专题13 最值模型：瓜豆原理-主从动点问题（专项训练）-备战2023年中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）（解析版）.docx

1、 专题13 最值模型；瓜豆原理-主从动点问题（专项训练）1如图，矩形ABCD中，AD6，DC8，点E为对角线AC上一动点，BEBF，BGEF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为 【答案】【解答】解：如图，过点B作BPAC于点P，连接PG，ABCEBF，ABCEBF，CABFEB，APBEGB90，ABPEBG，ABPEBG，ABEPBG，ABEPBG，BPGBAE，即在点E的运动过程中，BPG的大小不变且等于BAC，当CGPG时，CG最小，设此时AEx，PG，CGPG，PCGBPGBAC，代入PG，解得CPx，CPBCsinCBPBCsinBAC，x，AECE，故答案为：2如图，在ABC

2、中，ABAC，BC6，tanACB2，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120，得到线段DP，连接BD，CD，则CD长的最小值为 【答案】【解答】解：如图所示，以BC为底边向上作等腰BQC，使BQC120，连接PQ由题意可得BQC和BPD均为顶角为120 的等腰三角形，可得，QBCPBD30，QBCQBDPBDQBD，PBQDBC，PBQDBC，当PQAC时，有PQ最小，即此时CD最小，如图所示，设OPAC，延长AQ与BC交K，此时QP为QP的最小值，可得AKBC，BQC中，BQC120，BC6，BK3，QBK30，QK，tanACB，KC3，AK，AQAKQK

3、，AC，APQAKC90，QAPCAK，AQPACK，QP，CD3如图，在ABC中，ACB90，点D在BC边上，BC5，CD2，点E是边AC所在直线上的一动点，连接DE，将DE绕点D顺时针方向旋转60得到DF，连接BF，则BF的最小值为 【答案】【解答】解：如图，以BD为边作等边三角形DBH，连接EH，过点H作HNBD于N，BC5，CD2，BD3，DHB是等边三角形，HNBD，DNBN，DBDH，HDB60，CN，将DE绕点D顺时针方向旋转60得到DF，DEDF，EDF60，EDFHDB，EDHFDB，在DHE和DBF中，DHEDBF（SAS），EHBF，当EH有最小值时，BF有最小值，由垂线

4、段最短可得：当EHAC时，EH有最小值，此时，EHAC，ACB90，HNDB，四边形CNHE是矩形，HECN，故答案为：4如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB6，DAC60，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，则点E运动的路程长是 【答案】2【解答】解：连接OE，四边形ABCD是矩形，AODO，DAB90，DAC60，DAO是等边三角形，DADO，ADO60，DFE是等边三角形，DEDF，EDF60，ADFODE，又ADDO，DFDE，ADFODE（SAS），OEAF，DOEDAO，点E在射线OE上运动，且O

5、EAF，当点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E的运动路程是AO，在RtADB中，设ADx，则BD2x，（2x）2x262，解得x2（负值舍去），ADAO2，即点E的运动路程为2，故答案为：25如图，正方形ABCD的边长为7，E为BC上一点，且BE，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边EFG，连接CG，则CG的最小值为 【答案】2【解答】解：EFG为等边三角形，EFEG，把EBF绕点E顺时针旋转60得到EHG，如图，延长HG交CD于M，过C点作CQHM，过E点作EPCQ，BEH60，EBEH，EHGEBF90，即G点在过H点且垂直于EH的线段HM上，易得四边形HEPQ为矩

6、形，PQEH，HEP90，CEP90BEH30，CPCE，CQCP+PQ+CG的最小值为故答案为6如图，正方形ABCD的边长为8，E为BC上一点，且BE2.5，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边EFG，连接CG，则CG的最小值为 【答案】【解答】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，将EFB绕点E旋转60，使EF与EG重合，得到EFBEHG，从而可知EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，过点C作CMHN，则CM即为CG的最小值，过点E作EPCM，可知四边形HEPM为矩形，则CMMP+CPHE+EC2.5+，故

