专题17 相似（题型归纳）（解析版）.docx

1、专题17 相似 题型分析题型演练题型一 比例的性质1若，则下列式子正确的是（）ABCD【答案】B【详解】A、，故A不符合题意；B、，故B符合题意；C、，故C不符合题意；D、，故D不符合题意；故选：B2已知，则把它改写成比例式后，正确的是（）ABCD【答案】B【详解】解：，故选：B3若，则的值是（）ABCD【答案】A【详解】解：，故选：A4已知，且，则b的值为_【答案】4【详解】，设，故答案为：45已知，则_【答案】【详解】解：，故答案为：题型二 成比例线段6下列各组线段中，成比例的是（）ABCD【答案】D【详解】解：A、由于，所以不成比例，不符合题意；B、由于，所以不成比例，不符合题意；C、由

2、于，所以不成比例，不符合题意；D、由于，所以成比例，符合题意故选：D7已知线段，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么（）A3B3C4.5D5【答案】B【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积则，解得（线段是正数，负值舍去），所以故选：B8若四条线段a，b，c，d成比例，其中，则线段a的长为（）ABCD【答案】A【详解】解：四条线段a、b、c、d成比例，解得：故选：A9已知线段，线段，线段是线段，的比例中项，则线段的长为_【答案】【详解】解：线段是线段，的比例中项，线段，线段，故答案为：10在比例尺为的某市地图上，规划出长厘米，宽厘米的矩形工业园区

3、，则该园区的实际面积是_平方米【答案】【详解】解：在比例尺为的某市地图上，规划出长厘米，宽厘米的矩形工业园区，实际的工业园区长厘米，宽厘米，该园区的实际面积是平方厘米，1平方米平方厘米，该园区的实际面积是平方米，故答案为：题型三 黄金分割11已知点C是线段的黄金分割点，且，则下列等式成立的是（）ABCD【答案】D【详解】解：根据黄金分割的定义得；故选：D12下列说法正确的是（）A两地在地图上的距离为7cm，地图上的比例尺为，则两地实际距离为35mB若cm，点是线段的黄金分割点，且，则cmC任意两个菱形都相似D有一个角相等的两个等腰三角形相似【答案】B【详解】解：A. m，故A说法错误，不符合题

4、意；B. 点是线段的黄金分割点, 且，则，设，则，解得或（舍去），故B说法正确，符合题意；C.当两个菱形的角度不等时，不相似，故C说法错误，不符合题意；D.若两个等腰三角形一个是顶角，一个是底角，则不是相似的，故D说法错误，不符合题意；故选：B13若线段，C是的黄金分割点，且，则的长为（）ABCD【答案】B【详解】解：线段，C是的黄金分割点，且，根据黄金分割的概念得：，故选B14已知线段，是线段的黄金分割点，则_【答案】【详解】解：是线段的黄金分割点，故答案为：15古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”便是如此若某人满足上述黄金分割比例，且

5、身高为178cm，则其肚脐至足底的长度可能是_cm（保留根号）【答案】【详解】设此人的肚脐到足底的长度为x cm，由题意，则有解得：经检验，是所列方程的解且符合题意，故答案为：题型四 相似多边形及性质16下列叙述正确的是（）A任意两个等腰三角形相似B任意两个平行四边形相似C任意两个矩形相似D任意两个正方形相似【答案】D【详解】解： A、任意两个等腰三角形不一定满足三边对应成比例，三个角分别对应相等，不一定相似，故选项不符合题意；B、任意两个平行四边形不一定满足边对应成比例，四个角对应相等，不一定相似，故选项不符合题意；C、任意两个矩形不一定满足边对应成比例，不一定相似，故选项不符合题意；D、任

6、意两个两个正方形满足相似图形的定义，故选项符合题意故选D17如图所示的两个五边形相似，则以下，的值错误的是（）ABCD【答案】D【详解】解：两个五边形相似，故选：D18一个面积为的四边形，它的位似图形为四边形，位似中心为，若，则四边形的面积为（）ABC或D以上都不对【答案】C【详解】解：由题可知四边形的相似比为或，四边形的面积之比等于相似比的平方，且四边形的面积为，四边形 的面积为或故选：C19一个六边形的六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与其相似的六边形的周长为66，则与其相似的六边形的最短边为_【答案】6【详解】设另一个与它相似的六边形的最短边为，由题意，得：，整理得：，解得：，故

