专题13.9 三角形中的边角关系、命题与证明章末八大题型总结（拔尖篇）（沪科版）（解析版）.docx

1、专题13.9 三角形中的边角关系、命题与证明章末八大题型总结（拔尖篇）【沪科版】【题型1 利用三角形的中线求面积】1【题型2 利用三角形的三边关系求线段的最值或取值范围】7【题型3 利用三角形的三边关系化简或证明】10【题型4 与角平分线有关的三角形角的计算问题】14【题型5 与平行线有关的三角形角的计算问题】23【题型6 与折叠有关的三角形角的计算问题】35【题型7 坐标系中的角度探究问题】45【题型8 有关三角形角度的多结论问题】54【题型1 利用三角形的中线求面积】【例1】（2023春贵州毕节八年级统考期末）如图，在ABC中，AG=BG，BD=DE=EC，CF=4AF，若四边形DEFG的

2、面积为28，则ABC的面积为（）A60B56C70D48【答案】A【分析】连接CG、BF，过点F作FMAB于点M，设SAFG=a，根据同高的三角形的面积的比等于底边的比，分别得到SAFB=2a、SBCF=8a、SABC=10a、SCFE=83a、SACG=SBCG=5a、SBDG=53a，再根据四边形DEFG的面积，求出a=6，即可得出ABC的面积【详解】解：连接CG、BF，过点F作FMAB于点M，设SAFG=a，SAFG=12AGFM，SFGB=12BGFM，AG=BG，SAFG=SFGB=a，SAFB=2a，CF=4AF，同理可得：SBCF=4SAFB，SBCF=8a，SABC=SAFB+

3、SBCF=2a+8a=10a，BD=DE=EC，BC=3EC，同理可得：SCFE=13SBFC=83a，G是AB的中点，同理可得：SACG=SBCG=5a，BD=DE=EC，BC=3BD，同理可得：SBDG=13SBCG=53a，四边形DEFG的面积为28，S四边形DEFG=SABC-SAFG-SCFE-SBDG=10a-a-83a-53a=143a=28，a=6，SABC=10a=106=60，故选：A【点睛】本题主要考查了三角形的中线的性质，掌握三角形的中线的性质是解题关键【变式1-1】（2023秋黑龙江哈尔滨八年级校考期末）如图，在ABC中，BF=2FD，EF=FC，若BEF的面积为4，

4、则四边形AEFD的面积为 【答案】14【分析】根据等底等高的三角形面积相等即可解决问题【详解】解：如图，连接AF，EF=FC，BEF的面积为4，SBFC=4，BF=2FD，SDFC=12SBFC=2，EF=FC，SAEF=SAFC=SADF+2，BF=2FD，SABF=2SADF，SAEF+SBEF=2SADF，SADF+2+4=2SADF，解得SADF=6，SAEF=6+2=8，S四边形AEFD=SADF+SAEF=6+8=14故答案为：14【点睛】本题主要考查了根据三角形的中线求面积，解决本题的关键是掌握等底等高的三角形面积相等【变式1-2】（2023春江苏连云港八年级统考期末）如图，点C

5、为直线AB外一动点，AB=6，连接CA、CB，点D、E分别是AB、BC的中点，连接AE、CD交于点F，当四边形BEFD的面积为5时，线段AC长度的最小值为 【答案】5【分析】如图：连接BF，过点C作CHAB于点H，根据三角形中线的性质求得SABC=15，从而求得CH=5，利用垂线段最短求解即可【详解】解：如图：连接BF，过点C作CHAB于点H，点D、E分别是AB、BC的中点，SABE=SACE=12SABC=SADC=SBDC，SAFD=SBFD，SCEF=SBEF，SCEF+S四边形BDFE=SCEF+SACF，SAFD+SCEF=SBEF+SBFD=S四边形BDFE=5，S四边形BDFE=

