专题15 与圆有关的位置关系（题型归纳）（解析版）.docx

1、专题15 与圆有关的位置关系 题型分析题型演练题型一 判断点与圆的位置关系1已知的半径为，点P到圆心O的距离，则点P（）A在外B在上C在内D无法确定【答案】C【详解】解：的半径为，点P到圆心的距离，点P在圆内，故选：C2如图，在等腰三角形中，点D是的中点，若以为直径作圆，则下列判断正确的是（）A点C一定在外B点C一定在上C点D一定在外D点D一定在上【答案】A【详解】解：如图，以为直径的圆O，与，分别交于点E，H，连接， 由图可得，又，H为中点，点C一定在外，而点D通过现有条件无法判断其位置，故选A3已知的半径为6，且点到圆心的距离是5，则点与的位置关系是_【答案】A在内【详解】解：，点A在内，

2、故答案为：A在内4如图，在矩形中，以顶点D为圆心作半径为x的圆，使点A和点B有且只有一个点在内，则x的取值范围是_【答案】【详解】解：在直角中，点A和点B有且只有一个点在内，故答案为5如图，有两条公路相交成，沿公路方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是多少？【答案】这两台拖拉机沿方向行驶给小学带来噪音影响的时间是18秒【详解】解：如图，过点A作，米，米，当第一台拖拉机到B点时对学校产生噪音影响，此时，由勾股定理

3、得：，第一台拖拉机到D点时噪音消失，由于两台拖拉机相距30米，则第一台到D点时第二台在C点，还须前行30米后才对学校没有噪音影响影响时间应是：秒答：这两台拖拉机沿方向行驶给小学带来噪音影响的时间是18秒6在正方形网格中建立如图所示的直角坐标系，设网格中小正方形的边长是单位长度1，已知网格中的半径是4，点，点按下列要求在网格中画图并回答问题：(1)将先向上平移8个单位，再向右平移4个单位得，画出；(2)画出，使与关于点成位似，位似比为，并判断点与的位置关系是 【详解】（1）解：画出；（2）解：画出，点在上或外题型二 利用点与圆的位置关系求半径7已知点A是外一点，且，则的半径可能是（）A2B3C4

4、D1【答案】C【详解】解：点A是外一点，且的半径为3，观察四个选项，只有选项C符合题意，故选：C8如图，在中，以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（）A3B4C5D6【答案】B【详解】解：在中，点在内且点在外，故选：B9的圆心是原点，半径为，点在上，如果点在第一象限内，那么_【答案】【详解】解：如图由题意得：，由勾股定理可得：, 即故答案为：10如图，在中，点在圆内，点在圆上，点在圆外，若，则的长度可能为_（写出一个即可）【答案】4【详解】解：点A在圆内，点在圆上，点在圆外，的长度可能为故答案为：11如图，在中，D是的中点，以A为圆心，r为半径作，若点B，D，C均在外，求r的

5、取值范围【答案】0r5【详解】解：在中，D是的中点，568，ADABAC，A为圆心，r为半径，点B，D，C均在外，0r512在矩形中，(1)若以为圆心，8长为半径作，则、与圆的位置关系是什么？(2)若作，使、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 【答案】(1)点在内，点在外，点在上(2)【详解】（1）解：连接，的半径为8，点在内，点在外，点在上；（2）解：，又以点为圆心作，使，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，的半径的取值范围是故答案为：题型三 三角形的外接圆13下列命题正确的是（）A任意三点可以确定一个圆B三角形的外心到三角形各顶点的距离相等C平分弦的直径垂

6、直于弦，并且平分弦所对的弧D相等的圆心角所对的弧相等【答案】B【详解】解：A、不共线的三点确定一个圆，故错误，不合题意；B、三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，故正确，符合题意；C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故错误，不合题意；D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，不合题意；故选：B14如图，在中，点为上一点，则的外接圆半径为（）ABCD【答案】B【详解】解：如图所示，在与中作，垂足为则过外接圆圆心，设圆心为，连接，设，则在中即外接圆的半径为：故选15如图，点B、E、C在一直线上，在直线同侧，当时，外接圆的半径为_【答案】【详解】解：如图，过点B作于

