专题14 全等与相似模型-一线三等角（K字）模型（解析版）.docx

1、专题 14 全等与相似模型-一线三等角（K 字）模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型 1.一线三等角（K型图）模型【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为 180与三角形内角和为 180，证得两个三角形全等。【常见模型及证法】同侧型一线三等角：锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”）钝角一线三等角 条件：ACEDB +CE=DE证明思路：,A

2、BCBED +任一边相等BEDACE异侧型一线三等角：锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：FACABDCED +任意一边相等证明思路：,ABCBED +任一边相等BEDACE例 1（2021山东日照中考真题）如图，在矩形 ABCD中，8cmAB，12cmAD，点 P 从点 B 出发，以2cm/s的速度沿 BC 边向点C 运动，到达点C 停止，同时，点Q 从点C 出发，以 cm/sv的速度沿CD边向点 D运动，到达点 D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动当v 为_时，ABP与PCQ全等 【答案】2 或 83 【分析】可分两种情况：ABPPCQ 得到 BP

3、CQ，ABPC，ABPQCP 得到 BACQ，PBPC，然后分别计算出t 的值，进而得到v 的值【详解】解：当 BPCQ，ABPC时，ABPPCQ，8ABcm，8PCcm，12 84()BPcm，24t=，解得：2t，4CQBPcm，24v ，解得：2v；当 BACQ，PBPC时，ABPQCP，PBPC，6BPPCcm，26t，解得：3t，8CQABcm，38v ，解得：83v，综上所述，当2v 或 83 时，ABP与 PQC全等，故答案为：2 或 83 【点睛】主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质 例 2（2022黑龙江九年级期末）（1）如图（

4、1），已知：在 ABC 中，BAC90，AB=AC，直线 m 经过点 A，BD直线 m，CE直线 m，垂足分别为点 D、E证明DE=BD+CE（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在 ABC 中，AB=AC，D、A、E 三点都在直线 m 上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中 为任意锐角或钝角请问结论 DE=BD+CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）拓展与应用：如图（3），D、E 是 D、A、E 三点所在直线 m 上的两动点（D、A、E 三点互不重合），点 F 为BAC 平分线上的一点，且 ABF 和 ACF 均为等边三角形，连接BD、CE，若BDA=AEC=B

5、AC，试判断 DEF 的形状 【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）DEF 为等边三角形，证明见解析【分析】（1）因为 DE=DA+AE，故由全等三角形的判定 AAS 证 ADBCEA，得出 DA=EC，AE=BD，从而证得 DE=BD+CE；（2）成立，仍然通过证明 ADBCEA，得出 BD=AE，AD=CE，所以 DE=DA+AE=EC+BD；（3）由 ADBCEA 得 BD=AE，DBA=CAE，由 ABF 和 ACF 均等边三角形，得ABF=CAF=60，FB=FA，所以DBA+ABF=CAE+CAF，即DBF=FAE，所以 DBFEAF，所以 FD=FE，BFD=AFE，再

6、根据DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=600 得到 DEF 是等边三角形【详解】解：（1）证明：BD直线 m，CE直线 m，BDACEA=90 BAC90，BAD+CAE=90BAD+ABD=90，CAE=ABD 又 AB=AC，ADBCEA（AAS）AE=BD，AD=CEDE=AE+AD=BD+CE；（2）成立证明如下：BDA=BAC=，DBA+BAD=BAD+CAE=180-DBA=CAE BDA=AEC=，AB=AC，ADBCEA（AAS）AE=BD，AD=CEDE=AE+AD=BD+CE；（3）DEF 为等边三角形理由如下：由（2）知，ADBCEA，BD=AE，DBA=CAE，A

7、BF 和 ACF 均为等边三角形，ABF=CAF=60 DBA+ABF=CAE+CAFDBF=FAE BF=AF，DBFEAF（SAS）DF=EF，BFD=AFE DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60DEF 为等边三角形 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定 例 3（2022广东汕头市潮阳区一模）（1）模型建立，如图 1，等腰直角三角形 ABC 中，ACB=90，CB=CA，直线 ED 经过点 C，过 A 作 ADED 于 D，过 B 作 BEED 于 E求证：BECCDA；（2）模型应用：

8、已知直线 AB 与 y 轴交于 A 点，与 x 轴交于 B 点，sinABO=35，OB=4，将线段 AB 绕点B 逆时针旋转 90 度，得到线段 BC，过点 A，C 作直线，求直线 AC 的解析式；如图 3，矩形 ABCO，O 为坐标原点，B 的坐标为（8，6），A，C 分别在坐标轴上，P 是线段 BC 上动点，已知点 D 在第一象限，且是直线 y=2 x 5 上的一点，若 APD 是以 D 为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点 D 的坐标 【答案】（1）见解析；（2）137yx ；D（3，1）或19 23,33D【详解】（1）解：由题意可得，90ACBADCBEC，90EBC

9、BCEBCEACD ，EBCACD ，在BEC和 CDA 中EBCACDEDBCAC ，BECCDA AAS（），（2）解：如图，过点 C 作 CDx 轴于点 D，在 Rt ABO 中 sinABO35，OB 4，设 AO=3m，AB=5m，OB=4m=4，m=1，AO=3，同（1）可证得 CDBBOA，4CDBO，3BDAO，437OD，7 4C（，），0 3A（，），设直线 AC 解析式为 3ykx ，把 C 点坐标代入可得 734k，解得 17k ，直线 AC 解析式为137yx ；设 D 坐标为（x，2x-5）,当 D 在 AB 的下方时，过 D 作 DEy 轴于 E，交 BC 于 F

10、,同（1）可证得 ADEDPF，DF=AE=6-（2x-5）=11-2x，DE=x,11-2x+x=8,x=3，D（3，1），当 D 在 AB 的上方时，如图，过 D 作 DEy 轴于 E，交 BC 的延长线于 F,同（1）可证得ADEDPF，DF=AE=（2x-5）-6=2x-11，DE=x，2x-11+x=8，193x，19 23,33D，综上述 D（3，1）或19 23,33D 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、待定系数法一次函数的解析式、正弦的定义、勾股定理、等腰三角形的判定和性质及方程思想，作辅助线构造模型是解本题的关键 例 4（2023湖南岳阳统考一模）如图，在 ABC 中

11、，AB=AC=2，B=40，点 D 在线段 BC 上运动（点 D 不与点 B、C 重合），连接 AD，作ADE=40，DE 交线段 AC 于点 E（1）当BDA=115时，EDC=_，AED=_；（2）线段 DC 的长度为何值时，ABDDCE，请说明理由；（3）在点 D 的运动过程中，ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求BDA 的度数；若不可以，请说明理由 【答案】（1）25，65；（2）2，理由见详解；（3）可以，110或 80.【分析】（1）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；（2）当 DC=2 时，利用DEC+EDC=140，ADB+EDC=140，求出ADB=DEC，再利用

12、 AB=DC=2，即可得出 ABDDCE（3）当BDA 的度数为 110或 80时，ADE 的形状是等腰三角形【详解】解：（1）B=40，ADB=115，BAD=180-B-ADB=180-115-40=25，AB=AC，C=B=40，EDC=180-ADB-ADE=25，DEC=180-EDC-C=115，AED=180-DEC=180-115=65；（2）当 DC=2 时，ABDDCE，理由：C=40，DEC+EDC=140，又ADE=40，ADB+EDC=140，ADB=DEC，又AB=DC=2，在 ABD 和 DCE 中，ADBDECBCABDC ABDDCE（AAS）；（3）当BDA

13、 的度数为 110或 80时，ADE 的形状是等腰三角形，BDA=110时，ADC=70，C=40，DAC=70，ADE 的形状是等腰三角形；当BDA 的度数为 80时，ADC=100，C=40，DAC=40，ADE 的形状是等腰三角形【点睛】本题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题 例 5（2022浙江杭州一模）老师在上课时，在黑板上写了一道题：“如图，ABCD 是正方形，点 E 在 BC 上，DFAE 于 F，请问图中是否存在一组全等三角形？”小杰同学经过思考发现：AD

14、FEAB 理由如下：因为 ABCD 是正方形（已知）所以B90且 ADAB 和 ADBC又因为 DFAE（已知）即DFA90（垂直的意义）所以DFAB（等量代换）又 ADBC所以12（两直线平行，内错角相等）在 ADF 和 EAB 中12DFABADAB 所以 ADFEAB（AAS）小胖却说这题是错误的，这两个三角形根本不全等 你知道小杰的错误原因是什么吗？我们再添加一条线段，就能找到与 ADF 全等的三角形，请能说出此线段的做法吗？并说明理由 【答案】小杰错误的原因是 AD 和 AB 不是对应边，在证明两个三角形全等时，误以为对应边了；线段为作BHAE 于点 H，证明见详解；【分析】根据小杰