7、答案为： 620如图，在矩形中，点在矩形的边上，连接，将矩形沿翻折，翻折后的点落在边上的点处，得到矩形若矩形与原矩形相似，则的长为_【答案】【详解】矩形矩形，即，整理得，解得，（舍去），故答案为：题型五 平行线分线段成比例定理的应用21如图，已知，那么的长为（）ABCD【答案】B【详解】解：，即，故选：B22如图，在中，D，E分别是上的点且若，则的长是（）ABCD【答案】D【详解】解：，故选：D23如图，与相交于点O，若，则的长为（）A10B12C14D16【答案】C【详解】解：与相交于点O，8，6，故选：C24如图，直线，若，则_【答案】【详解】解：直线，即：解得：，故答案为：25如图，D是

8、的边延长线上一点，且，直线分别交于点E、F若，则=_【答案】【详解】解：作交于点G， ，故答案为：题型六 证明两三角形相似26如图，在中，相交于点，则图中与相似的三角形有（）A个B个C个D个【答案】C【详解】解：，故选：27下列四组条件中，能识别与相似的是（）A，；，B，C，D，；，【答案】C【详解】解：A不正确：，；，不相似；B不正确：与不是边，与，的夹角，不相似；C相似：，相似；D不相似：不是，的夹角，是边与的夹角，不相似故选：C28如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（）ABC D【答案】A【详解】A选项符合判定方法（4），符合题意B选项相等的角不是对应边的夹角，不符合题意C选项

9、相等的角不是对应角，不符合题意D选项相等的角不是对应角，不符合题意29如图，与交于点G，则图中相似三角形共有_对【答案】3【详解】图中三角形有：，共有3个组合分别为：，故答案为：330如图，AB、DE是O的直径，点C在O上，ABC=20，点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转（0180），当=_时，直径DE在ABC中截得的三角形与ABC相似【答案】50、70或160【详解】解：如图1所示：当点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转到时，DE交BC于点F，连接OC，是的直径，故当时， 直径DE在ABC中截得的三角形与ABC相似如图2所示：当点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转到时，DE与BC交于

10、点F，连接OC，是的直径，故当时， 直径DE在ABC中截得的三角形与ABC相似如图3所示：当点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转到时，DE与AC交于点F，连接OC，是的直径，故当时， 直径DE在ABC中截得的三角形与ABC相似故答案为：50、70或16031如图，点C，P均在上，且分布在直径的两侧，于点E(1)求证：(2)若，求的长【详解】（1）是的直径，；（2），32如图，已知点在的外部，点在边上， (1)求证：；(2)在边取一点，如果，求证：【详解】（1）， ， ，（2）由（1）得， ， ，33如图，在和中，(1)和相似吗？为什么？(2)如果，则成立，据此你能说明和相似吗？【详解】（1）

11、解： ，；（2）解： ，题型七 利用相似三角形的性质求解34若两个相似三角形的对应高的比是，则它们的周长比是（）ABCD【答案】B【详解】解：两个相似三角形的对应高的比是，它们的相似比为它们的周长比为故选：B35如图，分别是的边上的点，且，若：，则：的值是（）A：B：C：D：【答案】B【详解】解：，：，故选：B36已知中，分别为直线，上的点，且，若以点，为顶点的三角形与相似，则_【答案】或【详解】解：如图，,当时，即解得当时，即解得故答案为：或37如图，电灯P在横杆的正上方，在灯光下的影子为，横杆与的距离是3m，则P到的距离是_m【答案】1.5【详解】作于E，交于F，如图，设，则得即P点到的距

12、离是1.5m.故答案为：1.538如图，(1)求的长(2)若平分，求的长【详解】（1）解：，即，（2），又平分，39如图所示，在平行四边形中，是的延长线上一点，连接与，分别交于点，(1)若的面积为3，求平行四边形的面积；(2)求证【详解】（1）解：四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，；四边形是平行四边形，平行四边形的面积为：；（2）证明：，题型八 利用相似三角形求坐标40如图，在ABC中，ACB90，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（2，6）和（7，0）将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（）A2B3C4D5【答案】C【详解】解：如图，设正方形DCOE是

