专题15三角形之“8”字模型-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（解析版）.docx

1、【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题15三角形之“8”字模型解题策略模型1：角的8字模型如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC 结论：ADBC模型2 边的“8”字模型如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC结论AC+BDAD+BC 模型分析 OA+ODAD， OB+OCBC， 由+得： OA+OD+OB+OCBC+AD 即：AC+BDAD+BC.经典例题【例1】（2021西湖区校级三模）如图，D，E为GCF中GF边上两点，过D作ABCF交CE的延长线于点A，AECE（1）求证：ADECFE；（2）若GB4，BC6，BD2，求CF的长【分析】（1）先由ABCF

2、得到FADE，AECF，然后结合AECE得到ADECFE；（2）由ABCF得到GBDGCF，然后由相似三角形的性质得到CF的长【解答】（1）证明：ABCF，FADE，AECF，在ADE和CFE中，ADECFE（AAS）（2）解：ABCF，GBDGCF，GB4，BC6，GCGB+BC10，BD2，CF5【例2】（2021秋阜阳月考）如图，在ABC和ADE中，ABAC，ADAE，BACDAE，连接BD，CE，BD与CE交于点O，BD与AC交于点F（1）求证：BDCE（2）若BAC48，求COD的度数（3）若G为CE上一点，GEOD，AGOC，且AGBD，求证：BDAC【分析】（1）根据ABAC，A

3、DAE，BACEAD，从而得出BADCAE，即可得出BADCAE，进而可以解决问题；（2）结合（1）证明COFBAC48，进而可以解决问题；（3）连接AO，证明ADOAEG，可得AGAO，DAOEAG，然后证明COFOAG，根据AGBD，可得AOFOAG，再根据等腰三角形的性质即可解决问题【解答】（1）证明：BACDAE，BAC+CADDAE+CAD，即BADCAE，在BAD与CAE中，BADCAE（SAS），BDCE；（2）解：BADCAE，ABDACE，AFBCFO，COFBAC48，COD180COF18048132，答：COD的度数为132（3）证明：如图，连接AO，BADCAE，AD

4、BAEC，ADAE，GEOD，在ADO和AEG中，ADOAEG（SAS），AGAO，DAOEAG，AGOC，OAOC，OAGDAO+DAG，OAGEAG+DAGDAEBAC，由（2）知：COFBAC，COFOAG，AGBD，AOFOAG，COFAOF，OAOC，BDAC【例3】（2020秋青岛期末）阅读材料，回答下列问题：【材料提出】“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成【探索研究】探索一：如图1，在八字型中，探索A、B、C、D之间的数量关系为 A+BC+D；探索二：如图2，若B36，D14，求P的度数为 25；探索三：如图3，CP、AG分别平分BCE、FAD，A

5、G反向延长线交CP于点P，则P、B、D之间的数量关系为 P【模型应用】应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，在四边形MNCB中，设M，N，+180，四边形的内角MBC与外角NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则A+180（用含有和的代数式表示），P（用含有和的代数式表示）应用二：如图5，在四边形MNCB中，设M，N，+180，四边形的内角MBC与外角NCD的角平分线所在的直线相交于点P，P（用含有和的代数式表示）【拓展延伸】拓展一：如图6，若设Cx，By，CAPCAB，CDPCDB，试问P与C、B之间的数量关系为 P（用x、y表示P）拓展二：如图7，AP平分BAD，CP平分BCD的邻补角

6、BCE，猜想P与B、D的关系，直接写出结论 2PBD180【分析】探索一：根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；探索二：根据角平分线的定义可得BAPDAP，BCPDCP，结合（1）的结论可得2PB+D，再代入计算可求解；探索三：运用探索一和探索二的结论即可求得答案；应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，利用三角形内角和定理可得A+180，再运用角平分线定义及三角形外角性质即可求得答案；应用二：如图5，延长MB、NC，交于点A，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，利用应用一的结论即可求得答案；拓展一：运用探索一的结论可得：P+PABB+PDB，P+CDPC+CAP，B+

