专题14 线段定值问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题（全国通用版）（解析版）.docx

1、专题14 线段定值问题1（2021福建龙岩中考二模）抛物线经过点，直线过点，点是抛物线上点，间的动点（不含端点，），过作轴于点，连接，（1）求抛物线与直线的解析式：（2）求证：为定值；（3）若的面积为1，求满足条件的点的坐标【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）满足条件的点有，【分析】（1）将A（4，0），B（0，-4）的坐标代入y=ax2+b，利用待定系数法得抛物线解析式，再将点E（4，-1），C（0，-3）的坐标代入y=mx+n可得问题的答案；（2）设点，如图，过点P作PFy轴于点F，从而得PF、PD、PC、FC的长度，从而得到答案；（3）方法一：设与的交点为，设，当点G在点P上方时，根

2、据三角形面积公式可得答案；当点G在点P下方时，根据三角形面积公式可得答案方法二：如图，分别过点，作，轴，垂是为，交于点，根据勾股定理及面积法即可求出，易证即可求出；得出过点与直线平行，且与直线距离为的直线有两条：或，再分别与抛物线联立求解即可【详解】解：（1）将，的坐标代入得，抛物线的解析式为设直线为，将点，的坐标代入得，直线的解析式是；（2）证明：设点，如图，过点作轴于点，则，所以为定值； （3）解：方法一：设与的交点为，设如图，当点在点上方时，解得，（负根舍去），即， 如图，当点在点下方时，解得：，（负根舍去），即，综上所述，满足条件的点有， 方法二：如图，分别过点，作，轴，垂是为，交于点

3、，在中，即，即，解得，过点与直线平行，且与直线距离为的直线有两条：或，依题意得解得：（负根舍去），解得，（负根舍去），综上所述，满足条件的点有， 【点睛】此题考查了二次函数综合，掌握待定系数法求解析式、由坐标得线段长度、相似三角形的判定与性质是解决此题关键2（2020湖南长沙市中考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax+a+2与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为点D点P为x轴上的一个动点（1）求点D的坐标；（2）如图1，当点P在线段AB上运动时，过点P作x轴的垂线，分别交直线AD、BD于点E、F，试判断PE+PF是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由（

4、3）如图2，若点P位于点A的左侧，满足ADP=2APD且AP=AB时，求抛物线的解析式【答案】（1）点D（1，2）；（2）是，4；（3）y=x2x+【分析】（1）利用配方法可求顶点D坐标；（2）过点D作DHAB于H，由三角函数可得EP=APtanEAP，PF=BPtanFBP，由等比的性质可得，即可求解；（3）作AP的垂直平分线，交AP于Q，交PD于M，过点D作DHAB，通过证明PMQPDH，可得，可求MQ=1，由勾股定理可求点A坐标，代入解析式可求a的值，即可求解【详解】（1）y=ax2+2ax+a+2=a(x+1)2+2，点D（1，2）；（2）是定值，理由如下：如图1，过点D作DHAB于H

5、，AH=BH=AB，DH=2，DAB=DBA，tanEAP=，tanFBP=，EP=APtanEAP，PF=BPtanFBP，EAP=FBP，tanDBH=tanEAP=tanFBP=，PF+PF=4；（3）如图2，作AP的垂直平分线，交AP于Q，交PD于M，过点D作DHAB，PM=MA，PQ=AQ，MPA=MAP，DMA=MPQ+MAP=2MPA，ADP=2APD，ADP=AMD，AM=AD=PM，DPH=MPQ，DHP=MQP=90，PMQPDH，AP=AB，AH=BH，PQ=QA，PQ=QA=AH，PH=（）AH，MQ=，MQ2+AQ2=AM2=AD2=AH2+DH2，（）2+（AH）2

6、=AH2+4，AH=2，点A（3，0），抛物线y=ax2+2ax+a+2过点A，0=9a6a+a+2，a=，抛物线解析式为y=x2x+【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出AH的长是本题的关键3（2020湖北武汉中考三模）如图1，抛物线yax2过定点M（，），与直线AB：ykx+1相交于A、B两点（1）若k，求ABO的面积（2）若k，在抛物线上的点P，使得ABP的面积是ABO面积的两倍，求P点坐标（3）将抛物线向右平移两个单位，再向下平移两个单位，得到抛物线C2，如题图2，直线ykx2（k+）与抛物线C2的对