6、SACF=5，SABC=SACF+S四边形BDFE+SAFD+SCEF=15，12CHAB=15，CH=5，又点到直线的距离垂线段最短，ACCH=5，AC的最小值为5故答案为：5【点睛】本题考查了三角形中线的性质、垂线段最短等知识点，正确作出辅助线、利用中线分析三角形的面积关系是解题的关键【变式1-3】（2023春江苏盐城八年级统考期末）【问题情境】苏科版数学课本八年级下册上有这样一道题：如图1，AD是ABC的中线，ABC与ABD的面积有怎样的数量关系？小旭同学在图1中作BC边上的高AE，根据中线的定义可知BD=CD又因为高AE相同，所以SABD=SACD，于是SABC=2SABD据此可得结论

7、：三角形的一条中线平分该三角形的面积【深入探究】（1）如图2，点D在ABC的边BC上，点P在AD上若AD是ABC的中线，求证：SAPB=SAPC；若BD=3DC，则SAPB:SAPC=_【拓展延伸】（2）如图3，分别延长四边形ABCD的各边，使得点A、B、C、D分别为DH、AE、BF、CG的中点，依次连结E、F、G、H得四边形EFGH求证：SHDG+SFBE=2S四边形ABCD；若S四边形ABCD=3，则S四边形EFGH=_【答案】（1）证明见解析；3:1；（2）证明见解析；15【分析】（1）根据中线的性质可得SADB=SADC，点D为BC的中点，推得PD是PBC的中线，SPDB=SPDC，即

8、可证明SAPB=SAPC；设ABC边BC上的高为h，根据三角形的面积公式可得SADB=12BDh，SADC=12DCh，即可推得SADB=3SADC，同理推得SPDB=3SPDC，即可求得SAPB=3SAPC，即可证明SAPB:SAPC=3:1；（2）连接AG，AC，CE，根据中线的判定和性质可得SGAH=SGAD=12SGHD，SCBA=SCBE=12SCAE，SECF=SECB=12SEFB，SADC=SADG=12SACG，推得SADC=SADG=12SGHD，SCBA=SCBE=12SEFB，即可求得S四边形ABCD=12SGHD+SEFB，即可证明SHDG+SFBE=2S四边形ABC

9、D，由可得SHDG+SFBE=2S四边形ABCD，同理可证得SHEA+SFGC=2S四边形ABCD，根据S四边形EFGH=SHDG+SFBE+SHEA+SFGC+S四边形ABCD，即可推得S四边形EFGH=5S四边形ABCD，即可求解【详解】（1）证明：AD是ABC的中线，SADB=SADC，点D为BC的中点，PD是PBC的中线，SPDB=SPDC，SADB-SPDB=SADC-SPDC，即SAPB=SAPC；SAPB:SAPC=3:1，解：设ABC边BC上的高为h，则SADB=12BDh，SADC=12DCh，BD=3DC，SADB=3SADC，同理SPDB=3SPDC，则SADB-SPDB

10、=3SADC-3SPDC，即SAPB=3SAPC，SAPB:SAPC=3:1（2）证明：连接AG，AC，CE，如图：点A、B、C、D分别为DH、AE、BF、CG的中点，AG，BC，CE，DA分别为GHD，CAE，EFB，ACG的中位线，SGAH=SGAD=12SGHD，SCBA=SCBE=12SCAE，SECF=SECB=12SEFB，SADC=SADG=12SACG，SADC=SADG=12SGHD，SCBA=SCBE=12SEFBS四边形ABCD=SADC+SCBA=12SGHD+12SEFB=12SGHD+SEFB，即SHDG+SFBE=2S四边形ABCD；15，解：由可得SHDG+SF

11、BE=2S四边形ABCD，同理可证得SHEA+SFGC=2S四边形ABCD，S四边形EFGH=SHDG+SFBE+SHEA+SFGC+S四边形ABCD，即S四边形EFGH=5S四边形ABCD，S四边形ABCD=3，S四边形EFGH=53=15【点睛】本题考查了中位线的判定和性质，三角形的面积公式，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的关键 【题型2 利用三角形的三边关系求线段的最值或取值范围】【例2】（2023春河北保定八年级统考期末）如图，AOBa【答案】A【分析】根据OMP的形状，大小是唯一确定的，结合三角形的三边关系进行分析即可【详解】解：过点M作MNOA交OA于点

