专题15 特殊三角形（精讲精练）（原卷版）.docx

1、第15讲 特殊三角形（精讲）1. 理解线段垂直平分线的概念2. 探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上3. 了解等腰三角形的概念4. 探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合5. 探索并证明等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形6. 探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于607. 探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60的等腰三角形）是等边三角形8. 了解直角三角形的概念9. 探索并掌握直角三角形的性质定理：

2、直角三角形的两个锐角互余10. 探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半11. 探索勾股定理、勾股定理的逆定理12. 能运用勾股定理及其逆定理解决一些简单的实际问题13. 探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理14. 了解三角形重心的概念第15讲 特殊三角形（精讲）1考点1：等腰三角形及其计算2考点2：等边三角形及其计算15考点3：角平分线与垂直平分线26考点4：直角三角形及其计算40课堂总结：思维导图62分层训练：课堂知识巩固63考点1：等腰三角形及其计算（1）性质等边对等角：两腰相等，底角相等，即ABACBC；三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底

3、边上的高互相重合; 对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.（2）判定定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；等角对等边：即若BC，则ABC是等腰三角形. 【例题精析1】 等腰三角形的性质如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点，到杆脚的距离相等，且，在同一直线上时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是A等边对等角B等角对等边C垂线段最短D等腰三角形“三线合一”【例题精析2】 等腰三角形的性质如图，在中，和的平分线分别交于点、，若，则的值为A7B8C9D10【例题精析3】 等腰三角形的性质如图，在中，平分，则的周

4、长为ABCD【例题精析4】 等腰三角形的性质如图，已知，且，则【例题精析5】 等腰三角形的性质中，且上的中线把这个三角形的周长分成了和的两部分，求这个三角形的腰长 【例题精析6】 等腰三角形的性质如图，在中，点在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是【例题精析7】 等腰三角形的性质在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，在轴上确定一点，使得为等腰三角形，则符合条件的点有个【对点精练1】 等腰三角形的性质“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，点、可在槽中滑动若，

5、则的度数是【对点精练2】 等腰三角形的性质若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则一个底角为【对点精练3】 等腰三角形的性质在中，在射线上有一点，若以、为顶点的三角形恰为等腰三角形，则【对点精练4】 等腰三角形的性质如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴上，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点共有 个【对点精练5】 等腰三角形的性质如图，在中，和的平分线分别交于点，若，则【对点精练6】 等腰三角形的性质如图，以等边的边为腰作等腰，使，连接，若，则的度数为 【对点精练7】 等腰三角形的性质（2020秋崇川区校级期中）已知：如图，中，平分，平分，过作直线平行于，交、于、求证：（

6、1）是等腰三角形；（2）【实战经典1】 （2021本溪）如图，在中，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点，点为的中点，连接，若，则的周长为ABCD4【实战经典2】 （2020福建）如图，是等腰三角形的顶角平分线，则等于A10B5C4D3【实战经典3】 （2020自贡）如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则的度数是ABCD【实战经典4】 （2021牡丹江）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为 【实战经典5】 （2021绍兴）如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连结，则的度数是 考点2：等边三角形及

7、其计算（1）性质边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60.即ABBCAC，BACBC60；对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定定义：三边都相等的三角形是等边三角形； 三个角都相等（均为60）的三角形是等边三角形；任一内角为60的等腰三角形是等边三角形.即若ABAC，且B60，则ABC是等边三角形. 【例题精析1】 等边三角形的性质如图，已知等边三角形纸片，点在边上，点在边上，沿折叠，使点落在边上的点的位置，且，则【例题精析2】 等边三角形的性质将一张等边三角形纸片ABC和一块直角三角板DBC（其中DBC45）按如图所示的位置摆放若BD，则

8、点A和点D之间的距离为 【例题精析3】 等边三角形的性质如图，在中，是等边三角形，若，则线段的长为 【例题精析4】 等边三角形的性质如图：等边三角形中，与相交于点，则的度数是ABCD【例题精析5】 等边三角形的性质如图，是等边三角形，于点，于点，则下列结论：点在的角平分线上； ； ； 正确的有A1个B2个C3个D4个【对点精练1】 等边三角形的性质如图，在中，点是内一点，点在上，是等边三角形，作的平分线交于点，若，则8【对点精练2】 等边三角形的性质如图，已知是等边内一点，则【对点精练3】 等边三角形的性质如图，是等边三角形，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，且，若，则的长为A3B

9、4C5D6【对点精练4】 等边三角形的性质如图，在四边形中，则的最大值是【实战经典1】 （2020铜仁市）已知等边三角形一边上的高为，则它的边长为A2B3C4D【实战经典2】 （2018福建）如图，等边三角形中，垂足为，点在线段上，则等于ABCD考点3：角平分线与垂直平分线角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等即若1 2，PAOA，PBOB，则PAPB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上垂直平分线（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等即若OP垂直且平分AB，则PAPB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线