7、称轴交点为G，与抛物线C2的交点为P、Q两点（点P在点Q的左侧），试探究是否为定值，并说明理由【答案】（1）；（2）点P（P）的坐标为：（1，）或（1，）；（3）为定值2，理由详见解析【分析】（1）设点A、B的横坐标分别为：x1，x2，则，即可求解；（2）在直线AB上方作直线AB的平行线n交y轴于点N、交抛物线于点P（P），过点O作直线AB的平行线l，根据三角形面积公式知，当CN2OC时，ABP的面积是ABO面积的两倍，即可求解；（3）设点P、Q的横坐标分别为：x1，x2，则x1+x24k+4，x1x28k，同理x2x14，则cos，则PG，同理GQ，即可求解【详解】解：将点M的坐标代入抛物线

8、表达式并解得：a，故抛物线的表达式为：yx2；（1）设点A、B的横坐标分别为：x1，x2，k，直线AB：yx+1，故点C（0，1），即OC1，联立并整理得：x2+2x40，故，ABO的面积；（2）在直线AB上方作直线AB的平行线n交y轴于点N、交抛物线于点P（P），过点O作直线AB的平行线l，根据三角形面积公式知，当CN2OC时，ABP的面积是ABO面积的两倍，故点N（0，3），则直线n的表达式为：yx+3，联立并解得：x1，故点P（P）的坐标为：（1，）或（1，）；（3）为定值，理由：平移后抛物线的表达式为：y（x2）22x2x1，函数的对称轴为：x2，直线的表达式：ykx2（k+）kx2k

9、1，则点G（2，1），设点P、Q的横坐标分别为：x1，x2，联立并整理得：x24（k+1）x+8k0，同理x2x14，过点P作x轴的平行线交过点Q与y轴的平行线于点Q，交函数对称轴与点M，由知，tanQPRktan，则cos，则PG，同理GQ，2为定值【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形、面积的计算等，其中（2）、（3），用韦达定理处理复杂数据是本题的亮点4（2021湖北武汉实外九年级月考）已知，如图，抛物线yx2+bx+c与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线yx2经过A、C两点（1）直接写出抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一点，若点P关于直线

10、AC的对称点Q落在y轴上，求P点坐标；（3）现将抛物线平移，保持顶点在直线yx，若平移后的抛物线与直线yx2交于M、N两点求证：MN的长度为定值；结合（2）的条件，直接写出QMN的周长的最小值 【答案】（1）；（2）P点坐标为(6，2)；（3），【分析】（1）求出A、C点的坐标，再将点代入yx2+bx+c，即可得解；（2）先求OCA=45，再由对称性可知PCy轴，即可求出点P的纵坐标，最后利用二次函数的解析式求出结果；（3）先求出平移后的抛物线，再利用=x-2，得出，最后利用两点之间的距离公式求解；作KQMN，连接MK，MP，先得出KM=QN即求KM+MP的最小值，即KP的长，最后根据QMN的

11、周长的最小值即KQ+KP，得解【详解】解：（1）在yx2中，令y=0，x=2；令x=0，y=-2；A(2，0)，C(0，-2)，代入yx2+bx+c得，解得，抛物线的解析式为：；（2）如图，OA=OC=2，OCA=45，点P关于直线AC的对称点Q在y轴上，OCA=PCA=45，PCy轴，P的纵坐标为-2，由；解得，(舍去)，P点坐标为(6，2)；（3）设顶点为(m，m)，平移后抛物线解析式为，则=x-2，设，则，MN=，MN的长度为定值；如图，作KQMN，连接MK，MP，由题知P(6，2)，Q(0，4)，KQ=MN=2，则只需求QM+QN的最小值即可， KM=QN即求KM+MP的最小值，即KP

12、的长，Q(0，4)，KQ=2，K(-2，2)，KP=，QMN的周长的最小值为【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，算了掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，正确作出图形是解题的关键5（2020湖南长郡中学九年级期中）如图，抛物线yx2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接AC，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由（3）如图2，点P为抛物线上一动点，且满足PAB2AC

