专题13 尺规作图篇（解析版）.docx

1、专题13 尺规作图知识回顾1. 尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题2. 基本要求它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度它只可以拉开成你之前构造过的长度3. 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段 （2）作一个角等于已知角 （3）作已知线段的垂直平分线具体步骤：以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。如图连接MN，过MN的直线即

2、为线段的垂直平分线。如图 （4）作已知角的角平分线具体步骤：以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。如图。分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。如图。连接OP，OP即为角的平分线。 （5）过一点作已知直线的垂线4. 复杂作图： 复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作。5. 设计作图：应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形

3、的性质和基本作图的方法作图。专题练习1尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知线段m，n求作ABC，使A90，ABm，BCn【分析】先在直线l上取点A，过A点作ADl，再在直线l上截取ABm，然后以B点为圆心，n为半径画弧交AD于C，则ABC满足条件【解答】解：如图，ABC为所作2如图，在ABC中，ABAC，BD是ABC的角平分线（1）作ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：ADAE【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可（2）证明ACEABD，即可得出ADAE【解答】（1）解：如图所示（2）证明：ABAC，ABCACB，BD是ABC的

4、角平分线，CE是ABC的角平分线，ABDACE，ABAC，AA，ACEABD（ASA），ADAE3如图，已知线段AC和线段a（1）用直尺和圆规按下列要求作图（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）作线段AC的垂直平分线l，交线段AC于点O；以线段AC为对角线，作矩形ABCD，使得ABa，并且点B在线段AC的上方（2）当AC4，a2时，求（1）中所作矩形ABCD的面积【分析】（1）按照线段垂直平分线的作图步骤作图即可以点O为圆心，OA的长为半径画弧，再以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧在线段AC上方交于点B，同理，以点O为圆心，OC的长为半径画弧，再以点C为圆心，线段a的长为半径画弧

5、，两弧在线段AC下方交于点D，连接AD，CD，AB，BC，即可得矩形ABCD（2）利用勾股定理求出BC，再利用矩形的面积公式求解即可【解答】解：（1）如图，直线l即为所求如图，矩形ABCD即为所求（2）四边形ABCD为矩形，ABC90，a2，ABCD2，BCAD，矩形ABCD的面积为ABBC24如图，四边形ABCD中，ABDC，ABBC，ADDC于点D（1）用尺规作ABC的角平分线，交CD于点E；（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接AE求证：四边形ABCE是菱形【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作图即可（2）由角平分线的定义和平行四边形的判定定理，可得四边形ABCE为平行四边形，再结合ABB

6、C，可证得四边形ABCE为菱形【解答】（1）解：如图所示（2）证明：BE是ABC的角平分线，ABECBE，ABCD，ABEBEC，CBEBEC，BCEC，ABBC，ABEC，四边形ABCE为平行四边形，ABBC，四边形ABCE为菱形5如图，在44的方格纸中，点A，B在格点上请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论（1）在图1中画一条线段垂直AB（2）在图2中画一条线段平分AB【分析】（1）利用数形结合的思想作出图形即可；（2）利用矩形的对角线互相平分解决问题即可【解答】解：（1）如图1中，线段EF即为所求（答案不唯一）；（2）如图2中，线段EF即为所求（答案不唯一）6“水城河畔，

7、樱花绽放，凉都宫中，书画成风”的风景，引来市民和游客争相“打卡”留念已知水城河与南环路之间的某路段平行宽度为200米，为避免交通拥堵，请在水城河与南环路之间设计一条停车带，使得每个停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等（1）利用尺规作出凉都宫到水城河的距离（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在图中格点处标出三个符合条件的停车位P1，P2，P3；（3）建立平面直角坐标系，设M（0，2），N（2，0），停车位P（x，y），请写出y与x之间的关系式，在图中画出停车带，并判断点P（4，4）是否在停车带上【分析】（1）利用过直线外一点作垂线的方法作图即可；（2）根据停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等，

8、可得点P1，P2，P3；（3）根据停车位P（x，y）到点F（0，1）和直线y1的距离相等，得1y，从而解决问题【解答】解：（1）如图，线段FA的长即为所求；（2）如图，点P1，P2，P3即为所求；（3）停车位P（x，y）到点F（0，1）和直线y1的距离相等，1y，化简得y，当x4时，y4，点P（4，4）在停车带上7图、图、图均是55的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，ABC的顶点均在格点上只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹（1）网格中ABC的形状是 ；（2）在图中确定一点D，连结DB、DC，使DBC与ABC全等；（3）在图中ABC的边BC上确定一

9、点E，连结AE，使ABECBA；（4）在图中ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使PBQABC，且相似比为1：2【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可；（2）根据全等三角形的判定，作出图形即可；（3）根据相似三角形的判定作出图形即可；（4）作出AB，BC的中点P，Q即可【解答】解：（1）AC，AB2，BC5，AC2+AB2BC2，BAC90，ABC是直角三角形；故答案为：直角三角形；（2）如图中，点D，点D，点D即为所求；（3）如图中，点E即为所求；（4）如图，点P，点Q即为所求8如图，O是ABC的外接圆，ABC45（1）请用尺规作出O的切线AD（保留作图痕迹，不写

