专题15 全等与相似模型-手拉手模型（原卷版）.docx

1、专题15 全等与相似模型-手拉手模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就手拉手模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1.手拉手模型【模型解读】将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。1）双等边三角形型条件：如图1，ABC和DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。结论：ACDBCE；BE=AD

2、；AFM=BCM=60；CF平分BFD。 图1 图22）双等腰直角三角形型条件：如图2，ABC和DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。结论：ACDBCE；BE=AD；ANM=BCM=90；CN平分BFD。3）双等腰三角形型条件：ABC和DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。结论：ACDBCE；BE=AD；ACM=BFM；CF平分BFD。 图3 图44）双正方形形型条件：ABCFD和CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。结论：BCGDCE；BG=DE；BCM=DNM=90；CN平分BNE。例1（2022北京东城九年级期末）如图，在等边

3、三角形ABC中，点P为ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A 顺时针旋转60得到 ，连接 （1）用等式表示 与CP的数量关系，并证明；（2）当BPC120时， 直接写出 的度数为 ；若M为BC的中点，连接PM，请用等式表示PM与AP的数量关系，并证明例2（2022黑龙江中考真题）和都是等边三角形(1)将绕点A旋转到图的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明(2)将绕点A旋转到图的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将绕点A旋转到图的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接

4、PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明例3（2022湖北襄阳市九年级阶段练习）如图，已知AOB和MON都是等腰直角三角形(OAOM=ON)，AOB=MON=90(1)如图，连接AM，BN，求证：AOMBON；(2)若将MON绕点O顺时针旋转，如图，当点N恰好在AB边上时，求证：；当点A，M，N在同一条直线上时，若OB=4，ON =3，请直接写出线段BN的长例4（2022重庆忠县九年级期末）已知等腰直角与有公共顶点（1）如图，当点在同一直线上时，点为的中点，求的长；（2）如图，将绕点旋转，点分别是的中点，交于，交于猜想与的数量关系和位置关系，并证明你猜想的结

5、论；参考图，若为的中点，连接，在旋转过程中，线段的最小值是多少（直接写出结果）例5（2022山西大同九年级期中）综合与实践：已知是等腰三角形，（1）特殊情形：如图1，当时，_（填“”“”或“”）；（2）发现结论：若将图1中的绕点顺时针旋转（）到图2所示的位置，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由（3）拓展运用：某学习小组在解答问题：“如图3，点是等腰直角三角形内一点，且，求的度数”时，小明发现可以利用旋转的知识，将绕点顺时针旋转90得到，连接，构造新图形解决问题请你根据小明的发现直接写出的度数例6（2022青海中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接

6、起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；(2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由. 图1 图2例7（2022广东广州市八年级期中）如图，两个正方形ABCD与DEFG，连结AG，CE，二者相交于点H（1）证明：ADGCDE；（2）请说明AG和CE的位置和数量关系，并给予证明；（3）连结AE和CG，请问ADE的面积和CDG的面积有怎样的数量关系？并说明理由例

7、8（2023福建福州市九年级月考）如图，和均为等边三角形，连接BE、CD（1）请判断：线段BE与CD的大小关系是 ；（2）观察图，当和分别绕点A旋转时，BE、CD之间的大小关系是否会改变?（3）观察如图和4，若四边形ABCD、DEFG都是正方形,猜想类似的结论是_,在如图中证明你的猜想.（4）这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明）,如图,BB1与EE1的关系是 ;它们分别在哪两个全等三角形中 ;请在如图中标出较小的正六边形AB1C1D1E1F1的另五个顶点，连接图中哪两个顶点,能构造出两个全等三角形？ 模型2.“手拉手”模型(旋转模型)【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角

8、形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。1）手拉手相似模型（任意三角形）条件:如图，BAC=DAE=，； 结论：ADEABC，ABDACE；.2）手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图，（即CODAOB）； 结论：AOCBOD；，ACBD，.3）手拉手相似模型（等边三角形与等腰直角三角形） 条件:M为等边三角形ABC和DEF的中点； 结论：BMECMF；.条件:ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：ABDACE.手拉手相似证明题一般思路方法:由线段乘积相等转化成线段比例式相等；分

9、子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；第步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；第步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第步。例1（2022山西长治九年级期末）问题情境：如图1，在ABC中，AB6，AC5，点D，E分别在边AB，AC上，且数学思考：(1)在图1中，的值为 ；(2)图1中ABC保持不动，将ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置，其它条件不变，连接BD，CE，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；(3)拓展探究：在图2中，延长BD，分别交AC，CE于点F，P，连接AP，得到图3，探究APE与ABC之间有何数量关系，并说明理由；(