7、H，过点C作交的延长线于O，过点O作于T，垂直平分线段，垂直平分线段，点O是的外心，的外接圆的半径为，故答案为：16如图，在中，做一个能将完全覆盖的圆形纸片，则这个圆形纸片的最小面积是_【答案】【详解】如图，作的外接圆，过圆心O作于D，连接在中的面积为：故答案为17如图，在正方形网格中，ABC的顶点都在小正方形的格点上(1)请找出的外接圆的圆心O，并标明圆心O的位置；(2)请以圆心O为位似中心，在点O的下方画出边放大2倍后的线段【详解】（1）解：如图所示，点O即为所求；（2）解：如图所示，线段即为所求18如图，在中，垂足是点D(1)利用尺规作的外接圆（不要求写作法，保留作图痕迹）；(2)作直径

8、，连接，求证：【详解】（1）解如图，即为所求；（2）证明：根据题意得：为的直径，题型四 确定圆的条件19下列说法正确的是（）A平分弦的直径垂直于弦B三个点确定一个圆C等弧所对的圆周角相等D垂直于半径的直线是切线【答案】C【详解】解：A、平分弦的直径垂直于弦不一定成立，理由为：如图，直径与直径互相平分，显然与不垂直，故本选项错误；B、三点确定一个圆不一定成立，理由为：如图，当三点在同一条直线上时，显然与的垂直平分线平行，故不能确定一个圆，本选项错误；C、等弧所对的圆周角相等成立，理由为：由弧，圆心角的关系，得到等弧所对的圆心角相等，又等弧所对的圆周角都等于所对圆心角的一半，可得所有的圆周角相等，

9、故本选项正确；D、垂直于半径的直线不一定为圆的切线，理由为：如图，直线与半径垂直，但与圆相交，不相切，故本选项错误故选：C20下列说法：长度相等的弧是等弧；相等的圆心角所对的弧相等；直径是圆中最长的弦；经过不在同一直线上的三个点A、B、C只能作一个圆其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个【答案】B【详解】解：同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故错误；同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故错误；直径是圆中最长的弦，故正确；经过不在同一直线上的三个点A、B、C只能作一个圆，故正确，综上所述，正确的有2个，故选：B21如图，小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大

10、小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是第_块【答案】【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心只要有一段弧，即可确定圆心和半径所以小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是故答案为：22正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定_个不同的圆【答案】5【详解】解：正方形的四个顶点和它的中心的点的距离相等，中心与一边的两个端点可以确定一个圆，正方形有四条边，因而有四个圆；而正方形的四个顶点都在以中心为圆心的圆上，因而能确定5个不同的圆故答案为523如图是由小正方形构成的66网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过，两个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图

11、结果用实线表示）(1)在图（1）中，经过格点，画弦，使平分，在弧上画点，使得；(2)任图（2）中，经过格点，是与网格线的交点，画圆心，并画弦，使【详解】（1）如图，点P，线段即为所求作（2）如图，点P，线段即为所求作24如图所示的拱桥，用表示桥拱(1)若所在圆的圆心为点是弦的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心（不写作法，但要保留作图痕迹）(2)若拱桥的跨度（弦的长）为，拱高（的到弦的距离）为，求拱桥的半径【详解】（1）解：如图所示，作的垂直平分线，交于点，（2）解：如图，设为的中点，交于点，设拱桥的半径为，在中，解得：拱桥的半径为米题型五 判断直线与圆的位置关系25圆的半径是cm，如果圆心

12、与直线上某一点的距离是cm，那么该直线和圆的位置关系是（）.A相离B相切C相交D相交或相切【答案】D【详解】由题意可知：圆的半径等于cm，因为圆心与直线上某一点的距离是cm，所以圆心到直线的距离小于或等于cm，所以直线和圆的位置关系是相交或相切，故选：D26如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（）A以为半径的圆B以为半径的圆C以为半径的圆D以为半径的圆【答案】B【详解】解：于B，以点P为圆心，为半径的圆与直线l相切故选：B27如图，那么以为圆心，为半径的圆与直的位置关系是_ 【答案】相交【详解】解：过点作于点，以点为圆心，半径为4的圆与的位置关系是：相交故答案为：相交28在平面直角