7、CDBC+CAB，再结合已知条件即可求得答案；拓展二：运用探索一的结论及角平分线定义即可求得答案【解答】解：探索一：如图1，AOB+A+BCOD+C+D180，AOBCOD，A+BC+D，故答案为A+BC+D；探索二：如图2，AP、CP分别平分BAD、BCD，12，34，由（1）可得：1+B3+P，2+P4+D，BPPD，即2PB+D，B36，D14，P25，故答案为25；探索三：由D+21B+23，由2B+232P+21，+得：D+2B+21+23B+23+2P+21D+2B2P+BP故答案为：P应用一：如图4，由题意知延长BM、CN，交于点A，M，N，+180，AMN180，ANM180，

8、A180（AMN+ANM）180（180+180）+180；BP、CP分别平分ABC、ACB，PBCABC，PCDACD，PCDP+PBC，PPCDPBC（ACDABC）A，故答案为：+180，；应用二：如图5，延长MB、NC，交于点A，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，M，N，+180，A180，BP平分MBC，CP平分NCR，BP平分ABT，CP平分ACB，由应用一得：PA，故答案为：；拓展一：如图6，由探索一可得：P+PABB+PDB，P+CDPC+CAP，B+CDBC+CAB，Cx，By，CAPCAB，CDPCDB，CDBCABCBxy，PABCAB，PDBCDB，P+C

9、ABB+CDB，P+CDBC+CAB，2PC+B+（CDBCAB）x+y+（xy），P，故答案为：P；拓展二：如图7，AP平分BAD，CP平分BCD的邻补角BCE，PADBAD，PCD90+BCD，由探索一得：B+BADD+BCD，P+PADD+PCD，2，得：2P+BAD2D+180+BCD，得：2PBD+180，2PBD180，故答案为：2PBD180【例4】（2021春邗江区月考）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”（1）求证：A+CB+D利用以上结论解决下列问题：（2）如图2所示，1130，则A+B+C+D+E+F的度数为260（3

10、）如图3，若CAB和BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD，AB分别相交于点M，N若B100，C120，求P的度数若角平分线中角的关系改成“CAPCAB，CDPCDB”，试直接写出P与B，C之间存在的数量关系，并证明理由【分析】（1）根据三角形的内角和即可得到结论；（3）根据角平分线的定义得到CAPBAP，BDPCDP，再根据三角形内角和定理得到CAP+CCDP+P，BAP+PBDP+B，两等式相减得到CPPB，即P（C+B），然后把C120，B100代入计算即可；与的证明方法一样得到4PB+3C【解答】解：（1）证明：在图1中，有A+C180AOC，B+D180BOD，AOCBOD，A

11、+CB+D；（2）如图2所示，DMEA+E，3DME+D，A+E+D3，23+F，1130，3+F21130，A+E+D+F130，B+C1130，A+B+C+D+E+F260故答案为：260（3）以M为交点“8字型”中，有P+CDPC+CAP，以N为交点“8字型”中，有P+BAPB+BDP2P+BAP+CDPB+C+CAP+BDP，AP、DP分别平分CAB和BDC，BAPCAP，CDPBDP，2PB+C，B100，C120，P（B+C）（100+120）110；3PB+2C，其理由是：CAPCAB，CDPCDB，BAPCAB，BDPCDB，以M为交点“8字型”中，有P+CDPC+CAP，以N

12、为交点“8字型”中，有P+BAPB+BDPCPCDPCAP（CDBCAB），PBBDPBAP（CDBCAB）3（CP）PB，4PB+3C培优训练一选择题1（2022春叙州区期末）如图，BP平分ABC交CD于点F，DP平分ADC交AB于点E，若A45，P40，则C的度数为（）A30B35C40D45【分析】根据三角形内角和定理，得A+ADGC+GBC，A+ADEP+PBE根据角平分线的定义，得到GBC2PBE，ADG2ADE，进而推断出A+C2P，从而解决此题【解答】解：A+ADG+AGD180，ABC+C+BGC180，A+ADG+AGDABC+C+BGC又AGDBGC，A+ADGC+GBCA

