专题12.4 一次函数与方程、不等式之间的关系【十大题型】（举一反三）（沪科版）（解析版）.docx

1、专题12.4 一次函数与方程、不等式之间的关系【十大题型】【沪科版】【题型1 一次函数与一元一次方程的解】1【题型2 两个一次函数与一元一次方程】3【题型3 利用一次函数的变换求一元一次方程的解】6【题型4 一次函数与二元一次方程（组）的解】8【题型5 不解方程组判断方程组解的情况】10【题型6 一次函数与一元一次不等式的解集】14【题型7 两个一次函数与一元一次不等式】16【题型8 一次函数与一元一次不等式组的解集】21【题型9 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】24【题型10 绝对值函数与不等式】30【知识点1 一次函数与一元一次方程、不等式的关系】1. 任何一个一元一次方程都可转化为：

2、kx+b=0（k、b为常数，k0）的形式 而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k0）当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k0）的形式所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值2.解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.【题型1 一次函数与一元一次方程的解】【例1】（2023春天津八年级统考期末）已知方程ax+b=0的解为x=- 32，则一次函数y=ax+b的图象与

3、x轴交点的坐标为()A(3,0)B(- 23 ,0)C(-2,0)D(- 32 ,0)【答案】D【分析】关于x的一元一次方程ax+b=0的根是x= -32，即x= -32时，函数值为0，所以直线过点( -32 ,0)，于是得到一次函数y=ax+b的图象与x轴交点的坐标【详解】解：方程ax+b=0的解为x= -32，则一次函数y=ax+b的图象与x轴交点的坐标为(- 32 ,0)，故选：D【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 (a，b为常数，a0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值从图象上看，相当于

4、已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值【变式1-1】（2023秋河北张家口八年级统考期末）已知函数y=kx+b的部分函数值如表所示，则关于x的方程kx+b=3的解为 x-2-11y53-1【答案】-1【分析】根据题意，将方程kx+b=3的解转化为一次函数中y=3时对应的x的即可解答【详解】当y=3时，在一次函数y=kx+b中：即kx+b=3，此时根据表格可得x=-1，故答案为：-1【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，解此题的关键是掌握一次函数和一元一次方程之间的联系【变式1-2】（2023春四川绵阳八年级校联考期末）已知关于x的方程axb1的解为x2，则一次函数yaxb

5、1的图象与x轴交点的坐标为 【答案】（2，0）【分析】当y0时，axb10，可得axb1，根据题意可得图象与x轴的交点坐标【详解】解：当y0时，axb10，axb1，关于x的方程axb1的解为x2，一次函数的图象与x轴的交点坐标为（2，0），故答案为：（2，0）【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键【变式1-3】（2023秋福建宁德八年级统考期末）如图，一次函数y=ax+b的图象经过点2,4，4,1，则方程ax+b=4的解是 【答案】x=2【分析】由一次函数y=ax+b的图象经过点2,4，可得当x=2时，ax+b=4，从而可得答案【详解】

6、解：一次函数y=ax+b的图象经过点2,4，当x=2时，ax+b=4，方程ax+b=4的解是x=2；故答案为：x=2【点睛】本题考查的是一次函数的图象上点的坐标特点，理解函数图象上点的坐标满足函数解析式是解本题的关键【题型2 两个一次函数与方程组、不等式组】方程组的解与相应函数的交点坐标是相对应的。找到函数的交点坐标，也就找到了对应方程组的解，反之一样。对于不等式组的解集也可以通过其对应的函数图象来解决。【题型2 两个一次函数与一元一次方程】【例2】（2023春青海西宁八年级统考期末）如图，一次函数y1=k1x+b与y2=k2x的图象交于点A，则关于x的方程k1x+b=k2x的解x= 【答案】

7、-1【分析】由图形知，两直线交于点(-1,-2)，即x=-1【详解】解：由图象知，k1x+b=k2x的解x=-1【点睛】本题考查一次函数与方程的联系，图象法解方程，理解数形结合的思想是解题的关键【变式2-1】（2023春江苏南通八年级统考期中）若一次函数y=kx+b与y=mx的图象交于点2,4，则关于x的方程2k+bx=mx+m的解为x= 【答案】1【分析】由一次函数y=kx+b与y=mx的图象交于点2,4得到2k+b=2m，代入方程2k+bx=mx+m即可求出方程的解【详解】解：一次函数y=kx+b与y=mx的图象交于点（2，4），当x=2时，kx+b=mx，m0，2k+b=2m，由2k+b

