专题13 一线三等角模型证全等（解析版）.docx

1、专题13一线三等角模型证全等1如图，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在ABC中，C90，ACBC，试回答下列问题：（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当ABMN时，245度；（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AMMN于M，BNMN与N，若AM6，BN2，求MN（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由【解答】解：（1）在ABC中，ABAC，ACB90，BA45，ABMB，2B45，故答案为45；（2）AMMN于M，BNMN于N，AMC90，BNC901+CAM

2、90，又1+290，2CAM，同理：1CBN，在AMC和CNB中，AMCCNB（ASA），AMCN，MCBN，MNMC+CNAM+BN2+68；（3）MNBNAM，理由：同（2）的方法得，AMCCNB（ASA），AMCN，MCBN，MNMCCNBNAM2【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：如图1，ABC是等腰直角三角形，C90o，点D为AB中点，则AEDBDF；如图2，ABC为正三角形，BDCF，EDF60，则BDECFD；如图3，正方形ABCD的顶点B在直线l上，分别过点A、C作AEl于E，CFl于F若AE1，CF2，则EF的长为

3、 3【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（1，），则点C的坐标为 （，1）【模型变式】（3）如图5所示，在ABC中，ACB90，ACBC，BECE于D，DE4cm，AD6cm，求BE的长【解答】解：（1）如图1，ABC是等腰直角三角形，AB45，点D是AB的中点，ADBD，EDBA+AEDEDF+FDB，AEDEDB，AEDBDF，故答案为BDF；ABC是等边三角形，BC60，EDCB+BEDEDF+FDC，BEDFDC，又BDCF，BDECFD（AAS），故答案为：CFD；四边形ABCD是正方形，ABBC，ABC90，AEEF，CFEF，A

4、EBCFB90ABC，ABE+BAE90ABE+CBF，BAECBF，ABEBCF（SAS），AEBF1，BECF2，EF3，故答案为：3；（2）如图，过点A作AFx轴于F，过点C作CEx轴于E，点A的坐标为（1，），AF，OF1，四边形ABCO是正方形，AOOC，AOC90，AFEF，CEEF，AFOCEO90AOC，AOF+FAO90AOF+COE，COEFAO，AOFOCE（SAS），CEOF1，OEAF，点C坐标为：（，1），故答案为：（，1）；（3）如图，ADCE，BECE，ADCBEC90，DCA+BCE90，DCA+DAC90，DACBCE，又ACBC，ACDCBE（AAS），C

5、EAD6cm，CDBE，BECDCEDE642cm3直线l经过点A，ABC在直线l上方，ABAC（1）如图1，BAC90，过点B，C作直线l的垂线，垂足分别为D、E求证：ABDCAE；（2）如图2，D，A，E三点在直线l上，若BACBDAAEC（为任意锐角或钝角），猜想线段DE、BD、CE有何数量关系？并给出证明；（3）如图3，BAC90过点B作直线l上的垂线，垂足为F，点D是BF延长线上的一个动点，连结AD，作DAE90，使得AEAD，连结DE，CE直线l与CE交于点G求证：G是CE的中点【解答】（1）证明：BDl，CEl，BDAAEC90，ABD+DAB90，BAC90，CAE+DAB90

6、，ABDCAE，在ABD与CAE中，ABDCAE（AAS）；（2）解：猜想：DEBD+CE，BDABAC，ABD+DAB180BDA180，CAE+DAB180BAC180，ABDCAE，在ABD与CAE中，ABDCAE（AAS），BDAE，DAEC，DEAE+DABD+CE；（3）证明：分别过点C、E作CMl，ENl，由（1）可知ABFCAM，ADFEAN，AFCM，AFEN，CMEN，CMl，ENl，CMGENG90，在CMG与ENG中，CMGENG（AAS），CGEG，G为CE的中点4已知：在ABC中，ABAC，直线l过点A（1）如图1，BAC90，分别过点B，C作直线l的垂线段BD，C

7、E，垂足分别为D，E依题意补全图1；用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系，并证明（2）如图2，当BAC90时，设BAC（0180），作CEABDA，点D，E在直线l上，直接用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系为 DEBD+CE【解答】解：（1）依题意补全图形如图1所示用等式表示DE，BD，CE之间的数量关系为DEBD+CE证明：CEl，BDl，CEAADB90ECA+CAE90BAC90，直线l过点A，CAE+BAD180BAC90ECABAD又ACAB，CEAADB（AAS），CEAD，AEBDDEAE+ADBD+CE（2）用等式表示DE，BD，CE之间的数量关系为DEBD+

8、CE，理由如下：BAE是ABD的一个外角，BAEADB+ABD，BDABAC，ABDCAE，在ABD和CAE中，ABDCAE（AAS），ADCE，BDAE，DEAD+AEBD+CE故答案为：DEBD+CE5如图，CDAB，CDCB，点E在BC上，DACB（1）求证：CEAB（2）若A125，则BED的度数是 55【解答】证明：（1）CDAB，BDCE，在DEC与CAB中，DECCAB（ASA），CEAB；解：（2）DECCAB，CEDA125，BED18012555，故答案为：556直角三角形ABC中，ACB90，直线l过点C（1）当ACBC时，如图，分别过点A，B作ADl于点D，BEl于点E