10、作法）；（2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75，O的半径为2，求BC的长【分析】（1）过点A作ADAO即可；（2）连接OB，OC证明ACB75，利用三角形内角和定理求出CAB，推出BOC120，求出CH可得结论【解答】解：（1）如图，切线AD即为所求；（2）过点O作OHBC于H，连接OB，OCAD是切线，OAAD，OAD90，DAB75，OAB15，OAOB，OABOBA15，BOA150，BCAAOB75，ABC45，BAC180457560，BOC2BAC120，OBOC2，BCOCBO30，OHBC，CHBHOCcos30，BC29如图，在ABC中，AD是ABC的角平分

11、线，分别以点A，D为圆心，大于AD的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AB，AD，AC于点E，O，F，连接DE，DF（1）由作图可知，直线MN是线段AD的 （2）求证：四边形AEDF是菱形【分析】（1）根据作法得到MN是线段AD的垂直平分线；（2）根据垂直平分线的性质则AFDF，AEDE，进而得出DFAB，同理DEAF，于是可判断四边形AEDF是平行四边形，加上FAFD，则可判断四边形AEDF为菱形【解答】（1）解：根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线；故答案为：垂直平分线；（2）证明：MN是AD的垂直平分线，AFDF，AEDE，FADFDA，AD平分BAC，BADCAD，

12、FDABAD，DFAB，同理DEAF，四边形AEDF是平行四边形，FAFD，四边形AEDF为菱形10如图，已知RtABC中，ACB90，AB8，BC5（1）作BC的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、H；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接CD，求BCD的周长【分析】（1）利用基本作图，作BC的垂直平分线即可；（2）根据线段垂直平分线的性质得到DCDB，则利用等角的余角相等得到ADCA，则DCDA，然后利用等线段代换得到BCD的周长AB+BC【解答】解：（1）如图，DH为所作；（2）DH垂直平分BC，DCDB，BDCB，B+A90，DCB+DCA90，ADCA

13、，DCDA，BCD的周长DC+DB+BCDA+DB+BCAB+BC8+51311已知：ABC（1）尺规作图：用直尺和圆规作出ABC内切圆的圆心O（只保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）如果ABC的周长为14cm，内切圆的半径为1.3cm，求ABC的面积【分析】（1）作ABC，ACB的角平分线交于点O，点O即为所求；（2）ABC的面积（a+b+c）r计算即可【解答】解：（1）如图，点O即为所求；（2）由题意，ABC的面积141.39.1（cm2）12已知四边形ABCD为矩形，点E是边AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹（1）在图1中作出矩形ABCD的对称轴m，使mA

14、B；（2）在图2中作出矩形ABCD的对称轴n，使nAD【分析】（1）如图1中，连接AC，BD交于点O，作直线OE即可；（2）如图2中，同法作出点O，连接BE交AC于点T，连接DT，延长TD交AB于点R，作直线OR即可【解答】解：（1）如图1中，直线m即为所求；（2）如图2中，直线n即为所求；13如图，在1010的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中ABC为格点三角形请按要求作图，不需证明（1）在图1中，作出与ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与ABC有一条公共边，且不与ABC重叠；（2）在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形【分析】（1）

15、根据全等三角形的判定画出图形即可；（2）根据菱形的定义画出图形即可【解答】解：（1）如图1中，ABD1，ABD2，ACD3，ACD4，CBD5即为所求；（2）如图2中，菱形ABDC，菱形BECF即为所求14【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？【初步尝试】如图1，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；【问题联想】如图2，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP；【问题再解】如图3，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分（

16、友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）【分析】【初步尝试】如图1，作AOB的角平分线OP即可；【问题联想】如图2，作线段MN的垂直平分线RT，垂足为R，在射线RT上截取RPRM，连接MP，NP，三角形MNP即为所求；【问题再解】方法一：构造等腰直角三角形OBE，作BCOE，以O为圆心，OC为半径画弧交OB于点D，交OA于点F，弧DF即为所求方法二：作OB的中垂线交OB于点C，然后以C为圆心，CB长为半径画弧交OB中垂线于点D，再以O为圆心，OD长为半径画弧分别交OA、OB于点E、F则弧EF即为所求【解答】解：【初步尝试】如图1，直线OP即为所求；【问题联想】如图2，三角形MNP即为所求；【问题再解】如图3中，即为所求15如图，在66的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形（1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；（2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；（3）如图3，作一个与ABC相似的三角形，相似比不等于1【分析】（1）把点B、A向右作平移1个单位得到CD；（2）作A点关于BC的对称点D即可；（3）延长CB到D使CD2CB，延长CA到E点使CE2CA，则EDC满足条件【解答】解：（1）如图1，CD为所作；（2）如图2，（3）如图3，EDC为所作