13、O求点P的坐标【答案】（1）；（2）是，定值为8；（3）或【分析】（1）把点A、C坐标代入抛物线解析式即可求得b、c的值（2）设点Q横坐标为t，用t表示直线AQ、BN的解析式，把x分别代入即求得点M、N的纵坐标，再求DM、DN的长，即得到DM+DN为定值（3）点P可以在x轴上方或下方，需分类讨论若点P在x轴下方，延长AP到H，使AHAB构造等腰ABH，作BH中点G，即有PAB2BAG2ACO，利用ACO的三角函数值，求BG、BH的长，进而求得H的坐标，求得直线AH的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P坐标若点P在x轴上方，根据对称性，AP一定经过点H关于x轴的对称点H，求得直线AH的解析式后

14、与抛物线解析式联立，即求出点P坐标【详解】解：（1）抛物线yx2+bx+c经过点A（1，0），C（0，3），解得：，抛物线的函数表达式为yx22x3（2）结论：DM+DN为定值理由：抛物线yx22x3的对称轴为：直线x1，D（1，0），xMxN1，设Q（t，t2+2t3）（3t1），设直线AQ解析式为ydx+e解得：，直线AQ：y（t+3）xt3，当x1时，yMt3t32t6，DM0（2t6）2t+6，设直线BQ解析式为ymx+n，解得：，直线BQ：y（t1）x+3t3，当x1时，yNt+1+3t32t2，DN0（2t2）2t+2，DM+DN2t+6+（2t+2）8，为定值（3）若点P在x轴下

15、方，如图1，延长AP到H，使AHAB，过点B作BIx轴，连接BH，作BH中点G，连接并延长AG交BI于点F，过点H作HIBI于点I当x2+2x30，解得：x13，x21，B（3，0），A（1，0），C（0，3），OA1，OC3，AC，AB4，RtAOC中，sinACO，cosACO，ABAH，G为BH中点，AGBH，BGGH，BAGHAG，即PAB2BAG，PAB2ACO，BAGACO，RtABG中，AGB90，sinBAG，BG，BH2BG，HBI+ABGABG+BAG90，HBIBAGACO，RtBHI中，BIH90，sinHBI，cosHBI，HIBH，BIBH，xH，yH，即，设直线A

16、H解析式为ykx+a，解得：，直线AH：，解得：（即点A）或，若点P在x轴上方，如图2，在AP上截取AH，则与H关于x轴对称，设直线解析式为，解得：，直线：，解得：（即点A）或，综上所述，点P的坐标为或【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了求二次函数解析式、求一次函数解析式，解一元二次方程、二元一次方程组，等腰三角形的性质，三角函数的应用运用到分类讨论的数学思想，理清线段之间的关系为解题关键6（2021江苏南通市九年级月考）如图1，抛物线yax22ax3a（a0）与x轴交于点A，B与y轴交于点C连接AC，BC已知ABC的面积为2（1）求抛物线的解析式；（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次

17、交于P，Q两点过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；（3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N （2，0）点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E连接AD并延长交MN于点F在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由【答案】（1）；（2）或；（3）是，3NE+NF为定值4【分析】（1）先将抛物线解析式变形，可得A和B的坐标，从而得AB=1+3=4，根据三角形ABC的面积为2可得OC的长，确定点C的坐标，根据点C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）设

18、点P的纵坐标为m，当y=m时，x2+x+1=m，解方程可得P和Q两点的坐标，从而得G和H的坐标，再利用正方形的性质可得出关于m的方程，解之即可得出结论；（3）设点D（n，n2+n+1），利用待定系数法求直线AD和BD的解析式，表示FN和OK的长，直接代入计算可得结论【详解】（1）如图1，y=ax22ax3a=a（x22x3）=a（x3）（x+1），A（1，0），B（3，0），AB=4，ABC的面积为2，即，OC=1，C（0，1），将C（0，1）代入y=ax22ax3a，得：3a=1，a=，该二次函数的解析式为y=x2+x+1；（2）如图2，设点P的纵坐标为m，当y=m时，x2+x+1=m，解得

19、：x1=1+，x2=1，点P的坐标为（1，m），点Q的坐标为（1+，m），点G的坐标为（1，0），点H的坐标为（1+，0），矩形PGHQ为正方形，PQ=PG，1+（1）=m，解得：m1=62，m2=6+2，当四边形PGHQ为正方形时，边长为6+2或26；（3）如图3，设点D（n，n2+n+1），延长BD交y轴于K，A（1，0），设AD的解析式为：y=kx+b，则，解得：，AD的解析式为：y=（）x，当x=2时，y=n+2n+1=n+3，F（2，3n），FN=3n，同理得直线BD的解析式为：y=（）x+n+1，K（0，n+1），OK=n+1，N（2，0），B（3，0），ENOK，OK=3EN，3

