专题15弧长及扇形的面积 （2个知识点6种题型）（原卷版）.docx

1、专题15弧长及扇形的面积 （2个知识点6种题型）【目录】倍速学习三种方法【方法一】 脉络梳理法知识点1.弧长公式（重点）知识点2.扇形面积公式（难点）【方法二】 实例探索法题型1.已知弧长求半径或圆心角题型2.用扇形面积公式解决旋转问题题型3.计算阴影部分的面积题型4.计算曲线长题型5.规律探究题题型6.圆的有关性质与扇形面积公式的综合应用【方法三】成果评定法【学习目标】1. 认识弧长与扇形的面积公式。2. 理解弧长与扇形面积公式的推导过程。3. 能利用弧长与扇形的面积公式进行计算。【知识导图】 【倍速学习三种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.弧长公式（重点）（1）圆周长公式：C2R（2）弧

2、长公式：l=nR180（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）在弧长的计算公式中，n是表示1的圆心角的倍数，n和180都不要带单位若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长题设未标明精确度的，可以将弧长用表示正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一【例1】如图，AB为O的直径，C为O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，CAD36，连接BC（1）求B的度数；（2）若AB3，求EC的长【变式】抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一如示意图，AC，BD

3、分别与O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P若P120，O的半径为5cm，则图中弧CD的长为_cm（结果保留）（）A53B56C253D256知识点2.扇形面积公式（难点）（1）圆面积公式：Sr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=n360R2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积【例2】半径为6的圆中，一个扇形的圆心角为60，则该扇形的面积为（）A6B3C2D【

4、变式】（2022春长兴县月考）如图，已知扇形AOB的圆心角为120，半径OA为6cm求扇形AOB的弧长和面积【方法二】实例探索法题型1.已知弧长求半径或圆心角1（2022铁西区开学）如果一个扇形的半径是2，弧长是2，则此扇形的图心角的度数为 2（2022秋江苏南通九年级校考阶段练习）用圆心角为，半径为扇形做成一个圆锥的侧面，则圆锥底面圆半径为（）ABCD题型2.用扇形面积公式解决旋转问题3（2023秋江苏九年级专题练习）如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转点A旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为（）ABCD题型3.计算阴影部分的面积4（2022春渝北区月考）等腰直角三角形AOB中，OA

5、OB2，以点O为圆心，OA为半径作扇形AOB，则图中阴影部分的面积为（）（结果保留）A42BC2D25（2022海曙区校级开学）如图，在菱形ABCD中，A60，AB2以点A为圆心，AB为半径作BD，向菱形内部作BC，使BC=BD，则图中阴影部分的面积为（）A2332B33-43C23-23D3-36（2022九龙坡区模拟）如图，扇形AOB中，AOB90，OA2，连接AB，以点B为圆心，以OB的长为半径作弧，交弧AB于点C，交弦AB于点D，则图中阴影部分的面积为 7（2022虎丘区校级模拟）如图，等腰三角形ABC中，A90，BC2分别以点 B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、B

6、C、AC于点 D、E、F，则图中阴影部分的面积为 题型4.计算曲线长8（2022秋江苏九年级专题练习）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边，分别以点A，B，C为圆心，以长为半径作，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形如果一个曲边三角形的周长为，则此曲边三角形的面积为（）ABCD题型5.规律探究题9（2023秋南岗区期末）（1）问题初探，如图1，在研究圆的面积时，将圆等分成若干个扇形再拼起来，可以发现把圆等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方形，这个长方形的面积就越接近于圆的面积，其中这个长方形的长是圆周长的一半，宽等于圆的半径，故由长方形的面积推导出圆的面积，这个过程体现了“无限逼

7、近”的数学思想小明在数学活动中，把一个圆等分成若干个扇形，然后拼成了一个近似的长方形，并测量出这个长方形的长是9.42厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米？取（2）类比分析，生活中的易拉罐、圆形笔筒等都是一种叫做圆柱的立体图形（如图，它的上底面、下底面是两个大小相等的圆，侧面展开后是一个长方形，上、下底面之间的距离叫做圆柱的高小明在学习了圆的面积后，也想用类似的方法研究圆柱的体积，他将一个圆柱等分成若干份，拼成了一个近似的长方体（如图，他发现把圆柱等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方体，这个长方体的体积就越接近于圆柱的体积，故由长方体的体积推导出圆柱的体积小明将一个半径为3分米，高为8