15、的证明方法，可以发现，在证明两个三角形全等时，出现了问题，然后说出出错的原因即可，然后添加合适的辅助线段，说明与 ADF 全等的三角形成立的理由即可解答本题；【详解】小杰错误的原因是 AD 和 AB 不是对应边，在证明两个三角形全等时，误以为对应边了，作 BHAE于 H，则 ADFBAH；四边形 ABCD 是正方形，AD=BA，DAB=90，HAB+FAD=90，DFAE，BHAE，DFA=AHB=90，HAB+HBA=90，FAD=HBA，在 ADF 和 BAH 中DFAAHBFADHBAADBA ADFBAH(AAS)；【点睛】本题考查正方形性质、全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意

16、，利用数形结合思想解答；例 6（2022山东九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图，90ACB，ACBC，ADCE，BECE，垂足分别为 D，E，2.5cmAD，1.7cmDE 求 BE 的长”，请直接写出此题答案：BE 的长为_（2）探索证明：如图，点 B，C 在MAN的边 AM、AN 上，ABAC，点 E，F 在MAN内部的射线 AD上，且BEDCFDBAC 求证：ABECAF（3）拓展应用：如图，在 ABC中，ABAC，ABBC点 D在边 BC 上，2CDBD，点 E、F 在线段 AD上，BEDCFDBAC 若 ABC的面积为 15，则 ACF与 BDE的面积之和为_（直接填写结果，

17、不需要写解答过程）【答案】（1）0.8cm；（2）见解析（3）5【分析】（1）利用 AAS 定理证明 CEBADC，根据全等三角形的性质解答即可；（2）由条件可得BEAAFC，4ABE，根据 AAS 可证明 ABECAF；（3）先证明 ABECAF，得到 ACF与 BDE的面积之和为 ABD 的面积，再根据2CDBD故可求解【详解】解：（1）BECE，ADCE，EADC90，EBCBCE90 BCEACD90，EBCDCA在 CEB 和 ADC 中，EADCEBCDCABCAC CEBADC（AAS），BEDC，CEAD2.5cm DCCEDE，DE1.7cm，DC2.51.70.8cm，BE

18、0.8cm 故答案为：0.8cm；（2）证明：12，BEAAFC 1ABE3，34BAC，1BAC，BACABE3，4ABE AEBAFC，ABE4，ABAC，ABECAF（AAS）（3）BEDCFDBAC ABE+BAE=FAC+BAE=FAC+ACFABE=CAF，BAE=ACF又 ABACABECAF，ABECAFSS ACF与 BDE的面积之和等于 ABE与 BDE的面积之和，即为 ABD 的面积，2CDBD，ABD 与 ACD 的高相同则13ABDABCSS=5 故 ACF与 BDE的面积之和为 5 故答案为：5【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三

19、角形的判定定理和性质定理是解题的关键 例 7（2023贵州遵义八年级统考期末）过正方形 ABCD（四边都相等，四个角都是直角）的顶点 A 作一条直线 MN （1）当 MN 不与正方形任何一边相交时，过点 B 作 BEMN于点 E，过点 D作 DFMN于点 F 如图（1），请写出 EF，BE，DF 之间的数量关系，并证明你的结论（2）若改变直线 MN 的位置，使 MN 与CD边相交如图（2），其它条件不变，EF，BE，DF 的关系会发生变化，请直接写出 EF，BE，DF 的数量关系，不必证明；（3）若继续改变直线MN 的位置，使 MN 与 BC 边相交如图（3），其它条件不变，EF，BE，DF

20、的关系又会发生变化，请直接写出 EF，BE，DF 的数量关系，不必证明 【答案】(1)EFBEDF，证明见解析；(2)EFBEDF；(3)EFDFBE【分析】（1）根据同角的余角相等可证BAEADF，再证 ABEDAF，根据全等三角形的对应边相等进行代换即可；（2）根据同角的余角相等可证BAEADF，再证 ABEDAF，根据全等三角形的对应边相等进行代换即可；（3）根据同角的余角相等可证BAEADF，再证 ABEDAF，根据全等三角形的对应边相等进行代换即可【详解】（1）EFBEDF，证明：四边形 ABCD是正方形ABDA，90BAD90BAEDAF 又BEMN，DFMN90BEADFA 90

21、DAFADF BAEADF 在 ABE和 DAF中BEADFABAEADFABDA A B ED A F()AAS AFBE，AEDFEFAFAEBEDF（2）EFBEDF，理由是：四边形 ABCD是正方形 ABDA，90BAD90BAEDAF 又BEMN，DFMN90BEADFA 90DAFADF BAEADF 在 ABE和 DAF中BEADFABAEADFABDA ABEDAF()AASAFBE，AEDF EF=AF-AE=BE-DF（3）EFDFBE，理由是：四边形 ABCD是正方形ABDA，90BAD90BAEDAF 又BEMN，DFMN90BEADFA 90DAFADFBAEADF

22、在 ABE和 DAF中BEADFABAEADFABDA ABEDAF()AASAFBE，AEDF EF=AE-AF=DF-BE【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质，掌握三角形的判定方法及能利用同角的余角相等证明BAEADF是关键 模型 2.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为 180，三角形的内角和为 180，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似 1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，1=23，结论：ACEBED.2）一

23、线三等角模型（异侧型）条件：如图，1=23，结论：ADEBEC.3）一线三等角模型（变异型）图 1 图 2 图 3 特殊中点型：条件：如图 1，若 C 为 AB 的中点，结论：ACEBEDECD.一线三直角变异型 1：条件：如图 2，ABD=AFE=BDE=90.结论：ABCBDEBFCAFB.一线三直角变异型 2：条件：如图 3，ABD=ACE=BDE=90.结论：ABMNDENCM.例 1（2023山东东营统考中考真题）如图，ABC 为等边三角形，点 D，E 分别在边 BC，AB 上，60ADE，若4BDDC，2.4DE，则 AD的长为（）A1.8 B2.4 C3 D3.2【答案】C【分析

24、】证明ADCDEB，根据题意得出45BDBC，进而即可求解【详解】解：ABC 为等边三角形，60BC ，ADBADEBDECDAC ，60ADE，BDEDAC，ADCDEB ADACDEBD 4BDDC，45BDBC，ADACDEBD5445BCBC 2.4DE 534ADDE，故选：C【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键 例 2（2023黑龙江牡丹江统考中考真题）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图的方法折出一个正方形 ABEF，然后把纸片展平；第二步：将图中的矩形纸

25、片折叠，使点 C 恰好落在点 F 处，得到折痕MN，如图 根据以上的操作，若8AB，12AD，则线段 BM 的长是（）A3 B 5 C2 D1【答案】C【分析】根据折叠的性质得：8ABAFBE，4FDEC，FNCN，设 DN x，则8CNFNx，利用勾股定理求出,DN FN，再证明 MFHFND，得 MFMC，求解即可【详解】解：如图，过点 M 作 MHAD，交 AD于点 H，90DFNDNF90MFHDFNMFHDNF 90DMHD 在 MFH 和 FND 中，90DMHDMFHDNFFMHDFN MFHFND MFMHFHFNDFDN4,8DFMH824MFFHFNDN 设 DNx，则8C

26、NFNx，222FNDNDF，即：22284xx，解得：3x，3DN ，5CNFN，25MFMFFN，10MF，10MCMF，12ADBC12 102BMBCMC，故选：C【点睛】本题考查折叠问题及矩形的性质、正方形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握折叠的性质并能熟练运用勾股定理方程思想是解题的关键 例 3（2022河南新乡九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形（1）如图 1，在ABC 中，BAC90，ABAC k，直线 l 经过点 A，BD直线 I，CE 上直线 l，垂足分别为 D、E求证：BDAE k（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然

27、成立呢？如图 2，将（1）中的条件做以下修改：在ABC 中，ABAC k，D、A、E 三点都在直线 l 上，并且有BDAAECBAC，其中 为任意锐角或钝角请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图 3，在ABC 中，沿ABC的边 AB、AC 向外作矩形 ABDE 和矩形 ACFG，ABAE ACAG 12，AH 是 BC 边上的高，延长 HA 交 EG 于点I求证：I 是 EG 的中点直接写出线段 BC 与 AI 之间的数量关系：【答案】（1）见解析（2）结论还成立，证明见解析（3）见解析B

