专题15 图形变换中的重要模型之翻折（折叠）模型（解析版）.docx

1、专题15 图形变换中的重要模型之翻折（折叠）模型 几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。 涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。【知识储备】翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的。以这个性质为基础，结合三角形、四边形、圆的

2、性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。对于翻折和折叠问题主要分两大类题型：直接计算型和分类讨论型，由浅入深难度逐步加大，掌握好分类讨论型的翻折问题，那么拿下中考数学翻折题型就没问题了。翻折折叠题型(1)：直接计算型，运用翻折的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题。一般难度小，我们要多做一些这些题型，熟练翻折的性质，以及常见的解题套路。翻折折叠题型(2)：分类讨论型，运用翻的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题。般难度较大，需要综合运用题中的条件，多种情况讨论分析，需要准确的画图，才能准确分析。解决翻折题型的策略：1）利用翻折的性

3、质：翻折前后两个图形全等；对应点连线被对称轴垂直平分；2）结合相关图形的性质(三角形，四边形等)；3）运用勾股定理或者三角形相似建立方程。模型1.矩形中的折叠模型1）常规计算型例1（2022浙江宁波一模）如图，在矩形纸片中，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处，点、恰好在同一直线上，若，则的长是（）ABCD【答案】D【分析】由折叠的性质可得，由“”可证，可得，通过证明四边形是正方形，可得，在中，利用勾股定理可求的长，由锐角三角函数可求解【详解】解：如图，延长交于点，过点作于， 将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处，在和中，四边形是矩形，又，四边形是正方形，故选：D【

4、点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键变式1（2021四川成都中考真题）如图，在矩形中，点E，F分别在边上，且，按以下步骤操作：第一步，沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，点B的对应点为，则线段的长为_；第二步，分别在上取点M，N，沿直线继续翻折，使点F与点E重合，则线段的长为_【答案】 1 【分析】第一步：设EF与AA交于点O，连接AF，易证明AOEADC，利用对应边成比例可得到OA=2OE，由勾股定理可求出OE=，从而求得OA及OC；由ADBC，易得AOECOF，由对应边成比例可得AE、

5、FC的关系式，设BF=x，则FC=8-x，由关系式可求得x的值；第二步：连接NE，NF，根据折叠的性质，得到NF=NE，设BN=m，分别在Rt和Rt中，利用勾股定理及NF=NE建立方程，可求得m，最后得出结果【详解】如图所示，连接AF， 设EF与AA交于点O，由折叠的性质得到AAEF， 四边形ABCD是矩形ADC=90，CD=AB=4 ，ADBC AOE=ADC，OAE=DAC AOEADC， ，OA=2OE，在直角AOE中，由勾股定理得： ，OE=，OA=，在RtADC中，由勾股定理得到：AC= ，OC=，令BF=x，则FC=8-x，ADBC，AOECOF， ，即7AE=3FC3(8-x)=

6、73解得：,的长为1连接NE，NF，如图，根据折叠性质得：BF=BF=1，MNEF，NF=NE，设BN=m，则 ，解得：m=3，则NF= ，EF=，MF=，MN=，故答案为：1，【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、三角形相似的判定与性质，矩形的性质等知识，熟练运用这些知识是解决本题的关键，本题还涉及到方程的运用2）线段比值型例1（2022江苏苏州中考真题）如图，在矩形ABCD中动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN动点M，N同时出发，点M运动的速度为，点N运动的速度为，且当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动在运动过程中，将四边形

7、MABN沿MN翻折，得到四边形若在某一时刻，点B的对应点恰好在CD的中点重合，则的值为_【答案】【分析】在矩形ABCD中，设，运动时间为，得到，利用翻折及中点性质，在中利用勾股定理得到，然后利用得到，在根据判定的得到，从而代值求解即可【详解】解：如图所示：在矩形ABCD中，设，运动时间为，在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形，若在某一时刻，点B的对应点恰好在CD的中点重合，在中，则，,，则，即，在和中， ，即，故答案为：【点睛】本题属于矩形背景下的动点问题，涉及到矩形的性质、对称性质、中点性质、两个三角形相似的判定与性质、勾股定理及两个三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握相

8、关性质及判定，求出相应线段长是解决问题的关键变式1（2022湖北襄阳二模）如图，如图，将矩形ABCD对折，折痕为PQ，然后将其展开， E为BC边上一点，再将C沿DE折叠，使点C刚好落在线段AQ的中点F处，则 = _【答案】【分析】根据轴对称、矩形、直角三角形斜边中线的性质，得，根据轴对称的性质，得、；再根据矩形和勾股定理的性质计算，即可得到答案【详解】如图，将矩形ABCD对折，折痕为PQ， 点F是线段AQ的中点 设 将C沿DE折叠，使点C刚好落在线段AQ的中点F处， 设，如图，过点F作，交CD于点G，过点F作，交AD于点K，延长KF，交BC于点H四边形、为矩形， 在直角中， 在直角中， 故答案

9、为：【点睛】本题考查了轴对称、矩形、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解3）分类讨论型例1（2022辽宁锦州中考真题）如图，四边形为矩形，点E为边上一点，将沿翻折，点C的对应点为点F，过点F作的平行线交于点G，交直线于点H若点G是边的三等分点，则的长是_【答案】或【分析】过点作于点，根据题意可得四边形是平行四边形，证明，等面积法求得，勾股定理求得，可得的长，进而即可求解【详解】如图，过点作于点， ，四边形是平行四边形折叠即，四边形是矩形中，中，如图，当时，同理可得，中， 故答案为：或【点睛】本题考查了勾股定理，折叠，矩形

10、的性质，平行四边形的性质与判定，掌握以上知识，注意分类讨论是解题的关键变式1（2022河南省实验中学一模）如图，在矩形中，已知，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动，运动时间为t秒，连接，把沿着翻折得到作射线与边交于点Q，当时，_【答案】或【分析】分两种情况讨论，当点E在矩形的内部或外部时，利用矩形的性质及已知条件先分别表示出AQ、EQ、AB等，再利用勾股定理等知识求解即可【详解】当点E在矩形的内部时，如图四边形是矩形把沿着翻折得到，在中，即解得当点E在矩形的外部时，如图 解得综上，当时，或故答案为：或【点睛】本题考查矩形的性质、几何动点、折叠的性质、勾股定理的应用、等腰三

11、角形的性质等知识，能够根据题意分类讨论是解题的关键4）路径（轨迹）型例1（2022重庆十八中两江实验中学一模）如图，矩形ABCD中，AB3，BC4，点E是AB边上一点，且AE2，点F是边BC上的任意一点，把BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则三角形AGC的面积的最小值为（）A B C D【答案】A【分析】先确定出当EGAC时，四边形AGCD的面积最小，三角形AGC的面积最小，即再用锐角三角函数求出点G到AC的距离，最后用面积之差即可得出结论【详解】解：四边形ABCD是矩形，CD=AB=3，AD=BC=4，ABC=D=90，根据勾股定理得：AC=5，AB=3，AE=2，点F在B

12、C上的任何位置时，点G始终在AC的下方，的大小是定值，要使最小，则四边形AGCD的面积最小，设点G到AC的距离为h， 要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，点G在以点E为圆心，BE=1为半径的圆上，在矩形ABCD内部的一部分的点，EGAC时，h最小，即点E，点G，点H共线，由折叠知EGF=ABC=90，延长EG交AC于H，则EHAC，在RtABC中，在RtAEH中，AE=2，的最小值为：，故选：A【点睛】本题考查的是矩形的性质，翻折变换(折叠问题)、解直角三角形、三角形的面积，确定ACG面积的最小值时点G的位置是本题关键变式1（2022四川成都模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=

