专题16 特殊的平行四边形-5年（2018~2022）中考1年模拟数学分项汇编（北京专用）（解析版）.docx

1、专题16 特殊的平行四边形一、填空题1（2021北京中考真题）如图，在矩形中，点分别在上，只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是_（写出一个即可）【答案】（答案不唯一）【解析】解：四边形是矩形，四边形是平行四边形，若要添加一个条件使其为菱形，则可添加或AE=CE或CE=CF或AF=CF，理由：一组邻边相等的平行四边形是菱形；故答案为（答案不唯一）2（2019北京中考真题）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为_【答案】12【解析】解：如图1所示：四边形ABCD是菱形，OA=OC，OB=OD，ACBD

2、，设OA=x，OB=y，由题意得：，解得：，AC=2OA=6，BD=2OB=4，菱形ABCD的面积=；故答案为123（2019北京中考真题）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；存在无数个四边形MNPQ是矩形；存在无数个四边形MNPQ是菱形；至少存在一个四边形MNPQ是正方形所有正确结论的序号是_【答案】【解析】解：如图，四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，OA=OB=OC=OD，ABCD，ADBC，OBM=ODP，OAQ=OCN，过点O的直线MP和QN，分别交A

3、B，BC，CD，AD于M，N，P，Q，BOM=DOP，AOQ=CON，所以BOMDOP（ASA），AOQCON（ASA），所以OM=OP，OQ=ON，则四边形MNPQ是平行四边形，故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；如图，当PM=QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；如图，当PMQN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；当四边形MNPQ是正方形时，MQ=PQ，则AMQDQP，AM=QD，AQ=PD，PD=BM，AB=AD，四边形ABCD是正方形，当四边形ABCD为正方形时，四边形MNPQ是正方形，故错误；故正确结论的序号是故答案为：4（201

4、8北京中考真题）如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，则的长为_【答案】【解析】解：四边形是矩形，/，在中，是中点，/，故答案为：二、解答题5（2022北京中考真题）在中，D为内一点，连接，延长到点，使得(1)如图1，延长到点，使得，连接，若，求证：；(2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明【答案】(1)见解析(2)；证明见解析【解析】(1)证明：在和中， ， ， ，(2)解：补全后的图形如图所示，证明如下：延长BC到点M，使CMCB，连接EM，AM，CMCB， 垂直平分BM，在和中， ， ， ， ， ， ，即， ， 6（2022北京

5、中考真题）如图，在中，交于点，点在上，(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若求证：四边形是菱形【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(1)证明：四边形ABCD为平行四边形，即，四边形是平行四边形(2)四边形ABCD为平行四边形，四边形ABCD为菱形，即，四边形是平行四边形，四边形是菱形7（2021北京中考真题）如图，在四边形中，点在上，垂足为（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若平分，求和的长【答案】（1）见详解；（2），【解析】（1）证明：，ADCE，四边形是平行四边形；（2）解：由（1）可得四边形是平行四边形，平分，EF=CE=AD，8（2020北京中考真题）在中，C=90，ACBC

6、，D是AB的中点E为直线上一动点，连接DE，过点D作DFDE，交直线BC于点F，连接EF（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明【答案】（1）；（2）图见解析，证明见解析【解析】（1）D是AB的中点，E是线段AC的中点DE为的中位线，且，四边形DECF为矩形则在中，；（2）过点B作AC的平行线交ED的延长线于点G，连接FG，D是AB的中点在和中，又DF是线段EG的垂直平分线，在中，由勾股定理得：9（2020北京中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交

7、于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EFAB，OGEF（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长【答案】(1)见解析；(2)OE=5，BG=2.【解析】解：(1)证明:四边形ABCD为菱形，点O为BD的中点，点E为AD中点，OE为ABD的中位线，OEFG，OGEF，四边形OEFG为平行四边形EFAB，平行四边形OEFG为矩形(2)点E为AD的中点，AD=10，AE=EFA=90，EF=4，在RtAEF中，四边形ABCD为菱形，AB=AD=10，OE=AB=5，四边形OEFG为矩形，FG=OE=5，BG=AB-AF-FG=10-3-5=2故答案为：OE