9、试说明ADCE；（2）当AC8，BC6时，如图，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿FCBCF向终点F运动，点M，N到达相应的终点时停止运动，过点M作MDl于点D，过点N作NEl于点E，设运动时间为t秒CM8t，当N在FC路径上时，CN63t；（用含t的代数式表示）当MDC与CEN全等时，求t的值【解答】解：（1）ACD与CBE全等理由如下：AD直线l，DAC+ACD90，ACB90，BCE+ACD90，DACECB，在ACD和CBE中，ACDCBE（AAS），ADCE；（2）由题

10、意得，AMt，FN3t，则CM8t，由折叠的性质可知，CFCB6，CN63t故答案为：8t；63t；由折叠的性质可知，BCEFCE，MCD+CMD90，MCD+BCE90，NCECMD，当CMCN时，MDC与CEN全等，当点N沿FC路径运动时，8t63t，解得，t1（不合题意），当点N沿CB路径运动时，8t3t6，解得，t3.5，当点N沿BC路径运动时，由题意得，8t183t，解得，t5，当点N沿CF路径运动时，由题意得，8t3t18，解得，t6.5，综上所述，当t3.5秒或5秒或6.5秒时，MDC与CEN全等7点A的坐标为（4，0），点B为y轴负半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第

11、三象限和第四象限作等腰RtOBC和等腰RtABD（1）如图一，若点B坐标为（0，3），连接AC、OD求证：ACOD；求D点坐标（2）如图二，连接CD，与y轴交于点E，试求BE长度【解答】（1）证明：OBC和ABD是等腰直角三角形，OBCB，BDAB，ABDOBC90，ABD+ABOOBC+AO，OBDCBA，OBDCBA（SAS），ACOD；如图一、A（4，0），B（0，3），OA4，OB3，过点D作DFy轴于F，BOADFB90，ABO+OAB90，ABD90，ABO+FBD90，OABFBD，ABBD，AOBBFD（AAS），DFOB3，BFOA4，OFOB+BF7，D（3，7）；（2）如

12、图二、过点D作DFy轴于F，则DFB90CBF，同（1）的方法得，AOBBFD（AAS），DFOB，BFOA4，OBBC，BCDF，DEFCEB，DEFCEB（AAS），BEEF，BFBE+EF2BE4，BE28在ABC中，ACB90，ACBC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，垂足分别为E，F（1）如图所示，当直线l不与底边AB相交时，求证：EFAE+BF（2）当直线l绕点C旋转到图（b）的位置时，猜想EF、AE、BF之间的关系，并证明（3）当直线l绕点C旋转到图（c）的位置时，猜想EF、AE、BF之间的关系，直接写出结论【解答】（1）证明：ACB90，ECA+FCB9

13、0，又AEl，BFl，AEFBFC90，ECA+EAC90，FCBEAC，在ACE和CBF中，ACECBF（AAS），AECF，CEBF，EFEC+CF，EFAE+BF；（2）解：EFAEBF，理由如下：ACB90，ACE+FCB90，又AEl，BFl，AEFBFC90，CAE+ACE90，CAEFCB，又ACBC，ACECBF（AAS），AECF，CEBF，EFCFCEAEBF；（3）解：EFBFAE，理由如下：AECCFB90，ACB90，ACE+CAEACE+BCF90，CAEBCF，ACBC，CAEBCF（AAS），CEBF，AECF，EFCECFBFAE，即EFBFAE9如图，已知l

14、1l2，射线MN分别和直线l1，l2交于A、B，射线ME分别和直线l1，l2交于C、D，点P在A、B间运动（P与A、B两点不重合）（1）如图，如果PDB50，PCA20，CPD70若PDB，PCA，CPD，请直接写出，之间的数量关系 +（2）如图，若MNl1于点A，BD2，AB6，AC4，当AP为多少时，ACPBPD，请判断此时PC与PD的数量与位置关系，并说明理由（3）请用尺规作图作出BDC的角平分线DP，其中P为角平分线与AB的交点，若此时点P为线段AB的中点，请你在备用图中再画出合适的辅助线以能展现你的做题思路，并直接写出线段AC、BD、CD的数量关系，不用再说明理由【解答】解：（1）过

15、点P作PQl1，交ME于点Q，如图，l1l2，PQl1，PQl2，BDPDPQ50，PQl1，QPCPCA20，DPCDPQ+CPQ70，PDB，PCA，CPD，同理可得：CPDPDB+PCA，+，故答案为：70+（2）CPPD，CPPD理由如下：如图，若ACPBPD，则APBD2，CPAPDB，CPPD，MNl1，DBM90，DPB+PDB90，CPA+BPD90，CPD90，CPPD（3）CDCA+BD理由如下：以点D为圆心，以任意长度为半径画弧，交l1，ME于F、H，分别以H、F为圆心，以大于EF的长为半径画弧，相交于Q、T两点，连接DQ，即为CDF的角平分线，设DQ交AB于P，交l1于

