专题14.7 全等三角形章末八大题型总结（拔尖篇）（沪科版）（解析版）.docx

1、专题14.7 全等三角形章末八大题型总结（拔尖篇）【沪科版】【题型1 由全等三角形的判定与性质求最值】1【题型2 由全等三角形的判定与性质探究线段的和差关系】5【题型3 由全等三角形的判定与性质求面积】15【题型4 尺规作图与全等三角形的综合】22【题型5 三角形的三边关系与全等三角形的综合】30【题型6 全等三角形的动态问题】40【题型7 全等三角形与坐标系的综合运用】47【题型8 全等三角形中的多结论问题】57【题型1 由全等三角形的判定与性质求最值】【例1】（2023春北京朝阳八年级统考期末）如图，RtABC中，ACB=90，B=30，D，E为AB边上的两个动点，且AD=BE，连接CD，

2、CE，若AC=2，则CD+CE的最小值为 【答案】4【分析】过点A，B分别作AC的垂线和BC的垂线交于点M，连接MC，ME，先证ACBMBC，得AB=MC，再证CADMBE，得CD=ME，进而得出CD+CE=ME+CE，当C，E，M三点不共线时，ME+CEMC；当C，E，M三点共线时，ME+CE=MC，然后根据直角三角形中，30的角所对的直角边等于斜边的一半求出AB的值，从而得出结果【详解】过点A，B分别作AC的垂线和BC的垂线交于点M，连接MC，ME， ACB=90，MAAC， AMCB， MBBC ACMB，AC=MB， CAB=MBA， BC=CB，ACB=MBC=90， ACBMBC，

3、 AB=MC， AD=BE， CADMBE， CD=ME， CD+CE=ME+CE，当C，E，M三点不共线时，ME+CEMC；当C，E，M三点共线时，ME+CE=MC CD+CE的最小值是MC的长， B=30，ACB=90， AB=2AC， AC=2， AB=4， MC=AB=4， CD+CE的最小值是4故答案为：4【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，直角三角形的性质，正确作出辅助线找出恰当的全等三角形是解本题的关键【变式1-1】（2023春八年级课时练习）如图，在RtABC中，A=90，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CGAB，交HM的延长线于点G，若AC=

4、8，AB=6，则四边形ACGH周长的最小值是 【答案】22【分析】通过证明BMHCMG可得BH=CG，可得四边形ACGH的周长即为AC+AB+GH，进而可确定当MHAB时，四边形ACGH的周长有最小值，通过证明四边形ACGH为矩形可得HG的长，进而可求解【详解】解：CGAB，B=MCG，M是BC的中点，BM=CM，在BMH和CMG中，B=MCGBM=CMBMH=CMG，BMHCMG（ASA），HM=GM，BH=CG，AC=8，AB=6，四边形ACGH的周长=AC+CG+AH+=GH=AB+AC+GH=14+GH，当GH最小时，即MHAB时四边形ACGH的周长有最小值，A=90，MHAB，GHA

5、C，四边形ACGH为矩形，GH=AC=8，四边形ACGH的周长最小值为14+8=22，故答案为：22【点睛】本题主要考查轴对称最短路径问题，全等三角形的判定与性质，确定HG的最小值是解题的关键【变式1-2】（2023春江苏盐城八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，A=90，AD=3，连接BD，BDCD，BD平分ABC若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 【答案】3【分析】过D作DEBC于E，DE即为DP 长的最小值，由题意可以得到BADBED，从而得到DE的长度【详解】解：如图，过D作DEBC于E，DE即为DP 长的最小值，由题意知在BAD和BED中，A=DEBABD=EBDBD=BD

6、，BADBED，ED=AD=3，故答案为3【点睛】本题考查三角形全等的应用，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题关键【变式1-3】（2023春八年级课时练习）如图，在直角ABC中，ACB=90，AC=4，BC=3，AB=5，AD平分BAC，N是AC上一动点（不与A,C重合），M是AD上一动点（不与A,D重合），则CM+MN的最小值为 【答案】125【分析】在AB取点E，使AE=AN，连接ME，过点C作CFAB于点F，证明AMNAME，可得CM+MN=CM+MFCE，即当点C，M，E三点共线时，CM+MN的值最小，再由点到直线，垂线段最短，可得当点E与点F重合时，CE的值最小，即CM+MN的最小