8、x=mx+m得2mx=mx+m，m0，x=1，故答案为：1【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是根据图象的交点得到2k+b=2m【变式2-2】（2023春湖南益阳八年级统考期末）如图，已知直线y=-x与y=kx+b交于点Pa,1，则方程kx+b=-x的解是x= 【答案】-1【分析】先把点Pa,1代入y=-x，求出a的值，得到两直线交点P-1,1，再根据一次函数与一元一次方程的关系，即可得到答案【详解】解：点Pa,1在直线y=-x上，-a=1，a=-1，P-1,1，由图象可知，方程kx+b=-x的解就是直线y=-x与y=kx+b的交点的横坐标，x=-1，故答案为：-1【点睛】

9、本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次方程的关系，掌握利用图象法解一元一次方程是解题关键【变式2-3】（2023春福建厦门八年级厦门市松柏中学校考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1，l2分别是函数y=k1x+b1和y=k2x+b2的图象（1）关于x的方程k1x+b1=k2x+b2的解为 （2）若x=m，x=n分别为方程k1x+b1=3和k2x+b2=3的解，则m，n的大小关系是m n【答案】 x=-2 mn【分析】（1）由函数y=k1x+b1和y=k2x+b2的图象的交点横坐标为-2，从而可得答案；（2）如图，画直线y=3，与直线l1，l2的交点分别为A，B，由图

10、象可得：A的横坐标为x=m，B的横坐标为x=n，从而可得答案【详解】解：（1）函数y=k1x+b1和y=k2x+b2的图象的交点横坐标为-2，关于x的方程k1x+b1=k2x+b2的解为为x=-2；故答案为：x=-2；（2）如图，画直线y=3，与直线l1，l2的交点分别为A，B，由图象可得：A的横坐标为x=m，B的横坐标为x=n，mn故答案为：mb的解集为 【答案】x2【分析】根据一次函数y=ax+b的图象经过一、二、三象限可得a0，且与x轴交于点(-2，0)，得出b=2a，求不等式axb的解集相当于是求y=ax-b0时x的取值范围，求出y=ax-b与x轴的交点可得答案【详解】解：一次函数y=

11、ax+b的图象经过一、二、三象限，则函数y随x的增大而增大，a0把点(-2，0)，代入即可得到：-2a+b=0，即b=2a不等式axb的解集就是求函数y=ax-b0，当y=0时，ax-b=0，ax-2a=0，a0，x-2=0，x=2，故当x2时，不等式axb成立则不等式axb的解集为x2故答案为：x2【点睛】本题主要考查一次函数与不等式的关系，一次函数的图象与性质，一次函数与坐标轴的交点等知识，熟练掌握一次函数与不等式的关系式解题的关键【变式6-1】（2023春山东德州八年级统考期中）已知一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k0)，x与y的部分对应值如下表所示，那么不等式kx+b0的解集是(

12、 )x-2-10123y3210-1-2Ax0Cx1【答案】D【分析】由表格得到函数的增减性后，再得出y=0时，对应的x的值即可【详解】解：当x=1时，y=0，根据表可以知道函数值y随x的增大而减小，不等式kx+b0的解集是x1故选D【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式之间的内在联系理解一次函数的增减性是解决本题的关键【变式6-2】（2023春广东佛山八年级校考阶段练习）已知一次函数y=ax+b（a、b是常数，a0）函数图象经过(-1，4)，(2，-2)两点，下面说法中：（1）a=2，b=2；（2）函数图象经过(1，0)；（3）不等式ax+b0的解集是x1；（4）不等式ax+b0的解集是

