12absinC=a24,故有sinBsinC=12sin2B=sinBcosB.由sinB0,得sinC=cosB.又B,C(0,),所以C=2B.当B+C=2时,A=2;当C-B=2时,A=4.综上,A=2或A=4.4.(2019

4、全国,理17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若2a+b=2c,求sin C.解:(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=12.因为0A180,所以A=60.(2)由(1)知B=120-C,由题设及正弦定理得2sinA+sin(120-C)=2sinC,即62+32cosC+12sinC=2sinC,可得cos(C+60)=-22.由于0C120,所以sin(C+60)=22,故sinC

5、=sin(C+60-60)=sin(C+60)cos60-cos(C+60)sin60=6+24.5.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若c=7,ABC的面积为332,求ABC的周长.解:(1)由已知及正弦定理,得2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,即2cosCsin(A+B)=sinC.故2sinCcosC=sinC.可得cosC=12,所以C=3.(2)由已知,12absinC=332.又C=3,所以ab=6.由已知及余弦定理,得a2+b2-2abcosC=7.故a2+b2=13,从而

6、(a+b)2=25,即a+b=5.所以ABC的周长为5+7.6.在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=22,求BC.解:(1)在ABD中,由正弦定理得BDsinA=ABsinADB.由题设知,5sin45=2sinADB,所以sinADB=25.由题设知,ADB90,所以cosADB=1-225=235.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=25.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252225=25.所以BC=5.7.(2019河北沧州高三模拟)已知ABC的内角A,B

7、,C的对边分别为a,b,c,sinA-sinCb+c=sinB-sinCa.(1)求B;(2)若b=3,求2a-c的取值范围.解:(1)由题意及正弦定理,得a-cb+c=b-ca,即a2-ac=b2-c2.所以a2+c2-b2=ac.由余弦定理,得cosB=a2+c2-b22ac=ac2ac=12,所以B=3.(2)由正弦定理,得asinA=csinC=bsinB=23,所以a=23sinA,c=23sinC,所以2a-c=43sinA-23sinC=23(2sinA-sinC).又A+B+C=,所以C=23-A,A0,23,所以2a-c=232sinA-sin23-A=2332sinA-32

8、cosA=6sinA-6.又A0,23,所以A-6-6,2,所以-36sinA-66,所以2a-c的取值范围为(-3,6).8.(2019天津,理15)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.(1)求cos B的值;(2)求sin2B+6的值.解:(1)在ABC中,由正弦定理bsinB=csinC,得bsinC=csinB,又由3csinB=4asinC,得3bsinC=4asinC,即3b=4a.又因为b+c=2a,得到b=43a,c=23a.由余弦定理可得cosB=a2+c2-b22ac=a2+49a2-169a22a23a=-14.(2)由(1)可得sinB=1-cos2B=154,从而sin2B=2sinBcosB=-158,cos2B=cos2B-sin2B=-78,故sin2B+6=sin2Bcos6+cos2Bsin6=-15832-7812=-35+716.