专题16 构造辅助圆（隐圆）解题的几种常见模型（解析版）.docx

1、专题16 构造辅助圆（隐圆）解题的几种常见模型（解析版）类型一 定点定长模型典例1（威海中考）如图，已知ABACAD，CBD2BDC，BAC44，则CAD的度数为（）A68B88C90D112思路引领：如图，作辅助圆；首先运用圆周角定理证明CAD2CBD，BAC2BDC，结合已知条件CBD2BDC，得到CAD2BAC，即可解决问题解：如图，ABACAD，点B、C、D在以点A为圆心，以AB的长为半径的圆上；CBD2BDC，CAD2CBD，BAC2BDC，CAD2BAC，而BAC44，CAD88，故选：B总结提升：该题主要考查了圆周角定理及其推论等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助圆，将分

2、散的条件集中；解题的关键是灵活运用圆周角定理及其推论等几何知识点来分析、判断、推理或解答针对训练1（苏州期中）如图，四边形ABCD中，DCAB，BC1，ABACAD2则BD2的值为（）A14B15C18D12思路引领：作AMBC于点M，ANBD于点N，根据题给条件及等腰三角形的性质证明ABNBAM，继而求出AN的值，在RtABN中，利用勾股定理求解即可解：作AMBC于点M，ANBD于点N，ACAB，ABC为等腰三角形，AM也是ABC的中线和角平分线（三线合一），CAMBAM，ABMACM，ABCD，ACAD，ADCACDCAB，ADBABDCDB，ADB=12ADCMAB，MABDBA，又AB

3、AB，ABNBAM（AAS），AN=12BC=12，AB2，BN2AB2AN2=154，BD24BN215故选：B总结提升：本题考查了梯形的知识，同时涉及了等腰三角形的性质和勾股定理的知识，难度适中，解题关键是正确作出辅助线2（2021春牧野区校级期中）如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，P为BC边上的任意一点，把PBE沿PE折叠，得到PFE，连接CF若AB10，BC12，当CF取最小值时，BP的值等于 思路引领：点F在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时FC的值最小，根据勾股定理求出CE，根据折叠的性质可知BEEF5，即可求出CF，再利用勾股定理即可解决问题解：如图

4、所示，点F在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时CF的值最小，根据折叠的性质，EBPEFP，EFPF，EBEF，E是AB边的中点，AB10，AEEF5，ADBC12，CE=BE2+BC2=13，CFCEEF1358由折叠可知：FPBP，CPBCBP12BP，在RtCFP中，根据勾股定理得：CF2+FP2CP2，82+BP2（12BP）2，解得BP=103故答案为：103总结提升：本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键类型二 对角互补模型典例2 （2018汉阳区模拟）如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一动

5、点，P和C不重合，连接AP，AP的垂直平分线交BD于点G，交AP于点E，在P点由B点到C点的运动过程中，APG的大小变化情况是（）A变大B先变大后变小C先变小后变大D不变思路引领：连接AC交BD于O，连接EO、AG，根据菱形的性质得出AOB90，AOCO，求出A、E、G、O四点共圆，得出PAGEOB，APGPAG，求出APGEOBDBC，即可求出答案解：连接AC交BD于O，连接EO、AG，四边形ABCD是菱形，AOB90，EG是AP的垂直平分线，AGPG，AEGAOB90，A、E、G、O四点共圆，PAGEOB，APGPAG，EOGAPG，四边形ABCD是菱形，OAOC，AEPE，OEBC，EO

6、BDBC=12ABC，菱形ABCD固定，ABC的度数固定，即APG的度数不变，故选：D总结提升：本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线性质，圆内接四边形性质等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键变式训练1（2018碑林区校级一模）如图，在ABC中，ACB120，ACBC2，D是AB边上的动点，连接CD，将BCD绕点C沿顺时针旋转至ACE，连接DE，则ADE面积的最大值思路引领：设BD为a，表示线段AE，AD，用a表示ADE的面积表达式，从而利用二次函数的极值属性求出极值解：设BD为aACB120，ACBC2AB23AD=23aAEBD，BCAE30，BCACBDCAEC（SAS）作EFAB，垂

7、足为F在RtAEF中FAE60，AEBDaAF=12a，EF=123aADE的面积=12(23a)123a=34a2+32a即当a=3，ADE的面积有最大值为343故答案为343总结提升：本题考查了数形结合的数学思想，将几何问题转化为函数问题，利用函数关系式获得极值2（2020淮阴区模拟）在RtABC中，ABC90，ACB30，AB2，O为AC的中点，过O作OEOF，OE、OF分别交射线AB，BC于E、F，则EF的最小值为 思路引领：首先过点O分别作OMAB于M，ONBC于N，易证四边形OMBN为矩形，则OMBC，ONAB，由直角三角形中30角性质，可得AC的长，进而求得BC长又O为AC中点，