13、x1；正确的说法有 （请写出所有正确说法的序号）【答案】（2）（3）【详解】一次函数y=ax+b(a、b是常数，a0)函数图象经过(1，4)，(2，2)两点，-a+b=42a+b=-2，解得a=2，b=2，故（1）错误；一次函数的解析式为y=2x+2，令y=0，则2x+2=0，解得：x=1图象经过(1，0)点，故（2）正确；a=2，图象经过(1，0)点，不等式2x+b0的解集为x1，即不等式ax+b0的解集是x1，故（3）正确；不等式2x+b1，即不等式ax+b1，故（4）错误综上可知正确说法为（2）（3）故答案为：（2）（3）【变式6-3】（2023秋浙江嘉兴八年级统考期末）如图，一次函数y

14、=kx+b的图象经过点(-2,0)，则关于x的不等式k(x-3)+b0的解集为 【答案】x1【分析】观察函数图象得到即可【详解】解：由图象可得：当x-2时，kx+b0，所以关于x的不等式kx+b0的解集是x-2，所以关于x的不等式k(x-3)+b0的解集为x-3-2，即：x1，故答案为x1【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合【题型7 两个一次函数与一元一次不等式】【例7】（2023春河南信阳八年级统考

15、期末）一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b-x+a0的解集是（）A x-1B x2C x-1D x0的解集是一次函数y1=kx+b在y2=x+a的图象上方的部分对应的x的取值范围，据此即可解答【详解】解：由图象可知，不等式kx+b-x+a0的解集是x-1故选：C【点睛】本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合【变式7-1】（2023春福建龙岩八年级统考期末）直线y1=kx+2k+3和直

16、线y2=-2x-1，当x-2时，总有y1-2【分析】根据y1y2列出不等式kx+2k+3-2x-1，整理得xk+2-2k+2，根据x0，即可求解【详解】解：当x-2时，总有y1y2，当x-2时，kx+2k+3-2x-1，整理得：kx+2x-2k-4，xk+2-2k+2，当x-2时，总有y1y2，不等式xk+2-2k+2的解集为：x0，解得：k-2，故答案为：k-2【点睛】本题主要考查了一次函数和一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握一次函数的图形和性质，以及不等式的性质：不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都

17、乘以或除以同一个负数，不等号方向改变【变式7-2】（2023春山东青岛八年级统考期末）如图，直线y1=kx+b与x轴交于点A1,0，直线y2=3x+m与x轴交于点B-4,0，两条直线交于点C(1)观察图象，直接写出不等式kx+bkx+b的解集是x-2，求点C的坐标【答案】(1)x1(2)-2,6【分析】（1）根据图象可直接得出答案；（2）由题意可得点C的横坐标为-2，把B-4,0代入y2=3x+m，得出m=12，求出y2=3x+12，即可得出答案【详解】（1）解：A1,0，y1=kx+b，观察图象可知，不等式kx+b1；（2）解：由题意可得点C的横坐标为-2，把B-4,0代入y2=3x+m，得

18、：0=3x-4+m，解得m=12，y2=3x+12，把x=-2，代入y2=3x+12，解得y=6， 点C的坐标为-2,6【点睛】本题考查一次函数的性质，图象法解一元一次不等式，掌握一次函数的性质是解题的关键【变式7-3】（2023春山东济宁八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y1=-12x+6分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l2y2=12x交于点A(1)求出点A的坐标；(2)根据图象，直接写出y2y1时x的取值范围是(3)若M是线段OA上的点，且COM的面积为9，求直线CM的解析式【答案】(1)A(6，3)；(2)x6；(3)直线CM解析式为y= -32 x+6【分析】（

19、1）联立两直线解析式求出A的坐标即可；（2）由直线y2=12x在直线y1=-12x+6的上方即可求解；（3）根据M在直线OA上，设出M坐标，表示出三角形COM面积，把已知面积代入求出x的值，确定出M坐标，利用待定系数法求出CM解析式即可；【详解】（1）解解方程组y=-12x+6y=12x，得x=6y=3A(6，3)；（2）解：y2y1时，即是直线l2y2=12x在直线l1：y1=-12x+6的上方，A(6，3)，x6；（3）解：y1=-12x+6中，令x=0，则y1=-120+6=6，OC=6，C(0，6)，设M(x，12 x)，COM的面积为9，12 6x=9，解得x=3，12 x= 32，