7、答案为：7如图，正方形ABCD中边长为6，E为BC上一点，且BE1.5，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边EFG，连接CG，则CG的最小值为 【答案】【解答】解：如图，以EC为边作等边三角形ECH，过点H作HNBC于N，HMAB于M，又ABC90，四边形MHNB是矩形，MHBN，BE1.5，EC，EHC是等边三角形，HNEC，ECEH，ENNC，HEC60，BNMH，FGE是等边三角形，FEGE，FEG60HEC，FEHGEC，在FEH和GEC中，FEHGEC（SAS），FHGC，当FHAB时，FH有最小值，即GC有最小值，点F与点M重合时，FHHM，故答案为8如图，已知

8、点A（3，0），B（0，3），C（1，4），动点P在线段AB上，点P、C、M按逆时针顺序排列，且CPM90，CPMP，当点P从点A运动到点B时，则点M运动的路径长为 【答案】6【解答】解：点A（3，0），B（0，3），AB，C（1，4），动点P在线段AB上，CPM90，CPMP，P为主动点，M为从动点，C为定点，由“瓜豆原理”得P运动路径（AB）与M运动路径之比等于，点M运动的路径长为6，故答案为：69如图，AOB30，OD4，当点C在OA上运动时，作等腰RtCDE，CDDE，则O，E两点间距离的最小值为 【答案】2+2【解答】解：AOB30，OD4，点C在OA上运动时，CDDE，CDDE，C

9、为主动点，E为从动点，D为定点，由“瓜豆原理”，C在OA上运动，则E在垂直OA的直线上运动，当DCOA时，如答图：过E作EMOA于M，交OB于N，则直线MN即为E的运动轨迹，OM的长为O，E两点间距离的最小值，AOB30，OD4，DCOA，CD2，CDDE，DE2，OCDCDE90，DEOA，而EMOA，DEN90，EDN30，在DEN中可得DN，ON4+，OMN中可得OM（4+）2+2，故答案为：2+210如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC上一点，且BE1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为底向右侧作等腰直角EFG，连接CG，则CG的最小值为 【答案】【解答】解：如图1，过点G

10、作GPAB于点P，GQBC于点Q，连接BD，根据题意知，ABC90，PGQ90PGF+FGQQGE+FGQ90PGFQGE又EFG是等腰直角三角形，且FGE90，GFGE在GPF与GQE中，GPFGQE（AAS）GPGQ，GBPGBEABC点G在BD所在的直线上运动F为AB边上的一个动点，如图2，当点F与点B重合时，点G的位置如图所示当点F与点A重合时，记点G的位置为G点G的运动轨迹为线段GG过点C作CGBD于点G|CG|minCGBD正方形ABCD的边长为2，BD2|CG|min故答案是：11如图，菱形ABCD的边长为4，B120，E是BC的中点，F是对角线AC上的动点，连接EF，将线段EF

11、绕点F按逆时针旋转30，G为点E对应点，连接CG，则CG的最小值为 【答案】【解答】解：如图取CD的中点K，连接FK，KG，EK，延长KG交BC于J，作CHJK于H四边形ABCD是菱形，FCEFCK，CBCD，ABCD，DCB+B180，B120，DCB60，BEEC，CKKD，CKCE，ECK是等边三角形，CFCF，FCKFCE，CKCE，FCKFCE（SAS），FKFE，FGFE，FEFGFK，EKGEFG15，CKE60，CKJ45，点G在直线KJ上运动，根据垂线段最短可知，当点G与H重合时，CG的值最小，在RtCKH中，CKH45，CHK90，CKCD2，CHKH，CG的最小值为，故答