16、G，如图，在DPB和GPA中，DPBGPA（AAS），BDAG，DG是CDF的角平分线，CDGFDG，l1l2，FDGCGD，CDGCGD，CDCG，CGCA+AGCA+BD，CDCA+BD10已知，在ABC中，ABAC，D，A，E三点都在直线m上，且DE9cm，BDAAECBAC（1）如图，若ABAC，则BD与AE的数量关系为 BDAE，CE与AD的数量关系为 CEAD；（2）如图，判断并说明线段BD，CE与 DE的数量关系；（3）如图，若只保持BDAAEC，BDEF7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动

17、的时间为t（s）是否存在x，使得ABD与EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）BDAAECBAC，BAD+CAEBAD+ABD，CAEABD，BDAAEC，BACA，ABDCAE（AAS），BDAE，CEAD，故答案为：BDAE，CEAD；（2）DEBD+CE，由（1）同理可得ABDCAE（AAS），BDAE，CEAD，DEBD+CE；（3）存在，当DABECA时，ADCE2cm，BDAE7cm，t1，此时x2；当DABEAC时，ADAE4.5cm，DBEC7cm，t，x7，综上：t1，x2或t，x11已知RtABC和RtADE，ABAC，ADAE连接BD

18、、CE，过点A作AHCE于点H，反向延长线段AH交BD于点F（1）如图1，当ABAD时请直接写出BF与DF的数量关系：BFDF（填“”、“”、“”）求证：CE2AF（2）如图2，当ABAD时，上述结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由【解答】解：（1）ABAC，ADAE，ABAD，ACAE，AHCE，CAHEAH，BACDAE90，CAH+BAF90，EAH+DAF90，BAFDAF，在BAF和DAF中，BAFDAF（SAS），BFDF，故答案为：；ACAE，AHCE，CHEHCE，CE2CH，BACAHC90，BAF+CAH90，ACH+CAH90，BAFACH，BAFDAF

19、，AFBAFD90，AFBCHA，在AFB和CHA中，AFBCHA（AAS），AFCH，CE2AF；（2）成立，证明如下：作BMAF于点M，作DNAF交AF的延长线于点N，BMAN90，BAM+ABM90，DAN+ADN90，BACDAE90，BAM+CAH90，DAN+EAH90，ABMCAH，ADNEAH，AHCE，AMBCHANEHA90，在AMB和CHA中，AMBCHA（AAS），MBAH，同理可证ANDEHA（AAS），DNAH，BMDN，在BMF和DNF中，BMFDNF（AAS），BFDF，MFNF，AMAFMF，ANAF+NFAF+MF，AM+ANAFMF+AF+MF2AF，AM

20、BCHA，ANDEHA，AMCH，ANEH，CH+EHAM+AN2AF，CECH+EH，CH2AF，即BFDF，CE2AF12从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法例如，我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题（1）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MNDM，垂足为M，且MNDM设OMa，请你利用基本活动经验直接写出点N的坐标 （2+a，a）（用含a的代数式表示）；（2）基本经验有利有弊，当

21、基本经验有利于新问题解决的时候，这是基本经验的正迁移；当基本经验所形成的思维定势局限了新问题的思考，让新问题解决不出来的时候，这是基本经验的负迁移例如，如果（1）的条件去掉“且MNDM”，加上“交CBE的平分线与点N”，如图2，求证：MDMN如何突破这种定势，获得问题的解决，请你写出你的证明过程（3）如图3，请你继续探索：连接DN交BC于点F，连接FM，下列两个结论：FM的长度不变；MN平分FMB，请你指出正确的结论，并给出证明【解答】（1）解：如图1中，作NEOB于E，DMN90，DMO+NME90，NME+MNE90，DMOMNE，在DMO和MNE中，DMOMNE，MEDO2，NEOMa，

22、OEOM+ME2+a，点N坐标（2+a，a），故答案为N（2+a，a）（2）证明：如图2中，在OD上取OHOM，连接HM，ODOB，OHOM，HDMB，OHMOMH，DHM18045135，NB平分CBE，NBE45，NBM18045135，DHMNBM，DMN90，DMO+NMB90，HDM+DMO90，HDMNMB，在DHM和MBN中，DHMMBN（ASA），DMMN（3）结论：MN平分FMB成立证明：如图3中，在BO延长线上取OACF，在AOD和FCD中，DOADCF，ADDF，ADOCDF，MDN45，CDF+ODM45，ADO+ODM45，ADMFDM，在DMA和DMF中，DMADMF，DFMDAMDFC，过M作MPDN于P，则FMPCDF，由（2）可知NMF+FMPPMN45，NMBMDO，MDO+CDF45，NMBNMF，即MN平分FMB（在旋转过程中，FMAM，显然AM的长度是变化的，故FM的长度是变化的或取两个特殊位置，比较AM的值即可发现结论）