20、M(3，32 )，设直线CM的函数表达式是y=kx+b，把C(0，6)，M(3，32 )，代入得，6=k0+b32=3k+b，解得b=6k=-32，直线CM解析式为y= -32 x+6；【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及一次函数与坐标轴的交点、待定系数法确定一次函数解析式、一次函数图象的交点与不等式的关系及一次函数图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中【题型8 一次函数与一元一次不等式组的解集】【例8】（2023春山东东营八年级统考期末）已知：同一个坐标系中分别作出了一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2的图象，分别与x轴交于点A，B，

21、两直线交于点C已知点A-1,0，B2,0，C1,3，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识回答下列问题：(1)关于x的方程k1x+b1=0的解是_；关于x的方程k2x+b2=0的解是_；(2)请直接写出关于x的不等式k1x+b1k2x+b2的解集；(3)请直接写出关于x的不等式组k1x+b10k2x+b20的解集(4)求ABC的面积【答案】(1)x=-1，x=2(2)x1(3)-1x0的解集为x-1，关于x的不等式k2x+b20的解集为x0k2x+b20的解集为-1x2；（4）A-1,0，B2,0，AB=2-1=3ABC的面积=12AByC=1233=92【点睛】此

22、题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，正确利用数形结合解题是解题关键【变式8-1】（2023秋浙江八年级期末）如图，直线y=kx+b(k0)经过A(-1,-2)和B(-3,0)两点，则关于x的不等式组x+1kx+b0的解是 【答案】-3x-2【分析】用待定系数法求出k、b的值，然后将它们代入不等式组中进行求解即可【详解】解：将 A( 1，-2) 和 B( 3，0) 代入 y=kx+b 中得：-k+b=-2-3k+b=0解得：k=-1b=-3，y=-x-3，则 x+1-x-30 ，解得： 3x2，故答案为：3x2【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及不等式

23、的解法，难度不大【变式8-2】（2023秋四川成都八年级校联考期末）已知直线y1=kx+1(k0)的交点坐标为(12,12m)，则请求出不等式组mx-2kx+1mx的解【答案】12x32【分析】由mx-2(m-2)x+1，即可得到x32；由(m-2)x+112，进而得出不等式组mx-2kx+1mx的解集为12x32【详解】解：把(12,12m)代入y1=kx+1，可得12m=12k+1，解得k=m-2，y1=(m-2)x+1，令y3=mx-2，则当y3y1时，mx-2(m-2)x+1，解得x32；当kx+1mx时，(m-2)x+112，不等式组mx-2kx+1mx的解集为12x32，【点睛】本

24、题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合【变式8-3】（2023春广东深圳八年级统考期末）如图，一次函数y=x2与y=2x+m的图象相交于点P（n，4），则关于x的不等式组2x+m-x-2-x-20的解集为 【答案】2x2【分析】先将点P（n，4）代入y=x2，求出n的值，再找出直线y=2x+m落在y=x2的下方且都在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可【详解】一次函数y=x2的图象过点P（n，4），4=n2，

25、解得n=2，P（2，4），又y=x2与x轴的交点是（2，0），关于x的不等式组2x+m-x-2-x-20的解集为-2x2故答案为-2x2【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确确定出n的值，是解答本题的关键【题型9 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】【例9】（2023春全国八年级专题练习）阅读，我们知道，在数轴上，x=1表示一个点，而在平面坐标系中，x=1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x-y+1=0的所有解为坐标的点组成的图形，就是一次函数y=2x+1的图象，它也是一条直线，如图1，可以得出，直线x=1与直线y=2x+1的交点P的坐标（1，3）就

26、是方程组x=1,2x-y+1=0的解，所以这个方程组的解为x=1,y=3. 在直角坐标系中，x1表示一个平面区域，即直线x=1以及它的左侧的部分，如图2；y2x+1，也表示一个平面区域，即直线y=2x+1以及它下方的部分，如图3回答下列问题：（1）在直角坐标系（如图4）中，用作图的方法求方程组x=-2,y=-2x+2.的解；（2）用阴影表示x-2,y-2x+2,y0.所围成的区域【答案】（1）P的坐标（-2，6）；（1）见解析【分析】（1）两条直线的交点就是两个一元二次方程的解，画出图形求交点解可；（2）在图中取不等式的等号时画出图形，即可得出阴影部分的图形【详解】（1）在直角坐标系中，用作图