13、4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90得到点F，连接CF，在点E从A到D的运动过程中，点G的运动路径=_，CEF面积的最小值是 _【答案】 2 15【分析】连接BD，取BD的中点M，AB的中点N，连接MN，因为GN为ABE的中位线，故G的运动路径为线段MN；过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，则FEHEBA，设AE=x，可得出CEF面积与x的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值【详解】解：连接BD，取BD的中点M，AB的中点N，连接MN，E为边AD上一个动点，点E从A到D的运动，G是BE的中点当E在A点时，BE与AB重合，G与AB的中点N重合

14、，当E运动到D点时，BE与BD重合，G与BD的中点M重合，E在从A到D的运动过程中，MN为ABE的中位线，故G的运动路径=2，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，A=H=90，FEB=90， FEH=90-BEA=EBA， FEHEBA， 为的中点， 设AE=x， AB HF 当 时，CEF面积的最小值 故答案为：2，15【点睛】本题通过构造K形图，考查了三角形的中位线和相似三角形的判定与性质，建立CEF面积与AE长度的函数关系式是解题的关键5）综合证明型例1（2022广东一模）如图，在矩形中，是上一点，沿折叠矩形，的对应边经过点，连接，与、分别交于点、，连接交于点下列结论：是等腰三角形；

15、：；平分；其中结论正确有（）ABCD【答案】D【分析】由折叠得，进而由互余的性质得，便可判断本结论正误；过点作，与的延长线交于点，根据三角形的面积公式求得和，进而由相似三角形的性质得出结果，从而判断本结论的正误；过点作，与的延长线交于点，由相似三角形的性质求得与，进而确定与的大小关系，便可判断本结论正误；过作于点，则，由求得，进而求得的面积，便可判断本结论正误【详解】解：由折叠知，是等腰三角形，故正确；过作于，与交于点， ，由折叠知，设，则，解得舍去负根，：，故正确；过点作，与的延长线交于点，由折叠知，设，则，解得，不平分，故错误；过作于点，则，故正确；故选D【点睛】本题是四边形综合题目，考查

16、了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的面积等知识；本题综合性强，有一定难度，构造辅助线和证明三角形相似是解题的关键变式1（2022吉林长春市二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴和轴上，已知对角线是边上一点，过点的反比例函数的图象与边交于点，若将沿翻折后，点恰好落在上的点处，则的值为（）A2BC3D【答案】D【分析】作交OB于点G，利用求出，表示出，进一步求出，证明，利用相似的性质求出，再利用勾股定理即可求出k的值【详解】解：作交OB于点G，矩形的对角线，即，E，F分别在AC，BC上，且在反比例函数上，将沿翻折后，点恰好落在上的点处，即，解得：，又

17、，即，解得：故选：D【点睛】本题考查矩形性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，已知正切值求边长及反比例函数图象上点的坐标特征解题的关键是求出，表示出，模型2.特殊三角形中的折叠模型1）常规计算型例1（2021重庆中考真题）如图，中，点D为边BC的中点，连接AD，将沿直线AD翻折至所在平面内，得，连接，分别与边AB交于点E，与AD交于点O若，则AD的长为_【答案】3【分析】利用翻折的性质可得推出是的中位线，得出，再利用得出AO的长度，即可求出AD的长度【详解】由翻折可知O是的中点，点D为边BC的中点，O是的中点，是的中位线， ，故答案为：3【点睛】本题考查了翻折的性质，三角形的中位线的判定和性

18、质，以及平行线分线段成比例的性质，掌握三角形的中位线的判定和性质，以及平行线分线段成比例的性质是解题的关键变式1（2022.广西九年级模拟）如图，在ABC中，ABAC，C45，AB5，BC4，点D在AC上运动，连接BD，把BCD沿BD折叠得到，交AC于点E，则图中阴影部分的面积是（）ABCD【答案】D【分析】作AFBC，利用等腰直角三角形和勾股定理求出AC，再利用ABEACB求出AE，从而利用求出DE和CD，作BGAC，求出BG，即可求解【解析】解：如图，过点A作AFBC于点F，AFBAFC90，C45，AFCF，ACCF， AB5，BC4，BFBCCF4CF，在RtABF中，AB2BF2+A

19、F2，即52（4CF）2+CF2，解得：CF或，ABAC，AFCF，ACCF7，BCD沿BD折叠得到BCD，CDAB，ABEC45，ABCABE+CBE45+CBE，ABEC+CBE45+CBE，ABCABE，ABCAEB，即，AE，CEACAE，CDCDCEDEDE，CDAB，即 ，解得：DE，SABCAFBC414，如图，过点B作BGAC于点G，SABCACBG，147BG，BG4，S阴影部分DEBG4故选：D2）分类讨论型例1（2022.重庆九年级期末）如图，在RtABC中，A=90，AB=4，AC=4，点D是AB的中点，点E是边BC上一动点，沿DE所在直线把BDE翻折到BDE的位置，B

20、D交边BC于点F，若CBF为直角三角形，则CB的长为_【答案】2或4【分析】当为直角三角形时，需要分类讨论，点，分别为直角顶点时，画出图形求解即可【解析】解：在中，点是的中点，由折叠可知，由点运动可知点不可能是直角顶点；如图，当点为直角顶点，即， ，；如图，当点是直角顶点时，即，连接，在中，故答案为：或4变式1（2022.河南九年级模拟）如图，定长为的线段端点A，分别在射线，上运动（点A，不与点重合），为的中点，作关于直线对称的，交于点，当是等腰三角形时，的度数为_【答案】或【分析】结合折叠及直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质可得，设，然后利用三角形外角和等腰三角形的性质表示出，从而利用分类

21、讨论思想解题【解析】解：，为的中点，又由折叠性质可得，设，则，当时，解得，；当时，方程无解，此情况不存在；当时，解得：，；综上，的度数为或，故答案为：或3）综合证明型例1（2020江苏淮安中考真题）【初步尝试】（1）如图，在三角形纸片中，将折叠，使点与点重合，折痕为，则与的数量关系为 ；【思考说理】（2）如图，在三角形纸片中，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值【拓展延伸】（3）如图，在三角形纸片中，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为求线段的长；若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围 【答案】（1）；（2）；（3）；【分析】（1

22、）先根据折叠的性质可得，再根据平行线的判定可得，然后根据三角形中位线的判定与性质即可得；（2）先根据等腰三角形的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可求出BM的长，最后根据线段的和差可得AM的长，由此即可得出答案；（3）先根据折叠的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的定义可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得BM、AM、CM的长，最后代入求解即可得；先根据折叠的性质、线段的和差求出，的长，设，从而可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，然后根据x的取值范围即可得【详解】（1），理由如下：由折叠的性质得：是的中位线点M是AB的中点则故答

23、案为：；（2）由折叠的性质得：，即在和中，即解得；（3）由折叠的性质得：，即在和中，即解得解得；如图，由折叠的性质可知，点O是边的中点设，则 点为线段上的一个动点，其中当点P与点重合时，；当点P与点O重合时，即在和中，则【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形的中位线定理、等腰三角形的定义、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），正确设立未知数，并找出两个相似三角形是解题关键变式1（2022福建三明九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与y轴交于点(1)求直线的函数解析式；(2)将沿直线翻折得到，使点O与点C重合，与x轴交于点D求证：；(3)在直线下方是否存在点P