7、值为CF的长，然后根据SABC=12ACBC=12ABCF，即可求解【详解】解：如图，在AB取点E，使AE=AN，连接ME，过点C作CFAB于点F， AD平分BAC，MAN=MAE，AM=AM，AMNAME，EM=MN，CM+MN=CM+MFCE，即当点C，M，E三点共线时，CM+MN的值最小，点到直线，垂线段最短，当点E与点F重合时，CE的值最小，即CM+MN的最小值为CF的长，SABC=12ACBC=12ABCF，即1243=125CF，解得：CF=125，即CM+MN的最小值为125故答案为：125【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，最短距离问题，证明AMNAME，得到当点C，

8、M，E三点共线时，CM+MN的值最小是解题的关键【题型2 由全等三角形的判定与性质探究线段的和差关系】【例2】（2023春河南郑州七年级统考期末）回答问题（1）【初步探索】如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,B=ADC=90，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中BAE、FAD、EAF之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论是 ；（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,B+D=180，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍

9、然成立，并说明理由；（3）【拓展延伸】已知在四边形ABCD中，ABC+ADC=180,AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出EAF与DAB的数量关系【答案】（1）BAE+FAD=EAF；（2）仍成立，理由见解析；（3）EAF=180-12DAB理由见解析【分析】（1）根据SAS可判定ABEADG，进而得出BAE=DAG,AE=AG，从而得到EF=DF+DG=FG，再根据SAS判定AEFAGF，可得出EAF=GAF=DAG+DAF=BAE+DAF，据此得出结论；（2）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先根据SAS可判定ABEA

10、DG，进而得出BAE=DAG,AE=AG，从而得到EF=DF+DG=FG，再根据SAS判定AEFAGF，可得出EAF=GAF=DAG+DAF=BAE+DAF；（3）在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先根据SAS可判定ABEADG，再根据SAS判定AEFAGF，得出FAE=FAG，最后根据FAE+FAG+GAE=360，推导得到2FAE+DAB=360，即可得出结论【详解】解：（1）结论：BAE+FAD=EAF如图1，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，在ABE和ADG中，AB=ADB=ADG=90BE=DG，ABEADGSAS，BAE=DAG,AE=AG，EF=BE+DF，

11、EF=DF+DG=FG，在AEF和AGF中，AE=AGAF=AFEF=GF，AEFAGFSSS，EAF=GAF=DAG+DAF=BAE+DAF故答案为：BAE+FAD=EAF；（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，B+ADF=180,ADG+ADF=180，B=ADG，在ABE和ADG中，AB=ADB=ADG=90BE=DG，ABEADGSAS，BAE=DAG,AE=AG，EF=BE+DF，EF=DF+DG=FG，在AEF和AGF中，AE=AGAF=AFEF=GF，AEFAGFSSS，EAF=GAF=DAG+DAF=BAE+DAF；（3）结论：EAF=180-12

12、DAB理由：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，ABC+ADC=180,ABC+ABE=180，ADC=ABE，在ABE和ADG中，AB=ADABE=ADG=90BE=DG，ABEADGSAS，BAE=DAG,AE=AG，EF=BE+DF，EF=DF+DG=FG，在AEF和AGF中，AE=AGAF=AFEF=GF，AEFAGFSSS，FAE=FAG，FAE+FAG+GAE=360，2FAE+GAB+BAE=360，2FAE+GAB+DAG=360，即2FAE+DAB=360，EAF=180-12DAB【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的

13、性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形【变式2-1】（2023春上海七年级期末）已知：等边ABC边长为3，点D、点E分别在射线AB、射线BC上，且BDCEa（0a3），将直线DE绕点E顺时针旋转60，得到直线EF交直线AC于点F(1)如图1，当点D在线段AB上，点E在线段BC上时，说明BD+CF3的理由(2)如图2，当点D在线段AB上，点E在线段BC的延长线上时，请判断线段BD，CF之间的数量关系并说明理由(3)当点D在线段AB延长线上时，线段BD，CF之间的数量关系又如何？请在备用图中画图探究，并直接写出线段BD，CF之间的数量关系【答