13、坐标系中，以点为圆心，3为半径的圆与y轴的位置关系为_【答案】相切【详解】解：如图，以为圆心，3为半径画圆，圆心到轴的距离为：半径3，所以圆与轴相切，故答案为：相切29如图，已知，M是射线上一点，以点M为圆心、r为半径画(1)当与射线相切时，求r的值；(2)写出与射线的公共点的个数及对应的r的取值范围【详解】（1）作于N，如图所示：，当与射线相切时，r的值为1；（2）由（1）可知，根据直线与圆的关系得到：当时，与射线相切，只有一个公共点；当时，与射线相离，没有公共点；当时，与射线相交，有两个公共点；当时，与射线只有一个公共点30如图，点A是一个半径为的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B，C

14、两村庄，现要在B，C两村庄之间修一条长为的笔直公路将两村连通， 现测得问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明【答案】此公路不会穿过该森林公园【详解】解：过A做于D，则和都是直角三角形，在中：， ，在中： ，又 ，即， ， 此公路不会穿过该森林公园题型六 根据直线与圆的位置关系求半径31中，若以点C为圆心，以r为半径的圆与所在直线相交，则r可能为（）A1B1.5C2D3【答案】D【详解】解：如图，中，当时，以点C为圆心r为半径的圆与所在直线相交，故选：D32如图，OA是的一条半径，点P是OA延长线上一点，过点P作O的切线PB，点B为切点 若PA=1，PB=2，则半径OA的长为（）ABC

15、D3【答案】B【详解】解：由题意得，是直角三角形，设OA=x，则OB=x，在中，根据勾股定理得，解得，则半径OA的长为，故选B33已知的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围_【答案】【详解】解：的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，故答案为：34如图，在中，为边上的中线，以点为圆心，r为半径作如果与中线有且只有一个公共点，那么的半径r的取值范围为_【答案】或【详解】解：在中，为边上的中线，边的高，与中线有且只有一个公共点，的半径的取值范围为或故答案为：或35直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为5，求r的取值范围【答案】【详解】解：

16、直线与半径为的相交，且点到直线的距离为5，36（1）如图，是的直径，点是上一点，请画出过点的最短弦；（不写画法，保留画图痕迹）（2）证明（1）中的结论；（3）在平面直角坐标系中，直线与半径为的交于，两点，则弦长度的最小值为_【详解】解：（1）如图所示，则弦即为所求（标注垂直符号）（2）证明：过点任画一条弦，过点作，垂足为，连接、，在中，同理可得，在中，且，与重合时，即弦为过点的最短弦（3）由直线的方程可知，直线过定点，则圆心和点的距离为，由（2）中的结果可知，当圆心与定点的连线与直线垂直时，弦最短，利用垂径定理得，故的最段长度为题型七 根据直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离37已知与直线相交

17、，且圆心O到直线的距离是方程的根，则的半径可为（）A1B2C2.5D3【答案】D【详解】圆心O到直线的距离是方程的根，与直线相交，故选：D38在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径作圆，为上一点，若点的坐标为，则线段的最小值为（）A3B2C4D2【答案】D【详解】解：点的坐标为，点为直线上任意一点，如下图，直线为函数的图象，则为直线上一点，为上一点，由图象可知：过点作垂线，当、分别是垂线与、的交点时，的长度最小，此时：，由题意可知：，此时，故选：D39设的半径为，圆心到直线l的距离为，若、是方程的两根，则直线l与相切时，的值为_【答案】9【详解】解：d、R是方程的两个根，且直线l与相切，方程有两

18、个相等的实根，解得，故答案为：940如图，在直角梯形中，E是上一定点，点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作P若P与以E为圆心，1为半径的E有公共点，且P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 _【答案】或【详解】解：根据题意可知：的最小值为圆P与相切，切点为M，如图所示： ，在直角梯形中，四边形是矩形，最大值为圆与圆E内切，切点为Q，当时，此时圆P与线段开始有2个交点，不符合题意，设，则，则长度的取值范围是或故答案为：或41如图，P为正比例函数图象上的一个动点，P的半径为3，设点P的坐标为（x、y）（1）求P与直线x=2相切时点P的坐标（2）请直接写出P与直线x=2相交、相离