24、，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)见解析(3)，【分析】（1）先将代入直线的解析式，求出A点坐标，再利用待定系数法求直线的函数解析式；（2）先利用两点间距离公式求出，推出再利用折叠的性质得出，等量代换可得，根据内错角相等即可证明；（3）过点作，过点作，连接，与交于，可得四边形是正方形，则，均为等腰直角三角形分别求出，的坐标即可【详解】（1）解：直线与直线相交于点，解得，将，代入，得：，解得，直线的函数解析式为；（2）解：，沿直线翻折得到，；（3）解：如图，过C作于M， 由折叠的性质可知，过点作，过点作，连接，与交于，则四边形是正方形，均为等

25、腰直角三角形作轴于N，又，；四边形是正方形，是的中点，也是的中点，的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为，综上，点P的坐标为：，【点睛】本题考查求一次函数解析式，折叠的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等，解题的关键是通过作图找出符合条件的P点的位置模型3.平行四边形中的折叠模型1）常规计算型例1（2021江苏苏州中考真题）如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，则的长是（）A1BCD【答案】B【分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得AEC为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE得长，进而得出ED的长，再根据勾股定理

26、可得出；【详解】解：四边形是平行四边形AB=CD B=ADC=60，ACBCAD由翻折可知：BAABDC，ACBAC B=45， AEC为等腰直角三角形AE=CE RtAE BRtCDEEB=DE在等腰RtAEC中， 在RtDEC中， ，ADC=60DCE=30DE=1 在等腰RtDE B中，EB=DE=1 =故选：B【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型变式1（2021江西中考真题）如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，则的周长为_【答案】4a+2b【分析】根据题意并利用折叠的性质可得出ACE=AC

27、B=2ECD，计算可得到ECD=20，ACE=ACB=40，利用三角形的外角性质得到CFD=D=80，再等角对等边即可求解【详解】解：由折叠的性质可得：ACE=ACB，ACE=2ECD，ACE=ACB=2ECD，四边形ABCD是平行四边形，FAC=FCA，B+BCD=180，即B+ACE+ACB+ECD=180，ECD=20，ACE=ACB=40=FAC，CFD=FAC+FCA=80=B=D，AF=CF=CD=a，即AD=a+b，则ABCD的周长为2AD+2CD=4a+2b，故答案为：4a+2b【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键2）分类

28、讨论型例1（2022湖北随州中考模拟）在ABCD中，ABBC，已知B=30，AB=2，将ABC沿AC翻折至ABC，使点B落在ABCD所在的平面内，连接BD若ABD是直角三角形，则BC的长为_【答案】4或6【详解】试题分析：本题主要考查了翻折变换的性质，解题的关键是画出图形，发现存在两种情况，进行分类讨论在ABCD中，ABBC，要使ABD是直角三角形，有两种情况：BAD=90或ABD=90，画出图形，分类讨论：（1）当BAD=90ABBC时，如图1，延长BA交BC于点G，利用平行四边形和直角三角形的性质，可求出BC的长为6；（2）当ABD=90时，如图2，由平行四边形的性质可求出四边形ACDB是

29、等腰梯形，然后根据ABD=90，得出四边形ACDB是矩形，再通过解直角三角形，得出BC的长为4解：当BAD=90ABBC时，如图1，AD=BC，BC=BC，AD=BC，ACBD，BAD=90，BGC=90，B=30，AB=2，ABC=30，GC=BC=BC，G是BC的中点，在RTABG中，BG=AB=2=3，BC=6；当ABD=90时，如图2，AD=BC，BC=BC，AD=BC，ACBD，四边形ACDB是等腰梯形，ABD=90，四边形ACDB是矩形，BAC=90，B=30，AB=2，BC=AB=2=4，当BC的长为4或6时，ABD是直角三角形故答案为4或6考点：1翻折变换（折叠问题）；2平行四

30、边形的性质；3等腰梯形、矩形和直角三角形变式1在平行四边形 ABCD中，A60，点E、F分别为AD、BC的中点，沿EF折叠平行四边形，使线段CD落在直线AB上，点C的对应点为，点D的对应点为，若，则AD的长为_.【分析】根据题意得折叠之后可能落在线段AB上，也有可能落在线段AB外，根据A60，及折叠的性质可得到是等边三角形及的长，进而求得AD的长【详解】如图，=2，当点在线段上时， 点是的中点，由折叠的性质得，是等边三角形，；如解图，当点在的延长线上时，同理可知是等边三角形，故答案为4或12【点拨】本题主要考查平行四边形的性质、折叠的性质及等边三角形，关键是根据题意得到点落在线段上还是线段外，

31、这是易错点，另外还需注意利用等边三角形的性质求解3）综合证明型例1（2022贵州贵阳中考真题）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究如图，在中，为边上的高，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得(1)问题解决：如图，当，将沿翻折后，使点与点重合，则_；(2)问题探究：如图，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值；(3)拓展延伸：当，将沿翻折后，若，且，根据题意在备用图中画出图形，并求出的值【答案】(1)(2)(3)作图见解析，【分析】（1）根据等边三角形的性质，平行四边形的性质可得，根据特殊角的三角函数值即可求解；（2）根据折叠的性质即可求得，由

32、三角形内角和定理可得，根据点在边上，当时，取得最小值，最小值为； （3）连接，设， 则，在中，延长交于点，在中，进而根据，即可求解（1），是等边三角形，四边形是平行四边形，为边上的高，（2），是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，为底边上的高，则点在边上，当时，取得最小值，最小值为；（3）如图，连接，则，设， 则， 折叠，在中，延长交于点，如图，在中，【点睛】本题考查了轴对称的性质，特殊角的三角函数值，解直角三角形，勾股定理，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键变式1（2021山西中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动

33、课上，老师出示了一个问题：如图，在中，垂足为，为的中点，连接，试猜想与的数量关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图，点A的对应点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点该小组提出一个问题：若此的面积为20，边长，求图中阴影部分（四边形）的面积请你思考此问题，直接写出结果【答案】（1）；见解析；（2），见解析；（3）【分析】（1）如图，分别延长，相交于点P，根据平行四边形的性质可得，根

34、据平行线的性质可得，利用AAS可证明PDFBCF，根据全等三角形的性质可得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，即可得；（2）根据折叠性质可得CFB=CFB=CFC，FC=FC，可得FD=FC，根据等腰三角形的性质可得FDC=FCD，根据三角形外角性质可得CFC=FDC+FCD，即可得出CFB=FCD，可得DG/FB，即可证明四边形DGBF是平行四边形，可得DF=BG=，可得AG=BG；（3）如图，过点M作MQAB于Q，根据平行四边形的面积可求出BH的长，根据折叠的性质可得AB=AB，A=A，ABM=MBH，根据可得ABAB，即可证明MBQ是等腰直角三角形，可得MQ=BQ，根据平行四边形的性质可

35、得A=C，即可得A=C，进而可证明ANHCBH，根据相似三角形的性质可得AH、NH的长，根据NH/MQ可得ANHAMQ，根据相似三角形的性质可求出MQ的长，根据S阴=SAMB-SANH即可得答案【详解】（1）如图，分别延长，相交于点P， 四边形是平行四边形，,为的中点，在PDF和BCF中，PDFBCF，即为的中点，（2）将沿着所在直线折叠，点的对应点为，CFB=CFB=CFC，为的中点，FDC=FCD，=FDC+FCD，FCD=CFB，四边形为平行四边形，DC=AB，四边形为平行四边形，（3）如图，过点M作MQAB于Q，的面积为20，边长，于点，BH=505=4，CH=，AH=AB-BH=1，