12、N，作点O关于MN的对称点D，如图：点M到射线OA的距离为a，MN=a，MN垂直平分OD，MD=MO=6，当ax6时，即点P在点D的右侧，故能唯一确定OMP；综上，若OMP的形状，大小是唯一确定的，则x的取值范围是x=a或x6故选：A【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键【变式2-1】（2023秋安徽合肥八年级统考期末）不等边ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么它的长度最大值是 【答案】5【分析】根据三角形三边关系及三角形面积相等即可求出要求高的整数值【详解】解：因为不等边ABC的两条高的长度分别为4和12，根据面积相等可设 ABC的两

13、边长为3x，x；因为 3x412x（2倍的面积），面积S6x，因为知道两条边的假设长度，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：2x第三边长度4x，因为要求高的最大长度，所以当第三边最短时，在第三边上的高就越长，S12第三边的长高，6x122x高，6x124x高，6高3，是不等边三角形，且高为整数，高的最大值为5，故答案为：5【点睛】本题考查了三角形三边关系及三角形的面积，难度较大，关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边差小于第三边【变式2-2】（2023秋安徽八年级期末）一个三角形的两边长分别为5和7，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（）Ax5Bx7C2x1

14、2D1x12AB+BC+AC.（2）AB+AC+BCOA+OB+OC.（3）若A，B，C为三个城镇，AB+AC+BC=10 km，要在ABC内建造供水站O向三个城镇按如图路线供水，则所需供水管长度应满足什么条件？【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）水管长度应在5km到10km之间.【分析】（1）在AOB、AOC、BOC中，分别有OA+OBAB，OA+OCAC， BO+OCBC，三个式子相加即可证得要求（2）AB+ACOB+OC，AB+BCOA+OC，AC+BCOA+OB，三个式子相加即可证得要求（3）由AB+AC+BC=10km，点O为ABC内一点，及（1）（2）可知12AB+BC+AC

15、OA+OB+OCAB+BC+AC，所以5kmOA+OB+OCAB，在AOC中，OA+OCAC，在BOC中，BO+OCBC.由+，得2OA+OB+OCAB+AC+BC.故OA+OB+OC12AB+BC+AC.（2）AB+ACOB+OC，同理，AB+BCOA+OC，AC+BCOA+OB.由+，得2AB+AC+BC2OA+OB+OC，即AB+AC+BCOA+OB+OC.（3）由AB+AC+BC=10km，点O为ABC内一点，及（1）（2）知12AB+BC+ACOA+OB+OCAB+BC+AC5kmOA+OB+OC2BD，理由见解析(2)AB+ACPB+PC，理由见解析(3)AB+ACBD+DE+CE

16、，理由见解析【分析】（1）利用三角形的两边之和大于第三边解题即可；（2）在ABD和PDC中，利用三角形的两边之和大于第三边解题即可；（3）延长BD交CE的延长线于G，交AC于点F，在ABF、GFC和DEG中，利用三角形的两边之和大于第三边解题即可【详解】（1）解：AB+BC+CA2BD，理由为：AB+ADBD，BC+CDBD，AB+AD+BC+CDBD+BD即：AB+BC+CA2BD（2）AB+ACPB+PC，理由为：在ABD中，AB+ADBP+PD，在PDC中，PD+DCPC，两式相加得：AB+AD+PD+DCBP+PD+PC即：AB+ACPB+PC（3）AB+ACBD+DE+CE，理由为：

17、如图，延长BD交CE的延长线于G，交AC于点F，在ABF中，AB+AFBD+DG+GF，在GFC中，GF+AC-AFGE+EC，DEG中，DG+GEDE，+得：AB+ACBD+DE+CE【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三遍之间的关系是解题的关键【变式3-3】（2023春六年级单元测试）如图，草原上有四口油井，位于四边形ABCD的四个顶点上，现在要建立一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到四口油井的距离之和HA+HB+HC+HD最小，说明理由【答案】H建在AC、BD的交点处，理由见解析【分析】连接AC、BD相交于点H，任取一点H，连接HA、HB、HC、HD，根据三角形三边关系

