专题14 与圆有关的性质（题型归纳）（解析版）.docx

1、专题14 与圆有关的性质 题型分析题型演练题型一 圆的基本概念辨析1下列说法中，正确的是（）A过圆心的直线是圆的直径B直径是圆中最长的弦C相等长度的两条弧是等弧D顶点在圆上的角是圆周角【答案】B【分析】根据直径，弦，等弧，圆周角的定义，逐一判断即可解答【详解】解：A、过圆心的弦是圆的直径，故此选项不符合题意；B、直径是圆中最长的弦，故此选项符合题意；C、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，故此选项不符合题意；D、顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角是圆周角，故此选项不符合题意；故选：B2如图，图中O的弦共有（）A1条B2条C3条D4条【答案】C【分析】根据弦的定义即可求解连接圆上任

2、意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一个圆里最长的弦【详解】解：图中有弦共3条，故选C3下列说法正确的是（）A弧长相等的弧是等弧B直径是最长的弦C三点确定一个圆D平分弦的直径垂直于弦【答案】B【分析】根据等弧的概念、弦的概念、确定圆的条件以及垂径定理判断即可【详解】A、能够重合的弧是等弧，弧长相等的弧不一定是等弧，故本选项说法错误，不符合题意；B、直径是最长的弦，本选项说法正确，符合题意；C、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项说法错误，不符合题意；D、平分弦（不是直径的弦）的直径垂直于弦，故本选项说法错误，不符合题意；故选：B4如图在矩形中，M是边的中点，N是边上的动点，将沿

3、所在直线折叠，得到，连接，则的最小值是_【答案】【分析】根据矩形折叠的性质得到，确定出当点在线段上时，有最小值，再利用勾股定理计算即可【详解】解：四边形是矩形，M是的中点，将沿所在直线折叠，点在以点M为圆心，为半径的圆上，如图，当点在线段上时，有最小值，的最小值为故答案为：5某校计划在校园内修建一座周长为20m的花坛，同学们设计出正三角形，正方形和圆三种图案，通过计算说明使花坛面积最大的图案是_ （填图形）【答案】圆【分析】分别求出正三角形，正方形和圆三种图案的面积，即可求解【详解】解：当设计成正三角形，则边长是，则面积是；当设计成正方形时，边长是5m，则面积是；当设计成圆时，半径是，则面积是

4、这三个数中最大，使花坛面积最大的图案是圆故答案为：圆6如图，在中，点A、B在圆上，且，则的度数为_【答案】60【分析】连接，证明是等边三角形，可得结果【详解】解：连接，是等边三角形，故答案为：607如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E，若，试求的度数【答案】【分析】利用半径相等和等腰三角形的性质以及三角形的外角性质得到，即可解决问题【详解】解：，8如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，均落在格点上，点在网格线上(1)线段的长等于_；(2)以为直径的半圆的圆心为，在圆上找一点，使平分请用无刻度的直尺作图；(3)以为直径的半圆的圆心为，在线段上有一点，满足请用

5、无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点【答案】(1)(2)画图见解析(3)画图见解析【分析】（1）直接利用勾股定理进行计算即可；（2）如图，取与网格线的交点D，连接并延长交于点E，则E即为所求，（3）记交于点G，连接，延长交的延长线于F，连接延长交 于点P，则点P即为所求【详解】（1）解：由勾股定理可得：（2）如图，取与网格线的交点D，连接并延长交于点E，则E即为所求，理由如下：由格线，为的中位线，即平分（3）记交于点G，连接，延长交的延长线于F，连接延长交 于点P，则点P即为所求 由，同理可得：为的中位线，而，平分，是的垂直平分线，与关于直线对称，则点P即为所求题型二 垂径定理的应用9如图

6、的周长是，是的弦，垂足为M，若，则的长为（）A8B12C15D16【答案】D【分析】连接，先根据的周长是，可求得半径为，根据可求出的长，再根据勾股定理可求出的长，根据垂径定理进而得出结论【详解】解：如图：连接，的周长是，的半径，是的弦，故选：D10如图，在中，弦的长为，圆心到的距离为，则的半径为（）A4B5C3D7【答案】B【分析】由垂径定理可得的长，利用勾股定理即可求出的长，即为圆的半径【详解】解：作于E，连接，又，故选：B11在中，是直径，是弦，将圆沿着翻折，使弧与直径相交于点E和F，且，的长为 _【答案】【分析】设翻折前与对应的弦为，过圆心O作于点M，交于点N，连接、，根据垂径定理以及翻

