专题14.5 全等三角形判定方法灵活合理选择（分层练习）-2023-2024学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（沪科版）.docx

1、专题14.5 全等三角形判定方法灵活合理选择（分层练习）三角形角全等判定方法的选择方法：解答题1如图，在中，点D是的中点，点E在上找出图中的全等三角形，并选一对证明它们全等 2如图，ABC的高BD与CE相交于点O，ODOE，AO的延长线交BC于点M，请你写出图中三对全等的直角三角形，并选择其中一对全等三角形进行证明 3如图，点，分别在和上，点是上一点，的延长线交延长线于点(1) 若，求的度数；(2) 若点是的中点，与全等吗？请说明理由4如图，已知ABC(1) 利用尺规作图，作DEF，使DEFABC，（不写作法，保留作图痕迹）(2) 根据你的作图过程，说明这两个三角形全等的理由5如图，点A，D，

2、C，F在同一条直线上，ABDE，BCEF有下列三个条件：ACDF，ABCDEF，ACBDFE(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得ABCDEF你选取的条件为（填写序号）_（只需选一个条件，多选不得分），你判定ABCDEF的依据是_（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；(2)利用（1）的结论ABCDEF求证：ABDE6如图，点E、F在BD上，且，试说明：点O是AC的中点请你在横线上补充其推理过程或理由 解：因为所以，即 因为，所以 （理由：SSS） 所以（理由： ） 因为（理由： ）所以（理由： ）所以 （理由：全等三角形对应边相等）所以点O是AC的中点7如图，在多边形ABC

3、DE中，于点F，且，（1）求证：；（2）若，求的面积8如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、BC和DC上，DG=DC，CE=CF，点P是线段CG上一点，连接FP，EP求证：FP=EP9如图，垂足为，垂足为求证：(1) ； (2) 10如图，(1)写出与全等的理由；(2)判断线段与的数量关系，并说明理由11如图，点C在线段AB上（点C不与A，B重合），分别以AC，BC为边在AB同侧作等边ACD和等边BCE，连接AE，BD交于点P(1) 观察猜想：1.AE与BD的数量关系为_；2.APD的度数为_；(2) 数学思考：如图，当点C在线段AB外时，（1）中的结论，是否仍然成立？若成立，请

4、给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明12在AOB和COD中，AOBCOD90，OAOB，OCOD，连接AC、BD(1)如图1，求证：ACBD；(2)如图2，当OAOD时，连接BC，延长BD、CA交于点E，AB、CD交于点F，在不添加任何字母及辅助线的情况下，请直接写出图中四对全等三角形（第一问中用到的除外）13如图，D为等边三角形ABC外一点，BDC=120，DBC=DAC试说明：AD=BD+DC14已知：两个等腰直角三角板ACB和DCE（ACBC，DCCE，ACBDCE90）如图所示摆放，连接AE、BD交于点OAE与DC交于点M，BD与AC交于点N（1）如图1（两个等腰直角三角板大

5、小不等），试判断AE与BD有何关系并说明理由；（2）如图2（两个等腰直角三角板大小相等，即ACDC），在不添加任何辅助线的情况，请直接写出图2中四对全等的直角三角形15如图，在等边三角形中，是边上的动点，以为一边向上作等边三角形，连接（1）求证：；（2）求证：；（3）当点运动到的中点时，与有什么位置关系？并说明理由16如图，已知RtABCRtADE，ABCADE90，BC与DE相交于点F，连结CD、BE（1）请你找出图中其他的全等三角形；（2）试证明CFEF17如图，AC、BD相交于点O，AB=CD，AC=BD.求证：(1) ABD=DCA；(2) AO=DO.18如图1，点P、Q分别是边长为

6、4cm的等边三角形ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s（1）连接AQ、CP交于点M，则在P，Q运动的过程中，证明；（2）会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（3）P、Q运动几秒时，是直角三角形？（4）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则变化吗？若变化说明理由，若不变，则求出它的度数。19如图，在RtAOB中，AOB90，BAO30，以AB为一边作等边ABE，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D（1）连接BD，OE求证：BDOE；（2）连接DE交AB于F求证：F