19、时x的取值范围【详解】解：（1）过P作直线x=2的垂线，垂足为A； 当点P在直线x=2右侧时，AP=x-2=3，得x=5；当点P在直线x=2左侧时，PA=2-x=3，得x=-1，当P与直线x=2相切时，点P的坐标为或；（2）由（1）可知当-1x5时，P与直线x=2相交当x-1或x5时，P与直线x=2相离42在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，A为任意一点，B为O上任意一点，给出如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在O上时，），最大值为q，那么把的值称为点A与O的“关联距离”，记作d（A，O）(1)如图，点D，E，F的横、纵坐标都是整数d（D，O）_；若点M在线段EF上，求

20、d（M，O）的取值范围；(2)若点N在直线上，直接写出d（N，O）的取值范围；(3)正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足d（P，O）的最小值为1，最大值为，直接写出m的最小值和最大值【详解】（1）解：D到O的最小值p=1，最大值q=3，d（D，O）= ，故答案为2；当M在点E处，d（E，O）=2，当M在点F处，d（F，O）= ，2d（M，O）3（2）解：设ON=d，p=d-r=d-1，q=d+r=d+1，d（N，O）= ，N在直线上，设直线交x轴于B，交y轴于A，如图，则x=0时，y=，y=0时，x=-2，A ，B ，OA= ，OB=2，AB= ，当ONAB时，d（N，O）最小

21、， ，ON= ，ON无最大值，d（N，O） （3）解：如图2，当正方形是O的外切正方形时，m的最小值是1，如图3，d（P，O）有最大值 ，则， m的最小值为1，最大值为题型八 切线的判断或证明43如图，P是的直径的延长线上一点，则当（）时，直线是的切线ABCD【答案】B【详解】解：当时，直线是的切线证明：如图，连接OA，即，直线是的切线故选：B44如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC于点D，过点C作CFAB，在CF上取一点E，使DEDC，连接BE对于下列结论：BDDC；CABCDE；BE为O的切线，其中一定正确的是（）ABCD【答案】D【详解】解：AB为直径，ADB90，ADBC

22、，而ABCA，BDDC，所以正确；ABCA，ABCACB，而CDED，DCEDEC，CFAB，ABCDCE，ABCACBDCEDEC，CBACED，所以正确；ABC不能确定为直角三角形，ABC不能确定等于45，与不能确定相等，所以不一定正确；DBDCDE，点E在以BC为直径的圆上，BEC90，CEBE，而CFAB，ABBE，BE为O的切线，所以正确；综上所述正确，故选： D45如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走已知AOB30，MN2OM40m，当观景视角MPN最大时，游客P行走的距离OP是_米【答案】20【详解】解：如图，取MN的中点F，过点F作FEOB于E

23、，以直径MN作F，MN2OM40m，点F是MN的中点，MFFN20m，OF40m，AOB30，EFOB，EF20m，OEEF20m，EFMF，又EFOB，OB是F的切线，切点为E，当点P与点E重合时，观景视角MPN最大，此时OP20m，故答案为：2046如图，为的直径，、为上的点，连接、，为延长线上一点，连接，且，若的半径为，则点到的距离为_【答案】【详解】解：连接OC，AB是圆的直径， ，即OCCD的半径为 在RtOCD中， 过点A作AFDC，交DC延长线于点F，过点C作CGAD于点G， ，解得， 同理： 故答案为：47如图，四边形是的内接四边形，且对角线为的直径，过点A作，与的延长线交于点

24、E，且平分(1)求证：是的切线；(2)若的半径为5，求的长【详解】（1）证明：如图，连接，平分，又，是的切线；（2）解：过点O作于F，四边形是矩形，在中，在中，的长是48如图，为的直径，过圆上一点D作的切线交的延长线于点C，过点O作交于点E，连接(1)求证：直线与相切(2)若，求的长【详解】（1）证明：如图，连接，是的切线，D是切点，即，又，又，即，是半径，直线与相切；（2）解：设半径为r，则，在中，由勾股定理得：，即，解得：，即，解得：题型九 切线性质定理的应用49已知：如图，为的直径，为的切线，切点为，弦，连接DC，则（）ABCD【答案】D【详解】解：连接，为的直径，为的切线，,，弦，垂直