8、=5，BG=210（2018北京中考真题）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EHDE交DG的延长线于点H，连接BH（1）求证：GF=GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明【答案】（1）证明见解析；（2）BH=AE，理由见解析【解析】（1）证明：连接 ，关于对称在和中，四边形是正方形， ，在和中，（2）证明：在上取点使得，连接四这形是正方形，同理：，在和中，在中，11（2018北京中考真题）如图，在四边形中，AB/DC，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点

9、，连接（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求的长【答案】（1）证明见解析；（2）OE=2【解析】（1）证明：AB/CD，平分，又，又，四边形是平行四边形，又，是菱形（2）解：四边形是菱形，对角线、交于点，在RtAOB中，在RtAEC中，为中点，一、填空题1（2022北京东直门中学模拟预测）如图，正方形ABCD中，将线段BC绕点C顺时针旋转60得到线段CE，连接BE、DE，若正方形边长为2，则图中阴影部分的面积是 _【答案】【解析】解：由题意知 ，到边上的高；到边上的高故答案为：2（2022北京师大附中模拟预测）下面是六个推断：因为平角的两条边在一条直线上，所以直线是一个平角因为周角的两条边在一

10、条射线上，所以射线是一个周角因为扇形是圆的一部分，所以圆周的一部分是扇形因为平行的线段没有交点，所以不相交的两条线段平行因为正方形的边长都相等，所以边长相等的四边形是正方形因为等腰三角形有两个内角相等，所以有两个内角相等的三角形是等腰三角形其中正确的结论有_个，其序号是_【答案】 1 【解析】解：因为直线没有端点，所以直线不是平角，故此小题错误；因为射线是一条线，所以射线不是角，故此小题错误；因为一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，所以圆周的一部分不是扇形，故此小题错误；因为线段有两个端点，所以不相交的两条线段不一定平行，故此小题错误；因为边长相等的四边形有可能是菱形，所以此小

11、题错误；符合等腰三角形的性质及判定定理，故此小题正确故正确的结论有1个，其序号是故答案为：1，3（2022北京丰台二模）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接EF，只需添加一个条件即可证明四边形EFCB是菱形，这个条件可以是_（写出一个即可）【答案】（答案不唯一）【解析】解：四边形是平行四边形，分别是的中点，四边形是平行四边形，要使四边形是菱形，添加的这个条件可以是，故答案为：（答案不唯一）4（2022北京顺义一模）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，将矩形ABCD绕顶点C顺时针旋转90，得到矩形EFCG，连接AE，取AE的中点H，连接DH，则_【答案】【解析】

12、如图，延长DH交EF于点k，H是的中点又则故答案为：5（2022北京北理工附中模拟预测）如图，正方形，是上一点，于，则的长为_【答案】【解析】四边形 是正方形，故答案为6（2022北京东直门中学一模）如图将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD翻折，点C的对应点为C，AD与BC交于点E，若ABE30，BC3，则DE的长度为_【答案】2【解析】解：四边形ABCD是矩形，AABC90，ADBC3，ADBC，CBDEDB，由折叠的性质得：CBDCBD，ABE30，BE2AE，CBDCBDEDB30，DEBE2AE，ADAE+DE3，AE+2AE3，AE1，DE2；故答案为：27（2022北京中国人民大学附

13、属中学朝阳学校一模）对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12 、宽为6 的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长，再取最小整数甲：如图2，思路是当为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n=14乙：如图3，思路是当为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n=14丙：如图4，思路是当为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取n=13甲、乙、丙的思路和结果均正确的是_ 【答案】甲、乙【解析】矩形长为12宽为6，矩形的对角线长为：，矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转

14、的方式，自由地从横放变换到竖放，该正方形的边长不小于，该正方形边长的最小整数n为14故甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，结果也正确；乙的思路正确，长方形对角线就是圆的直径最长，只要圆能通过就可以，结果也正确；丙的思路错误，长方形对角线最长，只要对角线能通过才可以，故丙的思路与结果都错误；故答案为：甲、乙8（2022北京中国人民大学附属中学朝阳学校一模）如图1，将矩形和正方形分别沿对角线和剪开，拼成如图2所示的平行四边形，中间空白部分的四边形是正方形如果正方形和正方形的面积分别是16和1，则矩形的面积为_【答案】15【解析】解：正方形EFCH和正方形KRST的面积分别是16