7、为DE的中点20探究：如图，ABC是等腰直角三角形，ACB=90，AC=BC点D在边AB上（D不与A，B重合），连结CD，过点C作CECD，且CE=CD，连结DE、AE求证：BCDACE应用：如图，在图的基础上，点D在BA的延长线上，其他条件不变若AD=AB，AB=4，求DE的长21综合与实践：我们知道“两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等”.但是，乐乐发现：当这两个三角形都是锐角三角形时，它们会全等.（1）请你用所学知识判断乐乐说法的正确性.如图，已知、均为锐角三角形，且，.求证：.（2）除乐乐的发现之外，当这两个三角形都是_时，它们也会全等.22如图1，直线于点B，点D为

8、中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）(1) 求证：；(2) 如图2，连接交于点F，连接交于点H，求证：；(3) 如图3，在（2）的条件下，点P是边上的动点，连接，求的最小值23如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1cm的速度向点B运动;同时动点Q从点B出发，沿线段BC以每秒2cm的速度向点C运动.当点Q到达C点时，点P同时停止，设运动时间为t秒.(注：正方形的四边长都相等，四个角都是直角)(1)CQ的长为_cm(用含的代数式表示);(2)连接DQ并把DQ沿DC翻折，交BC延长线于点F，连接DP、DQ、PQ.若，求t的值.当时，

9、求t的值，并判断与是否全等，请说明理由.24（1）问题背景如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180，E、F分别是线段BC、线段CD上的点若BAD=2EAF，试探究线段BE、EF、FD之间的数量关系童威同学探究此问题的方法是，延长FD到点G使DG=BE连接AG，先证明ABEADG再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是_（2）猜想论证如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，B+ADC=180，E在线段BC上、F在线段CD延长线上 若BAD=2EAF，上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应的结论并给出你的证明（3） 拓展应用如图3，在四边形ABDC中，BDC=

10、45，连接BC、AD，AB：AC：BC=3：4：5，AD=4，且ABD+CBD=180则ACD的面积为 参考答案1，证明见解析【分析】由已知条件可分别根据三角形全等的判定定理证得；根据证得；根据证得【详解】解：图中的全等三角形有：，；D是的中点，；，；，【点拨】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角做题时从已知结合全等的判定方法开始思考，做到由易到难，不重不漏2图中全等的直角三角形有：，证明见解析【分析】结合已知条件与三角形全等的判定方法证明即可【详解】解：

11、，理由如下：在与中，在与中，即，在与中，在与中，在与中， ，在与中，综上所述，图中全等的直角三角形有：，（任选三对即可）【点拨】本题主要考查了直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角3(1) (2)不全等，理由见解析【分析】（1）根据平行线的性质得出，再根据三角形内角和定理即可得出结论；（2）只有一边一角不能证两个三角形全等【详解】（1）解：， 又，；（2）不全等，理由如下：点是的中点，只确定了这两个条件，无法证明全等【点拨】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理

12、，利用平行线性质得出是解答本题的关键4(1)见解析； (2)见解析【分析】（1）根据SSS作出图形即可；（2）根据SSS证明三角形全等即可【详解】（1）如图，DEF即为所求（作法不唯一）（2）由作图可知，ABDE，EFBC，DFAC，在ABC和DEF中，ABCDEF（SSS）【点拨】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题5(1)，SSS (2)见解析【分析】(1)根据SSS即可证明ABCDEF，即可解决问题；(2)根据全等三角形的性质可得可得A=EDF，再根据平行线的判定即可解决问题【详解】（1）解：在ABC和DEF中， ABCDEF（SS

13、S），在上述三个条件中选取一个条件，使得ABCDEF，选取的条件为，判定ABCDEF的依据是SSS（注意：只需选一个条件，多选不得分）故答案为：，SSS；（2）证明：ABCDEFAEDF，ABDE【点拨】本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质，和判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键6；全等三角形对应角相等；对顶角相等；【分析】根据已知条件判定两三角形全等，并利用全等三角形的对应角相等，再次得到两个三角形全等，从而得到对应线段相等，即可证明点O是AC的中点【详解】因为所以，即因为，所以（SSS） 所以（全等三角形对应角相等） 因为（对顶角相等）所以（）所以（全等三角形对应边相等）