25、平分，故选：D50如图，和是的切线，点和点为切点，是的直径已知，那么的大小是（）ABCD【答案】B【详解】如图，连接，、是的切线，故选：B51如图，为的直径，P为延长线上的一点，过P作的切线，A为切点，则的半径等于_【答案】3【详解】连接，是的切线，在中，即，解得，故答案为：352如图，平行四边形的三个顶点A、B、D均在上，且对角线经过点O，与相切于点B，已知的半径为6，则平行四边形的面积为_【答案】【详解】解：连接，延长交于E，如图，与相切于点B，四边形为平行四边形，在中，平行四边形的面积故答案为：53如图，是的直径，点在上，是的切线，的延长线与交于点(1)求证：；(2)，求的长【详解】（1

26、）连接，如图，是的切线，（2）连接，是的直径，在中，在中，54如图1，点在射线上，且，过点在射线上方作射线，且，点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点到达点时，点，都停止运动以点为圆心，为半径的半圆与射线交于点，与射线交于点，连接，设运动时间为秒（）(1)用含的式子表示的长为_；当点与点重合时，的长为_；(2)若与半圆相切，求的长；(3)如图2，当时，与半圆的另一个交点为，连接，求的度数及的长；(4)若半圆与线段只有一个公共点，直接写出的取值范围【详解】（1）如图，过点F作于点N，解得，故答案为：；6（2）如图，根据题意，得，与

27、半圆相切，解得，（3）如图，连接，是直径，当时，；，（4）当点与点重合时，相交一个点，根据（1）得，；当与半圆相切，切点是唯一的交点，根据（2）得，；综上所述，或 题型十 应用切线长定理求解或证明55如图，分别与相切于E，F，G三点，且，则的长为（）ABCD【答案】D【详解】解：分别与相切于E，F，G三点，平分，平分，故选：D56如图，是的切线，A，B为切点，是的直径，则的度数为（）ABCD【答案】B【详解】解：是的直径，是的切线，是的切线，故选B57如图所示，P是外一点，分别和切于A，B两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交，于D，E（1）若的周长为10，则的长为_；（2）连接、，若，则的

28、度数为_度【详解】解：（1）、都是的切线，的周长为10，即，即，、是的切线，即，；故答案为：5；（2），即，,故答案为：11558如图，在中，半径为3cm的是的内切圆，连接、，则图中阴影部分的面积是_（结果用含的式子表示）【答案】【详解】解：是的内切圆，O到，和的距离相等，和分别平分和， ，故答案为：59如图，与等边的边、分别交于点、，是的直径，过点作于点(1)求证：是的切线：(2)已知的半径为3，连接，当等边的边长为多少时，与相切？【详解】（1）证明：是等边三角形，是等边三角形，又为的半径，是的切线：（2）解：都是的切线，是等边三角形，由（1）得是等边三角形，在中， ，则，当等边的边长为9时

29、，与相切60我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形如图，与的三边，分别相切于点，则叫做的外切三角形，以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形如图，与四边形的边，分别相切于点，则四边形叫做的外切四边形(1)如图，试探究圆外切四边形的两组对边，与，之间的数量关系，猜想：_（横线上填“”，“”或“”）；(2)利用图证明你的猜想；(3)若圆外切四边形的周长为相邻的三条边的比为求此四边形各边的长【详解】（1）解：与四边形的边，分别相切于点，猜想，故答案为：；（2）解：已知：四边形的四边，都于相切于，求证：， 证明：，和相切，同理：，即：圆外切四边形的对

30、边和相等；（3）解：相邻的三条边的比为，设此三边为，根据圆外切四边形的性质得，第四边为，圆外切四边形的周长为，此四边形的四边的长为，即此四边形各边的长为：，题型十一 三角形的内切圆61如图，在中，是的内切圆，三个切点分别为点若，则的周长是（）A9BC10D12【答案】D【详解】解：连接，是的内切圆，切点分别为，四边形是矩形，矩形是正方形，设，则，在Rt中，即，解得：，的周长为：，故选：D62如图，的内切圆圆O与，分别相切于点D，E，F，若，则的度数是（）ABCD【答案】C【详解】解：连接、，如图：，是的内切圆，与、分别相切于点、，故选：C63如图，已知是的内切圆，切点分别为，若，且的面积为6，

