专题14切线长定理、圆内接正多边形 （2个知识点6种题型）（原卷版）.docx

1、专题14切线长定理、圆内接正多边形 （2个知识点6种题型）【目录】倍速学习三种方法【方法一】 脉络梳理法知识点1.切线长定理知识点2.圆内接正多边形【方法二】 实例探索法题型1.有关切线长定理的计算题型2.圆内接正多边形边数的判断题型3.计算边心距与边长题型4.方程思想题型5.新定义问题题型6.规律探究题【方法三】成果评定法【学习目标】1. 了解切线长的概念。2. 掌握切线长定理，并能运用这一定理解决问题。3.了解圆内接正多边形的概念。4.掌握正多边形和圆中的半径R、边心距r、中心角之间的等量关系，并能运用这个等量关系解决具体题目。【知识导图】 【倍速学习三种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1

2、.切线长定理（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量（4）切线长定理包含着一些隐含结论：垂直关系三处；全等关系三对；弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到【例1】如图，AB、AC、BD是O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为 知识点2.圆内接正多边形（1）正多边形：各边相等，各角也相等

3、的我边形叫作正多边形。（2）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。（3）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。（4）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。（5）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。1.用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.2.用尺规等分圆对于一些特殊的正边形，可以用圆规和直尺作图.正四、八边形。在O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，

4、从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。正六、三、十二边形的作法。通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以O的半径为半径画弧与O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是O的6等分点。 显然，A、E、F(或C、B、D)是O的3等分点。同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把O 12等分。要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的

5、中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.【例2】（2022秋嘉兴期末）如图，正六边形ABCDEF与正方形AGDH都内接于O，连接BG，则弦BG所对圆周角的度数为（）A15B30C15或165D30或150【方法二】实例探索法题型1.有关切线长定理的计算1如图，PA、PB是O的切线，CD切O于点E，PCD的周长为12，APB60求：（1）PA的长；（2）COD的度数2如图，直线AB、BC、CD分别与O相切于E、F、G，且ABCD，OB6cm，OC8cm求：（1）BOC的度数；（2）BE+CG的长；（3）O的半径题型2.圆内接正多边形边数的判断3（2022秋浙江丽水九年级校

6、考期中）如图，A、为一个正多边形的相邻四个顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 题型3.计算边心距与边长4如图，正方形是半径为R的圆内接四边形，若，求正方形的边长与边心距题型4.方程思想5（2023浙江温州校联考三模）图1是由两个正六边形组成的壁挂置物架，轴对称仙人堂盆栽放置在木板上，图2是其示意图两个正六边形的边与，与均在同一直线上木板（木板厚度忽略不计），则的长为 盆栽由矩形和圆弧组成，且，恰好在同一直线上，已知，圆弧最高点到的距离与线段的长度之比为，则圆弧的半径为 题型5.新定义问题6（2023浙江金华校联考三模）如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，

7、我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”(1)角的“接近度”定义：设正n边形的每个内角的度数为，将正n边形的“接近度”定义为于是越小，该正n边形就越接近于圆，若，则该正n边形的“接近度”等于 若，则该正n边形的“接近度”等于_当“接近度”等于_时，正n边形就成了圆(2)边的“接近度”定义：设一个正n边形的外接圆的半径为R，正n边形的中心到各边的距离为d，将正n边形的“接近度”定义为分别计算时边的“接近度”，并猜测当边的“接近度”等于多少时，正n边形就成了圆？题型6.规律探究题7（2022浙江九年级专题练习）如图，要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作下

8、面我们来探究纸盒底面半径的最小值：（1）如果要装10支铅笔，小蓝画了图、图两种排列方式，请你通过计算，判断哪种方式更节省空间： （填或）（2）如果要装24支铅笔，请你模仿以上两种方式，算出纸盒底面最小半径是 （用含a的代数式表示）8（2023春浙江台州九年级校考期中）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义(1)定义我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此_；(2)探索分别求出正方形和正六边形的“正圆度”；(3)总结随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周

9、率的诞生，简要概括9如图1、3、，、分别是的内接正三角形、正方形、五边形、.、正边形.的边、上的点，且，连接、（1）求图1中的度数；（2）图中的度数是_，图3中的度数是_；（3）试探究的度数与正边形边数的关系（直接写出答案）【方法三】 成果评定法一选择题（共8小题）1（2023秋永善县期中）正六边形绕着它的中心旋转，若旋转后的正六边形能与自身重合，则旋转角最小是ABCD2（2023怀化三模）如图，、是的切线，切点分别是、若，则的长是A3B4C5D63（2023秋五华区校级月考）如图，为的内切圆，点，分别为，上的点，且为的切线，则的周长为A9B7C11D84（2023秋金乡县期中）如图，直线、分

10、别与相切于、，且，若，则的长等于A13B12C11D105（2023秋南开区期末）如图，正五边形内接于，为上一点，连接，则的度数为ABCD6（2023秋东港区校级期中）如图，分别切与点，切于点，分别交，于点，若，则的周长是ABCD7（2023秋鹿城区校级期中）我国伟大的数学家刘徽于公元263年撰九章算术注中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（如图刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法如图2，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点为

11、的中点，连结，交于点，若，则的长为ABCD8（2023秋瑞安市期中）剪纸艺术是我国的非物质文化遗产，如图是以正八边形为背景图形设计成的剪纸作品，记正八边形的面积为图中阴影部分面积，则的值为ABCD二填空题（共8小题）9（2023秋沙河口区期中）如图，、是的切线，、为切点，如果，则的长为10（2023青海一模）如图，与的边、分别相切于点、，如果，那么的长为11（2023秋林州市期中）如图，一圆内切于四边形，且，则四边形的周长为 12（2023秋赣榆区期末）如图，正五边形ABCDE内接于圆，连接AC，BE交于点F，则CFE的度数为 13（2023秋滨城区期中）如图，内切于正方形，为圆心，作，其两边

12、分别交，于点，若，则的面积为 14（2023秋西湖区期中）如图，四边形是的外切四边形，且，则四边形的周长为 15（2023明水县模拟）若正方形的外接圆的半径为4，则这个正方形内切圆的半径为 16（2023秋浙江月考）如图，将边长为2的正五边形沿对角线折叠，使点落在正五边形内部的处，则的长等于 三解答题（共6小题）17（2023秋城西区校级月考）如图，正外接圆的半径为2，求正的边长，边心距，周长和面积18（2023秋富县期中）如图，点，分别是正五边形的边，上的点，连接，交于点，且（1）与全等吗？为什么？（2）求的度数19（2023秋平山县期中）如图，正六边形内接于（1）若是上的动点，连接，求的度数；（2）已知的面积为求的度数；求的半径20（2023秋河西区校级月考）如图，已知为的直径，是的切线，为切点，（）求的大小；（）若，求的长（结果保留根号）21（2023丰顺县校级开学）如图，是外的一点，、分别与相切于点、，是上的任意一点，过点的切线分别交、于点、（1）若，求的周长；（2）若，求的度数22（2023秋姑苏区校级月考）已知：如图中，以为直径的交于，过作的切线交于点，垂足为（1）求证：；（2）若，求的值