10、上 【例题精析1】 垂直平分线的性质如图，在中，的垂直平分线交于，的中垂线交于，则的度数为ABCD【例题精析2】 垂直平分线的性质如图，在中，和的垂直平分线分别交于点，且点在点的左侧，则的周长是ABCD【例题精析3】 垂直平分线的性质如图，在中，是三角形角平分线的交点，是三边垂直平分线的交点，连接，若，则的大小为ABCD【对点精练1】 垂直平分线的性质如图，在中，的垂直平分线交于，的垂直平分线交与，则的周长等于【对点精练2】 角平分线的性质如图，在中，平分，若，则的面积为 【对点精练3】 角平分线的性质如图所示，点是内一点，平分，于点，连接，若，则的面积是A20B30C50D100【对点精练4

11、】 角平分线的性质如图，已知，则的长为ABCD【对点精练5】 角平分线的性质如图，已知在四边形中，平分，则四边形的面积是A24B28C30D32【对点精练6】 垂直平分线的性质如图，在中，点是边和的垂直平分线、的交点，若，则这两条垂直平分线相交所成锐角的度数为ABCD【对点精练7】 垂直平分线的性质如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，若，则的度数为ABCD【实战经典1】 （2020怀化）在中，平分，交于点，垂足为点，若，则的长为A3BC2D6【实战经典2】 （2020牡丹江）如图，直线、表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有A一处B二

12、处C三处D四处【实战经典3】 （2018辽阳）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，交射线于点，交射线于点，再分别以，为圆心，的长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线若，则点到的距离为A5BC4D【实战经典4】 （2021福建）如图，是的角平分线若，则点到的距离是 【实战经典5】 （2020南京）如图，线段、的垂直平分线、相交于点，若，则考点4：直角三角形及其计算直角三角形的性质(1)两锐角互余.即AB90；(2) 30角所对的直角边等于斜边的一半.即若B30则ACAB；(3) 斜边上的中线长等于斜边长的一半即若CD是中线，则CDAB.勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方即

13、a2b2c2 .直角三角形的判定(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若C90，则ABC是Rt；(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形即若ADBDCD，则ABC是Rt(3) 勾股定理的逆定理：若a2b2c2，则ABC是Rt. 【例题精析1】 勾股定理下列各组数是勾股数的是A6，8，10B1，C0.3，0.4，0.5D，【例题精析2】 勾股定理如图，在四边形中，为的中点，于点，则四边形的面积为 【例题精析3】 勾股定理在中，是边所在直线上的点，则【例题精析4】 勾股定理如图所示，四边形中，该四边形的面积是【例题精析5】 勾股定理如图，是我国古代数学家赵

14、爽用来证明勾股定理的著名的“赵爽弦图”，其中、和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理，设，取，则【例题精析6】 勾股定理如图，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为 【例题精析7】 直角三角形的性质如图，在中，则的面积为 【例题精析8】 直角三角形的性质（2020荆门）中，为的中点，则的面积为ABCD【对点精练1】 直角三角形的性质如图，一棵直立的大树在一次强台风中被折断，折断处离地面2米，倒下部分与地面成30角，这棵树在折断前的高度为（）A米B米C4米D6米【对点精练2】 直角三角形的性

15、质如图，ABC中，AB5，AC4，BC3，AB的垂直平分线分别交AC，AB于D，E，连接BD，则CD的长为 【对点精练3】 勾股定理在中，的对边分别为，有以下4个条件：；，；其中，能判断是直角三角形的是 （填序号）【对点精练4】 勾股定理已知三角形的三边分别为6，8，10，则最长边上的高等于 【对点精练5】 勾股定理我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是和，那么的值为【对点精练6】 直角三角形的性质如图，中，是斜边的中点为边上一点，且满足已知，则的长为

16、 【对点精练7】 直角三角形的性质对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线、交于点若，则169【对点精练8】 勾股定理如图，在中，以，和为边向上作正方形和正方形和正方形，点落在上，若，空白部分面积为16，则图中阴影部分的面积是 【实战经典1】 （2021福建）如图，某研究性学习小组为测量学校与河对岸工厂之间的距离，在学校附近选一点，利用测量仪器测得，据此，可求得学校与工厂之间的距离等于ABCD【实战经典2】 （2019陕西）如图，在中，为边上的中线，平分，交边于点，过点作，垂足为，则的度数为ABCD【实战经典3】 （2019黄石）如图，在中，于点，和的角平

17、分线相交于点，为边的中点，则ABCD【实战经典4】 （2021资阳）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形连结并延长交于点若，则的长为ABCD【实战经典5】 （2021襄阳）我国古代数学著作九章算术中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭ji生其中，出水一尺引葭赴岸，适与岸齐问水深几何”（丈、尺是长度单位，1丈尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面水的深度是多少？则水深为A10尺B11尺C12尺D1