7、折的性质，勾股定理即可求解【详解】解：是的直径，设翻折前与对应的弦为，过圆心O作于点M，交于点N，连接、，如图：则，由翻折可知：，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，即的长为故答案为：12如图是一座圆弧型拱桥的截面示意图，若桥面跨度米，拱高米（为的中点，为弧的中点）则桥拱所在圆的半径为_米【答案】26【分析】根据垂径定理得，设圆的半径为R，根据勾股定理列方程求出R即可.【详解】解：如图，桥拱所在圆的圆心为O，半径为R，连接为的中点，为弧的中点，三点共线，且,在Rt中，根据勾股定理得解得故答案为：2613如图，在中，(1)尺规作图：作的外接圆，圆心为O（保留作图痕迹）；(2)求外接圆的半径【

8、答案】(1)答案见解析；(2)【分析】（1）首先画出和的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，长为半径画圆即可；（2）过A作，连接， 设的外接圆的半径，首先利用勾股定理计算出的长，然后再利用勾股定理计算出r即可【详解】（1）解：如下图，画出和的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，长为半径画圆，即为所求；（2）如上图，过A作，连接， 设的外接圆的半径，解得：14已知：的半径为5，点在直径上，过点作的弦，过点作直线的垂线，垂足为点(1)如图1，当时，求线段的长；(2)当点是线段的中点时，求的长；(3)如果，求线段的长【答案】(1)；(2)；(3)或【分析】（1）连接，利用垂径定理和勾股定理解答即

9、可；（2）连接，利用垂径定理和线段垂直平分线的性质得到为等边三角形， 利用等边三角形的性质和直角三角形的性质解答即可；（3）利用分类讨论的思想方法分当点F在线段上时，连接，设，则，证明得，即可求得结论；当点F在线段的延长线上时，连接，同理解答即可【详解】（1）解：连接，如图，的半径为5，；（2）解：连接，如图，点F是线段的中点时，经过点圆心O，垂直平分，AB是直径，是的垂直平分线，为等边三角形，在中，；（3）解：当点F在线段上时，连接，如图，设，则，AB是直径， (不合题意，舍去)或，；当点F在线段的延长线上时，连接，如图，设，则，AB是直径，（不合题意，舍去）或，综上，如果，线段的长为或题型

10、三 利用弧、弦、圆心角的关系求解15如图，在两个同心圆中，为，则的度数为（）ABCD【答案】D【分析】求出，可得结论【详解】解：的度数为，的度数为，故选D16下列说法中正确的是（）A经过三点一定可以作一个圆B相等的圆心角所对的弧也相等C圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴D等弧所对的圆周角相等【答案】D【分析】根据确定一个圆的条件，圆周角定理，圆心角定理，圆的对称轴的知识即可判断正误【详解】A经过不在同一直线上的三点一定可以作一个圆，A选项错误，所以A选项不符合题意；B在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等，B选项错误，所以B选项不符合题意；C圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它

11、的对称轴，C选项错误，所以C选项不符合题意；D等弧所对的圆周角相等，D选项正确，所以D选项符合题意故选：D17若一个圆的半径是6cm，则90度的圆心角所对的弦的长度为_【答案】【分析】根据题意得到等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可【详解】解：如下图，圆心角，是等腰直角三角形，又 ，作，弧所对的弦长，故答案为：18如图，点A在半圆O上，是直径，若，则的长为 _【答案】【分析】连接，由圆心角，弦，弧的关系可得，结合等腰直角三角形的性质可求解的长，进而可求解的长【详解】解：连接， ，是直径， 故答案为：19如图，在中，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，求的度数【答案】【分析】连接，先根据

12、三角形内角和计算出，再根据等腰三角形的性质由得到，然后再利用三角形内角和计算出，再根据直角的性质求出，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解【详解】解：如下图，连接， ，的度数为20如图，在的内接四边形中，是四边形的一个外角求证：【答案】见解析【分析】根据弧与弦的关系，得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，是四边形的一个外角，得出，进而得出，根据，即可得证【详解】证明：，四边形是圆内接四边形，由圆周角定理得，题型四 利用弧、弦、圆心角的关系证明21下列命题中，正确的是（）同弧所对的圆周角相等；相等的圆心角，所对的弧也相等；两条弦相等，它们所对的弧也相等；在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等

13、ABCD【答案】C【分析】根据所学定理和推论可知正确，错误【详解】解：根据圆心角的定义知，顶点在圆心的角是圆心角；故正确缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等；故错误在圆中，一条弦对着两条弧，所以两条弦相等，它们所对的弧不一定相等；故错误根据圆心角、弦、弧之间的关系定理，在等圆中，若圆心角相等，则弦相等，所以圆心角不等，弦也不等；故正确故选：C22如图，在中，则下列结论错误的是（）A弦的长等于圆内接正六边形的边长B弦的长等于圆内接正十二边形的边长CD【答案】D【分析】根据正多边形的性质和圆的相关概念对四个选项逐一进行分析【详解】解：A因为，所以，所以为等边三角形，以为一边可