10、4)若将ADE绕点A按逆时针方向旋转到图4的位置，连接BD，CE，延长BD交CE的延长线于点P，BP交AC于点F，则（3）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出APE与ABC之间的数量关系例2（2022山东济南八年级期末）某校数学活动小组探究了如下数学问题：(1)问题发现：如图1，中，点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰，且，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是_；(2)变式探究：如图2，中，点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由；(3)问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为

11、边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ若正方形DPEF的边长为，求正方形ABCD的边长例3（2022四川达州中考真题）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，延长交于点F，连接该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：(1)【初步探究】如图2，当时，则_；(2)【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，之间的数量关系：_；(3)【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由(4

12、)【拓展延伸】如图5，在与中，若，（m为常数）保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，延长交于点F，连接，如图6试探究，之间的数量关系，并说明理由例4（2021四川乐山中考真题）在等腰中，点是边上一点（不与点、重合），连结（1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，则_；（2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结在图2中补全图形；探究与的数量关系，并证明；（3）如图3，若，且，试探究、之间满足的数量关系，并证明例5（2022山东烟台中考真题）(1)【问题呈现】如图1，ABC和ADE都是等边三角形，连接BD，CE求证：BDCE(2)【类比探究】如图2，ABC和ADE都是等腰直角三角形，

13、ABCADE90连接BD，CE请直接写出的值(3)【拓展提升】如图3，ABC和ADE都是直角三角形，ABCADE90，且连接BD，CE求的值；延长CE交BD于点F，交AB于点G求sinBFC的值例6.（2023四川成都九年级期中）如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GEBC，垂足为点E，GFCD，垂足为点F（1）证明：四边形CEGF是正方形；（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转角（045），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转角（045），如图3所示，当B，E，F三点在一条直线上时，延长C

14、G交AD于点H，若AG9，GH3，求BC的长课后专项训练1（2022浙江温州一模）如图，在ABC中以AC，BC为边向外作正方形ACFG与正方形BCDE，连结DF，并过C点作CHAB于H并交FD于M若ACB120，AC3，BC2，则MD的长为（）ABCD2（2022湖南中考真题）如图，点是等边三角形内一点，则与的面积之和为（）ABCD3（2022广东茂名二模）如图，在中，D是边上的一个动点，连接，并将线段绕点A逆时针旋转后得线段，连接，在点D运动过程中，线段长度的最小值是_4（2023湖南常德统考中考真题）如图1，在中，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置则图2中的值为

15、 5、（2022重庆九年级期末）已知正方形DEFG的顶点F在正方形ABCD的一边AD的延长线上，连结AG，CE交于点H，若，则CH的长为_.6（2022秋江西抚州九年级临川一中校考期中）将绕点按逆时针方向旋转度，并使各边长变为原来的倍，得，如图所示，我们将这种变换记为(1)如图，对作变换得到，则_；直线与直线所夹的锐角为_度；(2)如图，中，对作变换得到，使点B、C、在同一直线上，连接且，求和的值；(3)如图，中，对作变换得到，便点在同一直线上，且，求和的值7（2023辽宁丹东统考二模）（1）问题发现：如图1，已知正方形，点E为对角线上一动点，将绕点B顺时针旋转到处，得到，连接填空： _；的度

16、数为_；（2）类比探究：如图2，在矩形和中，连接，请分别求出的值及的度数；（3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点E改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长8（2023春山西太原九年级山西实验中学校考期中）【问题情境】如图1，在中，点D，E分别是边的中点，连接如图2，将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为【观察发现】如图2，当时，_【方法迁移】如图3，矩形中，点E，F分别是的中点四边形为矩形，连接如图4，将矩形绕点A逆时针旋转旋转角为，连接请探究矩形旋转过程中，与的数量关系；【拓展延伸】如图5，若将上题中的矩形改为“平行四边形”且，矩

17、形改为“平行四边形”，其他条件不变，如图6，在平行四边形旋转过程中，直接写出_9（2022重庆忠县九年级期末）已知等腰直角与有公共顶点，现将绕点旋转(1)如图，当点，在同一直线上时，点为的中点，求的长；(2)如图，连接，点为的中点，连接交于点，求证：；(3)如图，点为的中点，以为直角边构造等腰，连接，在绕点旋转过程中，当最小时，直接写出的面积 10（2023春广东揭阳九年级校考期中）已知RtABC中，ACB90，CACB4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C处，CPCQ2，将三角板CPQ绕点C旋转(保持点P在ABC内部)，连接AP、BP、BQ（1）如图1求证：APBQ；（2）如图2当三角板