13、正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0），AC=6，OC=2，OB=7，BC=9，四边形OCDE是正方形，DE=OC=OE=2，OE=OC=2，EOBC，BOE=BCA=90，EOAC，BOEBCA，BO=3，OO=7-3=4，故选：C41如图，已知点A（1，0），点B（b，0）（b1），点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若POA和PAB相似，则符合条件的P点个数是（）A0B1C2D3【答案】D【详解】点P的纵坐标为，点P在直线y上，当PAOPAB时，ABb1OA1，b2，则P(1，)；当PAOBAP时，PA：ABOA：PA，PA2ABOA

14、，b1，(b8)248，解得 b84，P(1，2+)或(1，2)，综上所述，符合条件的点P有3个，故选D42如图，在直角坐标系xOy中，连接AB并延长到点C，连接CO，若，则点C的坐标为_【答案】【详解】解：设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，设点的坐标为，如图，过点作轴于点，则，在中，解得，经检验，是所列分式方程的解，则，所以点的坐标为，故答案为：43如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为_【答案】2或4【详解】如图，A(1,4) ， C(3,0) ， D(0,3) ， ， ；是直角三角形点M在x轴上，设点M的坐标是（x，0）

15、，=1当时，CM=2；当时CM=4，故答案为：2或444如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和点，与y轴，x轴分别交于C，D两点，(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)点E为反比例函数（x0）上一点（不与点A，B重合），过点E作轴，垂足为点F，当时，求点E坐标【详解】（1）解：反比例函数过点且将，带入直线得：，故一次函数为：（2）解：设点，则点，点则，当时即：，解得：，（舍去）点45如图，在平面直角坐标系中，C与与y轴相切，且点C坐标为（1，0），直线l过点A（-1，0），与C相切于点D（1）求直线l的解析式（2）是否存在P，使圆心P在x轴上，且与直线l相切，与C外切？如果存在，请直接

16、写出圆心P的坐标；如果不存在，请说明理由 【详解】解：（1）连接CD点C坐标为（1，0），A（-1，0）AC=1（-1）=2，OA=OC=1C与y轴相切，直线l与C相切于点DCD=OC=1，CDA=90sinCAD=CAD=30在RtAOB中，OB=OAtanOAB=点B的坐标为（0，）设直线l的解析式为y=kxb将点A、B的坐标代入，得解得：直线l的解析式为y=x；（2）当P在C左侧时，则P与C外切于点O，与直线l相切于点E，连接PE，设P的半径为rAEP=ADC=90，OP=PE=r，AP=OAOP=1r，EAP=DACAEPADC即解得：r=此时点P的坐标为（，0）；当P在C右侧时，则P

17、与C外切于F，与直线l相切于点E，连接PE，设P的半径为rAEP=ADC=90，PF=PE=r，AP=OAOFPF=12r=3r，EAP=DACAEPADC 即解得：r=3OP=OFPF=5此时点P的坐标为（5，0）综上：存在，圆心P的坐标为（，0）或（5，0）题型九 相似三角形性质与判定的综合应用46如图，为的边延长线上的一点，且，的面积为4，则的面积为（）A34B27C30D32【答案】C【详解】四边形是平行四边形，的面积为4，故选：C47如图，在中，点D、E分别在AC、AB上，连接DE，若，且，则的值为（）ABCD【答案】D【详解】解：，故选：D48如图，交于点C，若，则_【答案】2【详

18、解】解：，解得：故答案为：249如图，在矩形中，B为中点，连接动点M从点O出发沿边向点A运动，动点N从点A出发沿边向点B运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接，设运动时间为秒则_时，为直角三角形【答案】或8【详解】解：过点作的垂线，交于点，交于点，如图，点是的中点，由勾股定理可求：，当，由勾股定理可求：，当， ，当，由题意知：此情况不存在，综上所述，为直角三角形时，或8，故答案为：或850如图，在矩形中，E，F分别是的中点，连接，若，(1)求证：；(2)若，求的长【详解】（1）证明：四边形是矩形，即，；（2）解：四边形是矩形，E，F分别是的中点，即，51如图，四边形是正方形，点