18、得到HA+HCAC，HB+HDBD，进而得到HA+HB+HC+HDHA+HB+HC+HD，即可推出结论【详解】解：H建在AC、BD的交点处，理由如下：连接AC、BD相交于点H，任取一点H，连接HA、HB、HC、HD，在AHC中，HA+HCAC，在BHD中，HB+HDBD，HA+HB+HC+HDAC+BD，AC+BD=HA+HB+HC+HD，HA+HB+HC+HDHA+HB+HC+HD，HA+HB+HC+HD最小，即维修站H建在AC、BD的交点处，才能使它到四口油井的距离之和HA+HB+HC+HD最小【点睛】本题考查了线段最短，三角形的三边关系，作辅助线构造三角形，灵活运用三角形三边关系是解题关

19、键【题型4 与角平分线有关的三角形角的计算问题】【例4】（2023春江苏苏州八年级太仓市第一中学校考期中）如图1，在ABC中，BD平分ABC，CD平分ACB(1)若A=60，则BDC的度数为_；(2)若A=，直线MN经过点D如图2，若MNAB，求NDC-MDB的度数（用含的代数式表示）；如图3，若MN绕点D旋转，分别交线段BC,AC于点M,N，试问旋转过程中NDC-MDB的度数是否会发生改变？若不变，求出NDC-MDB的度数（用含的代数式表示），若改变，请说明理由；如图4，继续旋转直线MN，与线段AC交于点N，与CB的延长线交于点M，请直接写出NDC与MDB的关系（用含的代数式表示）【答案】(

20、1)120(2)90-2 不变，90-2 NDC与MDB的关系是NDC+MDB=90-2【分析】（1）利用角平分线的定义，三角形内角和定理，分步计算即可（2）利用平角的定义，变形代入计算，注意与第（1）的结合 与 结合起来求解即可根据平角的定义，变形后结合前面的计算，求解即可【详解】（1） BD平分ABC，CD平分ACB，CBD=12ABC，BCD=12ACB，CBD+BCD=12ACB+12ABC=12(ABC+ACB)，CBD+BCD+BDC=180，ABC+ACB+A=180，180-BDC=12(180-A)，BDC=90+A2，A=60，BDC=90+30=120，故答案为：120（

21、2）NDC=180-MDC，NDC-MDB=180-MDC-MDB=180-（MDC+MDB）=180-BDC=180-（90+A2）=90-2NDC-MDB保持不变，恒等于90-2理由如下：NDC=180-MDC，NDC-MDB=180-MDC-MDB=180-（MDC+MDB）=180-BDC=180-（90+A2）=90-2故保持不变，且为90-2NDC与MDB的关系是NDC+MDB=90-2理由如下：NDC+MDB+BDC=180，NDC+MDB=180-BDC，BDC=90+2，NDC+MDB=180-（90+2）=90-2【点睛】本题考查了角的平分线的定义，三角形内角和定理，平角的

22、定义，熟练掌握三角形内角和定理，平角的定义是解题的关键【变式4-1】（2023秋河南漯河八年级校考期中）（1）在图1中，请直接写出A、B、C、D之间的数量关系；（2）如果图2中，D=40,B=36，AP与CP分别是DAB和DCB的角平分线，试求P的度数；（3）如果图2中D和B为任意角，其他条件不变，试问P与D，B之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）【答案】（1）A+D =C+B（2）P=38（3）D+B=2P【分析】（1）根据三角形的内角和定理和对顶角相等就可以得出A，D，C，B的数量关系；（2）由（1）可得DAPDPDCP ，PCBBPABP ，再两式相加，结合角平分线的定义可得D+

23、B=2P，再把D=40，B=36代入计算即可得到答案；（3）由（1）可得DAPDPDCP ，PCBBPABP ，再两式相加，结合角平分线的定义可得D+B=2P.【详解】解：（1）A+D+AOD=C+B+BOC=180，且AOD=BOC，A+D =C+B；（2）由（1）可得DAP+D =P+DCP ，PCB+B =PAB+P ，DAB和DCB的角平分线AP与CP相交于点P，DAP=PAB，DCP=PCB，+得：DAP+D+PCB+B=P+DCP+PAB+P，D+B=2P，又D=40，B=36，40+36=2P，P=38；（3）存在的数量关系为：D+B=2P，由（1）可得DAP+D =P+DCP