28、C=AI【分析】（1）由条件可证明 ABDCAE，可得 BDAE=ABAC k；（2）由条件可知BADCAE180，且DBABAD180，可得DBACAE，结合条件可证明 ABDCAE，同（1）可得出结论；（3）过点 G 作 GMAE 交 AI 的延长线于点 M，连接 EM，证明 ABCGMA，再得到四边形 AGME 是平行四边形，故可求解；由得到 BC=12 AM，再根据四边形 AGME 是平行四边形得到 BC=AI，故可求解【详解】（1）如图 1，BD直线 l，CE直线 l，BDACEA90，BAC90，BADCAE90BADABD90，CAEABD ABDCAE，BDACEA，ADBCE

29、A，BDAE=ABACk；（2）成立，证明如下：如图 2，BDABAC，DBABADBADCAE180，DBACAE，ABDCAE，BDACEAADBCEA，BDAE=ABACk；（3）过点 G 作 GMAE 交 AI 的延长线于点 M，连接 EM四边形 AGFC 是矩形，GAC=90 又 AHBCAHC=90 5+CAH=4+CAH=905=4 BDE=AHB=902+BAH=1+BAH=902=1 又 GMAE3=23=1ABCGMA ACBCABGAAMGM又12ABACAEAG 12ACBCABABGAAMGMAEGM=AE又GMAE四边形 AGME 是平行四边形 EI=IG 故 I

30、为 EG 的中点；由知12BCACABABAMAGGMAEBC=12 AM四边形 AGME 是平行四边形AI=IMAI=12AMBC=AI线段 BC 与 AI 之间的数量关系为 BC=AI 故答案为：BC=AI【点睛】此题考查相似三角形的判断与性质综合，解题关键是根据题意找到相似三角形，列出比例式求解 例 4（2023湖北武汉统考中考真题）问题提出：如图（1），E 是菱形 ABCD边 BC 上一点，AEF是等腰三角形，AEEF，90,AEFABCaAF 交CD于点G，探究GCF与 的数量关系 问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当90 时，直接写出GCF的大小；(2)再探究一般情形，如

31、图（1），求GCF与 的数量关系 问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当120 时，若12DGCG，求 BECE 的值【答案】(1)45(2)3902GCF(3)23BECE 【分析】（1）延长 BC 过点 F 作 FHBC，证明 ABEBHF即可得出结论（2）在 AB 上截取 AN，使ANEC，连接 NE，证明ANEECF，通过边和角的关系即可证明（3）过点 A 作CD的垂线交CD的延长线于点 P，设菱形的边长为3m，由（2）知，390902 GCFa，通过相似求出6 35CFm，即可解出【详解】（1）延长 BC 过点 F 作 FHBC，90BAEAEB，90FEHAEB，BAEF

32、EH，在EBA和 FHE中ABEEHFBAEFEHAEEF ABEBHF，ABEH，BEFH，BCEH，BECHFH=，45GCFFCH?故答案为：45 （2）解：在 AB 上截取 AN，使 ANEC，连接 NE 180 ABCBAEAEBAEFFECAEB，ABCAEF，EANFEC AEEF，ANEECF ANEECF ,ABBCBNBEEBN，1902BNE GCFECFBCDANEBCD13901809022（3）解：过点 A 作CD的垂线交CD的延长线于点 P，设菱形的边长为3m，1,2DGCG=,2DGm CGm=在Rt ADP 中，120,ADCABC?60ADP，33,322P

33、Dm APm120 ，由（2）知，390902 GCFa,AGPFGC?APGFCGAPPGCFCG，353222mmCFm，6 35CFm，在 AB 上截取 AN，使 ANEC，连接 NE，作 BONE于点 O 由（2）知，ANEECF，NECF，ABBC，BNBE，1325OEEFENm 120ABC，30BNEBEN，cos30OEBE?，6,5BEm=95CEm=23BECE【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相似 例 4（2023湖北荆州统考中考真题）如图 1，点 P 是线段 AB 上与点 A，点 B 不重合的任意一点，在 A

34、B 的同侧分别以 A，P，B 为顶点作 123 ，其中 1 与3 的一边分别是射线 AB 和射线 BA，2 的两边不在直线 AB 上，我们规定这三个角互为等联角，点 P 为等联点，线段 AB 为等联线(1)如图 2，在5 3 个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为 1，AB 为端点在格点的已知线段请用三种不同连接格点的方法，作出以线段 AB 为等联线、某格点 P 为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图 3，在 RtAPC中，90A，ACAP，延长 AP 至点 B，使 ABAC，作A的等联角CPD和PBD将APC沿 PC 折叠，使点 A 落在点 M 处，得到 MPC，再延

35、长 PM 交 BD的延长线于 E，连接CE 并延长交 PD的延长线于 F，连接 BF 确定 PCF 的形状，并说明理由；若:1:2AP PB，2BFk，求等联线 AB 和线段 PE的长（用含k 的式子表示）【答案】(1)见解析(2)等腰直角三角形，见解析；3ABk；52PEk【分析】（1）根据新定义，画出等联角；（2）PCF 是等腰直角三角形，过点C 作CNBE交 BE 的延长线于 N 由折叠得 ACCM，90CMPCMEA ，12 ，证明四边形 ABNC 为正方形，进而证明RtRtCMECNE，得出45PCF 即可求解；过点 F 作 FQBE于Q，FRPB交 PB 的延长线于 R，则90RA

36、 证明APCRFP，得出 APBRFR，在RtBRF中，222BRFRBF，2BFk，进而证明四边形BRFQ 为正方形，则 BQQFk，由 FQ CN，得出 AEFNEC，根据相似三角形的性质得出32NEk，根据 PEPMME即可求解【详解】（1）解：如图所示（方法不唯一）（2）PCF 是等腰直角三角形理由为：如图，过点C 作CNBE交 BE 的延长线于 N 由折叠得 ACCM，90CMPCMEA ，12 ACAB，90APBDN ，四边形 ABNC 为正方形CNACCM 又CECE，RtRtHLCMECNE 34 ，而 123490 ，90CPF 2345PCFCFP PCF是等腰直角三角形

37、 过点 F 作 FQBE于Q，FRPB交 PB 的延长线于 R，则90RA 155690 ，16 ，由 PCF 是等腰直角三角形知：PCPF，AASAPCRFP，APFR，ACPR，而 ACAB，APBRFR，在 RtBRF中，222BRFRBF，2BFk，APBRFRk，22PBAPk，3ABAPPBBNk，由 BRFR，90QBRRFQB ，四边形 BRFQ 为正方形，BQQFk，由 FQBN，CNBN得：FQCN，QEFNEC，QEQFNECN，而32QEBNNEBQkNEkkNE，即 2133kNEkNEk，解得：32NEk，由知：PMAPk，32MENEk，3522PEPMMEkkk

38、【点睛】本题考查了几何新定义，正方形的性质与判定，折叠问题，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，理解新定义，掌握正方形的性质是解题的关键 例 5（2022山西晋中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图，在 ABC 中，90ACB，ACBC，分别过 A、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为 D、E，我们很容易发现结论：ADCCEB（1）探究问题：如果 ACBC，其他条件不变，如图，可得到结论；ADCCEB请你说明理由（2）学以致用：如图，在平面直角坐标系中，直线12yx与直线CD交于点2,1

39、M，且两直线夹角为，且3tan2，请你求出直线CD的解析式（3）拓展应用：如图，在矩形 ABCD中，3AB ，5BC ，点E 为 BC 边上个动点，连接 AE，将线段 AE 绕点 E 顺时针旋转90，点 A 落在点 P 处，当点 P 在矩形 ABCD外部时，连接 PC，PD若DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出 BE 的长【答案】（1）理由见解析；（2）41577yx；（3）BE 长为 3 或 7174【分析】（1）根据同角的余角相等得到BCEDAC，然后利用 AA 定理判定三角形相似；（2）过点O 作ONOM交直线CD于点 N，分别过 M、N 作 MEx轴，NFx轴，由（1）得NFOOE