13、CGBCADG同理可得，A+ADEP+PBEAPPBEADEBP平分ABC交CD于点F，DP平分ADC交AB于点E，GBC2PBE，ADG2ADEAC2（AP）A+C2P又A45，P40，C35故选：B2（2022包头）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，则ABE与CDE的周长比为（）A1：4B4：1C1：2D2：1【分析】利用网格图，勾股定理求得AB，CD的长，利用直角三角形的边角关系定理得出BAFHCD，进而得到BACDCA，则ABCD，再利用相似三角形的判定与性质解答即可【解答】解：如图所示，由网格图可知：BF2，

14、AF4，CH2，DH1，AB2，CDFACG，FACACG在RtABF中，tanBAF，在RtCDH中，tanHCD，tanBAFtanHCD，BAFHCD，BACBAF+CAF，ACDDCH+GCA，BACDCA，ABCD，ABECDE，ABE与CDE的周长比2：1故选：D3（2021秋市中区期末）如图，在ABC中，AB4，BC5，点D、E分别在BC、AC上，CD2BD，CE2AE，BE交AD于点F，则DEF面积的最大值是（）A1B2CD【分析】先利用两边对应成比例及其夹角相等得到A字型相似，从而得到相关线段比及ABDE，再利用8字型相似及等底等高的相等面积，分析可得到DEF的面积与ABD的

15、面积的关系，从而利用ABD的面积最大得到DEF的面积最大值【解答】解：CD2BD，CE2AE，CC，CDECBA，CEDCAB，ABDE，SABESABD，当SABD最大时，SDEF最大，当ABBD时，故选：D4（2021春自流井区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BC上，且BE：EC1：2，AE交BD于点F，若AC4，菱形ABCD的面积为12，则AF的长为（）A1.4B1.5C2.4D2.5【分析】利用菱形面积公式得到BD6，利用菱形两条对角线对互相垂直且平分，推出AFDEFB，最后根据对应边成比例再结合勾股定理即可求出答案【解答】解：S菱形ABCDACBD

16、4BDBD12，BD6，菱形两条对角线对互相垂直且平分，OAOC2，OBOD3，AOF90ADBC，DBCADB，BFEAFD，FADFEB，AFDEFB，又，BFBD，OF3，在RtAOF中，AF2.5故答案为：D5（2022宝山区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，AE交BD于点F，那么SABF：S四边形CDFE的比值为 2：5【分析】首先利用平行四边形的性质证明ADFEBF，然后利用相似三角形的的性质得到AD：BEDF：BFAF：EF，接着利用E是BC的中点依次求出SBEF，SABF，SAFD，SABD，SBCD，S四边形CDFE，最后求出题目的结果【解答】解：四边形AB

17、CD为平行四边形，SABDSBCD，ADBC，ADFEBF，AD：BEDF：BFAF：EF，E是BC的中点，AD：BEDF：BFAF：EF2：1，设SBEFa（a0），则SABF2a，SAFD4a，SABD6a，又SABDSBCD，SBCD6a，S四边形CDFE6aa5a，SABF：S四边形CDFE2：5故答案为：2：56（2022沈阳模拟）如图，在ABC中，ABAC6，点D是ABC所在平面内一点，且A2BDC，BD交AC所在的直线于点E，当BEDE20时，CE2或10【分析】由题意知，点D在以A为圆心，以AB长为半径的圆上，设CA的延长线交A于点G，连接BG可得BGCBDC，可证得GEBDE

