专题14 圆中的重要几何模型-隐圆模型（解析版）.docx

1、专题14 圆中的重要几何模型-隐圆模型隐圆是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中常考题，题目常以动态问题出现，有点、线的运动，或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答。隐圆常见的有以下四种形式，动点定长、定弦对直角、定弦对定角、四点共圆（对角互补或等弦对等角），上述四种动态问题的轨迹是圆。题目具体表现为折叠问题、旋转问题、角度不变问题等，此类问题综合性强，隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分。本专题就隐圆模型的相关问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1、动点定长模型（圆的定义）若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 圆的定义：平面

2、内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧例1（2020四川中考真题）已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC2，则PM的最小值为（）A2B22C2+2D2【答案】B【分析】根据等腰直角三角形的性质得到斜边AB4，由已知条件得到点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，于是得到结论【详解】解：等腰直角三角形ABC的腰长为4，斜边AB4，点P为该平面内一动点，且满足PC2，点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最

3、小，ABC是等腰直角三角形，CMAB2，PC2，PMCMCP22，故选：B【点睛】本题考查线段最小值问题，涉及等腰三角形的性质和点到圆的距离，解题的关键是能够画出图形找到取最小值的状态然后求解例2（2020江苏连云港市中考真题）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为_【答案】2【分析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MNDE于N先证明点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的M，设M交MN于C求出MN，当点C与C重合时，CDE的面积最小【详解】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点

4、M作MNDE于NAC=CB，AM=OM，MC=OB=1，点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的M，设M交MN于C直线y=x-3与x轴、y轴分别交于点D、E，D（4，0），E（0，-3），OD=4，OE=3，MDN=ODE，MND=DOE，DNMDOE，当点C与C重合时，CDE的面积最小，CDE的面积最小值，故答案为2【点睛】本题考查三角形的中位线定理，三角形的面积，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型例3（2022北京市九年级专题练习）如图，四边形中，、分别是，的中垂线，则_，_【答案】 ； 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质可

5、得，从而得到、在以为圆心，为半径的圆上，根据圆周角定理可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解【详解】解：连接，、分别是、的中垂线，、在以为圆心，为半径的圆上，又，故答案为：，【点睛】本题主要考查了圆周角定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据题意得到、在以为圆心，为半径的圆上是解题的关键例4（2022广东汕头市一模）如图，在ABC中，C90，AC8，AB10，D是AC上一点，且CD3，E是BC边上一点，将DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为_【答案】#【分析】先由折叠判断出F的运动轨迹是为以D为圆心，CD的长度为半径的圆，当B、D、F共线且F在B、D之间时

6、BF最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时BD、BF的长度即可【详解】解：由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，如图所示，可知，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值，C90，AC8，AB10，BC=6，在RtBCD中，由勾股定理得：BD=，BF=BDDF=，故答案为：【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最值问题属于中考常考题型，根据折叠确定出F点运动轨迹是解题关键模型2、定边对直角模型（直角对直径）固定线段AB所对动角C恒为90，则A、B、C三点共圆，AB为直径 寻找隐圆技巧：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点

7、轨迹是以定边为直径的圆或圆弧例1（2022湖北武汉九年级阶段练习）如图，是的直径，C为的三等分点（更靠近A点），点P是上一个动点，取弦的中点D，则线段的最大值为_【答案】+1【分析】如图，连接OD，OC，首先证明点D的运动轨迹为以AO为直径的K，连接CK，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题【详解】解：如图，连接OD，OC，ADDP，ODPA，ADO90，点D的运动轨迹为以AO为直径的K，连接CK，AC，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，C为的三等分点，AOC60，AOC是等边三角形，CKOA，在RtOCK中，COA60，OC2，OK1，CK=，DKO

8、A1，CD+1，CD的最大值为+1，故答案为：+1【点睛】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题例2（2022山东泰安中考真题）如图，四边形为矩形，点P是线段上一动点，点M为线段上一点，则的最小值为（）ABCD【答案】D【分析】证明，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的园上，从而计算出答案【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆四边形为矩形 点M在O点为圆心，以AO为半径的园上 连接OB交圆O与点N点B为圆O外一点当直线BM过圆心O时，BM最短， 故选：D【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关