24、，PCB+B =PAB+P ，DAB和DCB的角平分线AP与CP相交于点P，DAP=PAB，DCP=PCB，+得：DAP+D+PCB+B=P+DCP+PAB+P，D+B=2P.【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理以及角平分线的性质是解题的关键.【变式4-2】（2023春江苏扬州八年级校联考期中）MON=90，点A，B分别在OM、ON上运动(不与点O重合)(1)如图，AE、BE分别是BAO和ABO的平分线，随着点A、点B的运动，当AO=BO时AEB= ；(2)如图，若BC是ABN的平分线，BC的反向延长线与OAB的平分线交于点D，随着点A

25、，B的运动D的大小会变吗？如果不会，求D的度数；如果会，请说明理由；(3)如图，延长MO至Q，延长BA至G，已知BAO，OAG的平分线与BOQ的平分线及其延长线相交于点E、F，在AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，求ABO的度数【答案】(1)135(2)D的度数不随A、B的移动而发生变化，值为45(3)60或45【分析】（1）利用三角形内角和定理、两角互余、角平分线性质即可求解；（2）利用对顶角相等、两角互余、两角互补、角平分线性质即可求解；（3）根据三角形的内角和定理及角平分线的性质不难得出EAF=90，如果有一个角是另一个角的3倍，所以不确定是哪个角是哪个角的三倍，所以需要分情况讨论；

26、值得注意的是，MON=90，所以求解出的ABO一定要小于90，注意解得取舍【详解】（1）解：AE、BE分别是BAO和ABO的平分线，EBA=12OBA，BAE=12BAO，MON=90，EAB+EBA=90，AEB+EAB+EBA=180，AEB=180-EBA-BAE，=180-12OBA+BAO，=180-1290，=180-45，=135；（2）解： D的度数不随A、B的移动而发生变化，设BAD=，AD平分BAO，BAO=2，AOB=90，ABN=180-ABO=AOB+BAO=90+2，BC平分ABN，ABC=45+，ABC=180-ABD=D+BAD，D=ABC-BAD=45+-=4

27、5；（3）解：BAO与BOQ的平分线交于点E，AOE=135，E=180-EAO-AOE，=45-EAO，=45-12BAO，=45-12(180-90-ABO)，=12ABOAE、AF分别是BAO和OAG的平分线，EAF=12BAO+12GAO=12180=90，在AEF中，若有一个角是另一个角的3倍，则当EAF=3E时，得E=30，此时ABO=60；当EAF=3F时，得E=60，此时ABO=12090，舍去；当F=3E时，得E=1490=22.5，此时ABO=45；当E=3F时，得E=3490=67.5，此时ABO=13590，舍去综上可知，ABO的度数为60或45【点睛】前两问熟练运用三

28、角形内角和定理、直角三角形的两锐角互余、对顶角相等、角平分线性质等角的关系即可求解；第三问需先证明EAF=90，再分情况进行讨论，熟练运用三角形的内角和定理及角平分线的性质是解题的关键【变式4-3】（2023秋安徽宣城八年级校考期中）如图1，MON=90，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）(1)若BC是ABN的平分线，BC的反方向延长线与BAO的平分线交于点D若BAO=60，则D=_；猜想：D的度数是否随A，B的移动发生变化？并说明理由(2)如图2，若OAD=35OAB，NBC=35NBA，则D=_；(3)若将MON=90改为MON=120（如图3），OAD=mnOAB，NBC=m

29、nNBA，其余条件不变，则D=_（用含m，n的代数式表示，其中mn）【答案】(1)45；不随A，B的移动发生变化，理由见解析(2)36(3)120n-mn【分析】（1）先利用角平分线的定义求出BAD，利用三角形内角和定理可得ABO，即可得到NBA，利用角平分线的定义可得ABC，即可求解；设BAO=，证明过程与类似；（2）设BAO=5，解题过程与（1）类似；（3）与（1）（2）类似，设出BAO的度数，再进行推导即可【详解】（1）解：BAO=60，AD平分BAO，BAD=30，MON=90，ABO=30，ABN=180-ABO=150，BC是ABN的平分线，ABC=75，ABD=105，ABD+B