18、C，则，即BEDEGECE20，可得（12CE）CE20，解方程即可【解答】解：由题意知，点D在以A为圆心，以AB长为半径的圆上，设CA的延长线交A于点G，连接BGBGCBDC，BEGCED，GEBDEC，即BEDEGECE20，ABAC6，GC12，（12CE）CE20，解得CE2或10故答案为：2或107（2021秋泉州期末）如图，在矩形ABCD中，点E在CD上，且DE2CE，BEAC于F，连结DF，有下列四个结论：CEFACB；AF2CF；DFAF；tanACD其中正确的结论有 （填写序号即可）【分析】利用矩形的性质可得ABCD，ABC90，从而可得ECACAB，然后利用两角相等的两个三

19、角形相似证明即可解答；根据已知可得，利用8字型相似证明CEFABF即可解答；要判断DFAF，只要判断出DAFADF，进而只要判断出CDFCAB即可解答；先设CEa，DE2a，设ADb，然后证明ADCECB，利用相似三角形的性质找到a，b的关系，最后求出tanACD的值即可【解答】解：四边形ABCD是矩形，DCAB，ABC90，ECACAB，BEAC，EFC90，EFCABC90，CEFACB，故正确；四边形ABCD是矩形，DCAB，DE2CE，ECACAB，CFEAFB，CEFABF，AF3CF，故错误；四边形ABCD是矩形，ADCDAB90，CDF+ADF90，DAF+CAB90，FDCF，

20、CDFDCF，ECACAB，CDFCAB，ADFDAF，DFAF，故错误；DE2CE，设CEa，DE2a，CDDE+CE3a，设ADb，四边形ABCD是矩形，ADCDCB90，ADBCb，DCA+ACB90，BFC90，ACB+CBE90，CBEDCA，ADCECB，b23a2，ba，tanACD，故正确；所以，正确的结论有：，故答案为：8（2021延边州模拟）如图，正方形ABCD中，点E是BC的中点，EFAE交AD的延长线于点F，若AB4，则DF的长为 6【分析】设DC与EF相交于点G，先利用一线三等角相似模型证明ABEECG，求出CG，从而求出DG，然后利用8字模型相似三角形证明FDGEC

21、G，再利用相似三角形的性质进行计算即可解答【解答】解：设DC与EF相交于点G，四边形ABCD是正方形，BC90，ADBC，ABBCCD4，BAE+AEB90，EFAE，AEF90，AEB+FEC90，BAEFEC，ABEECG，点E是BC的中点，BEECBC2，CG1，DGCDCG413，ADBC，FFEC，FDCDCE，FDGECG，DF6，故答案为：69（2021秋福州期末）如图，ABCD，AD与BC相交于点E，若AE3，ED5，则的值为 【分析】利用平行线的性质判定ABEDCE，利用相似三角形的性质可得结论【解答】解：ABCD，ABEDCEAE3，ED5，故答案为：10（2019春崇川区

22、校级月考）如图所示，AB、CD相交于点O，若BE平分ABD交CD于F，CE平分ACD交AB于G，A45，BEC40，则D的度数为35【分析】先根据角平分线定义得到12，34，再利用三角形内角和定理和对顶角相等得到1+D4+E，1+2+D3+4+A，即21+D24+A，接着利用2得2E（D+A），由此即可解决问题【解答】解：如图，BE平分DBA交DC于F，CE平分DCA交AB于G，12，34，1+D4+E，1+2+D3+4+A，即21+D24+A，由2得D2EA，A45，BEC40，D35，故答案为3511（2022春新野县期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后，数学老师安排了自主探究内容

23、一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明请将下面（1）中的证明补充完整：（1）已知：如图1，三角形ABC，求证：BAC+B+C180，证明：过点A作EFBC（2）如图2，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”请利用小颖探究的结论直接写出A、B、C、D之间的数量关系：A+DC+B；（3）在图2的条件下，DAB和BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，得到图3，请判断P与D、B之间存在的数量关系