40、M，从而得到 NFOFNOOEMEMO，然后结合相似三角形的性质和锐角三角函数求出3NF，32OF，从而确定 N 点坐标，然后利用待定系数法求函数解析式；（3）分两种情形讨论：如图 1 中，当PDC=90时如图 2 中，当DPC=90时，作 PFBC 于 F，PHCD于 H，设 BE=x分别求解即可【详解】解：（1）90ACB，90ACDBCE 又90ADC90ACDDACBCEDAC 90ADCBEC ADCCEB（2）如图，过点O 作ONOM交直线CD于点 N，分别过 M、N 作 MEx轴，NFx轴 由（1）得NFOOEM NFOFNOOEMEMO M 坐标2,12OE，1ME 3tan2

41、 32ONOM 解得：3NF ，32OF 3,32N 设直线CD表达式为 ykxb，代入21M，3 32N，得21332kbkb，解得47157kb ，直线CD表达式为41577yx （3）解：如图 1 中，当PDC=90时，ADC=90，ADC+PDC=180，A、D、P 共线，EA=EP，AEP=90，EAP=45，BAD=90，BAE=45，B=90BAE=BEA=45，BE=AB=3 如图 2 中，当DPC=90时，作 PFBC 于 F，PHCD 于 H，设 BE=x，AEB+PEF=90，AEB+BAE=90，BAE=PEF，在 ABE 和 EFP 中，90BAEPEFBFAEEP

42、o ABEEFP，EF=AB=3，PF=HC=BE=x，CF=3-（5-x）=x-2，DPH+CPH=90，CPH+PCH=90，DPH=PCH，DHP=PHC，PHDCHP，PH2=DHCH，（x-2）2=x（3-x），x=774或 7174（舍弃），BE=774，综上所述，当 PDC 是直角三角形时，BE 的值为 3 或 774【点睛】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型 例 6（2023江苏南京校考三模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线

43、段做了如下探究：【观察与猜想】(1)如图1，在正方形 ABCD中，E，F 分别是 AB，AD上的两点，连接 DE，CF，若 DE CF，则 DECF 的值为_；(2)如图2，在矩形 ABCD中，7AD，4CD，E 是 AD上的一点，连接CE，BD，若CEBD，则 CEBD 的值为_；【类比探究】(3)如图3，在四边形 ABCD中，90AB ，E 为 AB 上一点，连接 DE，过C 作 DE 的垂线交 ED的延长线于G，交 AD的延长线于 F，求证：DE ABCF AD；【拓展延伸】(4)如图 4，在 Rt ABD 中，90BAD，15AD，将ABD沿 BD翻折，A 落在C 处，得到CBD，F

44、为线段 AD上一动点，连接CF，作 DECF，交 AB 于 E，垂足为G，连接 AG 若53DECF，则 AG 的最小值为_【答案】(1)1(2)47(3)见解析(4)9 5152【分析】（1）可证明 AEDDFC，即可得到答案（2）可证明 BDCCED，即可得到答案（3）过点 F 作 BC 的垂线，交 BC 于点 N，可得到 ABFN，然后证明NFCADE，可得DE FNCF AD，问题即可得证（4）过点C 作 AD的垂线，交 AD于点 N，取CD的中点为 M，连接 AM，取以 AD的中点 K，连接CK 可先证 EADFNC，得到 NC 的长度，进而求得 NK，CK，AM 的长度根据题意可知

45、，点G 在以CD的中点 M 为圆心，12 CD 长度为半径的圆上，可知 AG+GMAM，当AGAMGM时，AG 取得最小值，即可求得答案【详解】（1）解：四边形 ABCD为正方形，ADDC，90AFDC +90AEDADE DECF，+90DFCADEAEDDFC 在AED和DFC中，AFDCAEDDFCADDC AEDDFC DECF1DECF 故答案为：1（2）解：四边形 ABCD为长方形，+=90ADBBDC CEBD，+=90ADBCEDBDCCED 又BCDCDE，BDCCED47CECDBDBC故答案为：47 （3）解：如图，过点 F 作 BC 的垂线，交 BC 于点 N 由题意知

46、四边形 ABNF 为矩形，90DFN，ABFN90NFCGFD CGEG，90GDFGFDNFCGDF 又GDFADE，NFCADE 又90AFNC ，NFCADE DEADCFFNDE FNCF ADDE ABCF AD（4）解：如图，过点C 作 AD的垂线，交 AD于点 N，取CD的中点为 M，连接 AM，取以 AD的中点为 K，连接CK，连接GM 由轴对称图形的性质可知CKAM，15ADCD.CFDE，90BAD，180AFGAEG 又180AFGNFC，AEGNFC 又90EADFNC，EADFNC 53DEADCFNC3315955NCAD 222215912DNCDNC159122

47、2NKDNDK 222299 5922CKNCNK9 52AM 根据题意可知，点G 在以CD的中点 M 为圆心，12 CD 长度为半径的圆上，且115=22GMCD AG+GMAM,即152AGAM，当152AGAM时，AG 取得最小值 9 5159 515222minAG故答案为：9 5152【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称图形的性质等，牢记全等三角形的判定定理及性质、相似三角形的判定定理及性质、勾股定理及轴对称图形的性质是解题的关键 课后专项训练1（2022湖南长沙市二模）如图，等腰直角三角形 ABC 的直角顶点 C 与坐标原点重合，分别过点

48、 A、B 作x 轴的垂线，垂足为 D、E，点 A 的坐标为（-2，5），则线段 DE 的长为（）A4 B6 C6.5 D7【答案】D【分析】由等腰直角三角形的性质得出 OA=BO，AOB=90，证明 ADOOEB（AAS），由全等三角形的性质得出 AD=OE=5，OD=BE=2，则可得出答案【详解】解：A（-2，5），ADx 轴，AD=5，OD=2，ABO 为等腰直角三角形，OA=BO，AOB=90，AOD+DAO=AOD+BOE=90，DAO=BOE，在 ADO 和 OEB 中，DAOBOEADOOEBOABO ，ADOOEB（AAS），AD=OE=5，OD=BE=2，DE=OD+OE=5+

49、2=7故选：D【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键 2（2022贵州凯里一模）如图，在平面直角坐标系中 0,4A、6,0C，BCx轴，存在第一象限的一点,25P aa 使得PAB是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，则点 P 的坐标（）A3,1 或3,3 B5,5 C3,1 或5,5 D3,3 【答案】C【分析】分点 P 在 AB 的上方和点 P 在 AB 的下方，根据全等三角形的判定与性质进行讨论求解即可【详解】解：当点 P 在 AB 的上方时，过 P 作 x 轴的平行线交 y 轴于 E，交 CB 延长线于 F，如图 1，则

50、AEP=PFB=APB=90，E(0，2a5)，F(6，2a5)，PE=a，PF=6a，AE=2a9，EAP+EPA=90，EPA+BPF=90，EAP=BPF，又AEP=PFB，PA=PB，AEPPFB(AAS)，AE=PF，6a=2a9，解得：a=5，P(5，5)；当点 P 在 AB 的下方时，同样过 P 作 x 轴的平行线交 y 轴于 E，交 CB 于 F，如图 2，则AEP=PFB=APB=90，E(0，2a5)，F(6，2a5)，PE=a，PF=6a，AE=92a，EAP+EPA=90，EPA+BPF=90，EAP=BPF，又AEP=PFB，PA=PB，AEPPFB(AAS)，AE=

51、PF，92a=6a，解得：a=3，P（3，1），综上，点 P 的坐标为（3，1）或（5，5），故选：C 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、坐标与图形性质、解一元一次方程等知识，过已知点向坐标轴作平行线或垂线，然后求出相关线段的长是解决此类问题的基本方法 3（2023河南郑州统考二模）如图，已知矩形 ABCD的顶点 B A、分别落在 x 轴 y 轴上，4 3,4OBOA，AB=2BC 则点C 的坐标是（）A9,3 B9,2 3 C42 3,2 3 D4 32,2 3【答案】D【分析】过 C 作 CEx 轴于 E，根据矩形的性质得到 CD=AB，ABC=

52、90，根据余角的性质得到BCE=ABO，进而得出BCEABO，根据相似三角形的性质得到结论【详解】解：过 C 作 CEx 轴于 E，四边形 ABCD 是矩形，CD=AB，ABC=90，ABO+CBE=CBE+BCE=90，BCE=ABO，90AOBBEC，BCEABO，CECBBEBOABAO，4 3,4,OBOAAB=22648OAOB，AB=2BC，BC=12 AB=4，12CECBBEBOABAO，CE=23，BE=2OE=43+2C（43+2，23），故选：D【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键 4（2023湖南长沙九年级专