14、构成正六边形，故结论正确，该选项不符合题意；B因为，根据垂径定理可知，；再根据A中结论，弦的长等于圆内接正十二边形的边长，故结论正确，该选项不符合题意；C根据垂径定理，故结论正确，该选项不符合题意；D根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半，故结论错误，该选项符合题意故选：D23如图，点A，B，C，D，E都是上的点，则_【答案】116【分析】连接、，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理求出，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案【详解】解：连接、， 点A、C、D、E都是上的点， ， ， ， ， 点A、B、C、E都是O上的点， ， ， 故答案为：11624

15、如图，的两条弦、互相垂直，垂足为，且，已知，则的半径为_【答案】【分析】过作于，于，连接，由推出，根据正方形的判定推出是正方形，再求出的长，最后在中，根据勾股定理即可求出【详解】解：过作于，于，连接，过圆心，四边形是正方形，在中，由勾股定理得：故答案为：25如图，在中，弦相交于点P，且，求证：【答案】见解析【分析】根据，得到，推出，得到，即可得到结论【详解】解：，26如图，是的外接圆，平分，交于点F，交于点D，平分，交于点E，连接(1)求证：；(2)若点A是的中点，求证：【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，得到，再利用角平分线平分角以及三角形外角的性质，得到

16、，即可得证；（2）根据等弧对等弦，得到，证明，得到，再根据等角对等边，得到，即可得到【详解】（1）证明：如图平分，平分，即；（2）证明：点A是的中点， ，题型五 圆心角的概念辨析27下列说法正确的是（）A如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角B圆心角的取值范围是C圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角D圆心角就是在圆心的角【答案】C【分析】由圆心角的定义：圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角，即可求得答案【详解】解：圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角，A、D错误，C正确；圆心角的取值范围是，B错误故选：C28如图中，以C为圆心，为半径的

17、圆交于点D，则的度数为（）ABCD【答案】B【分析】如图，连接先求解 再利用圆心角与弧之间的关系可得答案【详解】解：如图，连接 ， 的度数为： 故选B29如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角_.【答案】【分析】的度数即为所对圆心角的度数；【详解】解：的度数即为所对圆心角的度数； 故答案为：30如图，是的弦，则_【答案】【分析】根据同圆中半径相等，可得，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得结果【详解】解：，又，故答案为：31如图，、是O的直径，弦，弧的度数为，求的度数【答案】【分析】连接，由弧的度数为，得到，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出，再由，即可得到【详解】解：连接，如图，弧

18、的度数为，弦，32如图所示，以O为圆心的两个同心圆，小圆半径为1，大圆半径为，用6条直径将两个圆12等分，点A在大圆等分点上，点B在小圆等分点上，且（1）将绕点O顺时针旋转得，请在图甲中画出（2）将绕点O顺时针旋转得，使边第一次经过点B，请在图乙中画出【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由于圆被12等分，可得每小格为30，则120为4小格，据此画图即可；（2）计算出AB=2，根据经过点B，可知点B为A2B2中点，从而得到旋转角，画出图形即可【详解】解：（1）如图所示，即为所求（2）AB=，如图所示，即为所求题型六 圆周角的概念辨析33下列图形中的角是圆周角的是（）ABCD【答案】C

19、【分析】根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可【详解】解：根据圆周角的定义可知，选项C中的角是圆周角故选：C34如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，O的半径为1，P是O上的点，且位于右上方的小正方形内，则sinAPB等于（）ABCD1【答案】B【分析】由图，与为同弧所对的角，根据同圆内，同弧所对的圆周角与圆心角的关系即可求得答案【详解】解：A、B、O是小正方形顶点，（同圆内，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），故选：B35如图，ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD下列角中，所对圆周角的是（）AAPBBABDCA

20、CBDBAC【答案】C【分析】根据题意可直接进行求解【详解】解：由图可知：所对圆周角的是ACB或ADB，故选C36已知点、在圆上，且切圆于点，于点，对于下列说法：圆上是优弧；圆上是优弧；线段是弦；和都是圆周角；是圆心角，其中正确的说法是_【答案】【分析】根据优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义逐项分析判断即可【详解】解：，都是大于半圆的弧，故正确，在圆上，则线段是弦；故正确；都在圆上，是圆周角而点不在圆上，则不是圆周角故不正确；是圆心，在圆上是圆心角故正确故正确的有：故答案为：37如图，点均在圆上，则图中有_个圆周角【答案】8【分析】根据圆周角的定义，圆周角的顶点必在圆周上，据此可