24、，并说明理由【分析】（1）通过作平行线把三角形的内角转移到同一个顶点，然后利用平角的定义解决问题；（2）利用（1）的结论即可求解；（3）利用（2）的结论即可求解【解答】（1）证明：过A作EFBC，EABB，FACC，又EAB+BAC+FAC180，B+C+BAC180；（2）解：根据（1）得A+D+AODC+B+COB180，又AODBOC，A+DC+B；故答案为：A+DC+B；（3）解：2PD+B根据（2）D+DAPP+DCP，PAB+PB+PCB，DAB和BCD的平分线AP和CP相交于点P，DAPPAB，DCPPCB，得：DPPB，2PD+B12（2022春靖江市校级月考）已知，如图，线段

25、AD、CB相交于点O，连结AB、CD，DAB和BCD的平分线AP和CP相交于点P试问P与D、B之间存在着怎样的数量关系，请说明理由【分析】根据“8字形”可得OAB+BOCD+D，1+P2+D，由角平分线的定义可得OAB21，OCD22，整理可得结论【解答】解：2PB+D，理由如下：如图，在AOB和COD中，AOBCOD，OAB+BOCD+D，在AEP和CED中，AEPCED，1+P2+D，AP、CP分别是DAB和BCD的角平分线，OAB21，OCD22，2PB2DD，整理得，2PB+D13（2022春江阴市校级月考）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之

26、为“8字形”试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出A、B、C、D之间的数量关系：A+DB+C；（2）如图2，在图1的条件下，DAB和BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N请直接利用（1）中的结论，完成下列各题：仔细观察，在图2中“8字形”的个数：6个；若D40，B50，试求P的度数；若D和B为任意角，其他条件不变，试问P与D、B之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出推理过程；若不存在，请说明理由；若D和B为任意角，DAB32，DCB34，试问P与D、B之间是否存在一定的数量关系？若存在，请直接写出结论；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用三角形内角和定理

27、及对顶角相等即可得出结论；（2）分别找以交点M、O、N为顶点的能构成“8字形”的三角形；利用“8字形”的数量关系结合角平分线即可得出P的度数；和同理；利用“8字形”的数量关系结合“DAB32，DCB34即可得出结论【解答】解：（1）A+D180AOD，B+C180COB，且AODCOB，A+DB+C；故答案为A+DB+C；（2）以M为交点的有1个，为AMD和CMP，以O为交点的有4个，为AOD和BOC，AOD和CON，AOM和BOC，AOM和CON，以N为交点的有1个，为ANP和BNC，故答案为6个；AP平分DAB，CP平分BCD，21OAD，23OCB，由（1）中的结论得：1+D3+P，21

28、+D23+B，整理得：B+D2P，P45；：B+D2P，理由如下：AP平分DAB，CP平分BCD，21OAD，23OCB，由（1）中的结论得：1+D3+P，21+D23+B，整理得：B+D2P；2B+D3P，理由如下：由（1）中结论得：2+P4+B，32+D34+B，整理得：2B+D3P14（2021秋九龙坡区校级期末）如图，ABC为等腰直角三角形，CBA90以斜边AC为腰作等腰CAD，使ACAD，点E为CD边中点，连接AE（1）如图1，当A、B、D三点共线时，若AE与BC相交于点F，求证：BFBD（2）如图2，射线BM是ABC的外角CBG的角平分线，当点D恰好落在射线BM上时，请求出CAE的

29、度数（3）如图3，连接BD，以BD为斜边作RtBQD，连接EQ，若AC8，请直接写出线段EQ的最大值【分析】（1）证明ABFCBD（AAS），即可证明BFBD；（2）过点D作DPAC于P，过点B作BQAC于Q，则BQ/DP，BM/AC，证明四边形PQBD是矩形，可得CAD30，所以CAECAD15；（3）点Q在以BD为直径的O上，连接EO并延长交O于S，则ES即为EQ的最大值，可证得EO/BC，所以ESEO+OS4+BD，当BD最大时，ES最大：当点D在BA的延长线上时，BD最大，BD的最大值为BDAB+ADAB+AC8+8，可得ESEO+OS8+4【解答】（1）证明：当A、B、D三点共线时，