27、的方法求方程组x=-2,y=-2x+2.的解为：x=-2,y=6.图1（图1中点P的坐标（-2，6）；（2）：x-2,y-2x+2,y0.所围成的区域如图2阴影部分图2【点睛】求方程组的解可以用待定系数法，同样也可以用图解法，此题给了这种方法，可以简单明了的求出方程组的解【变式9-1】（2023黄冈中学自主招生）如图，表示阴影区域的不等式组为（）A2x+y53x+4y9y0B2x+y53x+4y9y0C2x+y53x+4y9x0D2x+y53x+4y9x0【分析】根据图形即可判断阴影部分是由x0，y2x+5，y=-34x+94三条直线围起来的区域，再根据一次函数与一元一次不等式的关系即可得出答

28、案【解答】解：x0表示直线x0右侧的部分，2x+y5表示直线y2x+5左下方的部分，3x+4y9表示直线y=-34x+94右上方的部分，故根据图形可知：满足阴影部分的不等式组为：2x+y53x+4y9x0故选：D【变式9-2】（2023秋包河区期中）图中所示的阴影部分为哪一个不等式的解集（）Axy5Bx+y5Cx+y5Dxy5【分析】阴影部分的边缘可以看作是一条直线，可设其解析式并用待定系数法求之得yx+5，即x+y5因为阴影部分在直线的下方，即可理解为阴影部分中任意一点（x，y）满足x+y5【解答】解：如图：点A的坐标为（0，5），点B的坐标为（5，0）则设直线AB的解析式为：ykx+bb=

29、55k+b=0，解之得：b=5k=-1直线AB的解析式为：yx+5则：x+y5，即：直线上任意一点的横坐标x与纵坐标y的和等于5而阴影部分中任意一点（x，y）的横坐标与纵坐标的和都小于5，x+y5故选：C【变式9-3】（2023春河南许昌八年级统考期末）阅读材料：在平面直角坐标系中，二元一次方程x-y=0的一个解x=1y=1可以用一个点（1，1）表示，二元一次方程有无数个解，以方程x-y=0的解为坐标的点的全体叫作方程x-y=0的图象一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，我们可以把方程x-y=0的图象称为直线x-y=0直线x-y=0把坐标平面分成直线上方区域，直线

30、上，直线下方区域三部分，如果点M（x0，y0）的坐标满足不等式x-y0，那么点M（x0，y0）就在直线x-y=0的上方区域内特别地，x=k（k为常数）表示横坐标为k的点的全体组成的一条直线，y=m（m为常数）表示纵坐标为m的点的全体组成的一条直线请根据以上材料，探索完成以下问题：（1）已知点A（2，1）、B（83，32）、C（136，54）、D（4，92），其中在直线3x-2y=4上的点有 ；请再写出直线3x-2y=4上一个点的坐标 ；（2）已知点P（x，y）的坐标满足不等式组0x4,0y3，则所有的点P组成的图形的面积是 ；（3）已知点P（x，y）的坐标满足不等式组0x10y22x-3y-1

31、 ,请在平面直角坐标系中画出所有的点P组成的图形（涂上阴影），并直接写出上述图形的面积 【答案】（1）A、C；（0，-2）（2）12；（3）23【分析】（1）分别把A、B、C、D各点的坐标代入验证即可；根据二元一次方程解的定义即可写出直线3x-2y=4上一个点的坐标；（2）画出符合题意的点的集合组成的图形，根据图形的性质求解即可；（3）画出图形，根据图形求解即可.【详解】解：（1）把A（2，1）代入3x-2y=4，左=6-2=4=右，符合题意；把B（83，32）代入3x-2y=4，左=8-3=5右，不符合题意；把C（136，54）代入3x-2y=4，左=132-55=4=右，符合题意； 把D（4，92）代入3x-2y=4，左=12-9=3右，不符合题意；A、C在直线3x-2y=4上；当x=0时，0-2y=4，y=-2,（0，-2）满足方程3x-2y=4，即可答案不唯一；（2）43=12 ；