36、将沿过点的直线折叠，点A的对应点为，AB=AB，A=A，ABM=MBH，于点，AB/CD，MBH=45，MBQ是等腰直角三角形，MQ=BQ，四边形ABCD是平行四边形，A=C，A=C，AHN=CHB，ANHCBH，即，解得：NH=2，MQAB，NH/MQ，ANHAMQ，即，解得：MQ=，S阴=SAMB-SANH=ABMQ-AHNH=5-12=【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键模型4.菱形中的折叠1）基本计算型例1（2021辽宁大连中考真题）如图，在菱形中，点E在边上，将沿直线翻折180，得到，

37、点B的对应点是点若，则的长是_【答案】【分析】由题意易得，则有，进而根据折叠的性质可得，然后根据三角形内角和可得，最后根据等腰直角三角形的性质可求解【详解】解：四边形是菱形，是等边三角形，即，由折叠的性质可得，在中，由三角形内角和可得，即，是等腰直角三角形，；故答案为【点睛】本题主要考查菱形的性质、折叠的性质及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质、折叠的性质及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键变式1（2022宁夏银川市二模）如图，在菱形ABCD中，AB=4，C=60，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的G点处（不与B，D重合），折痕为EF，若DG=BG，则BE的长为（）ABC

38、D【答案】D【分析】过点E作EHBD于点H，由菱形的性质可证ABD为等边三角形，设BE=x，则EG=AE=4-x，BH=BEsin30= ，EH=BEcos30=，则GH=3-，在RtGEH中，再由勾股定理得方程，解方程即可求得【详解】解：如图，过点E作EHBD于点H，由折叠的性质得：EG=AE，四边形ABCD是菱形，AB=AD=CD=BC，又C=60，BAD=60，ABD为等边三角形，AB=BD=4，又DG=BG，BG=3，设BE=x，则EG=AE=4-x，在RtEHB中，HEB=90-60=30，BH=BEsin30=，EH=BEcos30=，GH=3-，在RtGEH中，由勾股定理得：，解

39、得：x=，即BE=，故选：D【点睛】本题主要考查了菱形的性质，翻折的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键2）分类讨论型例1（2022河南潢川县第二中学一模）如图，在菱形中，点为线段上一动点，过点作交于点，沿将折叠，点的对称点为点，连接、，当为等腰三角形时，的长为_【答案】或或或或【分析】分类讨论：如图，当时，如图，当时，如图中，当时，分别求出即可【详解】解：如图 ，当时，点与重合或在点处 当与重合时，与也重合，此时； 在菱形 中， ， 作 于 ， 在 中， ， ， ； 如图 ，当 时，点 与 重合或在 处， 点 与 重合， 是 的垂直平分线

40、， ， 当 在 处时，过 作 于 ， 则可得 ， 则， ； 如图 中，当 时， ， 综上所述：当 为等腰三角形时， 的长为 或 或 或 或 故答案为 或 或 或 或 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，分类讨论是解题关键变式1.（2022山西中考模拟）如图在菱形ABCD中，A60，AD3，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EFAC交CD于点E，交AB于点F，将AEF沿EF折叠点A落在G处，当CGB为等腰三角形时，则AP的长为_.【解析】分析：首先证明四边形AEGF是菱形，分两种情形：CG=CB，GC=GB分别计算即可详解：四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD=

41、AD=3，DAC=BAC=12 A=30，AC=3，如图， EFAG，EPA=FPA=90，EAP+AEP=90，FAP+AFP=90，AEP=AFP，AE=AF，AEF是由AEF翻折，AE=EG，AF=FG，AE=EG=GF=FA，四边形AEGF是菱形，AP=PG当CB=CG时，AG=AC-CG=3-3，AP=12AG=3-32当GC=GB时，GCB=GBC=BAC，GCBBAC，GCAB=BCAC,GC=1，AG=3-1=2，AP=12AG=1故答案为1或3-323）综合证明型例1（2022河北邢台市二模）如图1，菱形纸片的边长为2，如图2，翻折，使两个角的顶点重合于对角线上一点，分别是折

42、痕，设（），下列判断：当时，的长为；的值随的变化而变化；六边形面积的最大值是；六边形周长的值不变其中正确的是（）ABCD【答案】B【分析】先确定出ABC是等边三角形，进而判断出BEF是等边三角形，当x1时，求出DPBD，即可判断出正确，再用x表示出EF，BP，DP，GH，即可求出EF+GH，判断出错误，利用菱形的面积减去两个三角形的面积判断出错误，利用周长的计算方法即可判定出正确【详解】解：菱形ABCD的边长为2，ABBC2，ABC60，ACAB2，BD2，由折叠知，BEF是等边三角形，当x1时，则BE1，BM=BEsin60=，由折叠知，BP2，DP，所以正确， BEx，AE2x，BEF是等

43、边三角形，EFx，BMEMEFx，BP2BMx，DPBDBP2x，DNDP(2x)，GN=(2x)GH2GN2-x，EF+GH2AC，所以错误；BEF的面积为：xx=，GHD的面积为：(2x)(2-x)=，六边形AEFCHG面积S菱形ABCDSBEFSDGH22（x1）2+，当x1时，六边形AEFCHG面积最大为，所以错误，六边形AEFCHG周长AE+EF+FC+CH+HG+AGAE+BE+FC+BF+DG+AGAB+CB+DA6是定值，所以正确，即：正确的有，故选：B【点睛】此题是四边形的综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积公式，菱形的面积公式，解直角三角形，解

44、本题的关键是用x表示出相关的线段长变式1（2022湖北武汉校联考一模）问题背景: 如图1，点E在BC上，ABBC，AEED，DCBC，求证： 尝试应用:：如图2，在平行四边形ABCD中，点F在DC边上，将ADF沿AF折叠得到AEF，且点E恰好为BC边的中点，求的值 拓展创新：如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，DC边上，AFED，AEFE，FC2EC6请直接写出的值【答案】（1）见解析；（2）；（3）=【分析】问题背景：根据ABBC，AEED，DCBC，推出ABEECD，即可证明结论；尝试应用：在AB边取点G，使GE=BE，易证AGEECF，则，从而可以求出的值；拓展创新：作FM=F

45、D，FNAD，易证AMFFCE，则，再证明AEFFND，设AM=x，FM=FD=3x，则AD=CD=3x+2，MD=2x+2，HD=x+1，再根据，求出x，进而可以得出答案【详解】解：问题背景：证明：ABBC，AEED，DCBC，B=C=90，BAE=CED=90-AEB，BAE=CED，ABEECD，尝试应用：在AB边取点G，使GE=BE，如图2，则B=BGE，又B+C=180，BGE+AGE=180，AGE=C，由题意可知：AE=AD=BC=2BE，EF=FD，B=D=AEF，又B+BAE=AEF+FEC，BAE=FEC，AGEECF，又GE=BE，AE=BC=2BE，EF=FD，拓展创新

46、：作FM=FD，FNAD，如图3，D=FMD，FMD+AMF=180，C+D=180，AMF=C，CFE+AFE=MAF+D，AFE=D，CFE=MAF，AMFFCE，设AM=x，FM=FD=3x，则AD=CD=3x+2，MD=2x+2，ND=x+1，AFE=D，AEF=FND=90，AEFFND，则，即，x=5，【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质及判定方法是解题的关键模型5.正方形中的折叠模型1）常规计算型例1.（2022广西中考真题）如图，在正方形ABCD中，对角线相交于点O点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作，分别交于点F、G，连接BF，交AC于点

47、H，将沿EF翻折，点H的对应点恰好落在BD上，得到若点F为CD的中点，则的周长是_【答案】#【分析】过点E作PQAD交AB于点P，交DC于点Q，得到BP=CQ，从而证得，得到BE=EF，再利用，F为中点，求得，从而得到，再求出，再利用ABFC，求出，得到，求得，从而得到EH=AH-AE=，再求得得到，求得EG=，OG=1， 过点F作FMAC 于点M，作FNOD于点N，求得FM=2，MH=，FN=2，证得RtRt得到，从而得到ON=2，NG=1， ，从而得到答案【详解】解：过点E作PQAD交AB于点P，交DC于点Q，ADPQ，AP=DQ，BP=CQ，BP=CQ=EQ，EFBE，在与中，BE=EF