14、案】(1)见解析(2)BDCF3，理由见解析(3)若E在线段BC上，BD+CF3；若E在BC延长线上，CFBD3【分析】（1）根据AAS证DBEECF，得BD+CFCE+BEBC3即可；（2）根据AAS证DBEECF，得BDCEBEBCCFBC，即可得出BDCF3；（3）分点E在线段BC上和在BC延长线上两种情况讨论即可【详解】解：（1）ABC为等边三角形，BC60，DECDEF+FECB+BDE且DEF60B，BDEFEC，又BDCE，DBEECF（AAS），CFBE，BD+CFCE+BEBC3；（2）如下图，设G点在FE的延长线，AF与DE交点为H，DEGF+FHE60，BCAFHE+BE

15、D60，FBED，又BFCE60，CEBD，DBEECF（AAS），CFBE，BDCEBEBCCFBC，即BDCF3；（3）若E在线段BC上，设DE延长线交AC于点I，ABCBDE+BED60，IEFIEC+CEF60，BEDIEC，BDECEF，又DBEECF120，CEBD，DBEECF（AAS），CFBE，BD+CFCE+BEBC3；若E在BC延长线上，ABCBDE+BED60，FEDFEC+BED60，BDEFEC，又DBEFCE120，BDCE，DBEECF（AAS），CFBE，CFBDBECEBC3；综上，若E在线段BC上，BD+CF3；若E在BC延长线上，CFBD3【点睛】本题主

16、要考查几何变换综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键【变式2-2】（2023春陕西西安八年级西安益新中学校考阶段练习）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形如图1，已知：在ABC中，BAC=90，AB=AC，直线l经过点A，BD直线l，CE直线l，垂足分别为点D、E证明：DE=BD+CE（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中为任意锐角或钝角请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）

17、数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析；（3）见解析【分析】（1）由条件可证明ADBCEAAAS，可得AE=BD，AD=CE，可得DE=BD+CE；（2）由条件可知DBA+BAD=BAD+CAE=180-，可得DBA=CAE，结合条件可证明ADBCEAAAS，同（1）可得出结论；（3）过E作EMHI于M，GNHI的延长线于N由条件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，结合条件可证明EMIGNIAA

18、S，可得出结论I是EG的中点【详解】解：（1）如图1，BD直线l，CE直线l，BDA=CEA=90，BAC=90，BAD+CAE=90BAD+ABD=90，CAE=ABD，在ADB和CEA中，ABD=CAEBDA=CEAAB=AC，ADBCEAAAS，AE=BD，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE；（2）DE=BD+CE如图2，证明如下：BDA=BAC=，DBA+BAD=BAD+CAE=180-，DBA=CAE，在ADB和CEA中BDA=AECDBA=CAEAB=ACADBCEAAAS，AE=BD，AD=CE， DE=AE+AD=BD+CE；（3）证明：过E作EMHI于M，GNHI的延长

19、线于NEMI=GNI=90，由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN，EM=GN，在EMI和GNI中，EIM=GINEMI=GNIEM=GN，EMIGNIAAS，EI=GI，I是EG的中点【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键【变式2-3】（2023春上海静安八年级校考期中）如图，在ABC中，BAC=10.5，AD是BAC的平分线，过点A作DA的垂线交BC延长线于点M，若BM=BA+AC，则ABC的度数是 【答案】53【分析】延长BA至点E，使AE=AC，先求得DAC=BAD，进而证得CAM=EAM，得到ACM=AEM=BME，

20、结合ACM+AEM+BME+CAM+EAM=360即可求得答案【详解】如图所示，延长BA至点E，使AE=ACBE=BA+AE，BM=BA+AC，BE=BMAEM=BMEBAC=10.5，AD是BAC的平分线，DAC=BAD=12BAC=5.25CAM=DAM-DAC=90-5.25=84.75，EAM=180-BAD-DAM=180-5.25-90=84.75CAM=EAM=84.75在CAM和EAM中AE=ACCAM=EAMAM=AMCAM=EAMACM=AEMACM=AEM=BMEACM+AEM+BME+CAM+EAM=360，3AEM+84.75+84.75=360AEM=63.5ABC