14、所以点O是AC的中点【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，通常利用全等三角形证明线段相等或角相等，熟练掌握全等三角形的判定和性质能逐步推理是解题的关键7（1）见解析（2）6【分析】（1）根据ASA证明ABFDBC，故可求解；（2）根据SAS证明ABEDBE，得到AE=DE=4，故可求解【详解】（1），BFA=C=90又，ABFDBC，；（2）ABFDBCABF=DBC=ABE=DBE又AB=DB，BE=BEABEDBEAE=DE=4，的面积为AEBF=【点拨】此题主要考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理8证明见解析【分析】根据平行四边形的性质得出ADCB进而求得

15、GCE=GCF，根据SAS证出PCEPCF，即可得出答案.【详解】证明：四边形ABCD是平行四边形，ADCB，DGC=GCEDG=DC，DGC=GCF，GCE=GCF，在PCE和PCF中，PCEPCF(SAS)，FP=EP【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，比较简单，需要熟练掌握全等三角形的判定与性质.9(1)见解析 (2)见解析【分析】（1）直接用即可证明；（2）由，可得出，由，可得出，由即可得出，即可得出结论【详解】（1）证明：在和中（2），在和中，【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用各种方法进行判定三角形全等是解题的关键10(1)见解析(2)，理由见解析【分析】（1

16、）由得出，再根据判断与全等即可；（2）由与全等得出判断与全等，最后利用全等三角形的性质可得【详解】（1）全等，理由如下： ， ，在与中 （2），理由如下：在与中， ， ， ， ， ，在与中， ，【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，此题比较典型11(1)AEBD；60(2)上述结论成立APD60，证明见解析【分析】（1）根据已知条件只要证明DCBACE，即可证明出AE于BD的数量关系，以及APD的角度；（2）根据ACD，BCE均为等边三角形，可知AC，BCEC，DCABCE60，进而可知DCAACBACBBCE，即DCBACE，从而可证D

17、CBACE（SAS），则DBAE， CDBCAE，根据DCADPA60可证APD60【详解】（1）解：ACD和CBE都是等边三角形，AC=DC，CE=CB，ACD=ECB=60，ACE=ACD+DCE，DCB=DCEECB，DCB=ACE，DCBACE，AE=BD，BDC=CAE，又DOP=COA，APD=ACD=60，故答案是：AE=BD，60；（2）上述结论成立，ACD，BCE均为等边三角形，DCAC，BCEC，DCABCE60，DCAACBACBBCE，即DCBACE，在DCB和ACE中，DCBACE（SAS），DBAE， CDBCAE，如图，设BD与AC交于点O，易知DOCAOP（对顶

18、角相等），CDBDCACAEDPA，DCADPA60，即APD60【点拨】本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，能够熟练掌握全等三角形的性质与判定是解决本题的关键12(1)见解析(2)DFBAFC，DCBABC，ABEDCE，AOBCOD【分析】（1）利用SAS证明BODAOC，即可证明AC=BD；（2）利用全等三角形的性质与判定即可写出满足条件的全等三角形【详解】（1）证明：AOB=COD=90，AOB-AOD=COD-AOD，BOD=AOC，OA=OB，OC=OD，BODAOC，AC=BD；（2）解：AOB=COD=90，OA=OB，OC=OD，且OA=OD，OA=OB=OC=

19、OD，AB=CD，ABO=CDO=BAO=DCO=45，由（1）得BODAOC，BD=AC，OBD=OAC=ODB=OCA，在DFB和AFC中，OBD-45=OCA-45，即DBF=ACF，又DFB=AFC，BD=AC，DFBAFC(AAS)，在DCB和ABC中，OB=OC，OBC=OCB，则45-OBC=45-OCB，ABC=DCB，OAC=ODB，则45+OAC=45+ODB，BAC=CDB，AB=CD，DCBABC(ASA)，同理ABEDCE，AOBCOD，【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，灵活运用全等三角形的性质和判定定理是解题的关键13答案见详解【分析】延长BD至E，使DE=