20、EN+FN=OK+FN=n+1+3n=4，在点D运动过程中，3NE+NF为定值4【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、待定系数法求一次函数解析式以及平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用正方形的性质，找出关于m的方程；（3）利用AD和BD的解析式确定FN和OK的长，可解决问题7（2020广东广州市九年级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数(为常数)的图象与x轴交于点A(，0)，与y轴交于点C以直线x=1为对称轴的抛物线(为常数，且0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴

21、交于点B（1）求的值及抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若P是抛物线对称轴上使ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于，两点，试探究是否为定值，并写出探究过程【答案】（1）m=，y=x2+x+；(2)E（2，），SACEF=；E（+1，），SACFE=；(3)定值1【分析】（1）首先求得m的值和直线的解析式，根据抛物线对称性得到B点坐标，根据A、B点坐标利用交点式求

22、得抛物线的解析式；（2）存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形过点E作EGx轴于点G，构造全等三角形，利用全等三角形和平行四边形的性质求得E点坐标和平行四边形的面积注意：符合要求的E点有两个，不要漏解；（3）本问较为复杂，分几个步骤解决：第1步：确定何时ACP的周长最小利用轴对称的性质和两点之间线段最短的原理解决；第2步：确定P点坐标P（1，3），从而直线M1M2的解析式可以表示为y=kx+3-k；第3步：利用根与系数关系求得M1、M2两点坐标间的关系，得到x1+x2=2-4k，x1x2=-4k-3这一步是为了后续的复杂计算做准备；第4步：利用两点间的距离公式，分别求得线段M1

23、M2、M1P和M2P的长度，相互比较即可得到结论：=1为定值这一步涉及大量的运算，注意不要出错，否则难以得出最后的结论【详解】解：（1）yx+m经过点（-3，0），0=+m，解得m=，直线解析式为yx+，C（0，）抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（-3，0），另一交点为B（5，0），设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-5），抛物线经过C（0，），=a3（-5），解得a=，抛物线解析式为y=x2+x+；（2）假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则ACEF且AC=EF如答图1，（i）当点E在点E位置时，过点E作EGx轴于点G，ACEF，CAO=EF

24、G，又，CAOEFG，EG=CO=，即yE=，=xE2+xE+，解得xE=2（xE=0与C点重合，舍去），E（2，），SACEF=；（ii）当点E在点E位置时，过点E作EGx轴于点G，同理可求得E（+1，），SACFE=（3）要使ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可如答图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）B（5，0），C（0，），直线BC解析式为y=x+，xP=1，yP=3，即P（1，3）令经过点P（1，3）的直线为y=kx+b，则k+b=3，即b=3-k，则直线的解析式是：

25、y=kx+3-k，y=kx+3-k，y=x2+x+，联立化简得：x2+（4k-2）x-4k-3=0，x1+x2=2-4k，x1x2=-4k-3y1=kx1+3-k，y2=kx2+3-k，y1-y2=k（x1-x2）根据两点间距离公式得到：M1M2=M1M2=又M1P=；同理M2P=M1PM2P=（1+k2）=（1+k2）=（1+k2）=4（1+k2）M1PM2P=M1M2，=1为定值【点睛】本题是难度很大的中考压轴题，综合考查了初中数学的诸多重要知识点：代数方面，考查了二次函数的相关性质、一次函数的相关性质、一元二次方程根与系数的关系以及二次根式的运算等；几何方面，考查了平行四边形、全等三角形

26、、两点间的距离公式、轴对称-最短路线问题等本题解题技巧要求高，而且运算复杂，因此对考生的综合能力提出了很高的要求8（2020广东廉江市九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（1，4）（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）过点D作直线DEy轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由【答案】（1）A点坐标

27、（3，0），B点坐标（1，0）；（2）抛物线的解析式为y=x22x+3；（3）EF+EG=8（或EF+EG是定值），理由见解析.【详解】【分析】（1）根据OA，OB的长，可得答案；（2）根据待定系数法，可得函数解析式；（3）根据相似三角形的判定与性质，可得EG，EF的长，根据整式的加减，可得答案【详解】（1）由抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，得A点坐标（3，0），B点坐标（1，0）；（2）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x1），把C点坐标代入函数解析式，得a（0+3）（01）=3，解得a=1，抛物线的解析式为y=（x+3）（x1）=x22

