吉林长春2022-2023学年高二下学期期末数学试题（解析版）.pdf

1、第1页/共22页 学科网（北京）股份有限公司2022-2023 学年东北师大附中（高二）年级（数学）科试卷下学期期末考试第 I 卷（选择题）一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知某质点运动的位移 y（单位；cm）与时间t（单位；s）之间的关系为()()ln 21y tt=+，则该质点在2s=t时的瞬时速度为（）A.15 B.25 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】对()()ln 21y tt=+求导得()221y tt=+，从而可求质点在2s=t时的瞬时速度()2y.【详解】因为()()ln 21y

2、tt=+，所以()221y tt=+，所以该质点在2s=t时的瞬时速度为()222 2 125y=+.故选：B.2.某中学课外活动小组为了研究经济走势，根据该市 1999-2021 年的 GDP（国内生产总值）数据绘制出下面的散点图：该小组选择了如下 2 个模型来拟合 GDP 值 y 随年份 x 的变化情况，模型一：(0,0)ykxb kx=+；模型二：e(0,0)xykb kx=+，下列说法正确的是（）A.变量 y 与 x 负相关 B.根据散点图的特征，模型一能更好地拟合 GDP 值随年份的变化情况 C.若选择模型二，exykb=+的图象一定经过点(),x y第2页/共22页 学科网（北京）

3、股份有限公司D.当13x=时，通过模型计算得 GDP 值为 70，实际 GDP 的值为 71，则残差为 1【答案】D【解析】【分析】对于 AB，由散点图的变化趋势分析判断，对于 C，由线性回归方程的性判断，对于 D，结合残差的定义判断.【详解】对于 A，由散点图可知 y 随年份 x 的增大而增大，所以变量 y 与 x 正相关，所以 A 错误，对于 B，由散点图可知变量 y 与 x 的变化趋向于一条曲线，所以模型二能更好地拟合 GDP 值随年份的变化情况，所以 B 错误，对于 C，若选择模型二：e(0,0)xykb kx=+，令ext=，则 yktb=+的图象经过点(),t y，所以 C错误，对

4、于 D，当13x=时，通过模型计算得 GDP 值为 70，实际 GDP 的值为 71，则残差为71 701=，所以 D正确，故选：D 3.函数21()ln2f xxx=的减区间为（）A.(1,1)B.(,1)C.(0,1)D.(0,)+【答案】C【解析】【分析】对函数求导，然后通分，进而令导函数小于 0，最后求得单调递减区间.【详解】函数()21ln2f xxx=的定义域为()0,+，求导得()211xfxxxx=，令()210 xfxx=，0 x，01x 时，不等式()()1221f xf xxx时，不等式()()1221f xf xxx恒成立，则()()1122f xxf xx，即函数()

5、()2exg xxf xax=在()0,+上单调递增，则()e20 xgxax=，整理可得2xeax，令()exm xx=，则()()21 exxm xx=.当()0,1x时，()0m x，()m x 单调递增，第5页/共22页 学科网（北京）股份有限公司()()min21eam xm=，e2a.故选：D.8.设甲袋中有 3 个红球和 4 个白球，乙袋中有 1 个红球和 2 个白球，现从甲袋中任取 1 球放入乙袋，再从乙袋中任取 2 球，记事件 A=“从甲袋中任取 1 球是红球”，事件 B=“从乙袋中任取 2 球全是白球”，则下列说法正确的是（）A.9()14=P B B.6()7P AB=C

6、.()15P A B=D.事件 A 与事件 B 相互独立【答案】C【解析】分析】由古典概型概率计算公式，以及条件概率公式分项求解判断即可.【详解】现从甲袋中任取 1 球放入乙袋，再从乙袋中任取 2 球可知，从甲袋中任取 1 球对乙袋中任取 2 球有影响，事件 A 与事件 B 不是相互独立关系，故 D 错误；从甲袋中任取 1 球是红球的概率为：()37P A=，从甲袋中任取 1 球是白球的概率为：47，所以乙袋中任取 2 球全是白球的概率为：()1212324312127474C CC C125+C CC C14714=+=P B，故 A 错误；()12321274C C1C C14=P AB，