9、键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识例3（2022内蒙古中考真题）如图，是的外接圆，为直径，若，点从点出发，在内运动且始终保持，当，两点距离最小时，动点的运动路径长为_ 【答案】【分析】根据题中的条件可先确定点P的运动轨迹，然后根据三角形三边关系确定CP的长最小时点P的位置，进而求出点P的运动路径长【详解】解：为的直径，点P在以AB为直径的圆上运动，且在ABC的内部，如图，记以AB为直径的圆的圆心为，连接交于点，连接当点三点共线时，即点P在点处时，CP有最小值， 在中，两点距离最小时，点P的运动路径长为【点睛】本题主要考查了直径所对圆周角是直角，弧长公式，由锐角正切值求角度，确定点P的路径是解

10、答本题的关键模型3、定边对定角模型（定弦定角模型）固定线段AB所对同侧动角P=C，则A、B、C、P四点共圆 根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相寻找隐圆技巧：AB为定值，P为定角，则P点轨迹是一个圆例1（2021广东中考真题）在中，点D为平面上一个动点，则线段长度的最小值为_【答案】【分析】由已知，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点在以为圆心为半径的圆上，线段长度的最小值为【详解】如图： 以为半径作圆，过圆心作，以为圆心为半径作圆，则点在圆上， , 线段长度的最小值为: 故答案为：【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线

11、段最短距离，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键例2（2022浙江湖州中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点如图，在66的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM4，BN2若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足MPN45的PMN中，边PM的长的最大值是（）AB6CD【答案】C【分析】根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，过点M、N作以点O为圆心，MON=90的圆，则点P在所作的圆上，观察圆O所经过的格点，找出到点M距离最大的点即可求出【详解】作线段MN中点Q，作MN的垂直平分线OQ，并使OQ=MN，以O为圆心，OM

12、为半径作圆，如图，因为OQ为MN垂直平分线且OQ=MN，所以OQ=MQ=NQ，OMQ=ONQ=45，MON=90，所以弦MN所对的圆O的圆周角为45，所以点P在圆O上，PM为圆O的弦，通过图像可知，当点P在位置时，恰好过格点且经过圆心O，所以此时最大，等于圆O的直径，BM4，BN2，MQ=OQ=，OM=，故选 C【点睛】此题考查了圆的相关知识，熟练掌握同弧所对的圆周角相等、直径是圆上最大的弦，会灵活用已知圆心角和弦作圆是解题的关键例3（2022广西贵港中考真题）如图，在边长为1的菱形中，动点E在边上（与点A、B均不重合），点F在对角线上，与相交于点G，连接，若，则下列结论错误的是（）ABCD的

13、最小值为【答案】D【分析】先证明BAFDAFCBE，ABC是等边三角形，得DF=CE，判断A项答案正确，由GCB+GBC=60，得BGC=120，判断B项答案正确，证BEGCEB得 ，即可判断C项答案正确，由，BC=1，得点G在以线段BC为弦的弧BC上，易得当点G在等边ABC的内心处时，AG取最小值，由勾股定理求得AG=，即可判断D项错误【详解】解：四边形ABCD是菱形，AB=AD=BC=CD，BAC=DAC=BAD=，BAFDAFCBE，ABC是等边三角形，DF=CE，故A项答案正确，ABF=BCE，ABC=ABF+CBF=60，GCB+GBC=60，BGC=180-60=180-（GCB+

14、GBC）=120，故B项答案正确，ABF=BCE，BEG=CEB，BEGCEB， ，故C项答案正确，BC=1，点G在以线段BC为弦的弧BC上，当点G在等边ABC的内心处时，AG取最小值，如下图，ABC是等边三角形，BC=1，AF=AC=，GAF=30，AG=2GF，AG2=GF2+AF2， 解得AG=，故D项错误，故应选：D【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、等边三角形的判定及性质、圆周角定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键模型4、四点共圆模型（对角互补模型与等弦对等角）1）若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆条件：1）四边形对角互补；2）四边形外角等于内对角 2）若平

15、面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆条件：线段同侧张角相等 例1（2022广东九年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，BADBCD90，ACD30，AD2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为_【答案】【分析】先判断出四边形ABCD是圆内接四边形，得到ACD=ABD=30，根据题意知点E在以FG为直径的P上，连接PD交P于点E，此时DE长度取得最小值，证明APD=90，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可【详解】解：BAD=BCD=90，四边形ABCD是圆内接四边形，ACD=ABD=30，ADB=60，AD=2，BD=2AD=4，分别取AB、AD的中点F、