21、=180-AEM-BME=180-63.5-63.5=53故答案为：53【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质、角平分线的定义、多边形内角和等，能根据题意作出辅助线构建全等三角形是解题的关键【题型3 由全等三角形的判定与性质求面积】【例3】（2023春广东深圳八年级校考阶段练习）如图，ABC中，BC=10，AC-AB=5，AD是BAC的角平分线，CDAD，则SBDC的最大值为 【答案】12.5【分析】延长AB，CD交点于E，可证ADEADCASA，得出AC=AE，DE=CD，则SBDC=12SBCE，当BEBC时，SBEC取最大值，即SBDC取最大值【详解】解：如图：延长AB，CD交点于E

22、，AD平分BAC，CAD=EAD，CDAD，ADC=ADE=90，在ADE和ADC中，ADE=ADCAD=ADEAD=CAD，ADEADCASA，AC=AE，DE=CD；AC-AB=5，AE-AB=5，即BE=5；DE=DC，SBDC=12SBCE，当BEBC时，SBEC取最大值，即SBDC取最大值SBDC =1212105=12.5故答案为：12.5【点睛】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是利用三角形中线的性质得到SBDC=12SBCE【变式3-1】（2023春黑龙江哈尔滨八年级统考期末）如图，已知四边形ABCD，连接AC、BD，BAC=ADC=90，AB=A

23、C，若AD=5，则ABD的面积等于 【答案】252【分析】如图，将AD逆时针旋转90到AE，连接DE、CE，则AE=AD=5，EAD=ADC，CDAE，证明ABDACESAS，根据SABD=SACE=12AEAD，计算求解即可【详解】解：如图，将AD逆时针旋转90到AE，连接DE、CE，AE=AD=5，EAD=ADC，CDAE，BAC+CAD=CAD+EAD，即BAD=CAE，AB=AC，BAD=CAE，AD=AE，ABDACESAS，SABD=SACE=12AEAD=1255=252，故答案为：252【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，平行线间距离相等，全等三角形的判定与性质解题的关

24、键在于正确的添加辅助线构造全等三角形【变式3-2】（2023春江苏南京八年级南京市科利华中学校考期中）如图，RtABC中，C=90，分别以AB、AC、BC为边在AB同侧作正方形ABDE、ACPQ、BCMN，四块阴影部分面积分别为S1、S2、S3、S4，若S1+S2+S3=12，则S4= 【答案】6【分析】把图中四块阴影部分的面积转化为三角形面积，通过三角形全等即可转化为S2=SABC=S4,S1+S3=SABC，即可得到答案【详解】解：连接PE，过点E作EFAM于点F，记DE,AM的交点为K，AE,CP的交点为T， AB=BD,ACB=BND=90，而CBA+CBD=CBD+DBN=90， C

25、BA=NBD， CBANBD， 故S4=SABC； 又EA=AB,AEK=BAE=90， 而EAK+CAB=90=CAB+ABC， EAK=ABC， EAKABT， EK=AT,S2=SABC，而AE=DE，则ET=DK，MKD=AKE,AKE+ETC=180=ETC+PTE，PTE=MKD， 而EPT=M=90，EPTDMK，同理可证EQABCA， S1+S3=SABC， S1+S2+S3=12，2SABC=12，S4=SABC=6. 故答案为：6.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用AAS（或ASA）证明三角形全等是解本题的关键【变式3-3】（2023春江苏盐城八年级景山中学校

26、考期末）已知：ABC中，ACB=90，AC=CB，D为射线CB上一动点，连接AD，在直线AC右侧作AEAD，且AE=AD连接BE交直线AC于M，若2AC=7CM，则SADBSAEM的值为 【答案】45或49【分析】添加辅助线，构造全等三角形，根据全等三角形的性质求出线段间的数量关系，最后进行分类讨论即可求解【详解】如图，过E作EGAC于点G，ACB=AGE=CGE=90，DAC+ADC=90，AEAD，DAE=90，即：DAC+GAE=90，ADC=GAE，在ADC和EAG中，ACD=AGEADC=GAEAD=AE，ADCEAGAAS，AC=GE，CD=AG，BMCEMGAAS，GM=MC，设