30、ACAD，点E为CD边中点，AECD，ABC是等腰直角三角形，CBA90，ABCB，ABFCBD90，又DAE+D90，DAE+AFB90，AFBD，在ABF和CBD中，ABFCBD（AAS），BFBD；（2）解：如图2，过点D作DPAC于P，过点B作BQAC于Q，则BQ/DP，ABC是等腰直角三角形，CBA90，ABCB，BAC45，CBG90，BQAC，BQAC，BM平分CBG，MBGCBG9045，MBGBAC45，BMAC，又BQDP，PQB90，四边形PQBD是矩形，DPBQ，DPAC，又ACAD，DPAD，CAD30，又ACAD，E为CD的中点，CAECAD3015；（3）解：如图

31、3，BQD90，点Q在以BD为直径的O上，连接EO并延长交O于S，则ES即为EQ的最大值，ABC是等腰直角三角形，CBA90，AC8，ABCBAC88，E为CD的中点，O为BD的中点，EOBC，EOBC84，OSBD，ESEO+OS4+BD，当BD最大时，ES最大：ACAD，当点D在BA的延长线上时，BD最大，如图4，BD的最大值为BDAB+ADAB+AC8+8，ESEO+OS4（8+8）8+4，综上所述，EQ的最大值为8+415（2021秋大兴区期末）在ABC中，ACBC，ACB90，点D是直线AC上一动点，连接BD并延长至点E，使EDBD过点E作EFAC于点F（1）如图1，当点D在线段AC

32、上（点D不与点A和点C重合）时，此时DF与DC的数量关系是 DFDC（2）如图2，当点D在线段AC的延长线上时，依题意补全图形，并证明：2ADAF+EF（3）当点D在线段CA的延长线上时，直接用等式表示线段AD，AF，EF之间的数量关系是 AF2AD+EF【分析】（1）由ACB90、EFAC得到EFDBCD，结合BDED、EDFBDC得证EDFBDC，然后得到DFDC；（2）同（1）理得证BDCEDF，然后得到CDFD、BCEF，然后由ACBC得到2ADAF+EF；（3）同（1）理得证DFEDCB，然后得到EFBC、DFDC，再结合ACBC得到AF、AD、EF的数量关系【解答】解：（1）EFA

33、C，EFDBCD90，EDFBDC，EDBD，EDFBDC（AAS），DFDC（2）图形补充如图（1），证明如下，同（1）理得，BDCEDF，BCEF，DCDF，ADAC+CD，ACBC，2ADAD+AC+CDAD+EF+DFAF+EF（3）根据题意作出图形如图（2），由（1）得，BDCEDF，DFDC，EFBC，DCAD+CD，DFAD+ACAD+EF，AFDF+AD2AD+EF，故答案为：AF2AD+EF16（2021秋营口期末）若ABC，ADE为等腰三角形，ACBC，ADDE，将ADE绕点A旋转，连接BE，F为BE中点，连接CF，DF（1）若ACBADE90，如图1，试探究DF与CF的关

34、系并证明；（2）若ACB60，ADE120，如图2，请直接写出CF与DF的关系【分析】（1）延长CF至点M，使CFFM，连接ME，MD，CD，延长DE交CB延长线于点N，先证明BFCEFM（SAS），再证MEDCAD（SAS），得到DCM为等腰直角三角形，即可求解；（2）延长CF至点M，使CFFM，连接ME，MD，CD，延长ED交BC延长线于点N，先证明BFCEFM（SAS），再证MEDCAD（SAS），得到DCM为等腰三角形，即可求解【解答】解：（1）DFCF且DFCF； 延长CF至点M，使CFFM，连接ME，MD，CD，延长DE交CB延长线于点N，BFEF，CFFM，BFCEFM，BFCE