16、G，并连接FG，EF，EG， E是AC的中点，EFBC，EGCD，AEF=ACB，AEG=ACD，AEF+AEG =ACB+ACD=90，即FEG =90，点E在以FG为直径的P上，如图：当点E恰好在线段PD上，此时DE的长度取得最小值，连接PA，F、G分别是AB、AD的中点FGBD，FG=BD=2，ADB=AGF=60，PA=PG，APG是等边三角形，APG=60，PG=GD=GA，且AGF=60，GPD=GDP=30，APD=90，PD=，DE长度的最小值为() 故答案为：()【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，得到点E在

17、以FG为直径的P上是解题的关键例2（2022陕西中考模拟）如图，在等边中，点P为AB上一动点，于点D，于点E，则DE的最小值为_【答案】【详解】如解图，故四边形PDCE对角互补，故P、D、C、E四点共圆，故，要使得DE最小，则要使圆的半径R最小，故直径PC最小，当时，PC最短为，故，故例3（2022江苏九年级期末）如图，在中，点P为平面内一点，且，过C作交PB的延长线于点Q，则CQ的最大值为（）ABCD【答案】B【分析】根据题意可得A、B、C、P四点共圆，由AA定理判定三角形相似，由此得到CQ的值与PC有关，当PC最大时CQ即取最大值【详解】解：在中，A、B、C、P四点共圆，AB为圆的直径，A

18、B=ABCPQC， ，即当PC取得最大值时，CQ即为最大值当PC=AB=5时，CQ取得最大值为故选：B【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及四点共圆，掌握同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等确定四点共圆，利用相似三角形性质得到线段间等量关系是解题关键课后专项训练1（2022江苏无锡中考真题）ABC是边长为5的等边三角形，DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F如图，若点D在ABC内，DBC=20，则BAF_；现将DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是_【答案】 80 #【分析】利用SAS证明BDCAEC，得到DBC=EAC=20，据此可求得BAF的度数

19、；利用全等三角形的性质可求得AFB=60，推出A、B、C、F四个点在同一个圆上，当BF是圆C的切线时，即当CDBF时，FBC最大，则FBA最小，此时线段AF长度有最小值，据此求解即可【详解】解：ABC和DCE都是等边三角形，AC=BC，DC=EC，BAC=ACB=DCE=60，DCB+ACD=ECA+ACD=60，即DCB =ECA，在BCD和ACE中，ACEBCD（ SAS），EAC=DBC，DBC=20，EAC=20，BAF=BAC+EAC=80；设BF与AC相交于点H，如图：ACEBCDAE=BD，EAC=DBC，且AHF=BHC，AFB=ACB=60，A、B、C、F四个点在同一个圆上，

20、点D在以C为圆心，3为半径的圆上，当BF是圆C的切线时，即当CDBF时，FBC最大，则FBA最小，此时线段AF长度有最小值，在RtBCD中，BC=5，CD=3，BD=4，即AE=4，FDE=180-90-60=30，AFB=60，FDE=FED=30，FD=FE，过点F作FGDE于点G，DG=GE=，FE=DF=，AF=AE-FE=4-，故答案为：80；4-【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件2（2021湖北鄂州中考真题）如图，中，点为内一点，且满足当的长度最小时，的面积是（）A3BCD【答案】D

21、【分析】由题意知，又长度一定，则点P的运动轨迹是以中点O为圆心，长为半径的圆弧，所以当B、P、O三点共线时，BP最短；在中，利用勾股定理可求BO的长，并得到点P是BO的中点，由线段长度即可得到是等边三角形，利用特殊三边关系即可求解【详解】解： 取中点O，=点P的轨迹为以O为圆心，长为半径的圆弧上由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短点P是BO的中点在中，是等边三角形在中，【点睛】本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆3（2020西藏中考真题）如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，P为BC边上的

22、任意一点，把沿PE折叠，得到，连接CF若AB10，BC12，则CF的最小值为_【答案】8【分析】点F在以E为圆心、EA为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时FC的值最小，根据勾股定理求出CE，再根据折叠的性质得到BEEF5即可【详解】如图所示，点F在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时CF的值最小，根据折叠的性质，EBPEFP，EFPF，EBEF，E是AB边的中点，AB10，AEEF5，ADBC12，CE13，CFCEEF1358故答案为8【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，灵活应用相关知识是解答本题的关键4（2022北