8、分米的圆柱等分成若干份拼成一个近似的长方体，长方体表面积比圆柱表面积增加多少平方分米？（3）学以致用，如图3，清雪车的前端装有滚筒，在滚筒上装有致密的刷毛，使得滚筒成为一把可以旋转的大扫帚，利用刷毛将粘结在路面上的积雪卷起，以达到除雪的目的清雪车前端的滚筒是一个圆柱，滚筒体积为1.57立方米，滚筒横截面半径是0.5米，如果滚筒每分钟转5周如果这次清雪要完成32970平方米的清雪任务，5辆相同的清雪车同时工作，需要多少小时完成？取10（2023秋灌云县期中）【问题提出】：比较代数式与的大小【问题探究】：要比较代数式与的大小，只要求出它们的差，若，则；若，则；若，则，反之亦然【问题解决】：（1）如

9、图，有、两种型号的钢板，型钢板的面积比型钢板大，制作某产品有两种用料方案，方案1：用4块型钢板，8块型钢板；方案2：用3块型钢板，9块型钢板从省料角度考虑，应选哪种方案？请说明理由；（2）有、两块长方形菜地，菜地的长为米，宽为米，菜地的长为米，宽为米，试比较两块长方形菜地周长的大小；（3）如图，正方形的边长为，以为圆心，为半径作圆弧以为圆心，为半径作圆弧若图中阴影部分的面积分别为、，请你比较与的大小题型6.圆的有关性质与扇形面积公式的综合应用11（2022春江苏南通九年级校考阶段练习）如图，在中，以为直径的交于点D，与的延长线交于点E，的切线与垂直，垂足为点F(1)求证：；(2)若，求的长【方

10、法三】 成果评定法一选择题（共6小题）1（2023五华区校级四模）如图，是以为直径的半圆周的三等分点，则阴影部分的面积是ABCD2（2023崆峒区校级三模）道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料图中的管道中心线的长为（单位：ABCD3（2023晋安区校级模拟）已知圆的半径为6，的圆心角所对的弧长是ABCD4（2023秋长春期末）如图，在圆形纸板上裁剪两个扇面具体操作如下：作的任意一条直径，以点为圆心、长为半径作圆，与相交于点、；以点为圆心、长为半径作圆，与相交于点、；连结、，得到两个扇形，并裁剪下来若的半径为，则剩余纸板（图中阴影部分图形）的面积为ABCD5（2

11、023包头模拟）如图所示，边长为1的正方形网格中，是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为ABCD6（2023广元）如图，半径为5的扇形中，是上一点，垂足分别为，若，则图中阴影部分面积为ABCD二填空题（共6小题）7（2023秋平湖市期末）如图，正ABC的边长是3，分别以三个顶点为圆心，3为半径作弧，则图中由三条弧所围成的几何图形的面积是 8（2023春北碚区校级期中）如图在边长为2的正方形中，对角线、交于点，分别以点、为圆心，为半径画弧，弧分别与边、交于点、，则阴影部分的面积为 9（2023吉林）如图，表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢图是其示意图，点是圆心，半径为，点，是圆上

12、的两点，圆心角，则的长为 （结果保留10（2023四平模拟）如图，扇形的圆心角为，过点作于点，以为圆心，的长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积是 11（2023渝中区校级模拟）如图，已知等边中，以的中点为圆心，为半径画弧，分别与、交于点、点，再以点为圆心，为半径画弧，则图中阴影部分的面积为 12（2023永城市一模）如图，为半圆的直径，且，点为半圆上一点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交于点若，则图中阴影部分的面积为 三解答题（共8小题）13（2023蕉城区校级三模）如图，在中，以为直径的分别交、于点、（1）求证：；（2）若，求劣弧的长14（2023秋涟水县期中）如图，在中，将绕逆时针方

13、向旋转得到，点经过的路径为弧，求图中阴影部分的面积15（2023永修县三模）如图，已知是的直径，点是弧上的一点，于，点是弧的中点，交于点，交于点（1）判断的形状，并证明；（2）若，求的长；求阴影部分的面积16（2023蚌山区三模）如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点（1）证明：；（2）若，求图中阴影部分的面积17（2023春武夷山市校级月考）如图，在中，以为直径的分别交、于点、（1）求证：；（2）若，求的长18（2023平湖市一模）如图，将含角的直角三角板放入半圆中，三点恰好在半圆上，点是的中点，连结并延长交圆于点（1）求证：；（2）若，求阴影部分的面积19（2023春城西区校级月考）如图，是的直径，点是上一点，点是弧的中点，连接、交于点（1）若，求的大小；（2）若，求的弧长20（2023靖江市模拟）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点（画图过程用虚线，画图结果用实线）（1）仅用无刻度的直尺，在上找三点、（逆时针方向），使得四边形为菱形；（2）设每个小正方形的边长为1，直接写出扇形的面积