28、x+3；（3）EF+EG=8（或EF+EG是定值），理由如下：过点P作PQy轴交x轴于Q，如图，设P（t，t22t+3），则PQ=t22t+3，AQ=3+t，QB=1t，PQEF，AEFAQP，EF=；又PQEG，BEGBQP，EG=2（t+3），EF+EG=2（1t）+2（t+3）=8【点睛】本题考查了代数与几何综合题，涉及到待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、分式的化简等；解（1）的关键是利用点的坐标表示方法；解（2）的关键是利用待定系数法；解（3）的关键是利用相似三角形的性质得出EG，EF的长，又利用了整式的加减9（广东广州市南沙区中考一模）在平面直角坐标系中，已知正方形

29、的顶点的坐标为，点的坐标为，顶点在第一象限内，抛物线（常数）的顶点为正方形对角线上一动点（1）当抛物线经过两点时，求抛物线的解析式；（2）若抛物线与直线相交于另一点（非抛物线顶点，且在第一象限内），求证：长是定值；（3）根据（2）的结论，取的中点，求的最小值【答案】（1）抛物线解析式为；（2）证明见解析；（3）最小值为【分析】（1）把点和点坐标代入得到关于的方程组，然后解方程组即可；（2）先利用正方形性质得到，再利用待定系数法求出直线的解析式为，再求出顶点的坐标为，然后把代入得到，设，则为的两根，利用根与系数的关系得到，然后利用两点间的距离公式计算，从而判定长是定值；（3）取的中点，连接交于，

30、如图，则，则过点作的平行线交于，利用四边形为平行四边形得到，所以，利用两点之间线段最短判断此时的值最小，利用勾股定理可计算出它的最小值【详解】（1）解：把，代入得，解得，所以抛物线解析式为；（2）证明：四边形为正方形，而，设直线的解析式为，把，代入得，解得，直线的解析式为，顶点的坐标为，把代入得的坐标，即，设，则为的两根，整理为，即长是定值；（3）取的中点，连接交于，如图，过点作的平行线交于，四边形为平行四边形，点与点关于对称，此时的值最小，最小值为【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和旋转的性质；会运用待定系数法求函数解析式；能应用两点之间线

31、段最短解决路径最短问题；会运用勾股定理和两点间的距离公式计算线段的长10（2021河北保定中考一模）如图，抛物线（，为常数且）经过点，顶点为，经过点的直线与轴平行，且与交于点，（在的右侧），与的对称轴交于点，直线经过点（1）用表示及点的坐标；（2）的值是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）当直线经过点时，求的值及点，的坐标；（4）当时，设的外心为点，则求点的坐标；若点在的对称轴上，其纵坐标为，且满足，直接写出的取值范围【答案】（1），；（2）是，定值为2；（3），；（4）；或【分析】（1）首先根据题意将点C坐标代入抛物线解析式求出，然后将抛物线解析式化为顶点式，最后将代入

32、，由此即可得出点M的坐标；（2）首先利用抛物线的对称性得出，然后进一步根据点M的坐标得出PF=1，最后通过进一步化简变形求解即可；（3）根据“直线经过点”列出方程，然后结合抛物线的开口方向所判断出的将原方程化简为，由此解出方程，结合题意分别表示出A、B两点的坐标，最后再代入直线的解析式求出的值，由此进一步求解即可得出答案；（4）根据抛物线的轴对称性可知，的对称轴就是的垂直平分线，由此得出的外心就在直线上，则有，据此进一步设N点坐标为(，)，再结合点A、C的坐标建立方程，求出的值，从而即可得出点N的坐标；结合题意可得点Q(1，)，然后利用C、N两点的坐标得出半径，由此进一步得出，最后根据题意进一

33、步分析讨论即可.【详解】（1）把点C(，0)代入抛物线，得：，抛物线L解析式为：，顶点M坐标为(1，)；（2）是定值，根据图像，由抛物线的轴对称性，可知，又抛物线L的对称轴为，故，；（3）当直线经过点时，有，化简得，根据抛物线开口向上可知，解得：，B在的右侧，对称轴为，B点坐标为：(4，)，A点坐标为(，)，把点代入直线，得，解得，A点坐标为(，)，B点坐标为：(4，)；（4）根据抛物线的轴对称性可知，的对称轴就是的垂直平分线，故的外心就在直线上，则有设N点坐标为(，)，由（3）可知A点坐标为(，)，及C点坐标为(，)，即，解得，N点坐标为(，)；或如图，对于点Q(1，)，若，根据同弧所对的圆