23、京清华附中九年级阶段练习）如图，四边形中，则的度数为_【答案】36#36度【分析】根据题意可得三点在以为圆心为半径的圆上，根据圆周角定理即可求解【详解】解：如图，三点在以为圆心为半径的圆上，故答案为：【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键5（2022河北唐山九年级阶段练习）如图所示，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，BAC=26，CAD=74，则BCD=_，DBC_【答案】 130 37【分析】根据题意可得点B，C，D在以A为圆心的圆上，根据圆周角定理求得BDC，DBC，根据三角形内角和定理求得BCD【详解】AB=AC=AD，点B，C，D在以A为圆心的圆上，BAC=26B

24、DC=BAC=13， CAD=74，DBC=CAD=37BCD=180DBCBDC=1801337=130 故答案为：130，37【点睛】此题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，综合运用以上知识是解题的关键6（2022安徽蚌埠一模）如图，中，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（）AB2CD【答案】D【分析】结合题意推导得，取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP；根据直角三角形斜边中线的性质，得；根据圆的对称性，得点P在以AB为直径的上，根据两点之间直线段最短的性质，得当点O、点P、点C三点共线时，PC最小；根据勾股定理的性质计算得，通过线段和差计算即可得到答案【详解】

25、，取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP， 点P在以AB为直径的上，连接OC交于点P，当点O、点P、点C三点共线时，PC最小在中，最小值为故选：D【点睛】本题考查了两点之间直线段最短、圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、两点之间直线段最短、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解7（2022成都市九年级专题练习）如图，在中，cm，cm是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（）A1BC2D【答案】A【分析】由AEC90知，点E在以AC为直径的M的上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与M的交点（图中

26、点E点），BE长度的最小值BEBMME【详解】如图，由题意知，在以为直径的的上（不含点、可含点，最短时，即为连接与的交点（图中点点），在中，则，长度的最小值，故选：【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法8（2022广东九年级课时练习）如图，ACB中，CACB4，ACB90，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AMBP于M当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（）ABCD2【答案】A【详解】解：设AB的中点为Q，连接NQ，如图所示：N为BM的中点，Q为AB的中点，NQ为BAM的中位线，AMBP，QNBN，QNB9

27、0，点N的路径是以QB的中点O为圆心，AB长为半径的圆交CB于D的，CACB4，ACB90，ABCA4，QBD45，DOQ90，为O的周长，线段BM的中点N运动的路径长为：，故选：A9（2022全国九年级专题练习）如图，在ABC中，ACB90，ACBC，AB4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（）A2BC2D【答案】D【详解】解：如图，CACB，ACB90，ADDB，CDAB，ADECDF90，CDADDB，在ADE和CDF中 ，ADECD

28、F（SAS），DAEDCF，AEDCEG，ADECGE90，A、C、G、D四点共圆，点G的运动轨迹为弧CD，AB4，ABAC，AC2，OAOC，DADC，OAOC，DOAC，DOC90，点G的运动轨迹的长为故选：D10（2022山西九年级课时练习）如图，在等腰RtABC中，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（）AB2CD4【答案】B【详解】分析：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AB=BC=8，则OC=AB=4，OP=AB=4，再根据等腰三角形的性

29、质得OMPC，则CMO=90，于是根据圆周角定理得到点M在以OC为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，则利用四边形CEOF为正方得到EF=OC=4，所以M点的路径为以EF为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长详解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，在等腰RtABC中，AC=BC=4，AB=BC=8，OC=AB=4，OP=AB=4M为PC的中点，OMPC，CMO=90，点M在以OC为直径的圆上，点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF=OC=

30、4，M点运动的路径为以EF为直径的半圆，点M运动的路径长=4=2故选B点睛：本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以EF为直径的半圆11（2022山东烟台九年级期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），点C是x轴正半轴上一点，连接BC过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于点D，连接BD，则sinBDC的值是_【答案】【分析】根据图形的特点证明BDC=BAO，故可出sinBDC的值【详解】BAAD，BCCDBAD=BCD=90A、B、C、D四点共圆BDA=BCABDA+D