8、可求得OM与ON的长，由勾股定理可得MN的长又由垂线段最短，可得当OE与OM重合，OF与ON重合时，EF最短得解解：ABC90，ACB30，AB2AC2AB4过点O分别作OMAB于M，ONBC于NB90，四边形OMBN为矩形，OMBC，ONABAOMACB，CONCAB，OM：CBOA：CA，ON：ABOC：ACO为AC中点，则OB=12AC2MN，由垂线段最短，可得当OE与OM重合，OF与ON重合时，EF最短EF的最小值为2故答案为：2总结提升：本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及垂线段最短的知识，难度适中，注意数形结合思想的运用3如图，在平面直角坐标系xOy中，

9、A（0，2），点P在直线y=33x上，连接AP，过点P作PQAP，交x轴于点Q，连接AQ求QAP的度数思路引领：分点P在第三象限、点P在第一象限的线段OH上、点P在第一象限的线段OH的延长线上三种情况，用四点共圆求解解：当点P在第三象限时，如图2，由QPAQOA90，可得Q、P、O、A四点共圆，PAQPOQ30；当点P在第一象限的线段OH上时，如图3，由QPAQOA90可得Q、P、O、A四点共圆，PAQ+POQ180，又此时POQ150，PAQ180POQ30；当点P在第一象限的线段OH的延长线上时，由QPAQOA90可得APQ+AOQ180，Q、P、O、A四点共圆，PAQPOQ30总结提升：

10、本题为一次函数综合题，涉及到四点共圆、等腰三角形性质，分类讨论求解是解决此题关键类型三 定边定角模型（1） 定边对直角典例3 东西湖区模拟）如图，已知A（2，6）、B（8，2），C为坐标轴上一点，且ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（）个A6B7C8D9思路引领：过点A作AB的垂线，交x轴于点C1，交y轴于点C2；过点B作AB的垂线，交x轴于点C3，交y轴于点C4；根据直径所对的圆周角为直角，以AB为直径作圆，根据A和B的坐标求出AB的长度，即为圆的直径，可得出半径的长，进而判断得出圆与y轴相切，可得出圆与y轴有1个交点，与x轴交于2点所以满足条件的点共有7个解：分三种情况考虑：当A为直角

11、顶点时，过A作ACAB，交x轴于点C1，交y轴于点C2，此时满足题意的点为C1，C2；当B为直角顶点时，过B作BCAB，交x轴于点C3，交y轴于点C4，此时满足题意的点为C3，C4；当C为直角顶点时，以AB为直径作圆，由A（2，6）、B（8，2），可得此圆与y轴相切，则此圆与y轴有1个交点，与x轴有2个交点，分别为C5，C6，C7综上，所有满足题意的C有7个故选：B总结提升：此题考查了圆周角定理，直角三角形以及坐标与图形性质，利用了分类讨论及数形结合的思想注意：若ABC是直角三角形，则它的任意一个顶点都有可能为直角顶点针对训练1（2021内乡县一模）（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一

12、章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易例如：如图1，在ABC中，ABAC，BAC90，D是ABC外一点，且ADAC，求BDC的度数若以点A为圆心，AB为半径作辅助A，则点C、D必在A上，BAC是A的圆心角，而BDC是圆周角，从而可容易得到BDC （2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，BADBCD90，BDC25，求BAC的度数（3）【问题拓展】如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AEDF连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 51思路引领：（1）利用同弦所对的圆周角是所

13、对圆心角的一半求解（2）由A、B、C、D共圆，得出BDCBAC，（3）根据正方形的性质可得ABADCD，BADCDA，ADGCDG，然后利用“边角边”证明ABE和DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得12，利用“SAS”证明ADG和CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得23，从而得到13，然后求出AHB90，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=12AB1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小解：（1）如图1，ABAC，ADAC，以点A为圆心，AB为半径作圆A，点B、C、D必在A上，BAC是

14、A的圆心角，而BDC是圆周角，BDC=12BAC45，故答案是：45；（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、COBADBCD90，点A、B、C、D共圆，BDCBAC，BDC25，BAC25，（3）如图3，在正方形ABCD中，ABADCD，BADCDA，ADGCDG，在ABE和DCF中，AB=CDBAD=CDAAE=DF，ABEDCF（SAS），12，在ADG和CDG中，AD=CDADG=CDGDG=DG，ADGCDG（SAS），23，13，BAH+3BAD90，1+BAH90，AHB1809090，取AB的中点O，连接OH、OD，则OHAO=12AB1，在RtAOD中，OD=AO2+AD2=

15、12+22=5，根据三角形的三边关系，OH+DHOD，当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，最小值ODOH=51（解法二：可以理解为点H是在RtAHB，AB直径的半圆AB上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）故答案为：51总结提升：本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法（2） 定边对定角典例4（2021秋如皋市期中）如图，ABC为等边三角形，AB3若P为ABC内一动点，且满足PABACP，则线段PB长度的最小值为（）A1.5B3C433D2思路引领：由等边三角形的性质得出ABCBAC60，ACA

