专题17.13 勾股定理（折叠问题）（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）.docx

1、专题17.13 勾股定理（折叠问题）（巩固篇）（专项练习）一、单选题1如图，有一块直角三角形纸片，C=90，AC6，BC8若要在边CA上找一点D，使得纸片沿直线BD折叠时，BC边恰好落在斜边AB上，则点D到顶点C的距离是()A2BC3D2如图，在矩形中，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（）ABCD3如田，中，点D在上，将沿折叠，点A落在点处，与相交于点E，则的最大值为（）ABCD4如图，把长方形纸片折叠，使其对角顶点C与A重合若长方形的长为8，宽为4，则折痕的长度为（）A5BCD5如图，将三角形纸片沿AD折叠，使点C落在边上的点E处若，则的值为（）A20B22C24D266如图，中

2、，点D在上，将沿折叠，点A落在点处，与相交于点E，则的最大值为（）ABCD7如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边AC6cm，BC8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则BD的长为（）A5cmB4cmC3cmD2cm8如图所示，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到直角三角形BEF，若BC=1，则BE的长度为（）ABCD29已知中，为斜边上的中点，是直角边上的一点，连接，将沿折叠至，交于点，若的面积是面积的一半，则为（）ABCD10如图，在RtABC中，ACB90， AB5，AC3，点D是BC上一动点，连接AD，将ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连

3、接DE交AB于点F，当DEB是直角时，DF的长为（）A5B3CD11如图，四边形纸片ABCD满足ADBC，ADBC，ABBC，AD5，BC11，现将纸片的四个角向四边形内部进行折叠，得到的四边形EFGH为正方形，则AB，CD的长分别为（）AAB5，CD7BAB8，CD10CAB6，CD8DAB8，CD912在中，现将按如图那样折叠，使点落在上的点处，折痕为，则的长为（）A3B4C6D二、填空题13如图，纸片中，点D在边BC上，以AD为折痕折叠得到，与边BC交于点E，若为直角三角形，则BD的长是_14如图，在中，点在内，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于，恰有若，则_度， _15如图，中，将沿射

4、线折叠，使点与边上的点重合，为射线上一个动点，当周长最小时，的长为 _16长方形纸片中，点E是边上一动点，连接，把B沿折叠，使点B落在点F处，连接，当为直角三角形时，的长为_17如图，在中，点是上的点，且，点和点分别是边和边上的两点，连接将沿折叠，使得点恰好落在上的点处，与交于点，则的长为_18如图，在中，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处交于F，恰有若，则_19如图，在中，、是边上的点，连接、，先将边沿折叠，使点的对称点落在边上；再将边沿折叠，使点的对称点落在的延长线上，若，则线段的长为 _20如图，在直角三角形纸片中，沿将纸片折叠，使点落在边上的点处，再折叠纸片，使点与点重合，折痕分别

5、与，交于点，连接，则的长为_21如图，在平面直角坐标系中，已知 、 现将 折叠，使点A落在OB边的中点 处，折痕为CD，其中点C在y轴上，点D在AB边上，则点C的坐标为 _22如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCO的边OC、OA分别在x轴、y轴上，AB=6，点E在边BC上，将长方形ABCO沿AE折叠，若点B的对应点F恰好是边OC的三等分点，则点E的坐标是_23如图，三角形纸片中，折叠这个三角形，使点落在的中点处，折痕为，那么的长为 _24如图，将沿折叠，使顶点C恰好落在边上的点M处，点D在上，点P在线段上移动，若，则周长的最小值为_三、解答题25如图，在长方形纸片中，将其折叠，使点D与点B重

6、合，点C落在点处，折痕交于点E，交于点F(1) 求线段的长(2) 线段的长为_26如图，在中，将沿折叠，使点B落在边上点D的位置(1) 若，求的度数；(2) 若；求的长；的面积为_27如图，折叠矩形纸片的，使点落在对角线上的点处，得折痕，若，求折痕的长（结果保留根号）28如图将长方形纸片折叠，使得点D落在边上的点P处，折痕经过点C，与边交于点Q(1) 尺规作图：求作点P、Q（不写作法，保留作图痕迹）；(2) 若，求的长29如图，长方形纸片的边长将长方形纸片沿折叠，使点与点重合，折叠后在其一面着色(1) 的长为_；(2) 求的长(3) 着色面积为_30如图1，中，于点，于点，与交于点，连接(1)