18、3尺【实战经典6】 （2020哈尔滨）在中，为边上的高，则的长为课堂总结：思维导图分层训练：课堂知识巩固1有一题目：“如图，平分，过点作交于点，若点在上，且满足，求的度数”小贤的解答：以为圆心，长为半径画圆交于点，连接，则，由图形的对称性可得结合平行线的性质可求得而小军说：“小贤考虑的不周全，还应有另一个不同的值”下列判断正确的是A小军说的对，且的另一个值是B小军说的不对，只有一个值C小贤求的结果不对，应该是D两人都不对，应有3个不同值2如图，在中，和的平分线分别交于点、，若，则的值为A3B4C5D93如图，是的角平分线，垂足为，交的延长线于点，若恰好平分，下列四个结论中：；其中正确的结论共有

19、A4个B3个C2个D1个4如图，在边长为2的等边三角形中，为边上一点，且点，分别在边，上，且，为边的中点，连接交于点若，则的长为ABCD5如图，若，则A3B4C5D66已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，与相交于点，、相交于点，、相交于点，则下列五个结论：；是等边三角形其中，正确的有A2个B3个C4个D5个7如图，已知，直角顶点在上，已知，则ABCD8如图，沿直线折叠，使点与边上的点重合，若，则等于ABCD9如图所示，在中，则的度数为ABCD10如图，在中，是上一点，于点，于点，则的度数为ABCD11具备下列条件的中，不是直角三角形的是ABCD12如图，分别以的三边为斜边向外作等腰直

20、角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为A4B8C10D1213小颖的妈妈用如图的口杯喝花茶，由于吸管有点短，不小心斜滑到杯里，已知口杯的内径，口杯内部高度，要使吸管不斜滑到杯里，下列吸管最短的是A9B10C11D1214如图，是的角平分线，垂足为，则15如图所示，三角形的面积为垂直的平分线于点则三角形的面积是16如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连结以下五个结论：；为等边三角形；其中正确的有 （注把你认为正确的答案序号都写上）17如图，已知中高恰好平分边，点是延长线上一点，点是线段上一点且，下面的结论：；是等边三角形；其中正确的为 （

21、填序号）18如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，并画出了两锐角的角平分线，及其交点小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数是定值这个定值为 19如图，以直角三角形的三边为边向外作三个正方形、若，则1如图，在中，平分交于点，过点作交于点，已知，则的长为A6B7C8D92如图，是的平分线，于，连接，若的面积为，则的面积为ABCD不能确定3下列说法正确的是等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有两个内角分别是和的三角形是等腰三角形A1个B2个C3个D4个4已知，如图，在中，为边上的一点，延长到点，连接、，下列结论：为

22、等腰三角形；平分其中正确的结论个数有A1个B2个C3个D4个5如图，点为边上一点，点为线段的中点，以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，连接，则的长是ABC5D46如图，在中，分别平分和，且相交于，于点，则下列结论 ；平分；，其中正确的结论是ABCD7如图，在中，点、分别是、的中点，交的延长线于，则四边形的面积为A10B11C12D138如图，在中，以的三边为边向外做正方形，正方形，正方形，连结，作交于点，记正方形和正方形的面积分别为，若，则等于ABCD9如图，在中，为边上的一个动点，连接，为上的一个动点，连接，当时，线段的最小值是AB1C2D10如图，在中，的角平分线交于点，过点作交于点，点

23、是延长线上一点，且，连接交于点，则11如图，在中，、分别在边、上，则线段的长为12（1）小同学在网络直播课中学习了勾股定理，他想把这一知识应用在等边三角形中：边长为的等边三角形面积是 （用含的代数式表示）；（2）小同学进一步思考：是否可以将正方形剪拼成一个等边三角形（不重叠、无缝隙）？如果将一个边长为2的正方形纸片剪拼等边三角形，那么该三角形边长的平方是 ；小同学按图切割方法将正方形剪拼成一个等边三角形、分别为、边上的中点，、是边、上两点，为上一点，且请补全图形，画出拼成正三角形的各部分分割线，并标号；正方形的边长为2，设，则1如图，在中，点为所在平面内一点，且点与的任意两个顶点构成，均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点的个数为个2如图，在中，点在边上，点在边上（不与点、重合）若，则的取值范围是3如图，是等边三角形，高、相交于点，在上截取，以为边作等边三角形，则与重叠（阴影）部分的面积为4如图，在四边形中，对角线、交于点，且，则的值是5如图，在中，是边上一点，且，连接为的中点，过点作直线，交于点，过点作于点，过点作于点，则四边形的面积为 6如图，在中，为边上一点，连接交于，若，则线段的长度为