12、案为12已知边长为6的等边ABC中，E是高AD所在直线上的一个动点，连接BE，将线段BE绕点B顺时针旋转60得到BF，连接DF，则在点E运动的过程中，当线段DF长度的最小值时，DE的长度为 【答案】【解答】解：连接CF，等边ABC，ABBC，线段BE绕点B顺时针旋转60得到BF，BEBF，ABECBF，ABEBCF（ASA），F点在直线CF上运动，CFAE，BCF30，F点在直线CF上运动，当DFCF时，DF最小，CD3，CF，AE，AD3，DE，故答案为13如图，线段AB2，点C为平面上一动点，且ACB90，将线段AC的中点P绕点A顺时针旋转90得到线段AQ，连接BQ，则线段BQ的最大值为

13、【答案】【解答】解：如图，取AB的中点D，连接CD，过点A作AEAB，使AEAD，连接QE、BEACB90，D为AB的中点，QAC90，EAB90，QAECAD，ADCAEQ，EAB90，当点Q、E、B三点共线时，BQ最大为故答案为：14如图，线段AB为O的直径，点C在AB的延长线上，AB4，BC2，点P是O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作RtPCD，且使DCP60，连接OD，则OD长的最大值为 【答案】2+1【解答】解：如图，作COE，使得CEO90，ECO60，则CO2CE，OE2，OCPECD，CDP90，DCP60，CP2CD，2，COPCED，2，即EDOP1（定长），

14、点E是定点，DE是定长，点D在半径为1的E上，ODOE+DE2+1，OD的最大值为2+1，故答案为14已知O的半径长7cm，P为线段OA的中点，若点P在O上，则OA的长是 cm【答案】14【解答】解：根据点和圆的位置关系，得OP7cm，再根据线段的中点的概念，得OA2OP14cm故答案为：1415如图，在ABC中，AC：BC：AB3：4：5，O沿着ABC的内部边缘滚动一圈，若O的半径为1，且圆心O运动的路径长为18，则ABC的周长为 【答案】30【解答】解：设O沿着ABC的内部边缘滚动一圈，如图所示，连接DE、EF、DF，设切点分别为G、H、P、Q、M、N，连接DH、DG、EP、EQ、FM、F

15、N，得矩形DEPG、矩形EQNF、矩形DEMH，DEGP，EFQN，DFHM，根据切线长定理四边形CPEQ是正方形，PCPEEQCQ1，O的半径为1，且圆心O运动的路径长为18，DE+EF+DF18，DEAC，DFAB，EFBC，DEFACB，DFEABC，DEFABC，DE：EF：DFAC：BC：AB3：4：5，设DE3k（k0），则EF4k，DF5k，DE+EF+DF18，3k+4k+5k18，解得k，DE3k，EF4k6，DF5k，根据切线长定理，设AGAHx，BNBMy，则ACAG+GP+CPx+1x+5.5，BCCQ+QN+BN1+6+yy+7，ABAH+HM+BMx+yx+y+7.

16、5，AC：BC：AB3：4：5，（x+5.5）：（y+7）：（x+y+7.5）3：4：5，解得x2，y3，AC7.5，BC10，AB12.5，AC+BC+AB30所以ABC的周长为30故答案为3016如图，O的半径为2，O到定点A的距离为5，点B在O上，点P是线段AB的中点，若B在O上运动一周（1）点P的运动路径是一个圆；（2）ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围（1）思路引导要证点P运动的路径是一个圆，只要证点P到定点M的距离等于定长r，由图中的定点、定长可以发现M，r【解答】（1）解：连接OA、OB，取OA的中点H，连接HP，如图1所示：则HP是ABO的中位线，HPOB1，

17、P点到H点的距离固定为1，B在O上运动一周，点P运动的路径是以点H为圆心，半径为1的一个圆；（2）解：连接AO并延长AO交O于点M、N，如图2所示：ABC是等边三角形，点P是线段AB的中点，PCAB，PAPBABBC，PCPAAB，当点B运动到点M位置时，点P运动到点P位置，PC最短，AMOAOM523，APAM，PC；当点B运动到点N位置时，点P运动到点P位置，PC最长，ANOA+ON5+27，APAN，PC；PC长的取值范围是PC17若AC4，以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接AP（1）如图1，取点B，使ABC为等腰直角三角形，BAC90，将点P绕点A顺时针旋转90得到A

