专题02 垂径定理及其应用（原卷版）.docx

1、专题02 垂径定理及其应用l 圆的对称性圆的轴对称性：过圆心的任一条直线（直径所在的直线）都是它的对称轴。垂径定理垂径定理包含两个条件和三个结论，即条件结论 符号语言：推论1：在（1）、（2）、（3）、（4）、（5）中，任意两个成立，都可以推出另外三个都成立。推论2：平行的两弦之间所夹的两弧相等。相关概念：弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE）。应用链接：垂径定理常和勾股定理联系在一起综合应用解题（利用弦心距、半径、半弦构造RtOAE）。圆的对称性以及垂径定理例题讲解一、 概念考察【例1】下面四个命题中正确的一个是（ ）A平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C

2、弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心【例2】下列命题中，正确的是（）A过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B过弦的中点的直线必过圆心C弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D弦的垂线平分弦所对的弧【例3】如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，那么以下结论正确的选项是A、AE=BE B、= C、BOC是等边三角形 D、四边形ODBC是菱形【例4】如图，已知在O中，AB是弦，半径OCAB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）A ADBDBOC2CDCCADCBDDOCAOCB【例5】下列命题：（1）垂直

3、于弦的直线平分弦；（2）平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦的直线必过圆心；（4）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。其中正确的命题有（ ) A.1个B.2个C.3个D.4个二、 求弦长【例1】如图，AB是O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DEAB于点E，延长DE交O于点F，若AE2，O的直径为10，则AC长为（）A5B6C7D8【例2】如图，O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，那么AB的长为A、2 B、4 C、6 D、8【例3】把半径长为2.5的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知CD4，则EF（）A2B2.5C4D5【例4

4、】如图，矩形ABCD中，AB20，AD15，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ16，以PQ为直径的O与BD交于点M，N，则MN的最大值为 【例5】如图，点E在y轴上，E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C（0，9），D（0，1），则线段AB的长度为（）A3B4C6D8【例6】在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线与O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为_【例7】如图，AB为O的直径，弦AB与CD交于点P，且BPD=30，AP=3，BP=7，求CD的长三、 求半径（直径）【例1】如图，O是ABC的外接圆，且AB=AC=13，BC=24，求O的半径【例2

5、】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧图中的弧AB，点O是这段弧的圆心，点C是弧AB上的一点，OCAB，垂足为D，如AB=60m，CD=10m，求这段弯路的半径【例3】如图，AB为O的直径，AE为O的弦，C为优弧ABE的中点，CDAB，垂足为D若AE8，DB2，则O的半径为（）A6B5C4D4【例4】如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为 cm【例5】用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90，尺寸如图（单位：cm）将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个

6、接触点，该球的大小就符合要求图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图，求这种铁球的直径四、 求弦心距【例1】如图，O的半径为13，弦AB长为24，那么点O到AB的距离是A、6 B、5 C、4 D、3【例2】如图，O的半径为5，弦AB8，点C是AB的中点，连接OC，则OC的长为（）A1B2C3D4【例3】在直径为10cm的圆中，弦的长为8cm，则它的弦心距为 cm【例4】如图，O的半径为5，弦AB8，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列符合条件的OP的值是（）A5.8B3.8C1.3D2.5五、 求拱高【例1】一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水如图，此时的水面宽

7、AB为0.6米1求此时的水深即阴影局部的弓形高；2当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度【例2】如图是一个装有水的水管的截面，已知水管的直径是100cm，装有水的液面宽度为AB60cm，CD为过圆心且CDAB，则水管中水的最大深度为多少？【例3】如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有64m，即PN=4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施。 六、 求两平行线之间的距离【例1】已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为 【例2】已知AB是半圆O的直径，弦CD

8、AB，CD8，AB10，则CD与AB之间的距离是_. 【例3】如图，AB，CD是半径为5的O的两条弦，AB8，CD6，MN是直径，ABMN于点E，CDMN于点F，P为EF上的任意一点，则PAPC的最小值为_ 【例4】在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是 厘米 七、 综合简答题【例1】如图，O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E（1）OMCD于点M，CD24，O的半径长为4，求OM的长（2）点G在BD上，且AGBD交CD于点F，求证：CEEF（【例2】如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作COEO交圆O于点C，作CDAB于点D，已知直径为1

9、0，OE4，求OD的长度 【例3】如图，O中，直径CD弦AB于E，AMBC于M，交CD于N，连接AD（1）求证：ADAN；（2）若AB8，ON1，求O的半径 课后练习题：1在平面直角坐标系中，P的圆心是（2，a）（a2），半径为2，函数yx的图象被P截得的弦AB的长为，则a的值是 2、如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 cm3下列语句中不正确的有（）相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦；圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；长度相等的两条弧是等弧A3个B2个C1个D4个4、 如图，在O中，弦CD垂直于直径AB于点E，若BAD30，且BE2

10、（1）求O半径；（2）求弦CD的长 45. 如图，在O内有折线OABC，点B、C在圆上，点A在O内，其中OA4cm，BC10cm，AB60，则AB的长为（）A5cmB6cmC7cmD8cm6、如图，AB为O的直径，弦CDAB于点E，已知CD8，EB2，则O的半径为 7、 如图，已知AB，CG是O的两条直径，ABCD于点E，CGAD于点F（1）求AOG的度数；（2）若AB2，求CD的长 8、如图，圆内接四边形ABDC，AB是O的直径，ODBC于E（1）请你写出四个不同类型的正确结论；（2）若BE4，AC6，求DE9、如图，在残破的圆形工件上量得一条弦BC16，的中点D到BC的距离ED4，则这个圆形工件的半径是 10、一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米（1）如图1，若把桥看作是抛物线的一部分，建立如图坐标系要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？（2）如图2，若把桥看作是圆的一部分要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？