48、，又，F为中点，又，AE=AO-EO=4-2=2，ABFC，EH=AH-AE=，又，EG=，OG=1，过点F作FMAC 于点M，FM=MC=，MH=CH-MC=，作FNOD于点N，在Rt与Rt中RtRt，ON=2，NG=1，故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质应用，重点是与三角形相似和三角形全等的结合，熟练掌握做辅助线是解题的关键变式1（2022四川成都二模）如图，在正方形ABCD中，E为BC中点，沿直线DF翻折，使点A的对应点A恰好落在线段AE上，分别在AD，上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点与点D重合，则线段MN的长为_【答案】#【分析】过点A作AH于点H，设DF与AE交与点O，由

49、折叠变换可得：DF为的垂直平分线，点N为的中点，通过证明=AEB，利用直角三角形的边角关系，得到，利用勾股定理求得AO，DO，利用三角形的面积公式求得AH，利用勾股定理求得DH，利用平行线的性质得出比例式即可求得MN的值【详解】解如图，MN为折痕，即点N为的中点， 过点A作AH于点H，设DF与AE交与点O， 沿直线DF翻折ADF，使点A的对应点恰好落在线段AE上， DF为的垂直平分线 ， ，EAB+AEB=90， ， =tanAEB= ， 四边形ABCD是正方形， AB=BC=2 E为BC中点， BE=BC=1 ， ， 设AO=k，则DO=2k AO2+DO2=AD2， k2+（2k）2=22

50、 解得：（负数不合题意舍去） ， 点N为的中点， DN=1 故答案为：【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等变换中的翻折问题，勾股定理，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，利用翻折变换是全等变换，得到对应点的连线被折痕垂直平分是解题的关键2）分类讨论型例1（2022浙江二模）正方形的边长为4，点在边上，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，联结并延长交正方形一边于点当时，的长为_【答案】2或【分析】分两种情形：如图1中，当BN=DM时，连接CC交BM于J如图2中，当BN=DM时，过点C作CTCD于T分别求解即可【详解】解：如图1中，当BN=DM时，连接CC交BM于J BN=DM，

51、BNDM，四边形BNDM是平行四边形，BMDN，BMC=NDM，BMC=DCM，由折叠知，MC=MC，BMC=BMC，NDM=DCM，MC=MDCM=DM=CD=2如图2中，当BN=DM时，过点C作CTCD于TCB=CD，BN=DM，CN=CM=MC，在BCM和DCN中，BCMDCN（SAS），CDN=CBM，CBM+BCC=90，BCC+CCD=90，CBM=CCD，CCD=DCC，CD=CC，CTCD，DT=TC=2，CTCN，DC=CN，CT=CN，设CT=x，则CN=CM=MC=2x，TM=，CM=，综上所述，CM的值为2或【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，平行四边形的判定和性质

52、，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题变式1（2022河南民权一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是边BC的中点，点F是AB边上一动点，将BEF沿EF折叠得到，连接，作关于对称的，连接，当是等腰三角形时，BF的长为_【答案】2或2【分析】先判断，然后分时和时两种情况求解即可【详解】解：由题意可知，四边形是菱形，点在以点E为圆心，2为半径的圆上运动，当点D，E共线时，最短，最小值为2，当是等腰三角形时，分两种情况讨论当时，点在CD边上，如图(1)，四边形是正方形，B=90，四边形是矩形，BF=2当时，如图(2

53、)，四边形是菱形， ， ，CD垂直平分，是等边三角形，=120，故答案为：2或2【点睛】本题考查了折叠的性质，正方向的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，分类讨论是解答本题的关键3）综合证明型例1（2022四川渠县一模）如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边的点P处（不与点A，点D重合），点C落在G点处，PG交DC于点H，连接BP，BHBH交EF于点M，连接PM下列结论：PB平分APG；PH=AP+CH；BM=BP，若BE=，AP=1，则S四边形BEPM=，其中正确结论的序号是（）ABCD【答案】B【分析】根据折叠的性质，从而

54、得到，根据直角三角形两锐角互余，得到，即可判定；过点B作BQPH，利用全等三角形的判定与性质，得到，即可判定；通过证明为等腰直角三角形，即可判定；根据求得对应三角形的面积，即可判定【详解】解：由题意可得：，由题意可得：，PB平分APG；正确；过点B作BQPH，如下图：在和中，四边形ABCD为正方形，又，正确；由折叠的性质可得：EF是PB的中垂线，由题意可得：，为等腰直角三角形，即，BM=BP，正确；若BE=，AP=1，则，在中，错误，故选B，【点睛】此题考查了正方形与折叠问题，涉及了折叠的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾

55、股定理等知识，综合性比较性，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解变式1（2022福建厦门二模）如图，正方形纸片ABCD，P为正方形AD边上的一点（不与点A，点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP，BH，BH交EF于点M，连接PM下列结论：BEPE；BPEF；PB平分APG；PHAP+HC；MHMF，其中正确结论的个数是（）A5B4C3D2【答案】B【详解】利用翻折不变性即可解决问题；构造全等三角形即可解决问题；等腰三角形性质，EBPEPB根据折叠性质得出EPHEBC90，利用余角性质得出PBCBPH再根据平行线性质得出ADBC即可解

56、决；构造全等三角形即可解决问题；只要证明MPB45，再利用反证法可解决问题【解答】解：折痕为EF，四边形EBCF与四边形EPGF全等BE=PE，故正确；如图2，作FKAB于K设EF交BP于O四边形ABCD为正方形，AB=BC，A=ABC=C=90，FKAB，FKB=90，FKBKBCC90，四边形BCFK是矩形，KFBCAB，EF为对称轴，点B与点P为对称点，EFPB，BOE90，ABP+BEO90，BEO+EFK90，ABPEFK，在ABP和KFE中，ABPKFE（ASA），EFBP，故正确，BE=PE，EBPEPB又EPHEBC90，EPHEPBEBCEBP即PBCBPH又ADBC，APB

57、PBCAPBBPH故正确；如图3，过B作BQPH，垂足为QPQB=HQB=90， 由（1）知APBBPH，在APB和QPB中，ABPQBP（AAS），APQP，AB=QB，又ABBC，BCBQHQB=90，C=90 在RtBCH和RtBQH中，RtBCHRtBQH（HL），CHQH，QP+QHAP+CH，即PHAP+CH，故正确；设EF与BP的交点为点N，如图4，RtABPRtQBP，BCHBQH，ABPQBP，CBHQBH，QBP+QBHABP+CBH，即PBM45，由折叠知，BPMPBM45，EBMEPM，PNFBNF90，ABCD，MHFEBMEPM45+EPN，在四边形DPNF中，DP

58、NF90，MFH+DPN180，DPN+APN180，APNMFH，假设MH=MF，MHF=MFH=APB，在ABP和CBH中，ABPCBH（AAS），ABP=CBH，ABP+CBH=45，ABP=CBH=22.5，点P在AD上，0ABP45，ABP=22.5与0ABP45相矛盾，假设不正确，故错误故选：B【点睛】本题考查正方形性质，折叠性质，角平分线判定，三角形全等判定与性质，平行线性质，等腰三角形性质，等角的余角性质，反证法，本题难度角度，综合强，利用辅助线作出准确图形是解题关键模型6.圆中的折叠模型1）角度、长度型例1（2021湖北武汉统考中考真题）如图，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于