34、周角相等，可得点为与的交点，N点坐标为(，)，C点坐标为(，)，的半径为，则；设点关于直线的对称点为，若，则综上，若点满足，则有或【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数及三角形外心性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.11（2021黑龙江大庆中考真题）如图，抛物线与轴交于除原点和点，且其顶点关于轴的对称点坐标为（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴上存在定点，使得抛物线上的任意一点到定点的距离与点到直线的距离总相等证明上述结论并求出点的坐标；过点的直线与抛物线交于两点证明：当直线绕点旋转时，是定值，并求出该定值；（3）点是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点，使四边形周长最小

35、，直接写出的坐标【答案】（1）；（2）；，证明见解析（3），【分析】（1）先求出顶点的坐标为，在设抛物线的解析式为，根据抛物线过原点，即可求出其解析式；（2）设点坐标为，点坐标为，利用两点间距离公式，结合题目已知列出等量关系；设直线的解析式为，直线与抛物线交于点，直线方程与抛物线联立得出，在结合的结论，分别表示出的值，即可求解；（3）先求出点的坐标，分别作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接，交轴于点，交轴于点，则点即为所求【详解】解：（1）点B关于轴对称点的坐标为点的坐标为设抛物线的解析式为抛物点过原点解得抛物线解析式为：即（2）设点坐标为，点坐标为由题意可得：整理得：点的坐标为设直线的

36、解析式为，直线与抛物线交于点整理得：由得整理得：（3）点在抛物线上，如图：作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点则点，点，连接，交轴于点，交轴于点，则此时四边形PQBC周长最小设直线的解析式为解得直线的解析式为点坐标为，点坐标为【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，点到直线的距离，两点间距离公式，以及线段最值问题，以及点的对称问题，综合性较强12（2021北京北大附中九年级期末）如图1，抛物线M1：yx2+4x交x正半轴于点A，将抛物线M1先向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到抛物线M2，M1与M2交于点B，直线OB交M2于点C（1）求抛物线M2的解析式；（2）点P是抛物线M1上AB间

37、的一点，作PQx轴交抛物线M2于点Q，连接CP，CQ设点P的横坐标为m，当m为何值时，使CPQ的面积最大，并求出最大值；（3）如图2，将直线OB向下平移，交抛物线M1于点E，F，交抛物线M2于点G，H，则的值是否为定值，证明你的结论【答案】（1）yx2+10x18；（2）4，6；（3）定值1，见解析【分析】（1）先将抛物线M1：y=-x2+4x化为顶点式，由平移规律“上加下减，左加右减”可直接写出抛物线M2的解析式；（2）分别求出点A，点B，点C的坐标，求出m的取值范围，再用含m的代数式表示出CPQ的面积，可用函数的思想求出其最大值；（3）设将直线OB向下平移k个单位长度得到直线EH，分别求出

38、点E，F，G，H的横坐标，分别过G，H作y轴的平行线，过E，F作x轴的平行线，构造相似三角形GEM与HFN，可通过相似三角形的性质求出的值为1【详解】解：（1）yx2+4x（x2）2+4，将其先向右平移3个单位，再向上平移3个单位的解析式为：y（x5）2+7x2+10x18；（2）抛物线M1与M2交于点B，x2+4xx2+10x18，解得，x3，B（3，3），将点B（3，3）代入ykx，得，k1，yOBx，抛物线M2与直线OB交于点C，xx2+10x18，解得，x13，x26，C（6，6），点P的横坐标为m，点P（m，m2+4m），则Q（m，m2+10m18），QPm2+10m18（m2+4m

39、）6m18，SPQC（6m18）（6m）3m2+27m54，3（m）2+，在ym2+4m中，当y0时，x10，x24，A（4，0），B（3，3），3m4，在S3（m）2+中，根据二次函数的图象及性质可知，当m4时，PCQ有最大值，最大值为6；（3）的值是定值1，理由如下：设将直线OB向下平移k个单位长度得到直线EH，则yEHxk，令xkx2+4x，解得，x1，x2，xF，xE，令xkx2+10x18，解得，x1，x2，xH，xG，MExGxE3，FNxHxF3，分别过G，H作y轴的平行线，过E，F作x轴的平行线，交点分别为M，N，Q，则HFNGEM，HNFGME90，GEMHFN，1，的值是定