7、故 B 错误；()()()11411455P ABP A BP B=，故 C 正确；故选：C 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 4 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.9.在*)2(nxnxN的展开式中，只有第 4 项的二项式系数最大，则（）A.常数项为 160 B.含2x 项的系数为 60 C.第 4 项的二项式系数为 15 D.各项系数的绝对值的和为 36【第6页/共22页 学科网（北京）股份有限公司【答案】BD【解析】【分析】依题意，根据二项式系数性质，可知6n=，然后由二项式通项公式逐

8、项判断选项 A、B、C；设664224601234562xa xa xa xaa xa xa xx=+，则60101262aaaaaaaa+=+，0122334455666666666C2C2 C2 C2 C2 C2 C66(12)3，可判断选项 D.【详解】依题意，只有第 4 项的二项式系数最大，根据二项式系数性质，可知6n=，则()66 21662C2C+=rrrrrrrTxxx，令620r=，得3r=，则()33462C160T=，选项 A 错误；令622r=，得2r=，则()222362 C602Txx=，选项 B 正确；令14r+=，得3r=，则二项式系数为36C20=，选项 C 错

9、误；()()()()()()62345606142234254666666666C2 C2C2C2CCC222xxxxxxxx+=+设 664224601234562xa xa xa xaa xa xa xx=+01206126aaaaaaaa+=+2345601234566666666C2 C2C2C2C2C2C 0122334455666666666C2C2 C2 C2 C2 C2 C66(12)3，选项 D 正确.故选：BD 10.“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌.为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取 200 名学生进行问卷调

10、查，得到以下数据，则（）喜欢天宫课堂 不喜欢天宫课堂 第7页/共22页 学科网（北京）股份有限公司男生 80 20 女生 70 30 参考公式及数据：()()()()()22n adbcabcdacbd=+，nabcd=+.当0.05=时，3.841x=.A.从这 200 名学生中任选 1 人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率为 25 B.用样本的频率估计概率，从全校学生中任选 3 人，恰有 2 人不喜欢天宫课堂的概率为 964 C.根据小概率值0.05=的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联 D.对抽取的喜欢天宫课堂的学生进行天文知识测试，男生的平均成绩为 80，女生的平均成绩

11、为 90，则参加测试的学生成绩的均值为 85【答案】BC【解析】【分析】根据古典概型的概率公式判断 A，首先求出样本中喜欢天宫课堂的频率，再根据独立重复试验的概率公式判断 B，计算出卡方，即可判断 C，根据平均公式判断 D.【详解】对于 A：从这 200 名学生中任选 1 人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率80480205P=+，故 A 错误；对于 B：样本中喜欢天宫课堂的频率 807032004+=，从全校学生中任选 3 人，恰有 2 人不喜欢天宫课堂的概率2213339C14464P=，故 B 正确；对于 C：因为()22200 80 3070 2082.6673.841100

12、100 150 503=，所以根据小概率值0.05=的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联，故 C 正确；对于 D：抽取的喜欢天宫课堂的学生男、女生人数分别为80、70，又男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，所以参加测试的学生成绩的均值为80 8070 9025480703+=+，故 D 错误；故选：BC 11.已知数列 na的首项为 4，且满足*1)21)(nnnanan+=N，则（）第8页/共22页 学科网（北京）股份有限公司A.nan为等差数列 B.na为递增数列 C.na的前 n 项和2(1)24nnSn+=+D.12nna+的前 n 项和22nnnT+=【答案】BCD【

13、解析】【分析】由12(1)0nnnana+=得121nnaann+=+，所以可知数列nan是等比数列，从而可求出12nnan+=，可得数列 na为递增数列，利用错位相减法可求得 na的前 n 项和，由于111222nnnnann+=，从而利用等差数列的求和公式可求出数列12nna+的前n 项和.【详解】由12(1)0nnnana+=得121nnaann+=+，所以nan是以1141aa=为首项，2 为公比等比数列，故 A 错误；因为114 22nnnan+=，所以12nnan+=，显然递增，故 B 正确；因为2311 22 22nnSn+=+，34221 22 22nnSn+=+，所以2312