31、BA=BCA +CBO=90DBA=CBODBA-CBA=CBO-CBA即DBC=ABO又DBC+BDC=ABO+BAO=90BDC=BAO点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），BO=4，OA=3，AB=sinBAO=sinBDC= 故答案为：【点睛】此题主要考查三角函数的求解，解题的关键是熟知四点共圆的性质、勾股定理及三角函数的求解方法12（2022湖北九年级期中）如图，中，若D是与点C在直线异侧的一个动点，且，则的最大值为_【答案】#【分析】以为底边，在的下方作等腰三角形，则，根据，点与圆的位置关系可知，点D在以O为圆心，6为半径的圆上运动，当过圆心时，最大，根据，利用勾股定理可求出的

32、长，即可得【详解】解：如图所示，以为底边，在的下方作等腰三角形，则，点D在以O为圆心，6为半径的圆上运动，当过圆心时，最大，的最大值为：，故答案为：【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点13（2022浙江九年级专题练习）如图，是和的公共斜边，AC=BC，E是的中点，联结DE、CE、CD，那么_【答案】13【分析】先证明A、C、B、D四点共圆，得到DCB与BAD的是同弧所对的圆周角的关系，得到DCB的度数，再证ECB=45，得出结论【详解】解：AB是RtABC和RtABD的公共斜边，E是AB中点，AE=EB=EC=ED，A、C、B、D在

33、以E为圆心的圆上，BAD=32，DCB=BAD=32，又AC=BC，E是RtABC的中点，ECB=45，ECD=ECB-DCB=13故答案为：13【点睛】本题考查直角三角形的性质、等腰三角形性质、圆周角定理和四点共圆问题，综合性较强14（2022黑龙江九年级阶段练习）如图，等边ABC中，D在BC上，E在AC上，BDCE，连BE、AD交于F，T在EF上，且DTCE，AF50，TE16，则FT_【答案】17【分析】用“SAS”可判定ABDBCE，得到AFE=60，延长FE至点G，使得FG=FA，连AG，AT，得到AFG是等边三角形，证明A、B、D、T四点共圆，设法证明FATGAE（ASA），即可求

34、得答案【详解】ABC为等边三角形，AB=AC=BC，ABD=BCE=60，在ABD和BCE中，ABDBCE（SAS），BAD=CBE，ADC=CBE+BFD=BAD+B，BFD=B=AFE=60；延长FE至点G，使得FG=FA，连AG，AT，AFE=60，AFG是等边三角形，AG=AF=FG=50，AGF=FAG=60，BAF+EAF =CAG+EAF =60，BAF=CAG，DT=CE，DBT=BTD，BAD=CBE，BAD=BTD，A、B、D、T四点共圆，BAD=DAT，FAT=GAE， 在FAT和GAE中，FATGAE（ASA），FT= GE，FG=50，TE=16，FT=(FG- TE

35、)=17故答案为：17【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等，作出辅助线，判断出FATGAE是解本题的关键15（2020四川成都二模）如图，在矩形ABCD中，AB9，AD6，点O为对角线AC的中点，点E在DC的延长线上且CE1.5，连接OE，过点O作OFOE交CB延长线于点F，连接FE并延长交AC的延长线于点G，则_【答案】【分析】作OMCD于M，ONBC于N，根据三角形中位线定理分别求出OM、ON，根据勾股定理求出OE，根据相似三角形的性质求出FN，得到FC的长，证明GFCGOE，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案【详解】解：作OMC

36、D于M，ONBC于N，四边形ABCD为矩形，D=90，ABC=90，OMAD，ONAB，点O为AC的中点OM=AD=3，ON=AB=4.5，CM=4.5，CN=3，CE=1.5，ME=CM+CE=6在RtOME中，OE=3，MON=90，EOF=90，MOE+NOE=NOF+NOE=90，MOE=NOF，又OME=ONF=90，OMEONF，即，解得，FN=9，FC=FN+NC=12，FOE=FCE=90，F、O、C、E四点共圆，GFC=GOE，又G=G，GFCGOE，故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关

37、键16（2022成都市锦江区嘉祥外国语学校九年级阶段练习）如图，在中，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为_【答案】2【分析】如图，连接CE首先证明BEC=120，根据定弦定角，可得点E在以M为圆心，MB为半径的上运动，连接MA交于E，此时AE的值最小【详解】解：如图，连接CEAPBC，PAC=ACB=60，CEP=CAP=60，BEC=120，,为定值，则点E的运动轨迹为一段圆弧如图，点E在以M为圆心，MB为半径的上运动，过点作中优弧度数为=240，则劣弧度数为120BMC是等腰三角形，BMC=120，BCM=30，BC=，MB=MC=8，连接MA交于E，此时