59、点再将沿翻折交于点若，设，则所在的范围是（ ）A B C D【答案】B【分析】将O沿BC翻折得到O，将O沿BD翻折得到O，则O、O、O为等圆依据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可证明，从而可得到弧AC的度数，由弧AC的度数可求得B的度数【详解】解：将O沿BC翻折得到O，将O沿BD翻折得到O，则O、O、O为等圆O与O为等圆，劣弧AC与劣弧CD所对的角均为ABC，同理：又F是劣弧BD的中点，弧AC的度数=1804=45B=45=22.5所在的范围是；故选：B【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、弧、弦、圆周角之间的关系、圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，找出

60、图形中的等弧是解题的关键变式1（2022浙江嘉兴统考中考真题）如图，在扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F已知，则的度数为_；折痕的长为_【答案】 60#60度 【分析】根据对称性作O关于CD的对称点M，则点D、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上，再结合切线的性质和垂径定理求解即可【详解】作O关于CD的对称点M，则ON=MN连接MD、ME、MF、MO，MO交CD于N将沿弦折叠点D、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，FMEOA，MFOB四边形MEOF中即的度数为60；，（HL）MODC故答案为：60；【点睛】本题考查了折叠的性质、切

61、线的性质、垂径定理、勾股定理；熟练掌握折叠的性质作出辅助线是解题的关键2）面积型例1（2022山西太原统考二模）如图是一张圆心为O，半径为4cm的圆形纸片，沿弦AC所在直线折叠，使得经过点O，将纸片展平后，作半径，则图中阴影部分的面积等于（）A B C D【答案】A【分析】作ODAC交圆于点D、交AC于点E，根据垂径定理，OD平分 和，又因为AC是对折线，所以OD与AC互相垂直平分，所以ODCO组成的图形面积是与组成的图形面积的一半，也就等于ADCEA组成图形面积，此部分面积可用扇形OAC的面积减去OAC面积求出，再用求出的面积减去扇形ODB的面积即得阴影部分面积【详解】作ODAC交圆于点D，

62、交AC于点E，连接OC，如图，OD垂直平分弦AC，平分 和，AC是向圆内的折线，且弦AC折叠后经过点O，点O是点D关于AC的对称点，即OD与AC互相垂直平分，OE=DE=OD 设与弦AC构成的图形面积为SADC，与构成的图形面积为SADCO，与和线段OD构成的图形面积为SODC，则SADC=SADCO，SODC=SADCO，SODC=SADC，OD、OA都是圆O的半径，半径为4cm，OE=OD=OA=，OAE=30，AOE=90-30=60，AOC=2AOE=260=120， S扇形OAC=(cm2)，AC=2AE=cm，SOAC=(cm2)，SADC= S扇形OAC - SOAC=（）(cm

63、2)，SODC=（）(cm2)，OBOA，AOE=60，BOD=AOB-AOE=90-60=30，S扇形OBD=(cm2)，S阴影=SODC- S扇形OBD=（）(cm2)，故选 A【点睛】本题考查了求扇形和弓形面积、垂径定理、折叠问题及三角形的知识，解题的关键是要能通过对称看出SODC=SADC=SADCO，以及S阴影=SODC- S扇形OBD，再分别求出各部分面积就能求解变式1（2022山西大同校联考三模）如图，边长为6的正六边形内接于，沿折叠，点F与点O重合，过点E作的切线与的延长线交于点G，则图中阴影部分的面积是（）ABCD【答案】B【分析】根据正六边形的性质可证明AOEABC，AOE

64、=ABC=120，求得OA=OE=DE=6，根据切线的性质OEG=90，求得EG=，根据扇形的面积和三角形的面积即可得到答案【详解】解：六边形ABCDEF是正六边形，又DOE=60，OD=OE，是等边三角形， 故可将原图形转变为如图，EG是O的切线，OEG=90，DOE=60，GE=，图中阴影部分的面积=S扇形AOE+SGOE-S扇形DOE=，故选：B【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，扇形的面积计算，熟练掌握切线的性质定理是解题的关键课后专题训练1（2022山东烟台一模）如图，在矩形ABCD中，BC=6，E是BC的中点，连接AE，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠

65、，使点D落在AE上的点处，当是直角三角形时，PD的值为（）A或B或C或D或【答案】B【分析】根据矩形的性质得到ABCD，ADBC，B90，根据勾股定理求得AE，当APD是直角三角形时，分两种情况当ADP90时当APD90时分类计算即可；【详解】四边形ABCD是矩形，ABCD，B90，BC=6，E是BC的中点，BE3，CD4，在RtABE中，AE，四边形ABCD是矩形，由折叠可知，PDPD，设PDx，则PDx，AP6x，当APD是直角三角形时，当ADP90时，ADPB90，ADBC，PADAEB，ABEPDA，x，PD；当APD90时，APDB90，PAEAEB，APDEBA，x，PD；综上所述

66、：当APD是直角三角形时，PD的值为或；故选：B【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，牢固掌握以上知识点并准确计算是解题的关键2（2022山东模拟预测）矩形纸片中，将纸片折叠，使点B落在边上的处，折痕为延长交的延长线于M，折痕上有点P，下列五个结论中正确的有（）；若，则四边形是菱形A2B3C4D5【答案】B【分析】借助轴对称可知；利用勾股定理求，构造方程，求，在构造勾股定理求；由相似，在计算，进而可判断；证得，再证菱形即可【详解】解：点P在对称轴上，点B与点是对称点，则；故正确；连结，由翻折，由勾股定理，设，在中，由勾股定理，解得，在中，；故正确

67、；过M作，交延长线于F，由，则， 故不正确；故不正确；连接，由对称性可知，在和中，四边形为平行四边形，又，四边形是菱形，故正确五个结论中正确的是故选：B【点睛】此题考查了矩形的性质、图形的翻折变换，三角形全等判定与性质，勾股定理，菱形的判定与性质等知识的应用，此题的关键是能够证明3.（2022.山东中考模拟）如图，在中，点是线段上的一点，过点作交于点，将沿翻折，得到，若点恰好在线段上，若，：，则的长度为（）ABCD【答案】C【分析】设，则，由折叠的性质得，由勾股定理求出，设，则，由勾股定理列出方程求出值，则可得出答案【解析】解：设，则，将沿翻折，得到，设，则，解得，故选C4（2020江苏镇江中

68、考真题）如图，AB5，射线AMBN，点C在射线BN上，将ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQAB设APx，QDy若y关于x的函数图象（如图）经过点E(9，2)，则cosB的值等于（）ABCD【答案】D【分析】由题意可得四边形ABQP是平行四边形，可得APBQx，由图象可得当x9时，y2，此时点Q在点D下方，且BQx9时，y2，如图所示，可求BD7，由折叠的性质可求BC的长，由锐角三角函数可求解【详解】解：AMBN，PQAB，四边形ABQP是平行四边形，APBQx，由图可得当x9时，y2，此时点Q在点D下方，且BQx9时，y2，如图所示，B

69、DBQQDxy7，将ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，BCCDBD，ACBD，cosB，故选：D【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数等知识理解函数图象上的点的具体含义是解题的关键5（2022河南商丘统考三模）如图菱形OABC，在平面直角坐标系中，点A(8，0)，C60，点P为OA上的一点，且点P(3，0)，Q是BC边上的一个动点，将四边形OPQC沿直线PQ折叠，O的对应点，当的长度最小时，则点Q的坐标为（）A(1，4)B(2，4)C(3，4)D(0，4)【答案】C【分析】连接BP，设BC交y轴于T，首先求出PB的长，由题意，当点O落在BP上时

