专题16 等腰三角形与直角三角形（共25道）（教师版）（02期）-2023年中考数学真题分类训练.docx

1、专题16 等腰三角形与直角三角形(25道)一、单选题1如图，直角中，点O是的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作交BC于点F，连接AF交CE于点M，则的值为()ABCD【答案】D【详解】解：点O是ABC的重心，OC=CE，ABC是直角三角形，CE=BE=AE，B=30，FAE=B=30，BAC=60，FAE=CAF=30，ACE是等边三角形，CM=CE，OM=CECE=CE，即OM=AE，BE=AE，EF=AE，EFAB，AFE=60，FEM=30，MF=EF，MF=AE，=故选D2将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直

2、于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于，两点，则的长是()ABC2D【答案】B【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，由含30度角直角三角形的性质可得，由勾股定理可得的长，即可得到结论【详解】解：如图，在中，在中，故选：B【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，含角直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键3如图，是等腰三角形，以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交

3、AB于点E，连接DE下列四个结论：；当时，其中正确结论的个数是()A1B2C3D4【答案】C【分析】根据等腰三角形两底角相等与，得到，根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线性质得到，得到，推出，得到，推出，正确；根据等角对等边得到，根据三角形外角性质得到，得到，推出，正确；根据，得到，推出，错误；根据时， ，得到,推出，正确【详解】中，由作图知，平分，垂直平分，正确；，正确；设，则，即，错误；当时，,，正确正确的有，共3个故选：C【点睛】本题主要考查了等腰三角形，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义和线段垂直平分线的性质4如图中，为

4、中点，若点为直线下方一点，且与相似，则下列结论：若，与相交于，则点不一定是的重心；若，则的最大值为；若，则的长为；若，则当时，取得最大值其中正确的为()ABCD【答案】A【分析】有3种情况，分别画出图形，得出的重心，即可求解；当，时，取得最大值，进而根据已知数据，结合勾股定理，求得的长，即可求解；如图5，若，根据相似三角形的性质求得，进而求得，即可求解；如图6，根据相似三角形的性质得出，在中，根据二次函数的性质，即可求取得最大值时，【详解】有3种情况，如图，和都是中线，点是重心；如图，四边形是平行四边形，是中点，点是重心；如图，点不是中点，所以点不是重心；正确当，如图时最大，错误；如图5，若，

5、错误；如图6，即，在中，当时，最大为5，正确故选：A【点睛】本题考查了三角形重心的定义，勾股定理，相似三角形的性质，二次函数的性质，分类讨论，画出图形是解题的关键5如图，在中，为的中点若点在边上，且，则的长为()A1B2C1或D1或2【答案】D【分析】根据题意易得，然后根据题意可进行求解【详解】解：，点D为的中点，当点E为的中点时，如图，当点E为的四等分点时，如图所示：，综上所述：或2；故选D【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及三角形中位线，熟练掌握含30度直角三角形的性质及三角形中位线是解题的关键6如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径

6、作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，则的长为()ABCD【答案】D【分析】过点D作于M，由勾股定理可求得，由题意可证明，则可得，从而有，在中，由勾股定理建立方程即可求得结果【详解】解：过点D作于M，如图，由勾股定理可求得，由题中作图知，平分，；设，则，在中，由勾股定理得：，解得：，即的长为为；故选：D【点睛】本题考查了作图：作角平分线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用全等的性质、利用勾股定理建立方程是解题的关键75月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示)，它的顶角为

7、，腰长为，则底边上的高是()ABCD【答案】B【分析】作于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案【详解】解：如图，作于点D，中,，故选B【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半8如图，为等边三角形，点，分别在边，上，若，则的长为()ABCD【答案】C【分析】证明，根据题意得出，进而即可求解【详解】解：为等边三角形， ，故选：C【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键9下面是“作已知直

8、角三角形的外接圆”的尺规作图过程：已知：如图1，在中，求作：的外接圆作法：如图2(1)分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；(2)作直线，交于点O；(3)以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆下列不属于该尺规作图依据的是()A两点确定一条直线B直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等【答案】D【分析】利用直角三角形斜边中线的性质证明：即可【详解】解：作直线(两点确定一条直线)，连接，由作图，且(与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上)，(直角三角形斜边中线等于

9、斜边的一半)，A，B，C三点在以O为圆心，为直径的圆上为的外接圆故选：D【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型10如图，在中，点在边上，且平分的周长，则的长是()ABCD【答案】C【分析】如图所示，过点B作于E，利用勾股定理求出，进而利用等面积法求出，则可求出，再由平分的周长，求出，进而得到，则由勾股定理得【详解】解：如图所示，过点B作于E，在中，平分的周长，即，又，故选C【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键11的三边长a，b，c满足，则是()A等腰三角形B直角三角

10、形C锐角三角形D等腰直角三角形【答案】D【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由的关系，可推导得到为直角三角形【详解】解又 ，解得 ，且，为等腰直角三角形，故选：D【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理12四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化当为等腰三角形时，对角线的长为()A2B3C4D5【答案】B【分析】利用三角形三边关系求得，再利用等腰三角形的定义即可求解【详解】解：在中，即，当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去；若时，为等腰三角形，故选：B【