38、AE的值最小ACB=60，BCO=30，ACM=90，MA=，AE的最小值为=故答案为：2【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题17（2021全国九年级专题练习）如图，点在半圆上，半径，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是_【答案】【分析】先确定点H的运动轨迹，再根据点与圆的位置关系可得取最小值时，点H的位置，然后利用圆周角定理、线段的和差即可得【详解】如图，设AD的中点为点E，则由题意得，点H的运动轨迹在以点E为圆心，EA为半径的圆上由点与圆的位置关系得：连

39、接BE，与圆E交于点H，则此时取得最小值，连接BDAB为半圆O的直径故答案为：【点睛】本题考查了圆周角定理、点与圆的位置关系、勾股定理等知识点，依据题意，确定点H的运动轨迹，从而得出BH取最小值时，点H的位置是解题关键18（2022全国九年级课时练习）如图，RtABC中，ACB90，CAB60，AB4，点P是BC边上的动点，过点c作直线记的垂线，垂足为Q，当点P从点C运动到点B时，点Q的运动路径长为_【答案】【详解】解：AQCQ，AQC90，当点P从点C运动到点B时，点Q的运动的轨迹是以AC为直径的半圆上，路径是120度的弧长，在RtABC中，AB4，B30，ACAB2，点Q的运动路径长为19

40、（2022江苏九年级课时练习）如图，ABC为等边三角形，AB2，若P为ABC内一动点，且满足PABACP，则点P运动的路径长为_【答案】【详解】解：ABC是等边三角形，ABCBAC60，ACAB2，PABACP，PAC+ACP60，APC120，点P的运动轨迹是，如图所示：连接OA、OC，作ODAC于D，则ADCDAC1，所对的圆心角2APC240，劣弧AC所对的圆心角AOC360240120，OAOC，OAD30，ODAC，ODAD，OA2OD，的长为；故答案为：20（2022广东汕头二模）如图，在矩形中，是矩形内部的一个动点，且，则线段的最小值为_【答案】【分析】根据，可得到点E的运动轨迹

41、是以AB的中点O为圆心，AB长为直径的圆，连接OC交圆O于点 ，从而得到当点E位于点 位置时，线段CE取最小值，再利用勾股定理即可求解【详解】解：，点E的运动轨迹是以AB的中点O为圆心，AB长为直径的圆，如图所示，连接OC交圆O于点 ，当点E位于点 位置时，线段CE取最小值，在矩形中，ABC=90，OA=OB= =1， ， 故答案为：【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆的基本性质及矩形的性质，勾股定理，根据，可得到点E的运动轨迹是以AB的中点O为圆心，AB长为直径的圆是解题的关键21（2022重庆九年级课时练习）如图，在RtABC中，ACB90，B30，AB4，D是BC上一动点，连接AD，过点

42、C作CEAD于E，过点E作EFAB交BC于点F，则CF的最大值是 _【答案】【分析】如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于T证明OEAC1，推出点E的在以O为圆心，1为半径的圆上运动，推出当FT与O相切时，CF的值最大【详解】解：如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于TACB90，AB4，B30，CAB60，ACAB2，CEAD，AEC90，AOOC1，OEAC1，点E在以O为圆心，1为半径的圆上运动，当FT与O相切时，CF的值最大，直线CF，直线EF都是O的切线，FCFE，FCEFEC，CAE+ACE90，ACE+ECF90，CAEFCE，CEF+AET90，

43、AET+EAT90，FECEAT，CAEEAT30，CFFE，OCOE，OFEC，ADCE，OFAD，COFCAD30，CFOCtan30，CF的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查直角三角形30角的性质，直线与圆的位置关系，线段的垂直平分线的性质等知识，解决本题的关键是发现点E在以O为圆心，1为半径的圆上运动，推出当FT与O相切时，CF的值最大22（2022湖北二模）如图，等腰RtABC中，ACB90，D为BC边上一点，连接AD（1）如图1，作BEAD延长线于E，连接CE，求证：AEC45；（2）如图2，P为AD上一点，且BPD45，连接CP若AP2，求APC的面积；若AP2BP，直接写出