16、B3，求出APC120，当O、P、B共线时，PB长度最小，由等边三角形的性质得出ADCD=12AC=32，PACACP30，求出PD和BD的长，可得PB的长，即可得出答案解：ABC是等边三角形，ABCBAC60，ACAB3，PABACP，PAC+ACP60，APC120，点P的运动轨迹是AC，设AC所在圆的圆心为O，当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：此时PAPC，OBAC，则ADCD=12AC=32，PACACP30，ABD=12ABC30，PD=32，BD=332，PBBDPD=33232=3故选：B总结提升：本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内

17、角和定理、勾股定理等知识；作辅助线构建圆是解决问题的关键典例5（2021秋白云区期中）在四边形ABCD中，B60，D30，ABBC（1）求A+C的度数；（2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并证明；（3）若点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2BE2+CE2，求BEC的度数思路引领：（1）在四边形ABCD中，由四边形内角和定理即可得出结果；（2）以BD为边向下作等边BDQ，连接CQ，由等边三角形的性质得出DBQ60，BDBQ，证出ABDCBQ，证明ABDCBQ，得出ADCQ，ABCQ，证出DCQ90，再由勾股定理即可得出结论；（3）根据旋转的性质作辅助线，构建全等三角形，

18、利用勾股定理的逆定理和等边三角形的判定和性质可得结论解：（1）在四边形ABCD中，A+B+C+D360，B60，D30，A+C3606030270；（2）结论：CD2+AD2BD2，理由：以BD为边向下作等边BDQ，连接CQ，则DBQ60，BDBQ，ABCDBQ60，ABDCBQ，在ABD和CBQ中，AB=BCABD=CBQBD=BQ，ABDCBQ（SAS），ADCQ，ABCQ，A+BCDBCQ+BCD270，DCQ90，CD2+CQ2DQ2，CQAD，DQBD，CD2+AD2BD2；（3）如图2，ABBC，ABC60，将ABE绕点B顺时针旋转60得到CBE，ABECBE，BEBE，AECE，

19、EBE60，EBE是等边三角形，EEBE，BEE60，AE2BE2+CE2，CE2EE2+CE2，CEE90，BEE60，BEC60+90150总结提升：本题是四边形的综合题，考查了四边形内角和定理、等边三角形的判定和性质、勾股定理以及逆定理、全等三角形的判定与性质、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题针对训练1（广州中考）如图，在四边形ABCD中，B60，D30，ABBC（1）求A+C的度数；（2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；（3）若AB1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2BE2+CE2，求点E运动路径的长度思路引

20、领：（1）利用四边形内角和定理计算即可；（2）连接BD以BD为边向下作等边三角形BDQ想办法证明DCQ是直角三角形即可解决问题；（3）如图3中，连接AC，将ACE绕点A顺时针旋转60得到ABR，连接RE想办法证明BEC150即可解决问题；解：（1）如图1中，在四边形ABCD中，A+B+C+D360，B60，D30，A+C3606030270（2）如图2中，结论：DB2DA2+DC2理由：连接BD以BD为边向下作等边三角形BDQABCDBQ60，ABDCBQ，ABBC，DBBQ，ABDCBQ（SAS），ADCQ，ABCQ，A+BCDBCQ+BCD270，DCQ90，DQ2DC2+CQ2，CQDA

21、，DQDB，DB2DA2+DC2（3）如图3中，连接AC，将ACE绕点A顺时针旋转60得到ABR，连接RE则AER是等边三角形，EA2EB2+EC2，EARE，ECRB，RE2RB2+EB2，EBR90，RAE+RBE150，ARB+AEBAEC+AEB210，BEC150，点E的运动轨迹在O为圆心的圆上，在O上取一点K，连接KB，KC，OB，OC，K+BEC180，K30，BOC60，OBOC，OBC是等边三角形，OBOCBC1，点E的运动路径=601180=3总结提升：本题考查四边形综合题、等边三角形的判定和性质、勾股定理以及逆定理、弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等

22、三角形解决问题，属于中考压轴题2如图，在ABC中，C120，则ABC所在的平面上是否存在点M，使ABM的面积等于ABC的面积，且AMB60？若存在，画出该点的位置，若不存在，请说明理由思路引领：构造等边三角形ABE，作等边ABE的外接圆O，过点C作AB的平行线交O于点M1和M2，由同底等高三角形面积相等可知ABM1和ABM2的面积与ABC的面积相等，由同弧所对的圆周角相等可知AM1BAM2BE60，故M1和M2是符合题意的点，分别作M1和M2关于AB的对称点M3和M4也符合题意解：存在点M，如图，构造等边三角形ABE，作等边ABE的外接圆O，过点C作AB的平行线交O于点M1和M2，AM1BAM2BE60，M1M2AB，SABM1SABM2SABC，M1和M2是符合题意的点，分别作M1和M2关于AB的对称点M3和M4，则点M3和M4也符合题意，故符合题意的点有4个，分别为M1、M2、M3和M4总结提升：本题考查了三角形的综合知识，掌握圆周角定理和同底等高三角形面积相等是解决问题的关键