专题14导数与函数的单调性-2021年新高考数学基础考点一轮复习.docx

1、专题14 导数与函数的单调性【考点总结】1函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤求f(x)；求方程f(x)0的根；考查f(x)在方程f(x)0的根附近的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值

2、，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)做比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值【常用结论】1在某区间内f(x)0(f(x)0时，ex1，所以aex1.答案：(，1)例3函数f(x)xln x的单调递减区间为_解析：由f(x)11，即x0，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1)答案：(0，1)【考点解析】【考点】一、

3、不含参数函数的单调性例1函数y4x2的单调递增区间为()A(0，)BC(，1) D解析：选B.由y4x2，得y8x，令y0，即8x0，解得x，所以函数y4x2的单调递增区间为.故选B.例2已知函数f(x)xln x，则f(x)()A在(0，)上单调递增 B在(0，)上单调递减C在上单调递增 D在上单调递减解析：选D.因为函数f(x)xln x，定义域为(0，)，所以f(x)ln x1(x0)，当f(x)0时，解得x，即函数的单调递增区间为；当f(x)0时，解得0x0，则其在区间(，)上的解集为和，即f(x)的单调递增区间为和.答案：和求函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域(2)求f

4、(x)(3)在定义域内解不等式f(x)0，得单调递增区间(4)在定义域内解不等式f(x)0，得单调递减区间提醒求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错 【考点】二、含参数函数的单调性例1、已知f(x)a(xln x)，a0.讨论f(x)的单调性【解】f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.(1)当0a1，当x(0，1)或x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x时，f(x)2时，00，f(x)单调递增，当x时，f(x)0，f(x)单调递减综上所述，当0a2时，f(x)在内单调递增，在内单调递减，在(1，)内单调递增解决含参数函数的单调性问题应注意的2点(1)研究含参数函数的单调

5、性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点 【变式】1、已知函数f(x)ln(ex1)ax(a0)，讨论函数yf(x)的单调区间解：f(x)a1a.当a1时，f(x)0恒成立，所以当a1，)时，函数yf(x)在R上单调递减当0a0，得(1a)(ex1)1，即ex1，解得xln ，由f(x)0，得(1a)(ex1)1，即ex1，解得xln .所以当a(0，1)时，函数yf(x)在上单调递增，在上单调递减综上，当a1，)时，f(x)在R上单调递减；当a(0，1)时，f(x)在上单调递增，在上单调递减【考点】三、函

6、数单调性的应用角度一比较大小或解不等式例1、 (1)函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为()A(1，1) B(1，)C(，1) D(，)(2)已知定义在上的函数f(x)的导函数为f(x)，且对于任意的x，都有f(x)sin xf Bff(1)C.ff Dff【解析】(1)由f(x)2x4，得f(x)2x40，设F(x)f(x)2x4，则F(x)f(x)2，因为f(x)2，所以F(x)0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增，而F(1)f(1)2(1)42240，故不等式f(x)2x40等价于F(x)F(1)，所以x1，故选B.(2)令g(x)

7、，则g(x)，由已知得g(x)g，即，所以ff.【答案】(1)B(2)A角度二已知函数的单调性求参数例2、已知函数f(x)ln xax22x(a0)(1)若函数f(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数f(x)在1，4上单调递减，求a的取值范围【解】(1)f(x)ln xax22x，x(0，)，所以f(x)ax2，由于f(x)在(0，)上存在单调递减区间，所以当x(0，)时，ax20有解即a有解，设G(x)，所以只要aG(x)min即可而G(x)1，所以G(x)min1.所以a1.(2)由f(x)在1，4上单调递减得，当x1，4时，f(x)ax20恒成立，即a恒成立所以aG(x)m

8、ax，而G(x)1，因为x1，4，所以，所以G(x)max(此时x4)，所以a，即a的取值范围是.【迁移探究1】(变问法)若函数f(x)在1，4上单调递增，求a的取值范围解：由f(x)在1，4上单调递增得，当x1，4时，f(x)0恒成立，所以当x1，4时，a恒成立，又当x1，4时，1(此时x1)，所以a1，即a的取值范围是(，1【迁移探究2】(变问法)若函数f(x)在1，4上存在单调递减区间，求a的取值范围解：f(x)在1，4上存在单调递减区间，则f(x)0在1，4上有解，所以当x1，4时，a有解，又当x1，4时，1，所以a1，即a的取值范围是(1，)【迁移探究3】(变条件)若函数f(x)在1

9、，4上不单调，求a的取值范围解：因为f(x)在1，4上不单调，所以f(x)0在(1，4)上有解，即a有解，令m(x)，x(1，4)，则1m(x)，所以实数a的取值范围为.(1)利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式(2)利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路由函数在区间a，b上单调递增(减)可知f(x)0(f(x)0)在区间a，b上恒成立列出不等式；利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；对等号单独检验，检验参数的取值能否使f(x)在整个区间恒等于0，若f(x)恒等于0

10、，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f(x)0，则参数可取这个值提醒f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任意一个非空子区间上f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解【变式】1设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f(x)，g(x)为其导函数，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)0且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0的解集是()A(3，0)(3，)B(3，0)(0，3)C(，3)(3，)D(，3)(0，3)解析：选D.令h(x)f(x)g(x)，当x0时，h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0，则h(x)在(，0)上单调递增，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以h(x)为奇函数，所以h(x)在(0，)上单调递增又由g(3)0，可得h(3)h(3)0，所以x3或0x3时h(x)0，故选D.【变式】2已知函数f(x)2x2ln x在区间1，2上为单调函数，求a的取值范围解：f(x)4x，若函数f(x)在区间1，2上为单调函数，即f(x)4x0或f(x)4x0，即4x0或4x0在1，2上恒成立，即4x或4x.令h(x)4x，因为函数h(x)在1，2上单调递增，所以h(2)或h(1)，即或3，解得a0或0a或a1.