35、FM（SAS），EMBCAC，FMEFCB，BCEM，NMEN，在四边形ACND中，ACBADE90，N+CAD360（ACB+ADE）180，又MEN+MED180，MEDCAD，又 ADDE，EMAC，MEDCAD（SAS），DMDC，MDECDA，MDCNDC+MDENDC+CDAADE90，DCM为等腰直角三角形，点F是CM中点，DFCMCF，DFCF；（2）DFCF且；延长CF至点M，使CFFM，连接ME，MD，CD，延长ED交BC延长线于点N，BFEF，CFFM，BFCEFM，BFCEFM（SAS），EMBCAC，FMEFCB，BCEM，NNER，ACB60，ACN120，ADE1

36、20，ADN60，N+CAD360（ACN+ADN）180，DER+DEM180，DEMCAD，又 ADDE，EMAC，MEDCAD（SAS），DMDC，MDECDA，DCM为等腰三角形，CDMADE120，DFCF且17（2021秋正阳县期末）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”如图2，在图1的条件下，DAB和BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出A、B、C、D之间的数量关系：A+DC+B；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：6个；（3）图2中，当D50度，B40度时

37、，求P的度数（4）图2中D和B为任意角时，其他条件不变，试问P与D、B之间存在着怎样的数量关系（直接写出结果，不必证明）【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出A+DC+B；（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个；（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得DAP+DP+DCP，PCB+BPAB+P，再根据角平分线的定义，得出DAPPAB，DCPPCB，将+，可得2PD+B，进而求出P的度数；（4）同（3），根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出2PD+B【解答】解：（1）A+D+AODC+B+BOC180，AODBOC，A+DC+B，故答案为：A+DC

38、+B；（2）线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；故“8字形”共有6个，故答案为：6；（3）DAP+DP+DCP，PCB+BPAB+P，DAB和BCD的平分线AP和CP相交于点P，DAPPAB，DCPPCB，+得：DAP+D+PCB+BP+DCP+PAB+P，即2PD+B，又D50度，B40度，2P50+40，P45；（4）关系：2PD+BD+1P+3B+4P+2+得：D+1+4+B

39、P+3+2+P，DAB和DCB的平分线AP和CP相交于点P，12，342PD+B18（2022春茌平区期末）如图1，在RtABC中，A90，ABAC，点D，E分别在边AB、AC上，ADAE，连结BE，P，Q，M分别为DE，BC，BE的中点（1）线段PM与QM有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由（2）如图2，把图1中的ADE绕点A顺时针旋转至点D、E、C三点共线时，DE与AB交于点O，连结PQ，BD，CE，判断MPQ的形状，并说明理由；（3）已知AB7，AD3，将ADE绕点A旋转一周的过程中，请直接写出MPQ面积的最大值【分析】（1）先判断出MP，MPAB；MQ，MQAC，进一步得出结果；（2

40、）延长CE交BD于N交AB于O，证明ACEABD，从而得出BDCE，ABDACE，进而得出BNC90，结合MP，MPBD，MQ，MQCE，进一步得出结论；（3）PMQ是等腰直角三角形，当BD最大时，PMQ的面积最大，确定当B、A、D共线时，BD最大，进一步求得结果【解答】解：（1）PMQM，PMQM；理由：ABAC，ADAE，ABADACAE，即：BDCE，点P是DE的中点，点M是BE的中点，PM，PMAB，PMEABE，同理可得：MQ，MQE180CBE，PMMQ，PMQPME+QMEABE+180BEC，CEBABE+BACABE+90，PMQABE+180（ABE+90）90，（2）MP

41、Q是等腰直角三角形，理由如下：如图1，延长CE交BD于N交AB于O，DAEBAC90，、DAEBAEBACBAE，即：BADCAE，在BAD和CAE中，BADCAE（SAS），BDCE，ABDACE，AOCBON，BNCBAC90，NBC+BCN90，BNC90，PM是BED的中位线，PMBD，PM，PMENBM，同理可得：MQ，MQCE，PMMQ，QME180BCE，同理（1）可得：PMQ90，PMQ是等腰直角三角形；（3）如图2，由（2）知：PMQ是等腰直角三角形，且直角边PMBD，当BD最大时，PMQ的面积最大，BDAB+AD，当B、A、D共线时，BD最大AB+AD10，PMMQ5，SP