53、题练习）如图，在矩形 ABCD 中，BC6，AB2，RtBEF 的顶点 E 在边 CD或延长线上运动，且BEF90，EF 13 BE，DF 10，则 BE 【答案】3 5 【分析】过 F 作 FGCD，交 CD 的延长线于 G，依据相似三角形的性质，即可得到 FG 13 EC，GE2CD；设 ECx，则 DGx，FG 13 x，再根据勾股定理，即可得到 CE29，最后依据勾股定理进行计算，即可得出 BE 的长【详解】如图所示，过 F 作 FGCD，交 CD 的延长线于 G，则G90，四边形 ABCD 是矩形，C90，ABCD2，又BEF90，FEG+BEC90EBC+BEC，FEGEBC，又C

54、G90，BCEEGF，FGEC GECB EFBE，即 FGEC 6GE 13，FG 13 EC，GE2CD，DGEC，设 ECx，则 DGx，FG 13 x，Rt FDG 中，FG2+DG2DF2，（13 x）2+x2（10）2，解得 x29，即 CE29，Rt BCE 中，BE22CEBC 9363 5，故答案为：3 5 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三

55、角形 5（2021浙江台州中考真题）如图，点 E，F，G 分别在正方形 ABCD 的边 AB，BC，AD 上，AFEG若AB5，AEDG1，则 BF_ 【答案】54 【分析】先证明 ABFGAE，得到 ABBFGAAE，进而即可求解【详解】在正方形 ABCD 中，AFEG，AGE+GAM=90，FAB+GAM=90，FAB=AGE，又ABF=GAE=90，ABFGAE，ABBFGAAE，即：55 11BF，BF=54 故答案是：54 【点睛】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明 ABFGAE，是解题的关键 6（2023浙江九年级专题练习）如图，ABC 为等边三角形，点 D，E

56、 分别在边 AB，AC 上，3BD，将ADEV沿直线 DE 翻折得到 FDEV，当点 F 落在边 BC 上，且4BFCF时，DE AF的值为 【答案】98 33【分析】根据 ABC 为等边三角形，ADE 与 FDE 关于 DE 成轴对称，可证BDFCFE，根据 BF=4CF，可得 CF=4，根据 AF 为轴对称图形对应点的连线,DE 为对称轴，可得 DEAF，根据 S 四边形ADFE=12 DE AF=SCEF=-SABC-SCEF，进而可求98 33DE AF【详解】解：如图，作 ABC 的高 AL，作 BDF 的高 DH，ABC 为等边三角形，ADE 与 FDE 关于 DE 成轴对称，DF

57、E=DAE=60，AD=DF，CFE+FEC=CFE+DFB=120，DFB=CEF，又B=C=60，BDFCFE，BDCFBECE，即BF CFCEBD，设 CF=x(x 0)，BF=4CF，BF=4x，BD=3，243xCE，45BCBFCFxxx，53ADABBDBCBDDFx，2453xAEEFx，BDFCFE，DFBDEFCF，2533453xxxx解得：x=2，CF=4，BC=5x=10，在 Rt ABL 中，B=60，AL=ABsin60=1032=53，SABC=1 10 5 325 32，在 Rt BHD 中，BD=3，B=60，DH=BDsin60=33 3322，SBDF

58、=113 386 3222BF DH，BDFCFE，223924BDFCFESBDSCF，SBDF=6 3，SCEF=8 33，又AF 为轴对称图形对应点的连线,DE 为对称轴，AD=DF，ADF 为等腰三角形，DEAF，S 四边形ADFE=12 DE AF=SCEF=-SABC-SCEF=8 349 325 36 333，98 33DE AF故答案为:98 33【点睛】本题主要考查等边三角形的和折叠的性质，一线三等角证明 k 型相似，以及“垂美四边形”的性质：对角线互相垂直的四边形的面积对角线乘积的一半 7（2022安徽九年级专题练习）如图，矩形 ABCD 中，AB=8，AD=4，E 为边

59、AD 上一个动点，连接 BE，取 BE 的中点 G，点 G 绕点 E 逆时针旋转 90得到点 F，连接 CF，在点 E 从 A 到 D 的运动过程中，点 G 的运动路径=，CEF 面积的最小值是 【答案】2 15【分析】连接 BD，取 BD 的中点 M，AB 的中点 N，连接 MN，因为 GN 为 ABE 的中位线，故 G 的运动路径为线段 MN；过点 F 作 AD 的垂线交 AD 的延长线于点 H，则 FEHEBA，设 AE=x，可得出 CEF 面积与 x 的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值【详解】解：连接 BD，取 BD 的中点 M，AB 的中点 N，连接 MN，E 为边 A

60、D 上一个动点，点 E 从 A 到 D 的运动，G 是 BE 的中点 当 E 在 A 点时，BE 与 AB 重合，G 与 AB 的中点 N 重合，当 E 运动到 D 点时，BE 与 BD 重合，G 与 BD 的中点 M 重合，E 在从 A 到 D 的运动过程中，MN 为 ABE 的中位线，1=22MNAD故 G 的运动路径=2，过点 F 作 AD 的垂线交 AD 的延长线于点 H，A=H=90，FEB=90，FEH=90-BEA=EBA，FEHEBA，,HFHEEFAEABBE G 为 BE 的中点，1,2FEGEBE 1,2HFHEEFAEABBE 设 AE=x，AB8,4,AD HF1,4

61、,2 x EH,DHAExCEFDHFCCEDEHFSSSS11111(8)8(4)422222xxxx 2141644 xxxx 2116,4 xx 当12124x 时，CEF 面积的最小值142 1615.4 故答案为：2，15【点睛】本题通过构造 K 形图，考查了三角形的中位线和相似三角形的判定与性质，建立 CEF 面积与 AE长度的函数关系式是解题的关键 8（2023浙江九年级专题练习）如图，在 ABC 中，ABAC10，点 D 是边 BC 上一动点（不与 B、C 重合），ADEB，DE 交 AC 于点 E，且 cos 45，下列结论：ADEACD；当 BD6时，ABD 与 DCE 全

62、等；DCE 为直角三角形时，BD 为 8 或 258；0CE6.4其中正确的结论是（把你认为正确结论的序号都填上）【答案】【分析】根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；由 BD6，则 DC10，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得；分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得；依据相似三角形对应边成比例即可求得【详解】解：ABAC，BC，又ADEB，ADEC，ADEACD，故正确；作 AGBC 于 G，ABAC10，ADEB，cos 45，BGABcosB，BC2BG2ABcosB210 45 16，BD6，DC10，ABDC，在 ABD 与 DCE 中BADCDEBCAB

63、DC，ABDDCE（ASA），故正确；当AED90时，由可知：ADEACD，ADCAED，AED90，ADC90，即 ADBC，ABAC，BDCD，ADEB 且 cos 45，AB10，BD8，当CDE90时，易 CDEBAD，CDE90，BAD90，B 且 cos 45，AB10，cosB ABBD 45，BD 252，故错误；易证得 CDEBAD，由可知 BC16，设 BDy，CEx，ABBDDCCE，10y16yx，整理得：y216y646410 x，即（y8）26410 x，0 x6.4，故正确；故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性

64、质、直角三角形的性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握相似三角形与全等三角形的判定和性质是解题的关键 9（2022河北保定模拟预测）如图，桌面上竖直放置着一个等腰直角三角板 ABC，若测得斜边 AB 的两端点到桌面的距离分别为 AD，BE（1）求证：ADCCEB；（2）若10DE，7AD，求 BE 的长 【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）先利用同角的余角相等，判断出DAC=BCE，进而判断出 ACDCBE；（2）由全等三角形的性质，即可求出答案【详解】解：（1）证明：ADDC，BECE，90ADCCEB，90ACDDAC ACBC，90ACB，90ACDBCE，DACBCE ADCCEB

65、 AAS（2）解：ADCCEB，ADCE，CDBE7AD，7CE，10DE，1073CDDECE，3BE 【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出 ACDCBE 是解本题关键 10（2023浙江九年级期末）如图，已知 ABC 和 CDE 均是直角三角形，RtACBCED，ACCE，ABCD于点 F（1）求证：ABC CDE；（2）若点 B 是 EC 的中点，10cmDE，求 AE 的长 【答案】（1）见解析；（2）20 2 cm【分析】（1）根据 ASA即可证明结论；（2）结合（1）可得10DEBCcm，根据点 B 是 EC 的中点，可得220ECBCcm，根据勾股