18、CPQ绕点C旋转到点A、P、Q在同一直线时，求AP长11（2022山东九年级专题练习）如图，正方形ABCD，将边CD绕点D顺逆时针旋转（090），得到线段DE，连接AE，CE，过点A作AFCE交线段CE的延长线于点F，连接BF（1）当AEAB时，求的度数；（2）求证：AEF45；（3）求证：AEFB12（2022河南方城县一模）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动(1)ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE=1，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图（1）所示则CF的长为 （直接写出结果，不说明理由） (2)ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以B

19、E为边作等边三角形BEF，如图（2）所示在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长思路梳理并填空：当点E不与点A重合时，如图，连结CF，ABC、BEF都是等边三角形 BA=BC，BE=BF，ABC=EBF=60ABE+ =CBF+ ；ABE=CBF ABECBF BAE=BCF=60又ABC=60 BCF=ABC _；当点E在点A处时，点F与点C重合当点E在点C处时，CF=CA点F所经过的路径长为 (3)ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图（3）所示在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长(4)正方形ABCD的边长为

20、3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F，G都在直线AE上，如图（4）当点E到达点B时，点F，G，H与点B重合则点H所经过的路径长为 （直接写出结果，不说明理由）13（2022福建福州九年级校考期中）正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为3和1，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转（1）当旋转至图1位置时，连接BE，DG，则线段BE和DG的关系为 ；（2）在图1中，连接BD，BF，DF，求在旋转过程中BDF的面积最大值；（3）在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，求线段BE的长14（2022辽宁沈阳九年级校考期中）（1）如图，若

21、在等边ABC的边AB上任取一点E（点E不与B重合），以EC为边在ABC同侧作等边CEN，连接AN求证：ANBC且ANBE；（2）如图，若把（1）中的“等边ABC”改成正方形ABCD，同样在边AB上任取一点E（点E不与B重合），以EC为边在正方形ABCD同则作正方形CEMN，连接DN，请你判断图中是否有与（1）中类似的结论若有，直接写出结论；若没有，请说明理由；15（2023浙江九年级课时练习）在ABC中，ABAC，BAC，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为，得到线段PD，连接DB，DC（1）如图1，当60时，求证：PADC；（2）如图2，当120时，猜

22、想PA和DC的数量关系并说明理由（3）当120时，若AB6，BP，请直接写出点D到CP的距离16.（2022山东九年级课时练习）如图，和是有公共顶点直角三角形，点P为射线，的交点（1）如图1，若和是等腰直角三角形，求证：；（2）如图2，若，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由（3）在（1）的条件下，若把绕点A旋转，当时，请直接写出的长度17（2023广东深圳市九年级期中）（1）如图1，RtABC与RtADE，ADEABC90，连接BD，CE求证：（2）如图2，四边形ABCD，BADBCD90，且，连接BC，BC、AC、CD之间有何数量关系？小明在完成本题中，如图3，使用了“旋转放缩”的技巧，

23、即将ABC绕点A逆时针旋转90，并放大2倍，点B对应点D点C落点为点E，连接DE，请你根据以上思路直接写出BC，AC，CD之间的关系（3）拓展：如图4，矩形ABCD，E为线段AD上一点，以CE为边，在其右侧作矩形CEFG，且，AB5，连接BE，BF求BE+BF的最小值18（2023绵阳市九年级专题练习）在ABC中，ABAC，BAC，点P是ABC外一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转得到线段PD，连接BD，CD，AP观察猜想：（1）如图1，当60时，的值为，直线CD与 AP所成的较小角的度数为；类比探究：（2）如图2，当90时，求出的值及直线CD与AP所成的较小角的度数；拓展应用：（3）如

24、图3，当90时，点E，F分别为AB，AC的中点，点P在线段FE的延长线上，点A，D，P三点在一条直线上，BD交PF于点G，CD交AB于点H. 若CD2，求BD的长19（2023湖北九年级专题练习）在和中，且，点E在的内部，连接EC，EB，EA和BD，并且【观察猜想】（1）如图，当时，线段BD与CE的数量关系为_，线段EA，EB，EC的数量关系为_【探究证明】（2）如图，当时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；【拓展应用】（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若，请直接写出的面积20（2023广西一模）如图，和均为等腰直角三角形，现将绕点C旋转（1）如图1，若三点共线，求点B到直线的距离；（2）如图2，连接，点F为线段的中点，连接，求证：；（3）如图3，若点G在线段上，且，在内部有一点O，请直接写出的最小值