42、MQ最大19（2022春石家庄期中）如图1至图2，在ABC中，BAC，点D在边AC所在直线上，作DE垂直于直线BC，垂足为点E；BM为ABC的角平分线，ADE的平分线交直线BC于点G特例感悟：（1）如图1，延长AB交DG于点F，若BMDG，F30解决问题：ABC60；求证：ACAB；深入探究；（2）如图2，当90，DG与BM反向延长线交于点H，用含的代数式表示BHD45；拓展延伸：（3）当点D在直线AC上移动时，若射线DG与射线BM相交，设交点为N，直接写出BND与的关系式【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义可得答案；根据平行线的性质得DGCCBM30，再根据垂直的定义和角平分线的定

43、义可得结论；（2）由八字模型可得，BHG和DEG中，BHDEDG+90HBG，再整理可得答案；（3）分情况讨论，分别画出对应图形，再整理即可【解答】解：（1）BMDG，ABMF30，BM为ABC的角平分线，ABC2ABM60，故答案为：60；证明：由得，CBMABM30，BMDG，DGCCBM30，DEBC，EDG60，DG平分ADE，ADF60，A180306090，ACAB；（2）由八字模型可得，BHG和DEG中，BHDEDG+90HBGADE+90（180ABC）（ADE+ABC）9045故答案为：45；（3）如图，由八字模型可得，ABM和NMD中，BNDABN+AMDNABC+（90A

44、CB）（ABC+ACB）+4545+；如图，由四边形的内角和得，BND36090ABCADE270（270）135+；如图，由八字模型可得，BND+ABMADG+DAB，BNDADE+（180）ABC（90ACB）+（180）ABC135；综上，BND45+或13520（2021新泰市模拟）（1）（教材呈现）如图，在ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，结论：DEBCDEBC（2）（结论应用）如图1，四边形ABCD中，ADBC，E、F、G分别是AB、DC、AC的中点，若ACB80，DAC20，求EFG的度数（3）如图2，在ABC外分别作正方形ACEF和BCGHD是AB的中点，M，N分别是正

45、方形的中心，AC3，BC2，则DMN的面积最大值为多少？【分析】（1）证DAEBAC，再由相似三角形的性质即可得出结论；（2）由三角形的中位线定理可得GFAD，GFAD，GEBC，GEBC，再由平行线的性质和等腰三角形的性质可求解；（3）由“SAS”证ACGECB，得BEAG，CEBCAG，再由三角形中位线定理证MDN是等腰直角三角形，得DMN的面积DM2，则当DM有最大值时，DMN的面积有最大值，即可求解【解答】（1）证明：D，E分别是AB，AC的中点，AA，DAEBAC，ADEB，DEBC且DEBC；（2）解：E、F、G分别是AB、DC、AC的中点，GFAD，GFAD，GEBC，GEBC，

46、DACFGC20，AGEACB80，CGE18080100，EGFFGC+CGE20+100120，ADBC，GFGE，EFGFEG（180EGF）（180120）30；（3）解：如图2，连接BE，AG交于点P，BE与AC与点O，连接AE，GB，在正方形ACEF和正方形BCGH中，ACEC，BCCG，ACEBCG90，BCG+ACBACE+ACB，即ACGECB，ACGECB（SAS），BEAG，CEBCAG，APO+CAGOCE+CEB（八字模型），APOOCE90，BEAG，M，N分别是正方形的中心，点M在AE上，点N在BG上，AMEM，BNNG，又ADBD，MDBE，DNAG，MDBE，DNAG，MDDN，MDDN，MDN是等腰直角三角形，DMN的面积DM2，当DM有最大值时，DMN的面积有最大值，MDBE，当BE有最大值时，MD有最大值，BEBC+CE，BE5，MD，DMN的面积的最大值为