66、定理即可求出 AE 的长【详解】解：（1）证明：ABCD，90FACACF，90ACE，90DCBACF，FACDCB，ACEC，在 ABC和 CDE中，90FACDCBACECACBCED ，()ABCCDE ASA；（2）ABCCDE，10DEBCcm，点 B 是 EC 的中点，220ECBCcm，20ACECcm，在 RtAEC中，根据勾股定理，得2220 2AEACECcm【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质 11（2022江苏九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知

67、填写出来：如图 1，ABC 是等腰直角三角形，90C，AE=BD，则 AED_；如图 2，ABC 为正三角形，,60BDCFEDF，则 BDE_；如图 3，正方形 ABCD的顶点 B 在直线 l 上，分别过点 A、C 作 AEl 于 E，CFl 于 F若1AE ，2CF，则 EF 的长为_【模型应用】（2）如图 4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点 O 为原点，点 A 的坐标为1,3，则点 C 的坐标为_【模型变式】（3）如图 5 所示，在 ABC 中，90ACB，ACBC，BECE于 E，ADCE 于 D，4cmDE，6cmAD，求 BE 的长【答案】BDF；CFD；3；（2）(3

68、1)，（3）2cm【分析】根据等腰直角三角形的性质及和角关系，可得 AEDBDF；根据等边三角形的性质及和角关系，可得 BDECFD；根据正方形的性质及和角关系，可得 ABEBCF，由全等三角形的性质即可求得 EF 的长；（2）分别过 A、C 作 x 轴的垂线，垂足分别为点 D、E，根据正方形的性质及和角关系，可得 COEOAD，从而可求得 OE、CE 的长，进而得到点 C 的坐标；（3）由三个垂直及等腰直角三角形可证明 BCECAD，由全等三角形的性质即可求得 BE 的长【详解】ABC 是等腰直角三角形，C=90 A=B=45BDF+BFD=180B=135 EDF=45ADE+BDF=18

69、0EDF=135ADE=BFD 在 AED 和 BDF 中ABADEBFDAEBD AEDBDF(AAS)答案为：BDF；ABC 是等边三角形 B=C=60BDE+BED=180B=120 EDF=60BDE+CDF=180EDF=120BED=CDF 在 BDE 和 CFD 中BCBEDCDFBDCF BDECFD(AAS)故答案为：CFD；四边形 ABCD 是正方形ABC=90，AB=BCABE+CBF=180ABC=90AEl，CFlAEB=CFB=90 ABE+EAB=90EAB=CBF 在 ABE 和 BCF 中AEBCFBEABCBFABBC ABEBCF(AAS)AE=BF=1，

70、BE=CF=2EF=BE+BF=2+1=3 故答案为：3；（2）分别过 A、C 作 x 轴的垂线，垂足分别为点 D、E，如图所示 四边形 OABC 是正方形AOC=90，AO=OCCOE+AOD=180ACO=90 ADx 轴，CEx 轴CEO=ADO=90ECO+COE=90ECO=AOD在 COE 和 OAD 中CEOADOECOAODOCAO COEOAD(AAS)CE=OD，OE=AD(1,3)AOD=1，3AD CE=1，3OE 点 C 在第二象限点 C 的坐标为(31)，故答案为：(31)，；（3）ACB=90BCE+ACD=90 BECE，ADCECEB=ADC=90BCE+CB

71、E=90 CBE=ACD 在 BCE 和 CAD 中CBEACDCEBADCBCAC BCECAD(AAS)BE=CD，CE=AD=6cm BE=CD=CEDE=64=2(cm)【点睛】本题是三角形全等的综合，考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是关键 12（2022江苏镇江二模）模型构建：如图 1，AMMN于点 M，BNMN于点 N，AB 的垂直平分线交 MN 于点 P，连接 AP、BP若90APB，求证：AMBNMN 数学应用：如图 2，在 ABC 中，D 是 BC 上一点，ACADBD，90CAD，8AB，求 ABC 的面积 实际运用：建设“交通强国”是满足人民日益增长

72、的美好生活需要的必然要求建设“美丽公路”是落实美丽中国建设、回应人民日益增长的美好生活对优美生态环境的需要如图 3 是某地一省道与国道相交处的示意图，点 Q 处是一座古亭，鹅卵石路 QA、QB 以及 AB 两旁栽有常青树，其它区域种植不同的花卉；设计要求QAQB，QAQB，AB 是以 Q 为圆心、QA 为半径的圆弧（不计路宽，下同）请在图 4 中画出符合条件的设计图，要求尺规作图，保留作图痕迹，标注必要的字母，写出详细的作法，不要求说明理由；【答案】模型构建：见解析；数学应用：16；实际运用：（1）见解析；（2）(10025)米【分析】模型构建：由题意证得AMPPNB即可证明 数学应用：作,D

73、NAB CMAB，根据三角形全等可求得CM 的长度，然后根据面积公式即可求得 实际运用：（1）作QH 垂直于国道，然后构造出一线三直角模型，即可画出设计图（2）由两条公路所夹锐角的正切值和 PH 的长度求出OH 的长度，然后根据三角形全等可求得 LB 和 LQ 的长度，根据勾股定理和扇形弧长公式即可求得【详解】模型构建：AB 的垂直平分线交 MN 于点 P，PAPB，又=90MN，90APB，90APMMAP，90APMBPN，BPNMAP，在AMPPNB和中，MAPBPNMNAPBP AMPPNB，=AM PNMPNB，AMBNPNPMMN 数学应用：如图，作,DNAB CMAB，ADBD，

74、DNAB，142BNANAB90,90,90DACDNACMA，90,90NADNDANADCAM，NDACAM，在ANDCMA和中，DNAAMCNDACAMADAC ANDCMA，=4MCAN，11=?8 41622ABCSAB MC 实际运用：（1）过点 Q 作 QH 垂直于国道于点 H，过点 Q 作国道的平行线交省道于点 N，以 QH 为半径，Q点为圆心画弧交 QN 于点 K，过点 K 作国道的垂线交省道于点 B，连接 QB，以点 Q 为圆心，QB 为半径画弧，交国道于点 A，作图如下【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形面积的求法，勾股定理，扇形弧长的求法，根据题意作出辅助线

75、构造出一线三等角模型是解题的关键 13（2022黑龙江桦南县九年级期中）如图 1，在 ABC 中，90ACB，ACBC，直线MN 经过点C，且 ADMN于 D，BEMN于 E(1)由图 1，证明：DEADBE；(2)当直线 MN 绕点C 旋转到图 2 的位置时，请猜想出 DE，AD，BE 的等量关系并说明理由；(3)当直线 MN 绕点C 旋转到图 3 的位置时，试问 DE，AD，BE 又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）【答案】(1)证明见解析；(2)DEADBE，证明过程见解析；(3)DEBEAD，证明过程见解析【分析】(1)先证明 ADCCEB，得到 AD=CE，D

76、C=BE，进而得到 DE=CE+DC=AD+BE 即可；(2)同(1)中思路，证明 ADCCEB，进而得到 DE=CE-DC=AD-BE 即可；(3)同(1)中思路，证明 ADCCEB，进而得到 DE=DC-CE=BE-AD 即可【详解】解：(1)证明：在 ABC 中，90ACB，90ACDBCE，ADMN，90ACDCAD，BCE CAD，又 ACBC，90ADCCEB，()ADCCEB AAS，ADCE，DCBE，直线 MN 经过点C，DECEDCADBE；(2)DE，AD，BE 的等量关系为：DEADBE，理由如下：ADMN于 D，BEMN于 E 90ADCBECACB ，90CADAC

77、D，90ACDBCE，CADBCE，在 ADC 和CEB中90CADBCEADCBECACCB ，ADCCEB AAS CEAD，CDBE，DECECDADBE；(3)当 MN 旋转到图 3 的位置时，DE、AD、BE 所满足的等量关系是 DEBEAD，理由如下：ADMN于 D，BEMN于 E 90ADCBECACB ，90CADACD，90ACDBCE，CADBCE，在 ADC 和CEB中90CADBCEADCBECACCB ，ADCCEB AAS CEAD，CDBE，DECDCEBEAD.【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性质及等角的余角相等等知识点，熟练掌握三角形全

78、等的判定方法是求解的关键 14（2022黑龙江佳木斯三模）在 ABC 中，90ABC，ABBC，D为直线 AB 上一点，连接CD，过点 B 作 BECD交CD于点 E，交 AC 于点 F，在直线 AB 上截取 AMBD，连接 FM （1）当点 D，M 都在线段 AB 上时，如图，求证：BFMFCD；（2）当点 D在线段 AB 的延长线上，点 M 在线段 BA的延长线上时，如图；当点 D在线段 BA的延长线上，点 M 在线段 AB 的延长线上时，如图，直接写出线段 BF，MF，CD之间的数量关系，不需要证明【答案】（1）见解析；（2）图：BFMFCD；图：FMBFCD【分析】（1）过点 A 作