14、1 2222nnnSn+=+()2221 221 2nnn+=，故2(1)24nnSn+=+，故 C 正确；因为111222nnnnann+=，所以12nna+的前n 项和2(1)22nnnnnT+=，故 D 正确.故选：BCD【点晴】本题是等差数列、等比数列的综合应用题，涉及到递推公式求通项，错位相减法求数列的和，等差数列前 n 项和等，需要很强的数学运算能力以及对概念的熟悉运用能力.12.定义：对于定义在区间 I 上的函数()f x 和正数(01)，若存在正数 M，使得不等式()()1212fxfxM xx对任意12,x xI恒成立，则称函数()f x 在区间 I 上满足 阶李普希兹条件，

15、则下列说法正确的有（）的第9页/共22页 学科网（北京）股份有限公司A.函数()f xx=在1,)+上满足 12 阶李普希兹条件 B.若函数()lnf xxx=在1,e上满足一阶李普希兹条件，则 M 的最小值为 e C.若函数()f x 在,a b 上满足(01)Mkk=，()()1212f xf xxx=，即()()()()12121211122212121f xf xxxxxxxxxxx=，()lnf xxx=在1,e 单调递增，()()()()1212f xf xf xf x=，()()1212f xf xM xx，即()()()1212f xf xM xx，即()()1122f xMx

16、f xMx对12xx，12,1,ex x 恒成立，即()f xMx在1,e 上单调递减，()0fxM对1,ex 恒成立，所以1 lnMx+对1,ex 恒成立，即2M，即 M 的最小值为2，B 选项错误；C 选项：假设方程()f xx=在区间,a b 上有两个解0 x，t，则()()000f xf tk xtxt，当1212xx时，()()121212f xf xxx，当1212xx时，()()()()()()()()()()1212121010f xf xf xfff xf xff xf=+()121211012xxxx+=，然后可得出答案.【详解】1(430530)(530)0.112PP=

17、所以总分高于 530 分的考生人数为：32000 0.113520=故答案为：3520 15.已知数列 na满足1123 2(2)nnnaan=，且2132aa=，则na=_.【答案】1122nn+【解析】【分析】根据题意，由递推关系式可得数列2nna 是以1为首项，以 12 为公比的等比数列，然后结合等比数列的通项公式即可得到结果.【详解】因为1123 2(2)nnnaan=，变形可得()()11222nnnnaa=，第11页/共22页 学科网（北京）股份有限公司即112122nnnnaa=，令2n=，则214122aa=，且2132aa=，所以13a=，1121a=所以数列2nna 是以1

18、为首项，以 12 为公比的等比数列，则11212nnna=，所以1122nnna=+.故答案为：1122nn+16.中国象棋是中国棋文化、也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，使用方格状棋盘，每个棋子摆放和活动在交叉点上.其中象位于 A 处，其移动规则为循着田字的对角线走两格，即下一步可到达的地方为 B 或 D；同理，若象位于 D 处，下一次可到达的地方为 A，C，E 或 G.已知象从某位置到达下一个位置是随机的，假设象的初始位置是在 A 处，则走 4 步后恰好回到 A 处的概率为_.【答案】516【解析】【分析】列出树状图，根据树状图和相互独立的概率公司求得即可.【详解】走 4 步后

19、象到达位置的所有情况可以用树状图表示，走 4 步后恰好回到 A 处的概率111111111111111152224222222242422242416P=+=.故答案为：516.四、解答题：本大题共 6 小题，共 56 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第12页/共22页 学科网（北京）股份有限公司17.已知正项数列 na的前 n 项和为nS，242nnnSaa=+.（1）求数列 na的通项公式；（2）设12()()3 21 21nnnanaab+=，数列 nb的前 n 项和为nT，证明：13nT，12nnaa=，又当1n=时，21111442aSaa=+，解得12a=，数列 na是

20、以 2 为首项，2 为公差的等差数列，2nan=；【小问 2 详解】由（1）得222222213 2111121 21212111()()44nnnnnnnnb+=，2231111111111414141414141341nnnnT+=+=，141n+，即11041n+13nT的离心率为22，61,2H 是C 上一点.（1）求C 的方程.（2）设 A，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过点()1,0D作斜率不为 0 的直线l，l 与C 交于 P，Q 两点，直线 AP 与直线 BQ 交于点 M，记 AP 的斜率为1k，BQ 的斜率为2k.证明：12kk 为定值；点 M 在第18页/共22页 学科网