18、P点P的轨迹是 （填“线段”或者“圆”）；CP的最小值是 ；（2）如图2，以AP为边作等边APQ（点A、P、Q按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求CQ的最大值（3）如图3，将点A绕点P逆时针旋转90，得到点M，连接PM，则CM的最小值为 【解答】解：（1）连接CP、BP，如图1所示：ABC是等腰直角三角形，BAC90，ACAB，由旋转的性质得：APAP，PAP90，PACPAB，在ABP和ACP中，ABPACP（SAS），BPCP2，即点P到点B的距离等于定长，点P的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆；故答案为：圆；ABC是等腰直角三角形，AC4，BCAC4，当点P在线段BC上时，CP最小B

19、CBP42；故答案为：42；（2）以AC为边长作等边ACD，连接DQ、CP，如图2所示：APQ和ACD是等边三角形，APAQ，ACADCD4，PAQCAD60，DAQCAP，在ADQ和ACP中，ADQACP（SAS），DQCP2，当C、D、Q三点共线时，CQ有最大值CD+DQ4+26；（3）如图3所示：M点的轨迹是以MM为直径的一个圆O，则PMPA2，PMPA4+26，则CO是梯形PMMP的中位线，CO（2+6）4，连接MM，则MMM90，PMPM2，MMPP4，MM624MM，MMM是等腰直角三角形，MMMM4，OM2，CMCOOM42；故答案为：4218已知：如图，AB是O的直径，C是O上

20、一点，ODAC于点D，过点C作O的切线，交OD的延长线于点E，连接AE（1）求证：AE与O相切；（2）连接BD，若ED：DO3：1，OA9，求AE的长；（3）若AB10，AC8，点F是O任意一点，点M是弦AF的中点，当点F在O上运动一周，则点M运动的路径长为 【解答】（1）证明：如图1中，连接OCODAC，ADDC，EAEC，在OEC和OEA中，OECOEA，OAEOCE，EC是O切线，ECOC，OCE90，OAEOCE90，OAAE，AE是O的切线（2）如图1中，设ODa，则DE3a，AODAOE，ODAOAE，OADOEA，4a281，a0，a，OE18，在RtAOE中，AE9（3）如图2

21、中，连接OM，取OA的中点O，连接OMAMMF，OMAF，AOOO，OAOB5，OMOA定长，当点F在O上运动一周，则点M运动的路径是以O为圆心为半径的圆，点M运动的路径长为25故答案为519如图1，在平面直角坐标系中，直线y5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线yx2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B（1）求抛物线解析式；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，ABM的面积等于ABC面积的，求此时点M的坐标；（3）如图2，以B为圆心，2为半径的B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰RtPAD，使PAD90

22、（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD求FD长度的取值范围【解答】解：（1）令x0，则y5，C（0，5），令y0，则x1，A（1，0），将点A（1，0），C（0，5）代入yx2+bx+c，得，yx26x+5；（2）设M（m，m26m+5），令y0，则x26x+50，解得x5或x1，B（5，0），AB4，SABC4510，ABM的面积等于ABC面积的，SAMB64（m26m+5），解得m2或m4，M（2，3）或M（4，3）；（3）将点B绕A点顺时针旋转90到B，连接AB，PB，BD，BAD+BAD90，PAB+BAD90，BADPAB，ABAB，PAAD，ADBAPB（SAS），BPBD，PB2，BD2，D在以B为圆心，2为半径的圆上运动，B（5，0），A（1，0），B（1，4），BF2，F（7，0），BF2，DF的最大值为2+2，DF的最小值为22，22DF2+2