15、和1，正方形EFCH和正方形KRST的边长分别是4和1，则矩形ABCD的面积为（4+1）（4-1）=15故答案为：159（2022北京市广渠门中学模拟预测）如图，正方形是由四个全等的直角三角形围成的，若，则的长为_【答案】【解析】解：正方形ABCD是由四个全等的三角形围成的，AEBGCFDH5，AHBECGDF12，DAB90，DAHABEEGGFFHHF7，ABEBAE90，四边形EGFH是菱形，且AEB90四边形EGFH是正方形EFEG故答案为：二、解答题10（2022北京房山一模）如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BECD交CD的延长线于点E，过点C作CFEB交AB的延长线于点F(1

16、)求证：四边形BFCE是矩形；(2)连接AC，若AB=BE=2，求AC的长【答案】(1)见解析(2)【解析】(1)证明：四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形是矩形(2)解：四边形是矩形，在中，11（2022北京四中模拟预测）如图，在四边形ABCD中，ADCD，BDAC于点O，点E是DB延长线上一点，OEOD，BFAE于点F(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若AB平分EAC，OB3，BE5，求EF和AD的长【答案】(1)见解析(2)EF和AD的长分别为4和10【解析】(1)证明：，在和中， ，（HL），AO=CO，又OE=OD，四边形AECD为菱形(2)解：AB平分 ，BF=BO=

17、3，在中，由勾股定理可得，在和中， ，（HL），AO=AF，设AO=AF=x，AE=4+x，在中，由勾股定理可得，得，解得，AE=4+6=10，即AD=10，EF和AD的长分别为4和1012（2022北京清华附中一模）如图1，在ABC中，ABC=90，BA=BC将线段AB绕点A逆时针旋转90得到线段AD，E是边BC上的一动点，连结DE交AC于点F，连结BF.(1)求证：FB=FD；(2)如图2，连结CD，点H在线段BE上（不含端点），且BH=CE，连结AH交BF于点N. 判断AH与BF的位置关系，并证明你的结论；连接CN若AB=2，请直接写出线段CN长度的最小值.【答案】（1）见解析；（2）A

18、HBF，见解析；.【解析】（1）证明：如图1中，BA=BC，ABC=90，BAC=ACB=45，线段AB绕点A逆时针旋转90得到线段AD，BAD=90，BA=AD，FAD=FAB=45，AF=AF，FADFAB（SAS），BF=DF（2）解：结论：AHBF理由：如图2中，连接CDABC+BAD=180，ADBC，AD=AB=BC，四边形ABCD是平行四边形，ABC=90，四边形ABCD是矩形，AB=BC，四边形ABCD是正方形，BA=CD，ABH=DCE，BH=CE，ABHDCE（SAS），BAH=CDE，FCD=FCB=45，CF=CF，CD=CB，CFDCFB（SAS），CDF=CBF，B

19、AH=CBF，CBF+ABF=90，BAH+ABF=90，ANB=90，AHBF如图3中，取AB的中点O，连接ON，OCANB=90，AO=OB，ON=AB=1，在RtOBC中，OC=，CNOC-ON，CN-1，CN的最小值为-113（2022北京一七一中一模）如图，在中，AEBC于点E，过点D作DFAE，交BC的延长线于点F，连接AF（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AD8，tanB，CF，求AF的长【答案】（1）见解析；（2）10【解析】（1）在中，四边形AEFD是平行四边形于点E四边形AEFD是矩形；（2）在中，在中，即四边形AEFD是矩形在中，.14（2022北京房山二模）如图

20、，在ABCD中，AC，BD交于点O，且AOBO（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）ADB的角平分线DE交AB于点E，当AD3，tanCAB时，求AE的长【答案】（1）见解析；（2）.【解析】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，AC2AO，BD2BOAOBO，ACBD平行四边形ABCD为矩形(2)过点E作EGBD于点G，如图所示：四边形ABCD是矩形，DAB90，EAAD，DE为ADB的角平分线，EGEAAOBO，CABABDAD3，tanCAB，tanCABtanABDAB4BD，sinCABsinABD设AEEGx，则BE4x，在BEG中，BGE90，sinABD解得：x，AE故答案