79、ANAB交 BF 的延长线于点 N 证明ABNBCD，根据全等三角形的性质可得ANBD，BNCD再证NAFMAF，由此即可证得结论；（2）图：BFMFCD，类比（1）中的方法证明即可；图：FMBFCD，类比（1）中的方法证明即可【详解】（1）证明：如图，过点 A 作 ANAB交 BF 的延长线于点 N 90NAB90ABC，90ABFEBC，NABABC CDBF，90BCDEBC ABFBCD 在 ABN 和BCD中，,NABABCABBCABFBCD ASAABNBCD ANBD，BNCD ABCB，90ABC，45CAB45NAFNABBAC NAFFAM ANBD，AMBD，ANAM

80、在 NAF 和MAF中，,ANAMNAFMAFAFAF SASNAFMAF FNFM BNFNBF，BFMFCD（2）图：BFMFCD证明：过点 A 作 ANAB交 BF 于点 N 90NAB90ABC，90ABFEBC，NABDBC CDBF，90BCDEBC ABFBCD 在 ABN 和BCD中，,NABDBCABBCABFBCD ASAABNBCD ANBD，BNCD ABCB，90ABC，45CAB45CABMAF，90NAM45NAFNAMMAF NAFFAM ANBD，AMBD，ANAM 在 NAF 和MAF中，,ANAMNAFMAFAFAF SASNAFMAF FNFM BFFN

81、BN，BFMFCD 图：FMBFCD证明：如图，过点 A 作 ANAB交 BF 的延长线于点 N 90NAB90ABC，90ABFEBC，NABABC CDBF，90BCDEBC ABFBCD 在 ABN 和BCD中，,NABABCABBCABFBCD ASAABNBCD ANBD，BNCD ABCB，90ABC，45CAB45NAFNABBAC NAFFAM ANBD，AMBD，ANAM 在 NAF 和MAF中，,ANAMNAFMAFAFAF SASNAFMAF FNFM BNFNBF，BFMFCD【点睛】本题是全等三角形的综合题，正确作出辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键 15（202

82、2安徽合肥二模）（1）如图1，等腰直角 ABC 中，90ACB，CBCA，线段 ED经过点C，过 A 作 ADED于点 D，过 B 作 BEED于.E 求证：BEC CDA （2）如图 2，已知在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为0,4，点C 的坐标为3,0，点 B 是平面直角坐标系中的一点，若 ABC 是以 AC 为直角边的等腰直角三角形，求点 B 的坐标；（3）如图3，已知在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，在等腰直角 OAB 中，90OAB，4OAAB，点 M 在线段OB 上从O 向 B 运动(运动到点 B 停止)，以点 M 为直角顶点向右上方做等腰直

83、角 AMN，求点N 移动的距离【答案】（1）见解析；（2）17 3B ，2 13B，34 7B，4 41B，；（3）8【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明即可；（2）分四种情况，由（1）的结论并结合等腰直角三角形的性质即可证明；（3）过点 M 作 MEy轴于点 E，过点 N 作 NDME于点 E，由（1）的结论和等腰直角三角形的性质即可证明【详解】解：（1）ABC 为等腰直角三角形，CBCA，又ADCD，BEEC，90DE ，1809090ACDBCE，又90EBCBCE，ACDEBC，即BCCAACDEBCADCBEC ，ACDEBC AAS；（2）分四种情况讨论：当点C 为直角顶点时

84、，且点 B 在 AC 左侧时，如图1，过点 B 作 BDx轴于点 D ABC 为等腰直角三角形，由（1）可知：BDC COA AAS，3BDCO，DCOA，5CBCA，0A，4，3OCBD，4DCOA，437OD ，17 3B，；其余三种情况如图 2 所示，同理可求得：2 13B，34 7B，4 41B，；（3）过点 M 作 MEy轴于点 E，过点 N 作 NDME于点 E，如图，AMN为等腰直角三角形，由（1）可知：AEMMDN AAS，OEMEa，4AEMDa，4ED，点 N 在直线4x 上运动，当点 M 在O 点时，点 N 的坐标是4 0，当点 M 在点 B 时，点 N 的坐标是4 8，

85、点 N 运动的距离是8【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握等腰直角三角形的性质 16（2022河南新乡二模）如图，ABC 和 ADE 是有公共顶点 A 的两个等腰直角三角形，DAEBAC90，ADAE，ABAC6，D 在线段 BC 上，从 B 到 C 运动，点 M 和点 N 分别是边 BC，DE 的中点(1)【问题发现】若点 D 是 BC 边的中点时，BDMN ，直线 BD 与 MN 相交所成的锐角的度数为 （请直接写出结果）(2)【解决问题若点 D 是 BC 边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接

86、写出 N 点运动的路径长，及 CN 的最小值 【答案】(1)2，45 (2)成立，理由见解析(3)N 点运动的路径长为 6，CN 的最小值为 3【分析】（1）证明 AMN 是等腰直角三角形，可得结论（2）结论不变连接 AM，AN，证明 BADMAN，可得结论（3）利用三角形中位线定理，垂线段最短解决问题即可(1)解：如图 1 中，当点 D 是 BC 的中点时，AB=AC，ADBC，AD 平分BAC，CAD=ADE=45，ACDE，AC 平分 DE，点 N 落在 AC 上，BM=AM=2 MN，NMC=45，BDMN=2，故答案为：2，45(2)解：如图 2 中，连接 AM，ANAB=AC，BA

87、C=90，BM=CM，AMMC，AM=BM=CM，AB=2 AM，同法可证 AD=2 AN，BAM=DAN=45，BAD=MAN，ABAM=ADAN，BADMAN，BDMN=ABAM=2，ABD=AMN=45(3)解：如图 3 中，当 D 在线段 BC 上，从 B 运动到 C 时，由（2）问可知，AMN=45，所以点 N 的运动路径是图 3 中的线段 MN，MN=12BE=6当 CNMN 时，CN 的值最小，最小值=12AC=3【点睛】本题属于三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，垂线段最短等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题

88、，属于中考压轴题 17（2023湖北宜昌统考中考真题）如图，在正方形 ABCD中，E，F 分别是边 AD，AB 上的点，连接CE，EF，CF (1)若正方形 ABCD的边长为 2，E 是 AD的中点如图 1，当90FEC时，求证：AEFDCE；如图 2，当2tan3FCE时，求 AF 的长；(2)如图 3，延长CF，DA交于点 G，当1,sin3GEDEFCE时，求证：AEAF【答案】(1)详见解析；67AF(2)详见解析【分析】（1）由90ADCBADFEC ，证明AEFECD，可得结论；如图，延长 DA，CF交于点 G 作GHCE，垂足为 H，证明CEDGEH，可得 GEGHEHCECDE

89、D，可得5CE，设,2,5EHm GHm EGm可得22tan35GHmFCECHm，可得52m，可得552EGm，证明AGFDGC，可得 AGAFDGDC，从而可得答案；（2）如图，延长CE，作GHCE，垂足为 H，证明CEDGEH，设,ADCDa GEDEt EHx GHy CEn，可得2,tatxynn，由1sin3FCE，可得1tan2 2FCE，可得222 2attn，由222nta可得222 220aatt，可得2at，证明AGFDGC，可得 AGAFDGDC，22(2)2222ataatAFaaatttt，从而可得答案【详解】（1）解：如图，正方形 ABCD中，2CDAD，90A

90、DCBADFEC ，90AEFCEDCEDDCE ，AEFECD，AEFDCE，如图，延长 DA，CF 交于点 G，作GHCE，垂足为 H，90EDCEHG 且CEDGEH，CEDGEH，GEGHEHCECDED，2,1CDDE，5CE，方法一：设 EHm，215GEGHm，2,5GHm EGm，在Rt CHG 中，22tan35GHmFCECHm，52m，552EGm，方法二：在Rt GHE 中，由2tan3FCE，设2,3GHn CHn，352125nnGE，52n，552GEn，又90GAFGDC 且AGFDGC，AGFDGC，AGAFDGDC，3 7:22 2AF，67AF；（2）如图