31、则内切圆的半径为_【答案】1【详解】解：是的内切圆，切点为，的周长，解得：，的内切圆的半径为1，故答案为：164若四边形是圆内接四边形，它的内角，则的度数是_【答案】【详解】解：四边形是圆的内接四边形，故答案为：65如图，在中，是的内切圆，半径为，切点为、，连接，(1)若，则；(2)若的周长为，面积为，则，之间有什么数量关系，并说明理由【详解】（1）连接、，在中，又，代入得：（2），代入得，之间数量关系为66已知为三角形的内心，连接交三角形的外接圆于点，如图所示，连接和(1)求证：(2)，求AD(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积【详解】（1）证明：如图，连接，为三角形的内心，；（2）如图

32、，过点作于，过点作于点，则，则，过点，作的垂线，垂足分别为，如图， I为三角形ABC的内心，设，即，解得，中，（3）如图，设为三角形ABC的外接圆的圆心，连接，且，是等边三角形，圆的半径为，题型十二 已知圆内接四边形求角度67如图，是半圆的直径，点是弧的中点，若，则等于（）ABCD【答案】C【详解】解：是半圆的直径，四边形是半的内接四边形，点是弧的中点，故选：C68如图，四边形是的内接四边形，则的度数是（）ABCD【答案】C【详解】解：四边形是的内接四边形，即，由圆周角定理可得：，故选：C69如图，是外一点，、分别和切于、，是弧上任意一点，过作的切线分别交、于、，若的周长为，则长为_【答案】【

33、详解】解：、分别切于、，；的周长为，故答案为：70如图，是O的直径，点C，D，E在O上，若，则的度数为_【答案】【详解】解：连接，是直径，故答案为：71如图，四边形内接于，是四边形的一个外角，且平(1)求证：；(2)求证：【详解】（1）证明：四边形内接于，又，（2）解：与是同弧所对的圆周角，平分， 由（1）可知，72如图，是的外接圆，的平分线交于点D(1)如图1，求证：；(2)如图2，点E、F在弧上，连接、，若，求证：；(3)如图3，交于点K，连接，若，求的半径【详解】（1）证明：如图1，延长交于点G，连接、，是的直径，,，平分，；（2）证明：如图2，连接，由（1）知：平分，；（3）解：如图3

34、，延长至M，使，连接，连接并延长交于点N，连接，作线段的垂直平分线交于R，交于L，过点A作于T，四边形是的内接四边形，即，在和中，设，则，由（2）知：设，则，垂直平分，即，是直径，圆的半径为题型十三 求四边形外接圆的直径73如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接作，垂足为F，连接则长的最小值为（）AB1CD【答案】A【详解】解：如图，连接，取的中点K，连接，正方形的外接圆的半径为，CF的最小值为故选：A74如图，为正方形的外接圆，若，则的面积为（）ABCD【答案】A【详解】解：四边形是正方形，解得：，的半径为，的面积为：故选：A75在四边形中，O是ABD的外接圆，若，则=_【答案】5【

35、详解】解：如图，在四边形ABCD中，点A，B，C，D四点共圆，是的外接圆，点C在上，故答案为：576如图，ABCD为圆O的内接四边形，且ACBD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为_【答案】【详解】解：如图，连接，并延长交圆于点，连接，则，/，BE=CD， 在Rt中，AB=10，所以，由勾股定理得，所以圆的面积为77如图，已知四边形ABCD内接于，连接对角线，若，(1)求证：是的直径；(2)点在上，连接并延长交于点，若，求证：；(3)在（2）的条件下，过点作于点，连接交于，若，求EF长【详解】（1）证明：四边形内接于，是的直径；（2）证明：，由（1）知是的直径，（3）解：是的直径, ，,，

36、又，,，,，在中，作，设，过点E作于Q，设，则，解得，在中，由勾股定理可得78请阅读以下材料并完成相应的任务：托勒密（Ptolemy）（公元90年公元168年），希腊著名的天文学家地理学家、数学家和光学家，在数学方面，他论证了四边形的特性，即著名的托勒密定理托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和如图1，已知内接四边形ABCD，求证：证明：如图1，在BD上取一点连接CP，使，即使在中，与所对的弧都是，又，即在中，与所对的弧都是，（1）任务一：请你将“托勒密定理的证明过程补充完整；（2）任务二：如图2，已知内接于，平分交于点D，求CD的长【详解】解：（1）补全证明：得，即（2），平分，为的直径，四边形内接于，即