27、CM=2a，则AC=7a，GM=CM=2a，BC=AC=7a，AG=CD=AC-GM-CM=7a-2a-2a=3a，BD=BC-CD=7a-3a=4a，AM=AG+GM=3a+2a=5a，则SADBSAEM=12BDAC12AMGE=124a7a125a7a=45，如图，过E作EHAC交AC延长线于点H，ACB=AHE=90，DAC+ADC=90，ADAE，DAE=90，即：DAC+HAE=90，ADC=HAE，在ADC和EAH中，ACD=AHEADC=HAEAD=AE，ADCEAHAAS，AC=HE，CD=AH，AC=CB=HE，在BMC和EMH中，BMC=EMHBCM=EHMBC=HE，B

28、MCEMHAAS，HM=MC，设CM=2m，则AC=7m，HM=CM=2m，BC=AC=7m，AH=CD=AC+GM+CM=7m+2m+2m=11m，BD=CD-BC=11m-7m=4m，AM=AC+CM=7m+2m=9m，则SADBSAEM=12BDAC12AMHE=124m7m129m7m=49，故答案为：45或49【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，有关三角形的面积的求解，解题的关键是正确作出所需要的辅助线【题型4 尺规作图与全等三角形的综合】【例4】（2023春全国八年级专题练习）如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC（小于

29、线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画弧交前面的弧于点F，画射线AF若BAF的平分线AH交直线l于点H，ABC=70，则AHB的度数为 【答案】35【分析】连接CD，EF由题目中尺规作图可知：BD=BC=AE=AF，CD=EF可证CDBFAE，所以CBA=BAF=70，可得AF/CB所以FAH=AHB由于AH平分BAF，所以FAH=BAH=12BAF=35即：AHB=FAH=35【详解】解：连接CD，EF由题目中尺规作图可知：BD=BC=AE=AF，CD=EF在CDB和FAE中CD=EFBD=AECB=AF CDBFAE CBA=EAF=

30、70 AF/CB FAH=AHB AH平分BAF FAH=BAH=12BAF=35 AHB=FAH AHB=35故答案为：35【点睛】本题主要考查知识点为，全等三角形的性质及判定、定点为圆心定长为半径的性质、平行线的判定及性质，角平分线的性质能看懂尺规作图，熟练掌握全等三角形的性质及判定、平行线的性质及判定，角平分线的性质，是解决本题的关键【变式4-1】（2023全国八年级专题练习）我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等下面请你来探究

31、“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等”探究：已知ABC，求作一个DEF，使EF=BC，F=C，DE=AB（即两边和其中一边所对的角分别相等）(1)动手画图：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）：画EF=BC；在线段EF的上方画F=C；画DE=AB；顺次连接相应顶点得所求三角形(2)观察：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有_个；其中三角形_（填三角形的名称）与ABC明显不全等；(3)小结：经历以上探究过程，可得结论：_【答案】(1)见解析(2)2，DEF；(3)两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等【分析】（1）根据尺规作线段，作一个角等于

32、已知角的步骤作图即可；（2）根据所画图形填空即可；（3）根据探究过程结合全等三角形的判定可得出结论【详解】（1）解：如图所示：（2）观察所画的图形，发现满足条件的三角形有2个；其中三角形DEF（填三角形的名称）与ABC明显不全等，故答案为：2，DEF；（3）经历以上探究过程，可得结论：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等，故答案为：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，熟练掌握尺规作图的方法和全等三角形的判定定理是解题的关键【变式4-2】（2023春山西八年级统考阶段练习）综合与实践：在综合实践课上，老师让同学们在已知

33、三角形的基础上，经过画图，探究三角形边之间存在的关系如图，已知点D在ABC的边BC的延长线上，过点D作BDM=B且DM/AB，在DM上截取DE=AB，再作DEF=A交线段BC于点F实践操作（1）尺规作图：作出符合上述条件的图形；探究发现（2）勤奋小组在作出图形后，发现AC/EF，AC=EF，请说明理由；探究应用（3）缜密小组在勤奋小组探究的基础上，测得DF=5，CF=1，求线段BD的长【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）线段BD的长为9【分析】（1）以B为圆心，任意为半径画弧，交AB,BD于G,H ,以D为圆心，同等长为半径画弧,交DC于L,以L为圆心，GH为半径，与前弧交于K,连接DK