21、为：.15（2022北京模拟预测）已如，如图，在ABC中，ABAC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点E，连接DE交AB于点O（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）若BC=8，AO=，求四边形AEBC的面积【答案】（1）见解析；（2）18【解析】（1）AEBC，BEAD， 四边形ADBE是平行四边形AB=AC，AD是BC边的中线，ADBC 即ADB=90 四边形ADBE为矩形（2）在矩形ADBE中， AO=，DE=AB= 5 D是BC的中点，AE=DB=4，根据勾股定理 ，16（2022北京中国人民大学附属中学朝阳学校一模）如图，在平行四边形ABCD中

22、，CEAD于点E，延长DA至点F，使得EFDA，连接BF，CF（1）求证：四边形BCEF是矩形；（2）若AB3，CF4，DF5，求EF的长【答案】（1）见解析；（2）EF=【解析】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AD=BC，EF=DA，EF=BC，EFBC，四边形BCEF是平行四边形， 又CEAD，CEF=90，平行四边形BCEF是矩形； （2）解：四边形ABCD是平行四边形，CD=AB=3，CF=4，DF=5，CD2+CF2=DF2，CDF是直角三角形，DCF=90，CDF的面积=DFCE=CFCD，CE=， 由（1）得：EF=BC，四边形BCEF是矩形，FBC=90，BF

23、=CE=，BC=，EF=17（2022北京市师达中学模拟预测）四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转2（045），得到线段CE，连接DE，过点B作BFDE交DE的延长线于F，连接BE（1）依题意补全图1；（2）直接写出FBE的度数；（3）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明【答案】（1）补图见解析；（2）；（3）DE，证明见解析 【解析】解：（1）补全图形，如图所示：（2）FBE45理由如下：设DF与AB交于点G，如图所示：由题意得，CDCECB，ECD2，ABCBCDCDADAB90， EDC90，BCE902，CBE45+，ADF，ABE45BFDE，BFD90

24、AGDFGB，FBG （3）DE证明：如图，作AHAF，交BF的延长线于点H，由（2）得： FBEFEB45FBFEAHAF，BAD90，HABFAD，BFGDAG90，BGFDGA，FBGADG，即ABHADF，HABFAD（ASA），HBFD，AHAF，HFDE，H45HFAFDEAF18（2022北京朝阳模拟预测）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、作CEBD，DEAC，CE和DE交于点E(1)求证：四边形ODEC是矩形；(2)当ADB60，AD10时，求CE和AE的长【答案】(1)见解析(2)【解析】(1)证明：DEAC，CEBD，四边形ODEC是平行四边形，四边

25、形ABCD是菱形，ACBD，即DOC90，平行四边形ODEC是矩形；(2)解：在RtAOD中，ADO60，OAD30，AD10， ，AO，四边形ABCD是菱形， ，四边形ODEC是矩形，ACE90，CEOD5，在RtACE中，由勾股定理得：AE19（2022北京模拟预测）如图，ABCD的两条对角线相交于O点，过O点作OEAB，垂足为E，已知DBA=DBC，AB=5(1)求证：四边形ABCD为菱形；(2)若sinADB=，求线段OE的长【答案】(1)见解析(2)【解析】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADB=DBC，DBA=DBC，ADB=DBA，AD=AB，四边形ABCD为菱

26、形；(2)解：四边形ABCD为菱形，ACBD，AD=AB=5，OB=OD，sinADB=，OA=4，OB=OD=3，OEAB，OAB的面积=ABOE=OAOB，OE=20（2022北京海淀一模）如图，在中，D是BC的中点，点E，F在射线AD上，且(1)求证：四边形BECF是菱形；(2)若，求菱形BECF的面积【答案】(1)见解析(2)【解析】(1) ，D是BC的中点，四边形BECF是菱形；(2)设， ，在中，即，解得， ， 菱形BECF的面积21（2022北京西城一模）如图，在ABC中，BA=BC，BD平分ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE=DF，连接AE，CE

27、，AF，CF(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若BAAF，AD=4，求BD和AE的长【答案】(1)见解析(2)【解析】(1) BA=BC，BD平分ABC DE=DF四边形AECF是菱形；(2)，BAAF ，BA=BC AD=4 在 中， 四边形AECF是菱形22（2022北京市师达中学模拟预测）如图，四边形ABCD是平行四边形,AEBC，AFCD，垂足分别为E，F，且BE=DF(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若CEG=30，AE =2，求EG的长【答案】(1)见解析(2)4【解析】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，B=D，AEBC，AF