21、把顶点分别为A、B、C、D的圆周角数出来，即可得到答案【详解】解：以点为顶点的圆周角各有3个，以点为顶点的圆周角各有1个，共有8个圆周角故答案为8题型七 圆周角的性质应用38如图，四边形内接于若，则的大小为（）ABCD【答案】C【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，以及圆内接四边形的内对角互补，进行求解即可【详解】解：四边形ABCD内接于，；故选C39如图，已知四边形是的内接四边形，且，下列命题错误的是（）ABCD图中全等的三角形共有2对【答案】D【分析】根据等弧对等角、证，利用全等的性质得到,结合已知利用勾股定理逆定理证，然后利用等腰三角形和三角形面积公式进行分析即可【详解】解：四边形

22、是的内接四边形即且，故A正确，不符合题意；,在中，故B正确，不符合题意；故C正确，不符合题意；图中全等三角形有：，共有3对故D错误，符合题意；故选：D40如图，点，在上，连结，且，若点是圆上异于，的另一点，则_【答案】或【分析】分别从点在优弧上与点在劣弧上去分析求解即可求得答案【详解】解：，若在优弧上，如图，则：；若点在劣弧上，如图，则：；故答案为：或41如图，在圆内接正六边形中，交于点G，已知半径为，则的长为_【答案】2【分析】连接、，则三角形为直角三角形，利用勾股定理即可求解【详解】解：连接、，则经过O点，且O是的中点，六边形是正六边形，设的长为x，则，解得：或（舍去）故答案为：242如图

23、，四边形内接于以为直径的圆，圆心为，且，延长、交于，连接(1)求证：；(2)过点作的垂线交的延长线于，且求线段的值；若，求的长【答案】(1)证明见解析(2)；【分析】（1）先利用圆心角定理的推论证明，得到再利用圆周角定理得到，即可求证（2）先证明，得到对应线段的比例，再求解即可；分别求出和，再利用勾股定理建立方程求解即可【详解】（1）证明：如图，连接，又，；（2）解：，设，；，即，即，43如图，是的直径，D是的中点，且交于点E，连接并延长交的延长线于点F(1)当，求的大小(2)当的半径为6，求的长【答案】(1)；(2)【分析】（1）先求出，再利用三角形外角的性质求解；（2）先利用勾股定理求出，

24、再利用勾股定理即可求出【详解】（1）解：如图，连接，D是的中点，半圆所对的圆周角是，（2）D是的中点，垂直平分，如图，连接，在中，在中，的长为题型八 半圆或直径所对的圆周角为90及其逆应用44如图，AB为的直径，C、D是上的两点，则的度数是（）A30B35C40D50【答案】C【分析】连接，利用圆周角定理得到，然后利用三角形内角和计算的度数【详解】解：连接，如图，为的直径，故选：C45如图，中，弦，则直径的长是（）ABCD【答案】A【分析】连接，由可知为直径，利用勾股定理求解即可【详解】解：连接，如图：，为直径，由勾股定理可得：，故选：A46如图，是的外接圆，则的半径是_【答案】4【分析】作直

25、径，如图，连接，根据圆周角定理得到，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的半径【详解】解：作直径，如图，连接，为直径，即O的半径是4故答案为447如图，平面直角坐标系中，将含的三角尺的直角顶点落在第二象限其斜边两端点、分别落轴、轴上，且，点与点的距离的最大值_【答案】13【分析】先证明四点共圆，再根据圆中直径最大即可求解【详解】解：取的中点，连接，如图：，、在以为圆心，为半径的圆上，当弦过圆心时，最大，此时，故答案为：48如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F连接并延长交于点M(1)求证：直线是的切线；(2)求证：；(3)若，求的

26、长【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)【分析】（1）连接，由圆的基本性质结合等腰三角形的性质即可得出根据角平分线的定义可得出，即推出，即证明再根据，即可证，即说明直线是的切线；（2）结合（1）易证，即得出；（3）由，结合直径所对圆周角为直角和角平分线的定义易证 为等边三角形，即得出，又可求出，即可利用含30度角的直角三角形的性质求出，从而可求出，进而可求出，最后即可求出，并利用可求出答案【详解】（1）证明：如图，连接，平分，是的半径，直线是的切线；（2）在和中，；（3）解：，是直径，为等边三角形，平分，49如图，是的直径，是弦(1)若，求的度数(2)若，的半径，求的长【答案】(1)；(2)4【分析】（1）利用圆周角定理得到，然后利用互余求的度数（2）根据圆周角定理和直角三角形的性质解答即可【详解】（1）解：是的直径，；（2）解：是的直径，