11、点睛】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题二、填空题13将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D在AB边上，DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交CAB的两腰CA，CB于M，N两点，若CA=5，AB=6，AB=1：3，则MD+的最小值为 【答案】【分析】先求出AD=2，BD=4，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得AMD+A=EDF+BDN，然后求出AMD=BDN，从而得到AMD和BDN相似，根据相似三角形对应边成比例可得，求出MADN=4MD，再将所求代数式整理出完全平方的形式，然后根据非负数的性质求出最小值即可【

12、详解】AB=6，AB=1：3，AD=6=2，BD=62=4，ABC和FDE是形状、大小完全相同的两个等腰三角形，A=B=FDE，由三角形的外角性质得，AMD+A=EDF+BDN，AMD=BDN，AMDBDN，MADN=BDMD=4MD，MD+=MD+=，当，即MD=时MD+有最小值为故答案为考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；旋转的性质；最值问题；综合题14如图，在中，点D为的中点，过点C作交的延长线于点E，若，则的长为 【答案】/1.5【分析】先根据证明，推出，再利用勾股定理求出，最后根据中点的定义即可求的长【详解】解：，点D为的中点，又，中，故答案为：【点睛】本题考查全等三角形

13、的判定与性质，勾股定理，平行线的性质等，证明是解题的关键15如图，在中，点在直线上，过点作直线于点，连接，点是线段的中点，连接，则的长为 【答案】或【分析】分两种情况当在延长线上和当在上讨论，画出图形，连接，过点作于，利用勾股定理解题即可【详解】解：当在线段上时，连接，过点作于，当在线段上时，点是线段的中点，当在延长线上时，则，是线段的中点，的长为或故答案为：或【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键16如图，在中，P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为 【答案】【分析】连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再

14、根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据直角三角形的面积公式列出方程求解即可【详解】解：如图，连接，于点D，于点E，四边形是矩形，由垂线段最短可得时，线段的值最小，此时线段的值最小，此时，代入数据：，的最小值为，故答案为：【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键17如图四边形中，交于点，则AB的长为 【答案】【分析】连接、交于点，过点作，交于点，先证明是等边三角形，垂直平分，求得，再解三角形求出，最后运用勾股定理求得即可【详解】解：如图：连接、交于点，又，是等边三角形，又，过点作，交于点，在中，故答案为：.【点睛】本题属于四边形综合

15、题，主要考查了等边三角形的判定和性质、平行线的性质、垂直平分线、勾股定理、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线成为解答本题的关键18如图，已知，点D在上，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，则的度数是 度【答案】65【分析】根据题意可得，再根据等腰三角形两个底角相等和三角形内角和为180进行计算即可解答【详解】解：根据题意可得：，故答案为：65【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和等知识点，掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键19如图，在中，以A为圆心，长为半径作弧，交于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作直线，交于点E，若，则 【答案】

16、4【分析】利用圆的性质得出垂直平分和，运用勾股定理便可解决问题.【详解】解：根据题意可知，以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，垂直平分,即，又在中，以A为圆心，长为半径作弧，交于C，D两点，其中，在中，故答案为：4【点睛】本题主要考查圆和三角形的相关性质，掌握相关知识点是解题的关键.20如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，的面积为，则的面积为 【答案】【分析】过点作交的延长线于点，证明，得出，根据，即可求解【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点，由作图可得是的角平分线，的面积为，的面积

17、为，故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，作角平分线，熟练掌握基本作图以及相似三角形的性质与判定是解题的关键21如图，为斜边上的中线，为的中点若，则 【答案】3【分析】首先根据直角三角形斜边中线的性质得出，然后利用勾股定理即可得出，最后利用三角形中位线定理即可求解【详解】解：在中，为斜边上的中线，为的中点，故答案为：3【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，三角形中位线定理，掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键22在 Rt ABC中, ACB=90，AC=6，BC=8，D是AB的中点，则 【答案】5【分析】先根据题意画出图形，再运用勾股定理求得AB，然后再根据直角

18、三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可【详解】解：如图：ACB=90，AC=6，BC=8 ACB=90，D为AB的中点，CD=AB=10=5故答案为5【点睛】本题主要考查了运用勾股定理解直角三角形、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质等知识点，掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”成为解题的关键三、解答题23在中，是斜边上的高(1)证明：；(2)若，求的长【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证；(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质即可求解【详解】(1)证明：是斜边上的高，又，(2)，又【点睛】本题考查

19、了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键24如图，是等边的中线，以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于，连接求证：【答案】见解析【分析】利用三线合一和等腰三角形的性质，证出，再利用等边对等角即可【详解】证明：为等边的中线，【点睛】本题考查了等边三角形，等腰三角形的性质和判定，理解记忆相关定理是解题的关键25如图，在四边形中，点E是边上一点，且，(1)求证：；(2)若，时，求的面积【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)由求出，然后利用证明，可得，再由等边对等角得出结论；(2)过点E作于F，根据等腰三角形的性质和含直角三角形的性质求出和，然后利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式计算即可【详解】(1)证明：，即，在和中，；(2)解：过点E作于F，由(1)知，【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含直角三角形的性质以及勾股定理等知识，正确寻找证明三角形全等的条件是解题的关键