专题13 几何图形问题-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练（解析版）.docx

1、专题13 几何图形问题一、数正方体个数【典例】如图是由若干个大小相同的小正方体所搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（）A6个B7个C8个D9【解答】解：综合三视图可知，这个几何体的底层有4个小正方体，第二层有1个小正方体，第三层有1个小正方体，因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+1+16个故选：A【巩固】由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的左视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多是（）A7B8C9D10【解答】解：由俯视图易得最底层有6个小正方体，第二层最多有3个小正方体，那么搭成这个几何体的小正方体最多为3+69个故选：C二、正方体的展开与折

2、叠【学霸笔记】正方体的11种不同的展开图“一四一”型“一三二”型“阶梯”型【典例】如图，是一个几何体的表面展开图（1）该几何体是 ；（2）依据图中数据求该几何体的体积【解答】解：（1）由展开图得这个几何体为长方体，故答案为：长方体（2）表面积：312+322+21222（米2），体积：3216（米3），答：该几何体的表面积是22平方米，体积是6立方米【巩固】如图是一个正方体的展开图，标注了字母A，C的面分别是正方体的正面和底面，其他面分别用字母B，D，E，F表示已知Akx+1，B3x2，C1，Dx1，E2x1，Fx（1）如果正方体的左面与右面所标注字母代表的代数式的值相等，求出x的值；（2）如

3、果正面字母A代表的代数式与对面字母代表的代数式的值相等，且x为整数，求整数k的值【解答】解：（1）正方体的左面B与右面D代表的代数式的值相等，x13x2，解得x=12；（2）正面字母A代表的代数式与对面F代表的代数式的值相等，kx+1x，（k1）x1，x为整数，x，k1为1的因数，k11，k0或k2，综上所述，整数k的值为0或2三、叠放的几何体求表面积或体积【典例】棱长为a的正方体，摆成如图所示的形状（1）如果这一物体摆放三层，试求该物体的表面积；（2）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下20层，求该物体的表面积（3）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下n层，求该物体的表面积【解答】解

4、：（1）6（1+2+3）a236a2故该物体的表面积为36a2；（2）6（1+2+3+20）a21260a2故该物体的表面积为1260a2；（3）6（1+2+3+n）a23n（1+n）a2故该物体的表面积为3n（1+n）a2【巩固】将一个棱长为整数的正方体木块的表面涂红色，然后分割成棱长为1的小正方体，若各个面未染色的小正方体有2197个，则只有两个面染色的小正方体有 个【解答】解：1332197，在大正方体中未染色的部分是棱长为13的小立方体，因此大正方体的棱长为13+215，棱长为15的大正方体的每一条棱上有15213个只有两个面染色的小正方体，因此共有1312156个只有两个面染色的小正

5、方体，故答案为：156巩固练习1一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方块的个数，能正确表示该几何体的主视图的是（）ABCD【解答】解：由所给图可知，这个几何体从正面看共有三列，左侧第一列最多有4块小正方体，中间一列最多有2块小正方体，最右边一列有3块小正方体，所以主视图为B故选：B2如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（）A12B18C24D30【解答】解：由三视图可得，几何体是空心圆柱，其小圆半径是1，大圆半径是2，则大圆面积为：224，小圆面积为：12，故这个几何体的体积为：6462461

6、8故选：B3如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（）ABCD【解答】解：由“相间Z端是对面”可知A、D不符合题意，而C折叠后，圆形在前面，正方形在上面，则三角形的面在右面，与原图不符，只有B折叠后符合，故选：B4一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置上的小正方块的个数，请你画出从正面与左面看到的这个几何体的形状图【解答】解：从正面看、左面看的图形如图所示：5（1）如图1，一个正方体纸盒的棱长为4厘米，将它的一些棱剪开展成一个平面图形，求这个平面图形的周长（2）如图2，一个长方体纸盒的长、宽、高分别是a厘米、b厘米、c

7、厘米（abc）将它的一些棱剪开展成一个平面图形，求这个平面图形的最大周长，画出周长最大的平面图形【解答】解：（1）正方体有6个表面，12条棱，要展成一个平面图形必须5条棱连接，要剪1257条棱，4（72）41456（cm）答：这个平面图形的周长是56cm；（2）如图，这个平面图形的最大周长是8a+4b+2c6请在下面的五个方框中画出5种不同的正方体的展开图（经过平移或旋转后能够重合的，算作一种）【解答】解：作图如下：（答案不唯一）7如图，下列几何体是由若干棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），观察该图，探究其中的规律（1）第1个几何体中只有2个面涂