20、DC，连接CE，由BDC=120，推出等边CDE，得到CD=DE=CE，DCE=DEC=60，根据已知等边ABC，推出AC=BC，ACD=BCE，根据三角形全等的判定推出ACDBCE，得出AD=BE，即可求出结论【详解】解：AD=BD+DC，理由如下：延长BD至E，使DE=DC，连接CEBDC=120，CDE=60，又DE=DC，CDE为等边三角形，CD=DE=CE，DEC=60ABC为等边三角形，AC=BC，BCA=60，ACB=DCE，ACB+BCD=DCE+BCD，即：ACD=BCE，ACDBCE，AD=BE，BE=BD+DE，AD=BD+DC【点拨】本题主要考查对等边三角形的性质和判定

21、，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目，有一定的难度14（1）AEBD且AEBD理由见解析；（2）ACBDCE，EMCBCN，AONDOM，AOBDOE【分析】（1）证明ACEBCD，可得AEBD，CEABDC，由CMEDMO，根据三角形内角和定理即可得DOMECM90，进而可证AEBD（2）根据三角形全等的判定找出相等边和角，进而找出全等三角形【详解】解：（1）结论；AEBD且AEBD理由如下：ACBDCE，ACB+DCADCE+DCA，即DCBACE，ACBC，CDCE，在ACE与BCD中，ACEBCD（SAS），AEBD，CEABDC，CMEDMO，即DOME

22、CM90，AEBD，AEBD且AEBD；（2）ACDC，ACCDECCB，在ACB与DCE中，ACBDCE（SAS）；由（1）可知：AECBDC，EACDBC，DOM90，AECCAECBD，EMCBCN（ASA），CMCN，DMAN，AONDOM（AAS），DEAB，AODO，AOBDOE（HL）【点拨】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键15（1）见解析；（2）见解析；（3），见解析【分析】（1）根据和是等边三角形，得到边角关系，即，根据等式性质得到，最后利用证明全等即可；（2）根据，可知对应角，又因为，等量代换可知，进而得到；（3），由是等边三角形，点

23、为的中点，根据三线合一可知，再根据，进而得到，最后可求得的度数【详解】（1）和是等边三角形；，即，在与中，；（2），；，；（3），理由如下：是等边三角形，点为的中点，【点拨】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，等式的性质以及平行线的判定等知识点，准确的运用这些性质是解题的关键16（1）图中其它的全等三角形为：ACDAEB，DCFBEF；（2）证明过程见解析；【分析】（1）图中除了已知的RtABCRtADE，还有ACD与AEB，DCF与BEF，根据全等三角形的性质可得ACAE，ABAD，BACDAE，进一步即可根据SAS判断中两个三角形应是全等关系，然后根据这两对全等三角形的性质

24、即可判断中两个三角形的关系，问题从而解决；（2）根据全等三角形的性质和SAS可证CADEAB，然后根据全等三角形的性质可得ACBAED，ACDAEB，CD=BE，再利用AAS即可证明CDFEBF，进一步即可推出结论【详解】解：（1）图中其它的全等三角形为：ACDAEB，DCFBEF；RtABCRtADE，ACAE，ABAD，BACDAE，BACBADDAEBAD，DACBAE，在ADC和ABE中，ACAE，ADAB，DACBAE，ADCABE（SAS）；RtABCRtADE，ADCABE，ACBAED，ACDAEB，DC=BE，DCFBEF，在DCF和BEF中，CFDEFB，DCFBEF，DC

25、=BE，CDFEBF（AAS）（2）RtABCRtADE，ACAE，ADAB，CABEAD，CABDABEADDAB即CADEABCADEAB（SAS），RtABCRtADE，ADCABE，ACBAED，ACDAEB，DC=BE，DCFBEF，在DCF和BEF中，CFDEFB，DCFBEF，DC=BE，CDFEBF（AAS）CFEF【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，属于常考题型，灵活应用全等三角形的判定和性质是解题的关键17(1)见解析；（2）见解析【详解】试题分析：（1）根据三边对应相等的两三角形全等，证得ABCDCB，然后根据全等三角形的对应角相等，证得结论；（2）在（1）的基

26、础上，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等，结合等角对等边，可证.试题解析：（1）在ABC与DCB中，AB=CD，AC=BD，BC=CB，ABCDCB， ABC=DCB，ACB=DBC，ABC-DBC=DCB-ACB，即ABD=DCA； （2）由（1）知：ABCDCB，ACB=DBC，OB=OCAC=BD，AC-OC=BD-OB，即AO=DO.18（1）见解析；（2）CMQ=60，不变；（3）当第秒或第秒时，PBQ为直角三角形；（4）CMQ=120，不变【分析】（1）利用SAS可证全等；（2）先证ABQCAP，得出BAQ=ACP，通过角度转化，可得出CMQ=60；（3）存在2种情况，一种是P