70、，BO的值最小，此时OPQQPB，证明BQBP7，可得结论；【详解】如图，连接BP，设BC交y轴于TA（8，0），四边形OABC是菱形，OAOCBC8，C60，OTC90，CTOC4，OT，B（4，4），P（3，0），PB，OPPO3，当点O落在BP上时，BO的值最小，此时OPQQPB，BCOA，BQPOPQ，BPQBQP，BQBP7，CQBCBQ871Q（3，4）；故选：C【点睛】本题主要考查了菱形的性质，坐标与图形对称变化，翻折变换，等边三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键6（2021陕西陕西师大附中校考模拟预测）如图，在菱形中，点P为对角线上的一个动点，过P作交于点E，交于点F，将沿

71、折叠，点A的对应点恰好落在对角线上的点G处，若是等腰三角形时，则的长为（）A或B或2C或4D或【答案】B【分析】分CG=CB和GC=GB两种情形，分别求解即可【详解】解：连接DB，交AC于点O，则DBAC.EF AC，EF/DB，CAB= CAD= BCA=30，AD=AB=BC=DB=，DO=BO=DBACAO= ,即AC=6当GC=CB=，AP=（AC-CG）=（6-）=3-；当GB=GC时，过点G做GHBC，则CH=BC=BCA=30GC= 2，AP=（AC-CG）=（6-2）=2；综上，AP的长为3-或2故选B【点睛】本题主要考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、菱形的性质、解直角

72、三角形等知识，掌握分类讨论的思想以及灵活运用所学知识成为解答本题的关键7（2022安徽模拟预测）正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在边AD、BC上，将正方形沿EF折叠，使点A落在处，点B落在处，交BC于G下列结论错误的是（）A当为CD中点时，则 B当时，则C连接，则D当（点不与C、D重合）在CD上移动时，周长随着位置变化而变化【答案】D【分析】当为CD中点时，设则，由勾股定理列方程求解，进一步求得的值，进而可判断A的正误；当三边之比为3：4：5时，设，由可求a 的值，进一步求得的值，进而可判断B的正误；过点E作EMBC，垂足为M，连接交EM，EF于点N，Q，证明，进而可判断C的正误；D过点

73、A作，垂足为H，连接，AG，先证，可得，再证，可得，由此证得周长16，进而可判断D的正误【详解】解：为CD中点，正方形ABCD的边长为8，由折叠的性质，设则，在中，由勾股定理得，即42+（8x）2x2，解得x5，AE5，DE3，故A正确；当三边之比为3：4：5时，设，则，解得：，故B正确；如图，过点E作EMBC，垂足为M，连接交EM，EF于点N，Q， ，由翻折可知：EF垂直平分，在和中， ，故C正确；过点A作，垂足为H，连接，AG，则，由折叠的性质可知，在和中，在与中，周长当在CD上移动时，周长不变，故D错误故选D【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知

74、识解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用8（2022春福建福州九年级阶段练习）如图，AB是O的直径，BC是O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E若，则BCD的度数是（）A22.5B30C45D60【答案】C【分析】连接，设，证明，利用三角形内角和定理求出，可得结论；【详解】解：如图，连接，设，是直径，故选：C【点睛】本题考查翻折变换，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型9（2022秋九年级课时练习）如图，将O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连接DE 若AD2

75、OD，则的值为（）ABCD【答案】D【分析】如图，连接AC，CD，OC，过点C作CHAB于H设OA3a，则AB6a首先证明ACCDDE，求出AC（用a表示），即可解决问题【详解】解：如图，连接AC，CD，OC，过点C作CHAB于H设OA3a，则AB6a在同圆或等圆中，ABC所对的弧有，ACCDDE，CHAD，AHDH，AD2OD，AHDHODa，在RtOCH中，CH，在RtACH中，AC，故选：D【点睛】本题考查圆周角定理，翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题10.（2022四川成都二模）如图，在矩形中，将矩形沿折叠，使点A落在边上的E处，得到四边形，连接，

76、若，则_【答案】【分析】过P作PNBC，垂足为N，根据折叠矩形ABCD得出GPE=ADG=FAD=FEP=BCD=B=90，再根据三角函数推出，设BE=3x，则BF=4x，EF=5x=AF，根据勾股定理表示AE，进而求出x=2，BC=12=AD=EP，BE=6，EF=10，AB=18，在RtEPN中，sinPEN=sinBFE=，cosPEN=cosBFE=，求出PN、EN，即可求出面积【详解】解：如图，过P作PNBC，垂足为N，折叠矩形ABCD，GPE=ADG=FAD=FEP=BCD=B=90，CGP=90GHP=90EHC=HEC=90FEB=BFE，tanCGP，tanBFEtanCGP

77、，设BE=3x，则BF=4x，EF=5x=AF，AB=AF+FB=9x，AE=，x=2，BC=12=AD=EP，BE=6，EF=10，AB=18，EC=BCBE=6，在RtEPN中，sinPEN=sinBFE=，cosPEN=cosBFE=，解得PN，EN，；故答案为：【点睛】本题考查勾股定理、矩形、正方形的性质、翻折变换、解直角三角形，熟练掌握这些知识点的综合应用，善于在复杂的图形中找出基本图形是解题关键11（2022.河北中考模拟）如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B将沿直线翻折得到若点C在反比例函数的图象上，则_【答案】【分析】过点C作CDx轴于D，过点

78、B作BEDC交DC的延长线于E，求出OA1，OB2，由折叠的性质得：ACOA1，BCOB2，ACBAOB90，然后证明，可得，设C（a，），则CD，ODa，求出ADa1，CE2，EBa，可得，然后由CE2AD得22（a1），求出a的值，进而可得k的值【解析】解：如图，过点C作CDx轴于D，过点B作BEDC交DC的延长线于E，在一次函数中，令y0，即，解得：x1，令x0，可得，A（1，0），B（0，2），OA1，OB2，由折叠的性质得：ACOA1，BCOB2，ACBAOB90，ACDBCE90，ACDCAD90，BCECAD，又ADCE90，CE2AD，EB2DC，设C（a，），则CD，ODa，

79、ADa1，CE2，EBa，由EB2DC得：a，即，由CE2AD得：22（a1），22（a1），解得：，故答案为：12（2022成都市树德实验中学校考模拟预测）如图，点是线段上一个动点，连接，将线段沿直线进行翻折，点落在点处，连接，以为斜边在直线的左侧或者下方构造等腰直角三角形，则点从运动到的过程中，线段的最小值是_，当从点运动到点时，点的运动总路径长是_【答案】 【分析】由，可得在以为圆心，为半径的圆上运动从运动到，当、共线时，最小；连接，可证明，从而得出，故点在以为圆心，为半径的圆上运动，当点从点运动到点时，点运动，进一步求得结果【详解】解：如图，连接，而，由折叠得：， 点在以为圆心，为半径

80、的圆上运动从运动到，当、共线时，最小，连接，同理：，点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图，当点从点运动到点时，点运动，点运动的路径长为：，故答案为：，【点睛】本题考查了轴对称性质，等腰直角三角形性质，相似三角形判定和性质，确定圆的条件，圆的周长公式等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形13（2022河南许昌统考二模）如图，在菱形中，点为边的中点，为射线上一动点，连接，把沿折叠，得到，当与菱形的边垂直时，线段的长为_【答案】或【分析】存在两种情况当点F在线段AB上时，由题意得出AE的长，在中可求出AG的长，由根据折叠的性质，可知在中，可求出GF的长，即可得出AF的长当点F在线段AB延长