40、值1【点睛】本题考查了二次函数的图象平移规律，二次函数的图象及性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是掌握用函数的思想求极值等13如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴交x轴于点E 图1 图2 图3（1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标（2）判断的形状，并说明理由（用三种不同的方法）（3）如图2，在抛物线上有一动点P，过点P作轴于点M，交直线AC于点N，在线段PN、MN中，若其中一条线段是另一条线段的2倍，求点P的坐标（4）在抛物线上是否存在一点P，使，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由 （5）如图3，在抛物

41、线的对称轴上的一点，过点H的任一条与y轴不平行的直线l交抛物线于点M、N，说明是否为定值？若是定值，请求出这个定值，若不是，请说明理由【答案】（1），对称轴为：直线x1，顶点坐标为：D（1，4）；（2）直角三角形，见解析；（3）P（2，5）或P（2，3）或P（，）或P（，）；（4）存在，P（，）或（，）；（5）是定值，为【详解】（1）解：，A（3，0），C（0，3），解得：，抛物线的解析式为：，对称轴为：直线x1，顶点坐标为：D（1，4）（2）方法一、A（3，0），C（0，3），D（1，4），AC，AD，CD，AC2CD2AD2，是直角三角形方法二、过点D作DMy轴，OCA45，C（0，3），

42、D（1，4），CMDM1，DCMCDM45，ACD180454590，是直角三角形方法三、A（3，0），C（0，3），D（1，4），直线CD解析式为：yx3，直线AC的解析式为：yx3，ACCD，是直角三角形（3）解：设P（x，），则N（x，x3），PN|（x3）|， MN|x3|x3|，|（x3）|2|x3|或|x3|2|（x3）|，解得：x3（舍去），或2或2或或，P（2，5）或P（2，3）或P（，）或P（，）（4）解：设P（x，），PA2，PC2，解得：x或x，P（，）或（，）（5）理由：设过点的直线为ykxb，则kb，M（x1，y1），N（x2，y2），bk，过点H的直线为ykxk，由

43、得：x2（2k）xk0，x1x2k2，x1x2k，y1kx1k，y2kx2k，y1y2k（x1x2），MN，又MH，同理：NH，MH NH（），14（2021湖南长沙麓山国际实验学校九年级月考）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：x-10123y03430（1）求出这条抛物线的解析式；（2）如图1，直线与抛物线交于P，Q两点，交抛物线对称轴于点T，若QMT的面积是PMT面积的两倍，求k的值；（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DFx轴，垂足为F，ABD的外接圆与

44、DF相交于点E试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由【答案】（1）；（2）；（3）是，1【分析】（1）运用待定系数法即可求出抛物线解析式；（2）设点P、Q的坐标分别为、，则是方程的两个根，由此可得，再根据QMT的面积是PMT面积的两倍可得，由此可得，进而可得，最后将代入方程求解即可求得k的值；（3）设出圆心和D点的坐标，接着表示出E点的坐标，利用圆心到B点的距离等于圆心到D点的距离，求出q和e的关系，得到E点的纵坐标，进而确定EF的长为定值【详解】解：（1）根据表格可得出，设抛物线解析式为，将代入，得：，解得：，该抛物线解析式为；（2）设点P、Q的坐标分别为

45、、，将与联立方程，得，整理得：，是方程的两个根，对称轴为直线，点P、Q到对称轴的距离分别为，QMT的面积是PMT面积的两倍，又，将，代入方程，得：，解得：，k的值为；（3）线段的长为定值1，理由如下：设点D的坐标为（p，q），A、B两点关于直线x1对称，圆心位于直线x1上，可设ABD的外接圆的圆心为点，如图，过点作，垂足为点N，连接，则，DFx轴，整理得：，点D是第四象限内抛物线上一动点，且抛物线解析式为，整理得：，即线段的长为定值1【点睛】本题是二次函数与圆的综合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式，配方法，轴对称的应用，一元二次方程的根与系数的关系，勾股定理，圆的性质等相关知识，属于中考数学压轴题，综合性强，难度大；能够灵活运用相关知识是解决本题的关键本题有一定的计算量，对学生的综合分析与计算能力都有较高的要求，本题也蕴含了数形结合等思想方法