44、sinACP的值为_【答案】（1）证明见解析；（2）APC的面积1；【分析】（1）由题意可证点A，点B，点E，点C四点共圆，可得AECABC45；（2）通过证明APBCEB，可求CE，由等腰直角三角形的性质可求CF1，即可求解；过点B作BEAD，交AD的延长线于点E，过点C作CFAD于F，过点P作PHAC于H，设AP2a，则BPa，可得CEa，CFEFa，BEPEa，由勾股定理可求AC2，CP2，利用面积法可求PH2，即可求解【详解】证明：（1）等腰RtABC中，ACB90，ACBC，ABCCAB45，ABBC，BEAD，AEB90ACB，点A，点B，点E，点C四点共圆，AECABC45；（2

45、）如图2，过点B作BEAD，交AD的延长线于点E，过点C作CFAD于F，BPD45，BEAD，PBE45ABC，ABPCBE，AEB90ACB，点A，点B，点E，点C四点共圆，BAEBCE，AECABC45，APBCEBCE，CFAD，AEC45，FCECEF45，CFEFCE1，APC的面积APCF1；如图，过点B作BEAD，交AD的延长线于点E，过点C作CFAD于F，过点P作PHAC于H，设AP2a，则BPa 由可知，CEa，CFEFa，BPa，BPE45，BEP90，BEPEa，AFAEEF2a+aaa+a，PFaa，CP2CF2+PF2a2+（aa）2a2a2，AC2AF2+CF2a2

46、+（a+a）2a2+a2，SACPACPHAPCF，（ACPH）2（APCF）2，PH2a2，（sinACP）2，sinACP，故答案为：【点睛】本题是三角形综合题，考查了四点共圆，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键23（2020四川眉山一模）问题背景：如图1，等腰中，作于点D，则D为的中点，于是；迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，D，E，C三点在同一条直线上，连接求证：；请直接写出线段之间的等量关系式；拓展延伸：如图3，在菱形中，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，证明是

47、等边三角形；若，求的长【答案】迁移应用：详见解析；结论：；拓展延伸：详见解析；【分析】迁移应用：如图2中，只要证明，即可根据解决问题；结论：由，可知，在中，由，推出，由，即可解决问题；拓展延伸：如图3中，作于，连接由，推出、四点共圆，推出，推出，推出是等边三角形；由，推出，在中，由，可得，由此即可解决问题【详解】迁移应用：证明：如图2 ，在和中，解：结论：理由：如图中，作于，在中，；拓展延伸：证明：如图3中，连接，四边形是菱形，是等边三角形，E、C关于对称，A、D、E、C四点共圆，是等边三角形；解：作于H，在中，【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、四点共圆、等边三角形的判

48、定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考压轴题24（2021辽宁鞍山中考真题）如图，抛物线交x轴于点，D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为，交直线l：于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q（1）求抛物线的表达式；（2）设的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；（3）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）运用待定系数法将，代入，即可求得答案；（2）利用配方法可求得抛物线顶点坐标，由

49、得，再根据与的面积相等，可得，故点F分别是AP、ED的中点，设，结合中点坐标公式建立方程求解即可；（3）根据题意，分别求出t的最大值和最小值：当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，以OB为斜边在第一象限内作等腰直角，以为圆心，为半径作，交抛物线对称轴于点，过点作轴于点H，运用勾股定理即可求得答案，当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，连接BC，以O为圆心，OB为半径作交抛物线对称轴于点M，连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，运用勾股定理即可求得答案【详解】解：（1）抛物线交x轴于点，将A、B坐标分别代入抛物线解析式得：，解得：，抛物线的表达式为：；

50、（2）如图， D是抛物线的顶点，抛物线的表达式为：，交直线l：于点E，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为，设，又的面积为，的面积为，即点F分别是AP、ED的中点，又，由中点坐标公式得：，解得：（与“”不符，应舍去），；（3）当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，以OB为斜边在第一象限内作等腰直角，则，以为圆心，为半径作，交抛物线对称轴于点，过点作轴于点H，则，当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，连接BC，以O为圆心，OB为半径作交抛物线对称轴于点M，经过点C，连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，则，综上所述，【点睛】此题属于二次函数综合题，考查代数计算问题，涉及勾股定理，三角形全等，二元一次方程和一元二次方程的解及圆的相关知识，属于压轴题类型