19、是边上动点(不与重合)连接过点作交于点(1)求证：；(2)连接，试探究当点在什么位置时，请证明你的结论(3)若，求BF的最大值【详解】（1）四边形是正方形，在和中，；（2）点在中点位置时，证明如下：如图，连接，延长于的延长线相交于点H，为中点，四边形是正方形，在和中，是等腰三角形，故当点在中点位置时，（3）解：四边形是正方形，设，则，即，在中，要使最大，则要使最大，52如图1，和都是等腰直角三角形，且点A是上的点（点A不与点D，E重合），过点B作交的延长线于点H，的延长线交于点G过点A作交于点F，连接(1)求证：；(2)若，求的长；(3)如图2，若，求的值【详解】（1），（2），=，；（3）如

20、图2，作于P，是等腰直角三角形，设，=153如图，已知，若三点共线，线段与交于点(1)求证：；(2)若，的面积为，求的面积【详解】（1）证明：，即，；（2）解：由（1）知，54如图，在中，(1)求证：；(2)若，求线段的长；(3)若，时，四边形的面积是_【详解】（1）解：证明：在中，；（2），；（3），相似比为，相似比为，面积之比为，55在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，如图1所示，点A为公共顶点，点D在的延长线上，(1)图1中阴影部分的面积与的面积比为_；(2)若将固定不动，把绕点A逆时针旋转，此时线段，射线分别与射线交于点M，N当旋转到如图2所示的位置时，求证：；如图2，

21、若，求的长；在旋转过程中，若，请直接写出的长（用含d的式子表示）【详解】（1）解：、都是等腰直角三角形，阴影部分的面积与的面积比为，故答案为：（2）解：证明：，；解：在中，则，即,解得：；解：如图2，当点N在线段上时，由可知：，即解得：，如图3，当点N在线段的延长线上时，综上所述：的长为或56如图，A，B两点的坐标分别为，点P，Q同时出发作匀速运动，其中点P从A出发沿向终点O运动，速度为每秒3个单位；点Q从O出发沿向终点B运动，速度为每秒2个单位，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也随之停止运动(1)坐标平面内是否存在点C，使以O，A，C为顶点的三角形与全等？请直接写出点C的坐标；(2)设

22、从出发起，运动了t秒，以O，P，Q为顶点的三角形与相似，求出此时t的值；(3)是否存在t，使 为等腰三角形？若存在，求出运动的时间t；若不存在，请说明理由【详解】（1）如图所示，当时，根据对称的性质可得，点C的坐标为；当时，根据对称的性质可得，点C的坐标为；当时，根据对称的性质可得，点C的坐标为；综上所述，当点C的坐标为，或时，以O，A，C为顶点的三角形与全等；（2），分两种情况讨论：如果，则，解得如果，则 ，解得故当或时，以O，P，Q为顶点的三角形与相似；（3）当为等腰三角形时，分三种情况：如果，那么，解得：如果，如图，过点P作于F，则在中，解得：如果，如图，过点Q作于F，则在中，解得：综上

23、所述：当或或时，为等腰三角形题型十 位似图形57如图，在平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形，若，则点B的对应点D的坐标为（）ABCD【答案】A【详解】与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，点B的坐标为，即，故选：A58如图，与是位似图形，相似比为，已知，则的长为（）A4B6C9D15【答案】C【详解】与是位似图形，相似比为1：3，且，故选：C59在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（）ABC或D或【答案】D【详解】解：点，相似比为，点的对应点的坐标是，即，或者，即，故选：60如图，与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，若点B

24、的坐标是，则点C的坐标是_【答案】【详解】点B的坐标是，与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，即，作交于点E，点C的坐标是故答案为：61如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为，点A，B的对应点，分别为点，若，则的长为_【答案】10【详解】解：图形甲与图形乙是位似图形，位似比为，即，解得：故答案为：1062如图，的顶点都在网格点上，点M的坐标为(1)以点M为位似中心，位似比为3，将放大，在第二象限得到，画出；(2)直接写出点的坐标【详解】（1）解：如图，A1B1C1即为所求（2）解：如图，63如图，小明在学习位似时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形(1)在图中标出与的位似中心点M的位置，并直接写出点M的坐标；(2)若以点O为位似中心，请你帮小明在图中画出的位似图形，且与的相似比为2（只画出一个三角形即可）【详解】（1）解：如图，点M为所作，M点的坐标为；（2）解：如图，为所作