34、并延长至M,以D为圆心，AB长为半径，与DM交于E，以A为圆心，任意长为半径画弧交AB,AC于点I,J ,以E为圆心，同等长为半径，交EF于N，以N为圆心，IJ长为半径交前弧于M,连接EM并延长交BC于F; （2）根据平行和（1）中作的图证明ABCEDFASA，根据全等得出对应边相等、再根据对应角相等得出平行；（3）由（2）的全等得出DF=BC，再根据线段之间的关系算出BD【详解】（1）以B为圆心，任意为半径画弧，交AB,BD于G,H ,以D为圆心，同等长为半径画弧,交DC于L,以L为圆心，GH为半径，与前弧交于K,连接DK并延长至M,以D为圆心，AB长为半径，与DM交于E，以A为圆心，任意长

35、为半径画弧交AB,AC于点I,J ,以E为圆心，同等长为半径，交EF于N，以N为圆心，IJ长为半径交前弧于M,连接EM并延长交BC于F，如图为所求图形：（2）理由如下：在ABC和EDF中，A=DEF,AB=ED,B=D,ABCEDFASAAC=EF，ACB=DFEAC/EF（3）由（2）得，ABCEDFDF=BCDF=5，BC=5CF=1，BD=BC+DF-CF=5+5-1=9线段BD的长为9【点睛】本题考查尺规作图和全等三角形的性质和判定，熟练掌握尺规作图和全等三角形的边角代换是解题关键【变式4-3】（2023春北京八年级校考期中）尺规作图之旅下面是一副纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直

36、尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题【作图原理】在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画，不能实现的 画（1）过一点作一条直线()（2）过两点作一条直线()（3）画一条长为3的线段()（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆()【回顾思考】还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，接着，我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线，作角平分线，过直线外一点作垂线而这些

37、尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程已知：AOB求作：AOB使AOB=AOB作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）画一条射线OA，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点C；（3）以点C为圆心，_；（4）过点D画射线OB，则AOB=AOB说理：由作法得已知：OC=OC,OD=OD,CD=CD求证：AOB=AOB证明：OC=OCOD=ODCD=CDOCDOCD()所以AOB=AOB()【小试牛刀】请按照上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线已知：直线l与直线外一点

38、A求作：过点A的直线l，使得l/l【创新应用】现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图假设你拥有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案要求保留作图痕迹，并写出你的设计意图【答案】【作图原理】（1）；（2）；（3）；（4）；【回顾思考】作法：以点C为圆心，以CD为半径画弧，与第二步中所画的弧相交于D；说理：SSS，全等三角形对应角相等；【小试牛刀】答案见解析；【创新应用】答案见解析【分析】作图原理根据五种基本作图判断即可；回顾思考利用全等三角形的判定解决问题即可；小试牛刀利用同位角相等两直线平行解决问题即可；创新应用答案不唯一，画出图形，说明设

39、计意图即可【详解】解：作图原理：（1）过一点作一条直线可以求作；（2）过两点作一条直线可以求作；（3）画一条长为3cm的线段不可以求作；（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆可以求作；故答案为：，；回顾思考：作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）画一条射线OA，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点C；（3）以点C为圆心，以C为圆心，CD长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D；（4）过点D画射线OB，则AOBAOB说理：由作法得已知：OCOC，ODOD，CDCD，求证：AOBAOB证明：在OCD和OCD中OCOCODODCDCD，OCDOCD（SSS），AOBAOB（全等三角形的对应角相等），故答案为：以C为圆心，CD长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D，SSS，全等三角形的对应角相等；小试牛刀：如图，直线l即为所求（方法不唯一），；创新应用：如图所示（答案不唯一），设计意图：书架中隐藏着无限宝藏，【点睛】本题考查作图应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型【题型5 三角形的三边关系与全等三角形的综合】【例5】（2023春广东广州八年级统考期中）RtABC中，ABC90，ABBC，过点A作AEAB连接BE，CE，M为平面内一动点