21、（北京）股份有限公司定直线上.【答案】（1）22142xy+=；（2）证明见解析；证明见解析.【解析】【分析】(1)由条件列出关于,a b c 的方程，解方程可得,a b c，由此可得椭圆C 的方程；(2)联立方程组，利用设而不求法结合两点斜率公式求12kk 即可证明；求出直线 AP 与直线 BQ 方程，联立求点 M 的坐标，由此证明点 M 在定直线上.【小问 1 详解】由题意，椭圆的离心率为22，61,2H 是椭圆C 上一点，所以22222222123121ceaabcab=+=，解得2224,2,2abc=，所以椭圆的方程为22142xy+=；【小问 2 详解】因为过点()1,0D且斜率不

22、为 0，所以可设l 的方程为1xty=+，代入椭圆方程22142xy+=得()222230tyty+=，方程()222230tyty+=的判别式()2241220tt=+，设()11,P x y，()22,Q xy，则 12222tyyt+=+，12232y yt=+.两式相除得 121223yyty y+=，()121232ty yyy=+因为,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，所以点 A 的坐标为()2,0，点 B 的坐标为()2,0，所以第19页/共22页 学科网（北京）股份有限公司1111123yykxty=+，2222221yykxty=从而()()()()121121121222

23、1122313123393323yyyy tykyyyykytyyyy+=+；由知1231kk=，设1km=，则23km=，所以直线 AP 的方程为：2ymxm=+，直线 BQ 的方程为36ymxm=，联立236ymxmymxm=+=可得46xym=，所以直线 AP 与直线 BQ 的交点 M 的坐标为()4,6m，所以点 M 在定直线4x=上.【点睛】过 x 轴上定点0(,0)x斜率不为 0 的动直线方程可设为0 xtyx=+；过 y 轴上定点(0，y0)斜率存在的动直线方程可设为0ykxy=+.22.已知()()211ln2f xxa xxx=有两个极值点1x、2x，且12xx（1）求a 的

24、范围；（2）当01 ln 2a 时，证明：()()12112af xf x+，分析可知直线 ya=与函数()g x 的图象由两个交点（非切点），利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可得出实数 a 的取值范围，再结合极值点的定义检验即可；（2）由（1）可知1201xx，可得出11221 ln1 lnaxxxx=，()22222121 ln2f xxxx=+，构造函数()2121 ln2t xxxx=+，其中12x，结合不等式的基本性质可证得()()1212f xf xa+；然第20页/共22页 学科网（北京）股份有限公司后构造函数()()()222ln2ln 2p xxxxxxx

25、=+，通过分析函数()p x 的单调性证出()()121fxfx+，则直线 ya=与函数()g x 的图象由两个交点（非切点），()111xgxxx=，令()0gx=可得1x=，列表如下：x()0,11()1,+()gx0+()g x 减 极小值 1 增 如下图所示：由图可知，当0a 时，直线 ya=与函数()g x 的图象由两个交点，且交点横坐标分别为1x、()212xxx，当10 xx，则()()0fxg xa=，此时函数()f x 单调递增，当12xxx时，()g xa，则()()0fxg xa=时，()g xa，则()()0fxg xa=，此时函数()f x 单调递增.因此，当0a 时

26、，函数()f x 有两个极值点.小问 2 详解】【第21页/共22页 学科网（北京）股份有限公司证明：由（1）可知1201xx=，由于()21 ln 20fa=，所以，22x，即212x，又因为()()2222222222111ln21 ln22f xxa xxxxxx=+，令()2121 ln2t xxxx=+，其中12x=，所以，()()1212f xf xa+，下面证明：()()121fxfx+.因为101x，因为函数()f x 在()12,x x上单调递减，在()2,x+上单调递增，所以，()()212fxfx，所以，()()()()12112f xf xf xfx+()()()()(

27、)2211111111111ln2212ln 222xa xxxxaxxx=+()()211111122ln2ln 2xxxxxx=+，令()()()222ln2ln 2p xxxxxxx=+，其中01x=，则函数()p x 在()0,1 上单调递增，第22页/共22页 学科网（北京）股份有限公司因此，()()()()111211p xf xfxp=+=，综上所述，()()12112af xf x+（或()()f xg x（或()()0f xg x），进而构造辅助函数()()()h xf xg x=；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.