7、 求证：(2) 若，求的长(3) 如图2，将沿折叠得到，问与有何位置关系？请说明理由参考答案1B【分析】纸片沿直线BD折叠时，BC边恰好落在斜边AB上，点C的对应点是E，先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长解：纸片沿直线BD折叠时，BC边恰好落在斜边AB上，点C的对应点是E，如图所示，C=90，AC6，BC8AB10，由折叠的性质得：BEBC8，BEDC90，CDDE，AEABBE1082，AED180BED90，设CDDEx，则ADACCD6x，在RtDEA中，解得：x，CD，即点D到顶点C的距离是故选：B【点拨】本题考查了折叠的性质

8、，勾股定理等知识；熟记折叠的性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键2B【分析】已知为边上的高，要求的面积，求得即可，求证，得，设，则在中，根据勾股定理求，于是得到，即可得到答案解：由翻折变换的性质可知：，四边形为矩形，在和中，设，则，在中，解得：，故选：B【点拨】本题考查翻折变换折叠问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，应用了方程的思想本题通过设，在中运用勾股定理建立关于的方程并求解是解题的关键3C【分析】根据中，推出，根据折叠得到，当时，最小，最大， ，推出，得到解：中，由折叠知，,当时，最小，最大，此时，故选：C【点拨】本题主要考查了直角三角形，折叠，垂线段等，解决问

9、题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形，折叠性质，面积法求直角三角形斜边上的高，垂线段最短4C【分析】过F点作于H 设，则在中，利用勾股定理可列出关于x的等式，解出x为5，即可求出，又易证，从而可求，最后再次利用勾股定理即可求出的长解：如图，过F点作于H，由折叠的性质可知，设，则，在中，解得：，又，故选C【点拨】本题考查折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键5C【分析】根据折叠，可得，根据勾股定理可得，根据，求解即可解：根据折叠，可得，在中，根据勾股定理，得，在中，根据勾股定理，得，故选：C【点拨】本题考查了折叠问题，勾股定理等，熟练掌

10、握折叠变换是解题的关键6C【分析】首先利用勾股定理求出，然后确定取最大值时最小，然后利用垂线段最短解决问题解：中，当最小时，最大，当时最小，而，的最小值为，的最大值为故选：C【点拨】本题考查了翻折变换，灵活运用勾股定理及翻折不变性是解题关键7A【分析】根据折叠的性质可得AC=AE=6cm，CD=DE，ACD=AED=DEB=90，利用勾股定理列式求出AB，从而求出BE，设CD=DE=x cm，表示出BD，然后在RtDEB中，利用勾股定理列式计算即可得解解：ACD与AED关于AD成轴对称，AC=AE=6cm，CD=DE，ACD=AED=DEB=90，在RtABC中，AB2=AC2+BC2=62+

11、82=102，AB=10cm，BE=AB-AE=10-6=4(cm)，设CD=DE=x cm，则DB=BC-CD=（8-x）cm，在RtDEB中，由勾股定理，得x2+42=（8-x）2，解得x=3，CD=3cmBD=8-x =8-3=5(cm)，故选：A【点拨】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出RtDEB的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键8A【分析】首先根据矩形的性质，得出，然后再根据折叠的性质，得出，进而得出，利用勾股定理，得出的长，再由第二次折叠，得出，进而得出，最后利用线段的关系，即可得出结果解：由折叠补全图形如图所示，四边形是矩形，由第一次折叠得：，在

12、中，根据勾股定理得，由第二次折叠可知，故选：A【点拨】本题考查了图形的折叠和勾股定理，搞清楚折叠中线段的数量关系是解本题的关键9C【分析】连接BE，过D作DGAC于G，先判定（SAS），即可得出，再根据勾股定理求得CE的长，进而得出EG和DG的长，再根据勾股定理即可得到DE的长解：如图所示，连接，过作于，由勾股定理得，由折叠可得，与全等，的面积是面积的一半，的面积是面积的一半，且，是的中点，又是的中点，即是的中点，又，又，中，是的中点，是的中点，即，中，故选：【点拨】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应