28、CD，AEB=AFD=90，又BE=DF，AB= AD，四边形ABCD是菱形；(2)如图，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，CEG=G，AEB=EAG，CEG=30，AEBC，G=30，EAG=90，又AE=2，EG=2AE=423（2022北京石景山一模）如图所示，ABC中，ACB=90，D，E分别为AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得EF=DE，连接CD，CF，BF(1)求证：四边形BFCD是菱形；(2)若cosA=，DE=5，求菱形BFCD的面积【答案】(1)见解析(2)菱形BFCD的面积为120【解析】(1)证明：点E为BC的中点，CE=BE，又EF=DE，四边形BFCD是

29、平行四边形，D是边AB的中点，ACB=90，CD=AB=BD，平行四边形BFCD是菱形；(2)解：D，E分别为AB，BC的中点，DEAC，BDE=A，cosA=，cosBDE=，DE=5，BD=13，BE=12，DF=2DE=10，BC=2BE=24，菱形BFCD的面积=1024=12024（2022北京东城一模）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点（），连接BE，DE(1)求证：；(2)过点E作交BC于点F，延长BC至点G，使得，连接DG依题意补全图形；用等式表示BE与DG的数量关系，并证明【答案】(1)见解析(2)见解析；【解析】(1)四边形ABCD是正方形，AC是正方形的对角线

30、，在和中，(2)补全图形如下：连接GE，如图，又，由（1）知：，即，由勾股定理得，25（2022北京房山二模）如图，点P是正方形内一动点，满足且，过点D作交的延长线于点E(1)依题意补全图形；(2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明；(3)连接，若，请直接写出线段长度的最小值【答案】(1)图形见详解(2)EP=BP+DE，理由见详解(3)【解析】(1)解：补全图形如下：(2)线段PE=DE+BP，理由如下：过A点作AMED交ED的延长线于M点，如图，M=E=APE=90=APB，四边形APEM是矩形，DAP+DAM=90，BAP+PAD=90，DAM=BAP，在正方形ABCD中有AD=AB，

31、APBAMD，AP=AM，BP=MD，矩形APEM是正方形，ME=PE，MD+DE=ME=PE，PE=DE+BP，结论得证；(3)取AB中点O，连接OC，如图，AB=4，OB=2，BC=4，在RtOBC中，有，APB=90，点P在以O为圆心、OB为半径的圆上，显然当P点落在线段OC上时，CP最短，此时在RtABP中，OP是斜边的中线，OP=AB=2，CP=OC-OP=-226（2022北京昌平模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为1对角线AC、BD相交于点O，P是BC延长线上的一点，AP交BD于点E，交CD于点H，OP交CD于点F，且EF与AC平行（1）求证：EFBD（2）求证：四边形ACPD

32、为平行四边形（3）求OF的长度【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.【解析】（1）证明：四边形ABCD是正方形，ACBD，EFAC，EFBD；（2）证明：EFAC，四边形ABCD是正方形，ADCP，OAOC，即，AODP，ADCP，四边形ACPD为平行四边形；（3）解：由勾股定理得：ACBD，四边形ACPD为平行四边形，CPADBC，ADBP，DEBD，OEODDE，DOBD，DEFDOC90EDF45，DFE45，EFDE，在RtOEF中，由勾股定理得：OF27（2022北京西城一模）已知正方形ABCD，将线段BA绕点B旋转（），得到线段BE，连接EA，EC(1)如图1，当点E在正方形

33、ABCD的内部时，若BE平分ABC，AB=4，则AEC=_，四边形ABCE的面积为_；(2)当点E在正方形ABCD的外部时，在图2中依题意补全图形，并求AEC的度数；作EBC的平分线BF交EC于点G，交EA的延长线于点F，连接CF用等式表示线段AE，FB，FC之间的数量关系，并证明【答案】(1)135，(2)作图见解析，45；【解析】(1)过点E作于点K 四边形ABCD是正方形 BE平分ABC，AB=4，将线段BA绕点B旋转（），得到线段BE ， ，四边形ABCE的面积为 故答案为：135，(2)作图如下 四边形ABCD是正方形 由旋转可得， ，理由如下：如图，过点B作 垂足为H ，EBC的平分线BF交EC于点G 为等腰直角三角形 即