30、AD+D=180，D=45，故答案为：45；D的度数不随A，B的移动发生变化，理由如下：设BAO=2，AD平分BAO，BAD=，MON=90，ABO=90-2，ABN=180-ABO=90+2，BC是ABN的平分线，ABC=45+，ABD=135-，ABD+BAD+D=180，D=45，D的度数不随A，B的移动发生变化；（2）解：设BAO=5，OAD=35OAB，BAD=25OAB，BAD=2，MON=90，ABO=90-5，ABN=180-ABO=90+5，NBC=35NBA，ABC=25NBA，ABC=36+2，ABD=144-2，ABD+BAD+D=180，D=36，故答案为：36；（3

31、）解：设BAO=n，OAD=mnOAB，BAD=n-mnOAB，BAD=n-m，MON=120，ABO=60-n，ABN=180-ABO=120+n，NBC=mnNBA，ABC=n-mnNBA，ABC=n-mn120+n，ABD=180-n-mn120+n，ABD+BAD+D=180，D=120n-mn，故答案为：120n-mn【点睛】本题考查三角形内角和定理，列代数式，角的计算等知识点，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理【题型5 与平行线有关的三角形角的计算问题】【例5】（2023春辽宁盘锦八年级统考期末）（1）问题情境：如图1，ABCD，PMB=140，PND=120，求MPN的度数；（

32、2）问题迁移：在（1）的条件下，如图2，AMP的角平分线与CNP的角平分线交于点F，则MFN的度数为多少？请说明理由；（3）问题拓展：如图3，ABCD，点P在射线OM上移动时（点P与点O，M，D三点不重合），记PAB=，PCD=，请直接写出APC与，之间的数量关系【答案】（1）100；（2）50，理由见解析；（3）当点P在BD上时，APC=+；当点P在BD延长线上时，APC=-；当点P在DB延长线上时，APC=-【分析】（1）过点P作POAB，将MPN分成MPO和NPO两部分，然后根据平行线的性质将两部分的度数相加即可；（2）分别过点P和点F作POAB，EFAB，由（1）知AMP+CNP的度数

33、，根据角平分线的定义求出AMF+CNF的度数，然后同第一问用平行线的性质即可求出MFN的度数；（3）分三种情况讨论，根据平行线的性质和“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”以及等量代换即可得到答案【详解】解：（1）过点P作POAB，如图，ABCD，POABCD，MPO=AMP，OPN=CNP，PMB=140，PND=120，MPO=AMP=180-PMB=180-140=40，OPN=CNP=180-PND=180-120=60，MPN=MPO+OPN=40+60=100（2）分别过点P和点F作POAB，EFAB，如图，ABCD，POEFABCD，AMP=MPO，CNP=OPN，MF

34、EAMF，EFN=CNF，由（1）得AMP+CNP=100，AMP的角平分线与CNP的角平分线交于点F，AMF=12AMP，CNF=12CNP，AMF+CNF=12AMP+12CNP=12(AMP+CNP)=50，MFN=MFE+EFN=AMF+CNF=50（3）当点P在BD上时，如原题图3，和（1）同理可得：APC=+；当点P在BD延长线上时，如图所示，AP交CD于点E，ABCD，=DEP，又DEP=+APC，APC=-；当点P在DB延长线上时，如图所示，CP交AB于点F，ABCD，BFP=，又BFP=+APC，APC=-综上所述，当点P在BD上时，APC=+；当点P在BD延长线上时，APC

35、=-；当点P在DB延长线上时，APC=-【点睛】本题主要考查了平行线的性质，还考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理的推论；解题的关键是：（1）正确作出辅助线，并灵活使用平行线的性质；（2）正确作出两条平行辅助线，并能灵活使用角平分线的定义和平行线的性质；（3）能用分类讨论的数学思想【变式5-1】（2023春河北石家庄八年级统考期末）如图，ABCD，点P在直线AB上，作BPM=50，交CD于点M，点F是直线CD上的一个动点，连接PF，PECD于点E，PN平分MPF(1)若点F在点E左侧且PFM=32，求NPE的度数；(2)当点F在线段EM（不与点M，E重合）上时，设PFM=，直接写出NPE的度数（用含的代数式表示）；