81、线上时，由得出由中，求出由得出即可得出结果【详解】解：如图1所示：当点F在线段AB上时，过点E作于G， 四边形是菱形，点E是AD的中点，如图2所示：当点F在线段AB延长线上时，过点E作交AD于点H，四边形是菱形，点E是AD的中点，又 故答案为：或【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，锐角三角函数的知识，区分点F的位置在线段AB上和在线段AB的延长线上是解本题的关键14（2022湖北襄阳一模）如图，正方形的边长为24，点E是对角线上一点，且，F是的中点连接与交点G，将沿翻折，得到，连接，交于点M，则_【答案】【分析】过E作EKCD交AD于N，BC于K，由BE=3DE，NEAB，可知DNE

82、DAB，相似比为14，NE= ， ，FK=，EF= ， 得AEF为等腰直角三角形，AFE=FAE=45，GFE=AFE=45，则AFH=Rt过G作PGBC，过G作GQAB，则APGGQF，设QF=a，解得a=4过M作MRAF，则ARMAFH，设MR=b，则 解得b= 由，可求MH=【详解】解：过E作EKCD交AD于N，BC于K，则NKBC，ABCD是正方形BD=，BE=3DE，NEAB，DNEDAB，相似比为14，NE= ， ，NKCD是矩形，ND=KC=6，又F为BC的中点，FK= EF= ， AEF为等腰直角三角形，AFE=FAE=45，EFH为EGF翻折得到的三角形，GFE=EFH=45

83、，则AFH=45+45=90，过G作PGBC，过G作GQAB，则AGP=AFB，APG=ABC=GQF=90，APGGQF 设QF=a，ABCD为正方形，PBG=QBG=45，PBQG为正方形，PG=PB=BQ=GQ=12-a，AP=12+a， 解得a=4，则QF=4，GQ=8，在RtGQF中，GF= ，则FH=GF= ，在RtAFH中，AH= 过M作MRAF，则MRFH，ARMAFH，设MR=b，则RF=b，AR= ，则 解得b= ，AM= ，MH=故答案为【点睛】本题考查了翻折的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形15

84、（2022秋浙江杭州九年级校考阶段练习）在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连结（1）如图1，若点与圆心重合，则的度数为 _；（2）如图2，若点与圆心不重合，则的度数为 _【答案】 30#30度 58#58度【分析】（1）根据折叠性质可得，再根据特殊三角函数即可求得（2）直径所对的圆周角是，再根据折叠的性质求出，通过角的加减即可得到【详解】解：（1）如图1，过点作于，翻折后点与圆心重合，在中，；故答案为：（2）连接，是直径，根据翻折的性质，弧所对的圆周角为，弧所对的圆周角为，又，故答案为：【点睛】此题考查折叠的性质、圆周角，解题的关键是熟悉相关性质并会应用16（2021浙江金华统

85、考中考真题）在扇形中，半径，点P在OA上，连结PB，将沿PB折叠得到（1）如图1，若，且与所在的圆相切于点B求的度数求AP的长（2）如图2，与相交于点D，若点D为的中点，且，求的长【答案】（1）60；（2）【分析】(1)根据图像折叠的性质，确定角之间的关系，通过已知的角度来间接求所求角的角度；求的长，先连接，先在中，求出；再在中，求出即可得到答案；（2）要求的长，扇形的半径已知，就转化成求的度数，连接，通过条件找到角之间的等量关系，再根据三角形内角和为，建立等式求出，最后利用弧长的计算公式进行计算【详解】解：（1）如图1，为圆的切线由题意可得，如图1，连结，交BP于点Q则有在中，在中， （2）

86、如图2连结OD设点D为的中点由题意可得，又 ，解得【点睛】本题考查了求线段的长度和弧长的长度问题，解题的关键是：根据题目中的条件，找到边角之间的等量关系，通过等量代换的思想间接求出所需要求的量17（2022辽宁沈阳市九年级期中）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动(1)迁移探究：如图1，当点M在上时，_，_改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图2，判断与的数量关系，并说明理由已知正方形纸片的边长为8，当时，直接写出的长(2)拓展应用：正方形的边长为8，点P在边上，将沿直线翻折，使得点A落在正方形内的点M处，连接并延长交正方形一边于点G当时，则的长为_【答案

87、】(1)30，15，见解析， (2)4或 【分析】（1）根据正方形的性质和折叠性质证得，利用锐角三角函数可求得，进而可得，再由HL定理证明可求得；同样根据正方形的性质和折叠性质，以及定理证明得到；根据题意，可分点在线段上和点在线段上两种情况，利用正方形的性质和折叠性质分别求解即可；（2）可分两种情况：当点在上时，先证明四边形是平行四边形，再根据折叠性质得到；当点在上时，过作于，证明，进而可推得，为的中位线，设，则，由勾股定理可求得，则，求得即可得到答案【详解】（1）解：如图1，四边形是正方形，沿折叠正方形，沿折叠，使点落在上的点处， ，则，在和中，故答案为：30，15；，理由：四边形是正方形，

88、由折叠性质得：，又，；由折叠性质得：，由得，当点在线段上时，如图，则， ，又，由勾股定理得，解得：；当点在线段上时，如图 则，又，由勾股定理得，解得：，故的长为或；（2）解：当点在上时，如图， 四边形是正方形，又，四边形时平行四边形，由折叠性质得：，；当点在上时，如图，过作于，则，在和中，由折叠性质得：，又，为的中位线，则，设，则，在中，由得，解得：，综上，的长为或【点睛】本题考查正方形的性质、折叠性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线的判定与性质、勾股定理、分母有理化等知识，涉及知识点较多，综合性强，解答的关键是灵活运用相关

89、知识，学会运用数形结合和分类讨论思想解决问题18（2022江苏无锡统考一模）菱形中，点E在边上，F在边上，(1)如图1若点F与点B重合且，以直线为轴，将菱形折叠，使点C、D分别落在点、，且，请求出的长(2)如图2以直线为轴，将菱形折叠，使点C、D分别落在点、，且过点A，当时，请求出的值 【答案】(1) (2)【分析】（1）取中点，连接，设交于点，根据题意可得，根据折叠以及直角三角形斜边上的中线可得，可得，进而证明三点共线，证明，可得，即可证明，分别解直角三角形，求得的长，结合相似三角形的性质列出比例式求解即可；（2）设交于点，设，则，根据题意，解，分别求得，可得，即可求得的比值，即的值（1）如

90、图，取中点，连接，设交于点， 是直角三角形，四边形是菱形， ，折叠， 是等边三角形，三点共线， 在与中，又 在中，（2）如图，设交于点 设，则，折叠， 且过点A， 即 即【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键19（2021吉林统考中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，点为射线上一点，将沿折叠，点的对应点为点（1）若直接写出的长（用含的代数式表示）；（2）若，垂足为，点与点在直线的异侧，连接，如图，判断四边形的形状，并说明理由；（3）若，直接写出的度数【答案】（1）；（2）菱形，见解析；

91、（3）或【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得；（2）由题意可得，由“直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半”，得，得，则四边形是平行四边形，再由折叠得，于是判断四边形是菱形；（3）题中条件是“点是射线上一点”，因此又分两种情况，即点与点在直线的异侧或同侧，正确地画出图形即可求出结果【详解】解：（1）如图，在中，是斜边上的中线， （2）四边形是菱形理由如下：如图于点，；由折叠得，；，四边形是平行四边形；，四边形是菱形（3）如图，点与点在直线异侧，；由折叠得，； 如图，点与点在直线同侧，由折叠得，综上所述，或【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质、轴对称的性质、平行四边形及特殊平行四边形的判定等知识与方法，在解第（3）题时，应进行分类讨论，解题的关键是准确地画出图形，以免丢解