13、角相等10C【分析】如图，由题意知，可知三点共线，与重合，在中，由勾股定理得，求的值，设，在中，由勾股定理得，计算求解即可解：如图，是直角由题意知，三点共线与重合在中，由勾股定理得设，在中，由勾股定理得即解得的长为故选C【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识解题的关键在于明确三点共线，与重合11B【分析】由折叠可知，AH=HM，BF=FM，HD=HN，CF=NF推出AH+BF=HM+FM=HF，HD+FC=HN+NF=HF，则2HF=AH+BF+HD+FC=AD+BC=5+11=16，所以即AB=8，根据AH+BF=8，推出AH=BF=4，所以HD=AD-AH=5-4=1，CF=CB-B

14、F=11-4=7过D作DHCF于H则HF=HD=1，HC=CF-HF=7-1=6，利用勾股定理求出CD长解：由折叠可知，AH=HM，BF=FM，HD=HN，CF=NF， AH+BF=HM+FM=HF，HD+FC=HN+NF=HF，2HF=AH+BF+HD+FC=AD+BC=5+11=16，HF=8，即AB=8，AH+BF=8，AH=BF=4，HD=AD-AH=5-4=1，CF=CB-BF=11-4=7，过D作DHCF于H则HF=HD=1，HC=CF-HF=7-1=6，CD= =10故选：B【点拨】本题考查了翻折问题，正确利用翻折性质和勾股定理是解题的关键12A【分析】首先利用勾股定理求出，进一

15、步可得，设，则，在中，由勾股定理得，列出解方程求解即可得出答案解：在中，由勾股定理得，将沿折叠，点与点重合，设，则，在中，由勾股定理得，即解得，故选：A【点拨】本题主要考查了翻折变换，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键13或【分析】根据勾股定理求得的长，然后由翻折的性质可知：，然后分和两种情况画出图形求解即可解：纸片中，以为折痕，折叠得到，当时，如图1所示，；当时，如图2所示， C与点E重合，设，则，在中，解得：，综上所述，的长为或，故答案为：或【点拨】本题考查了翻折的性质、勾股定理、三角形外角的性质、以及等腰三角形的判定，根据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键14 135 【分析

16、】延长，交于点，由等腰三角形的性质可得出，证明是等腰直角三角形，可求出，则根据三角形面积求出的值，即可得解解：延长，交于点，平分，由折叠的性质可知，是等腰直角三角形，在中，故答案为：135；【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，正确作出辅助线是解题的关键1510【分析】根据翻折的性质及勾股定理的逆定理可得为直角三角形，设，则，然后再由勾股定理可得答案解：由题意可知，、两点关于射线对称，为定值，要使周长最小，即最小，亦即：最小，与射线的交点，即为使周长最小的点，且，为直角三角形，设，则，中，即，故答案为：10【点拨】此题考查的是

17、翻折变换、勾股定理的逆定理及轴对称性质，掌握其性质是解决此题关键16或3【分析】当为直角三角形时，有两种情况：当点F落在矩形内部时，如答图1所示连接，先利用勾股定理计算出 ，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到，所以点A、F、C共线，即沿折叠，使点B落在对角线上的点F处，则，可计算出，设，则，然后在中运用勾股定理可计算出x当点F落在边上时，如答图2所示此时为正方形解：当为直角三角形时，有两种情况：当点F落在矩形内部时，如答图1所示连接，在中，B沿折叠，使点B落在点F处，当为直角三角形时，只能得到，点A、F、C共线，即沿折叠，使点B落在对角线上的点F处，设，则，在中， 解得： ；当点F

18、落在边上时，如答图2所示此时为正方形，故答案为：或3；【点拨】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等也考查了矩形的性质以及勾股定理注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解17【分析】根据勾股定理，得出，再根据，得出，再根据勾股定理，得出，再根据折叠的性质，得出，然后设，则，再根据勾股定理，得出，解出即可得出，再根据勾股定理，即可得出的长解：，在中，沿折叠，使得点恰好落在上的点处，设，则，在中，解得：，在中，故答案为：【点拨】本题考查了勾股定理、折叠的性质，解本题的关键在应用勾股定理列出方程解决问题18#【分析】延长交于点G，根据等腰三角形的判定和性质，得到，再利用

19、垂直和折叠的性质，得到，进而推出是等腰直角三角形，得到，求出，然后由勾股定理求出，最后利用三角形面积公式，得到，即可求出得长解：延长交于点G，平分，由折叠性质可知，是等腰直角三角形，由勾股定理得：，故答案为：【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题关键191.6【分析】由和关于对称，和关于对称，可以推出是等腰直角三角形，三角形面积公式可求出长， 继而由勾股定理可求长，从而可以解决问题解：由题意可知：和关于对称，和关于对称，是等腰直角三角形，即，在中，由勾股定理，得，故答案为：1.6【点拨】本题考查折叠问题，关键是掌握轴对称的性质：关于