27、QB=90，另一种是BPQ=90，分别根据直角三角形边直角的关系可求得t的值；（4）先证PBCACQ，从而得出BPC=MQC，然后利用角度转化可得出CMQ=120【详解】（1）证明：在等边三角形ABC中，AB=AC，B=CAP=60又由题中“点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s.”可知：AP=BQ；（2）CMQ=60不变等边三角形中，AB=AC，B=CAP=60又由条件得AP=BQ，ABQCAP(SAS)，BAQ=ACP，CMQ=ACP+CAM=BAQ+CAM=BAC=60；（3）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4-t，当PQB=90时，B=60，PB=2BQ，得

28、4-t=2t，t=；当BPQ=90时，B=60，BQ=2BQ，得t=2（4-t），t=；当第秒或第秒时，PBQ为直角三角形；（4）CMQ=120不变，在等边三角形中，AB=AC，B=CAP=60，PBC=ACQ=120，又由条件得BP=CQ，PBCACQ(SAS)，BPC=MQC，又PCB=MCQ，CMQ=PBC=180-60=120【点拨】本题考查动点问题中三角形的全等，解题关键是找出图形中的全等三角形，利用全等三角形的性质进行角度转化，得出需要的结论19(1)见解析;(2)见解析.【分析】（1）连接OD，易证ADO为等边三角形，再证ABDAEO即可（2）作EHAB于H，先证ABOAEH，得

29、AOEH，再证AFDHFE即可【详解】证明：（1）连接OD，如图1，ABE是等边三角形，ABBE，EAB60，DABA，DAB90，BAO30，DAO903060，OAEDAB，MN垂直平分OA，ODDA，AOD是等边三角形，DAOA，ABDAEO（SAS），BDOE；（2）证明：如图2，作EHAB于H，EHADAF90，AEBE，2AHAB，AOB90，BAO30，2OBAB，AHBO，RtAEHRtBAO（HL），EHAOAD，EHFDAF90，EFHDFA，HFEAFD（AAS），EFDF，F为DE的中点【点拨】本题主要考查的是等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，

30、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键20探究：证明见解析；应用：【详解】试题分析：探究：由ABC是等腰直角三角形，得到直角，线段、角相等，由线段垂直得到直角，证明三角形全等应用：由等腰直角三角形ABC，得到CAB=ABC=45，由AD=AB，得到AD=1，BD=5，由勾股定理求得结果试题解析：探究：如图，CECD，ACB=90，DCE=ACB=90，BCD=ACE，AC=BC，CE=CD，在BCD与ACE中，BCDACE（SAS）应用：如图，AC=BC，ACB=90，CAB=ABC=45，AD=AB，AD=1，BD=5，BCDACE，AE=BD=5，CAE=CBD=45，DAE=90

31、，DE=考点：1全等三角形的判定与性质；2勾股定理21（1）见解析；（2）钝角三角形或直角三角形.【分析】（1）过B作BDAC于D，过B1作B1D1B1C1于D1，得出BDA=B1D1A1=BDC=B1D1C1=90，根据SAS证BDCB1D1C1，推出BD=B1D1，根据HL证RtBDARtB1D1A1，推出A=A1，根据AAS推出ABCA1B1C1即可（2）当这两个三角形都是直角三角形时，直接利用HL即可证明；当这两个三角形都是钝角三角形时，与（1）同理可证.【详解】（1）证明：过点作于，过作于，则.在和中，.在和中，.在和中，.（2）如图，当这两个三角形都是直角三角形时，.（HL）；当这

32、两个三角形都是直角三角形时，它们也会全等；如图，当这两个三角形都是钝角三角形时，作BDAC，与（1）同理，利用AAS先证明，得到，再利用HL证明，得到，再利用AAS证明；当这两个三角形都是钝角三角形时，它们也会全等；故答案为：钝角三角形或直角三角形.【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法.22(1)见解析 (2)见解析 (3)5【分析】（1）由可证，可得；（2）由可证，可得，由余角的性质可得结论；（3）由可证，可得，则当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，由面积法可以求解【详解】（1）证明：如图1，过点