91、 延长CE，作GHCE，垂足为 H，90EDCEHG 且CEDGEH，CEDGEH，设,ADCDa GEDEt EHx GHy CEn，xyttan，2,tatxynn，在RtCHG中，1sin3FCE，1tan2 2FCE，12 2yxn，2 2yxn，22 2attnnn，222 2attn，在 Rt CDE 中，222nta，2222 2attta，222 220aatt，2(2)0at，则2at，又90GAFGDC 且AGFDGC，AGFDGC，AGAFDGDC，22AFtaat，22(2)2222ataatAFaaatttt，AEat，AEAF【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定

92、理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，本题计算量大，对学生的要求高，熟练的利用参数建立方程是解本题的关键 18（2023广东深圳九年级校考阶段练习）如图，在 ABC 中6cmABAC，8cmBC，点 E 是线段 BC边上的一动点（不含 B、C 两端点），连接 AE，作AEDB，交线段 AB 于点 D(1)求证：BDECEA(2)设 BEx，ADy，请求 y 与 x 之间的函数关系式(3)E 点在运动的过程中，ADEV能否构成等腰三角形？若能，求出 BE 的长；若不能，请说明理由 【答案】(1)见解析(2)214+6 0863yxxx=(3)当ADEV是等腰三角形时，9 cm2B

93、E 或6cmBE，见解析【分析】（1）由平角定义可得180BDEBEDB，180AECBEDAED，再根据6cmABAC即可证明；（2）根据BDECEA的性质求解即可；（3）根据外角先验证 AEAD，分 AEDE和 DADE两种情况讨论【详解】（1）证明：180BDEBEDB，180AECBEDAED，AEDB，BDEAEC，6cmABAC，BC，BDECEA（2）解：由（1）得：BDECEA，BDBECEAC，6cmABAC，8cmBC，BEx，ADy，8CEx，6BDy，686yxx，214+6 0863yxxx=，y 与 x 之间的函数关系式为214+6 0863yxxx=；（3）解：A

94、DE是 BDE的外角，ADEB，AEDB，ADEAED，AEAD，当 AEDE时，可得AASBDECEA，6cmBEAC；当 DADE时，BAEAEDC ，BB ，BAEBCA，BABEBCBA，即 686BE，9 cm2BE，当ADEV是等腰三角形时，9 cm2BE 或6cmBE；【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形外角的性质，二次函数的最值等知识点解答（3）题时，要分类讨论，以防漏解 19（2023浙江九年级专题练习）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线 AB 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B，2OA，AOB的面积为 2 (1)如图 1，求直线 AB 的解析式(2

95、)如图 2，线段OA上有一点 C，直线 BC 为2(0)ykxk k，ADy轴，将 BC 绕点 B 顺时针旋转90，交 AD于点 D，求点 D 的坐标（用含 k 的式子表示）(3)如图 3，在（2）的条件下，连接OD，交直线 BC 于点 E，若345ABCBDO，求点 E 的坐标【答案】(1)2yx (2)(22,2)Dk(3)8613 13E，【分析】（1）利用 ABC 的面积为 2，求出OB 的长度，得到 B 的坐标，用待定系数法求 AB 的解析式；（2）利用90CBD，过 D 作 DHx轴于 H，证明 COBBHD，得到 BHCO，2DHOB，由直线CB 析式，求得 C 的坐标，从而得到

96、 BH 长度，再证明四边形 AODH 为矩形，得到 D 的坐标；（3）利用180CADCBD，得到 A，C，B，D 四点共圆，则45CDBOAB，ABCADC，又345ABCBDO，转化得到2AODADC，在 AD上取一点 M，使 MDMC，构造出2AMCADC，利用两个角的正切值相等，列出关于参数的方程，求出参数 k，再利用直线CB 和直线OD相交，列出二元一次方程组，求得交点 E 的坐标【详解】（1）2OA，(0,2)A，2AOBS，122 OA OB，2OB，(2,0)B，设直线 AB 的解析式为：2ykx，代入点(2,0)B，得220k，1k ，直线 AB 的解析式为：2yx ；（2）

97、如图 1，过 D 作 DHx轴于 H，DAy轴，90DAOAOBDHO ，四边形 DAOH 为矩形，2DHAOOB，由题可得，90CBD，90CBODBH，又90DBHBDH，CBOBDH，在 CBO 与BDH中，90COBBHDOBHDCBOBDH ，(ASA)CBOBDH，COBH，令0 x，则22ykxkk，(0,2)Ck，2BHCOk，22OHOBBHk，(22,2)Dk；（3）如图 2，连接CD，取CD中点 N，连接 AN，BN，则在RtACD中，ANCNDN，同理，BNCNDN，ANCNDNBN，A，C，B，D 四点共圆，,ABCADCCDBOAB ，,90OAOBAOB，45OA

98、BOBA，345ABCBDO，345ADCBDCCDO，34545ADCCDO，390ADCCDO，290ADCADO，又90AODADO，2AODADC，在 AD上取一点 M，使 MDMC，则MCDADC，2AMCADCAOD ，tantanAMCAOD，ACADAMAO，AMx，22,22MCMDkx ACOA OCk222MCAMAC，222(22)(22)kxxk，41kxk，2222421kkk，解得，13k ，直线 BC 解析式为：1233yx，8(,2)3D，设直线OD 解析式为：ymx，把8(,2)3D代入得823 m，34m，则直线OD 解析式为：34yx，联立341233y

99、xyx，解得813613xy，86(,)13 13E【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及到待定系数法，一线三等角模型构造全等，四点共圆，三角函数，交点坐标的求法，其中转化角的关系是解决本题的关键 20（2022湖南郴州中考真题）如图 1，在矩形 ABCD 中，4AB，6BC 点 E 是线段 AD 上的动点（点E 不与点 A，D 重合），连接 CE，过点 E 作 EFCE，交 AB 于点 F (1)求证：AEFDCE；(2)如图 2，连接 CF，过点 B 作 BGCF，垂足为 G，连接 AG点 M 是线段 BC的中点，连接 GM求 AGGM的最小值；当 AGGM取最小值时，求线段 DE 的

100、长【答案】(1)见解析(2)5；35DE 或35DE 【分析】（1）证明出DCEAEF 即可求解；（2）连接 AM先证明132BMCMGMBC确定出点 G 在以点 M 为圆心，3 为半径的圆上当A，G，M 三点共线时，AGGMAM此时，AGGM取最小值在 Rt ABM 中利用勾股定理即可求出 AM，则问题得解先求出 AF，求 AF 的第一种方法：过点 M 作MNAB 交 FC 于点 N，即有CMNCBF，进而有12MNCMBFCB设 AFx，则4BFx，1 42MNx再根据MNAB，得到AFGMNG，得到 AFAGMNGM，则有21342xx，解方程即可求出 AF；求 AF 的第二种方法：过点

101、 G 作GHAB交 BC 于点 H即有MHGMBA则有 GMGHMHAMABMB，根据5AM，可得3543GHMH，进而求出125GH，95MH 由GHAB得CHGCBF，即可求出 AF求出 AF 之后，由（1）的结论可得 AFAEDEDC=设 DEy，则6AEy，即有 164yy，解得解方程即可求出 DE(1)证明：如图 1，四边形 ABCD 是矩形，90AD ，90CEDDCE EFCE，90CEDAEF ，DCEAEF，AEFDCE；(2)解：如图 2-1，连接 AM BGCF，BGC 是直角二角形132BMCMGMBC 点 G 在以点 M 为圆心，3 为半径的圆上 当 A，G，M 三点

102、不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：AGGMAM，当 A，G，M 三点共线时，AGGMAM 此时，AGGM取最小值在 Rt ABM 中，225AMABBM AGGM的最小值为 5（求 AF 的方法一）如图 2-2，过点 M 作MNAB 交 FC 于点 N，CMNCBF12MNCMBFCB设 AFx，则4BFx，11 422MNBFx MNAB，AFGMNG，AFAGMNGM，由知 AGGM的最小值为 5、即5AM，又3GM ，2AG 21342xx，解得1x ，即1AF （求 AF 的方法二）如图 2-3，过点 G 作GHAB交 BC 于点 H MHGMBA GMGHMHAMABMB，由知 AGGM的最小值为 5，即5AM，又3GM ，3543GHMH125GH，95MH 由GHAB得CHGCBF，GHCHFBCB，即1293556FB，解得3FB 1AFABFB 由（1）的结论可得 AFAEDEDC=设 DEy，则6AEy，164yy，解得35y 或35 0356，0356，35DE 或35DE 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键