8、色的小立方体共有 个第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有 个（2）设第n个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数为M，请用含字母n的代数式表示M；（3）求出前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数的和【解答】解：（1）观察图形可得第1个几何体中最底层的4个角的小立方体只有2个面涂色；第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有5420个故答案为：4 20 （4分）（2）观察图形可知：图中，两面涂色的小立方体共有4个；图中，两面涂色的小立方体共有12个；图中，两面涂色的小立方体共有20个4，12，20都是4的倍数，可分别写成41，43，45的形式，因此，第n个图中两面涂色的小立方体共

9、有4（2n1）8n4，M8n4 （n为正整数）（8分）（3）（814）+（824）+（834）+（844）+（854）+（81004）8（1+2+3+4+100）100440000故前100个图形的点数和为400008（1）在如图（1）所示的正方体表面展开图中的三个空白正方形内各填入一个质数，使该图复原成正方体后，三组对面上的两数之和都相等（2）图（2）是由四个如图（1）所示的正方体拼成的长方体，其中有阴影的面上为合数，无阴影的面上为质数，并且整个表面上任意两个相邻正方形内的数都不是图（1）所示的正方体相对面上的两数已知长方体正面上的四个数之和为质数，那么其左侧面上的数是 （填具体数）（3）如

10、果把图（2）中的长方体从中间等分成左右两个小长方体，它们各自表面上的各数之和分别为S左和S右，那么S左与S右的大小关系是S左 S右【解答】解：（1）如图（2）已知长方体正面上的四个数之和为质数，任意两个相邻正方形内的数都不是图（1）所示的正方体相对面上的两数那么可猜测正面上的四个数分别为：13，18，2，21，按照（1），13在正面，那么21应该在左侧；故答案为21同时第（2）小题中，如果正面的数从左到右依次是2，10，13，16与13，10，2，16，答案就不一样了同时即使左边一个正面的数为2，那上面的数可以是16，也可以是10，故此题答案不唯一（3）分开后，左侧表面的数的和为：2（13+2

11、1+10+16+7）134；右侧表面的数的和为：（2+16+21+7+13）+（21+10+13+2+7）112，S左S右9六盒磁带按“规则方式”打包，所谓“规则方式”是指每相邻两盒必须以完全一样的面对接，最后得到的包装形状是一个长方形已知磁带盒的大小为abc1172（单位cm）（1）请画出示意图，给出一种打包方式，使其表面积最小；（2）若不给出a、b、c的具体尺寸，只假定abc，3问能否按照已知的方式打包，使其表面积最小？并说明理由【解答】解：（1）设：三个面的面积记为Abc，Bac，Cab，在16的方式下，打包方式如图乙，这时，表面积S乙2C+12B+12A2117+12112+12725

12、86（cm2）；在23的方式下，打包方式如图丙，这时，表面积S丙4C+6B+12A4117+6112+1272608（cm2）；因为S乙S丙，所以最小表面积的打包方式是16（2）若abc，则单叠（即1*6方式）打包的最小表面积S2ab+12ac+12bc；双叠（即2*3方式）打包最小表面积S4ab+6ac+12bc所以SS2a（3cb）所以：当ab，且cb3c时，最小表面积为双叠当ab3c时，最小表面积为单叠当ab3c时，两种方式一样大10十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式请你观察下列几种简单多面体模型，解答下

13、列问题：（1）根据上面多面体的模型及表格中的数据：多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）四面体446长方体8612正八面体6812你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 ；（2）一个多面体每个顶点处都有3条棱，多面体的棱数比顶点数大10，则这个多面体的面数是 ；（3）某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，每个顶点处都有3条棱，共有棱36条若该多面体外表面三角形的个数比八边形的个数的2倍多2，求该多面体外表面三角形的个数【解答】解：（1）4+462，8+6122，6+8122，顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是V+FE2；故答案为：V+FE2；（2）根据题意，可得E=V+102E=3V，解得V=20E=30，V+FE2，F2+EV2+302012，故答案为：12；（3）3V2=36E，V24，V+FE2，F14，设八边形的个数为y个，则三角形的个数为2y+2个，由题意得y+2y+214，解得：y4，2y+210，答：该多面体外表面三角形的个数为10个