33、D作，由题意可得：，点D是的中点，在和中，；（2），又，；（3）在和中，当点E，点P，点D三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，的最小值为【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，寻找条件证明三角形全等是解题的关键23（1）（2） 2.4 2，不是全等三角形.【分析】（1）根据题意动点Q从点B出发，沿线段BC以每秒2cm的速度向点C运动.因此利用速度和时间的乘积等于路程，可得CQ的长.（2）根据题意分别计算和的面积，列方程求出t值即可.首先根据题意计算PF、DP和DF的长，再利用勾股定理列方程求解即可,确定了t值再证明与是否全等.【详解】（1）根据题意可得点Q移动的速度为2c

34、m （2）根据题意可得 即 根据题意可得DP= DF= PF= 解的 所以当时，可得 CQ=2,BQ=PB=4,因此可得 , , , 而 所以可得与不是全等三角形.【点拨】本题主要考查正方形的动点问题，关键在于根据题意列出方程，根据方程求解即可.24（1）BE+FD=EF；（2）上述结论不成立，正确结论是EF+FD=BE，证明见解析；（3）【分析】（1）先证明ABEADG（SAS），再证明AEFAGF（SAS），可即可求解；（2）首先在DF上截取BG=DF，并连接AG，然后证明ABEADG（SAS），再证明AEFAGF（SAS），可即可求解；（3）方法一：延长AB至K，使得BK=BC，过点D作

35、DMAB，DNAC，证得DBKDBC（SAS），进而得到KDC=2BDC=90，由AB：AC：BC=3:4:5可得 BAC=90，可以证得DKMDNC（AAS），进一步得到四边形AMDN为正方形，设AB=3x，可以表示出BM和CN的长，然后根据即可求解；方法二：过点D作DMAB，DNAC，作DHBC，可以证得D为ABC的旁心，然后得到四边形AMDN为正方形，设AB=3x，可以表示出BM和CN的长，然后根据即可求解【详解】（1）BE+FD=EFB+ADF=180，ADF+ADG=180，B=ADG又AB=AD，BE=GD，ABEADG（SAS）BAE=DAG，AG=AEBAD=2EAFEAF=G

36、AF又AG=AE，AF=AF，AEFAGF（SAS）GE=FE GD +DF= GF=EFBE=GDBE+FD=EF故答案为BE+FD=EF（2）上述结论不成立，正确结论是EF+FD=BE.如图2所示，在DF上截取BG=DF，并连接AGB+ADC=180，ADF+ADC=180，B=ADF又AB=AD，BG=DF，ABGADF（SAS）BAG=DAF，AG=ADEAG=EAF又AG=AD，AE=AE，GAEFAEGE=FE EF +DF= GE+BG =BE故正确结论是EF+FD=BE；（3）方法一：延长AB至K，使得BK=BC，ABD+CBD=180，ABD+DBM=180，CBD=MBD又

37、BK=BC，BD=BDDBKDBC（SAS）可知DK=DC，K=DCB，KDC=2BDC=90由AB：AC：BC=3:4:5可得 BAC=90，过点D作DMAB，DNACK+ACD=180，DCN+ACD=180，K=DCN，即DCB=K=DCNDKMDNC（AAS），MK=CN, DM=DNBC=BK=BM+CN，且四边形AMDN为正方形设AB=3x、AC=4x、BC=5x，可列 解得 ，方法二：延长AB至K，使得BK=BC，ABD+CBD=180，ABD+DBM=180，CBD=MBDDBKDBC（SAS）同理得到DCB=DCN可知DK=DC，K=DCB，KDC=2BDC=90由AB：AC：BC=3:4:5可得 BAC=90，过点D作DMAB，DNAC，作DHBC，由角平分线性质可得DM=DH=DN，即点DD为ABC的“旁心”BH=BM，CH=CNBC=BH+CH=BM+CN，且四边形AMDN为正方形设AB=3x、AC=4x、BC=5x，可列 解得 ，故答案为【点拨】本题考查了三角形全等，全等中辅助线的引发，问题的关键是根据题意做出正确的辅助线，画出示意图，根据题意推理即可