20、一条直线对称的两个图形全等20【分析】根据沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点处，得，又再折叠纸片，使点与点重合，得，即可得，设，则，可得，即可解得解：沿将纸片折叠，使点B落在边上的点处，折叠纸片，使点与点重合，设，则，解得，故答案为：【点拨】本题考查了直角三角形中的翻折变换，勾股定理，一元一次方程解法，完全平方公式，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练利用勾股定理列方程21【分析】由点是OB中点，可求得的长；设出点C的含参的坐标，再利用勾股定理解出参数即可解：， ， ， 是OB中点， ，设 ，则 ， ，将AOB折叠，使点A落在OB边的中点 处，折痕为CD， ，在 中， ， ，解得 ， ，

21、故答案为：【点拨】本题考查勾股定理和折叠前后图形全等，把所求线段转化在同一直角三角形中是解题关键22(-6，)或(-6，)【分析】分两种情况画出图形，由折叠的性质及勾股定理可求出答案解：由题意知点是的三等分点，分两种情况：若， 将该矩形沿折叠，点恰好落在处，设，则，由题意可得，解得，；若 ，同理可得，解得，；综上所述， 点的坐标为或故答案为：或【点拨】本题考查勾股定理的应用，矩形的性质、翻折变化、坐标与图形变化对称，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答23#【分析】过点A作于点，过点作于点，根据等腰三角形的性质求出，利用三角函数求出，设，则，在中，勾股定理得，代

22、入数值求出x即可解：过点A作于点，过点作于点，点为的中点，由翻折可得，设，则，在中，即，解得，故答案为：【点拨】此题考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，翻折的性质，正确掌握各知识点并综合应用是解题的关键24【分析】首先明确要使得周长最小，即使得最小，再根据翻折的性质可知，从而可得满足最小即可，根据两点之间线段最短确定即为最小值，从而求解即可解：如图，连接，由翻折的性质可知，垂直平分，M点为上一个固定点，则长度固定，周长，要使得周长最小，即使得最小，满足最小即可，当P、B、C三点共线时，满足最小，此时，P点与D点重合，周长最小值即为故答案为：12【点拨】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题

23、等，掌握翻折的基本性质，利用角平分线的性质进行推理求解，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键25(1) (2) 5【分析】（1）根据折叠得出，设，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可；（2）根据折叠，得出，设，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可（1）解：在长方形纸片中，根据折叠可知，设，则，在中，根据勾股定理可得：，即，解得：，（2）解：根据折叠可知，设，则，在中，根据勾股定理可得：，即，解得：，故答案为：5【点拨】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，则26(1) 的度数为(2) 的长为6；【分析】（1）

24、根据直角三角形和等腰三角形得性质求得角相等并且和为即可解得（2）根据折叠得出，连续两次运用勾股定理即可求解；根据中结果，利用三角形面积公式即可求解（1）解：沿折叠，使点B落在边上点D的位置，又；（2）沿折叠，使点B落在边上点D的位置，设，则，即，解得：，的长为6；由得，故答案为：60【点拨】此题考查了折叠的性质、勾股定理解三角形等，解题的关键熟悉并会用直角三角形相关知识点27折痕的长【分析】在中，由勾股定理得到，由折叠性质得到，从而得到，设，则，在中，利用勾股定理得到，解得，在中，利用勾股定理得到，从而得到答案解：由题意可知，在中，则由勾股定理得到，折叠矩形纸片的，使点落在对角线上的点处，设，

25、则，在中，利用勾股定理得到，解得，在中，利用勾股定理得到，折痕的长【点拨】本题考查利用勾股定理求线段长，涉及折叠的性质、解方程等知识，熟练掌握折叠的性质及勾股定理的运用是解决问题的关键28(1) 见分析(2) 【分析】（1）以点C为圆心，为半径画弧，与交于一点，即为点P，连接，作的平分线，交于一点，即为点Q；（2）先根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可（1）解：以点C为圆心，为半径画弧，与交于一点P，连接，作的平分线，交于一点Q，则点P、Q即为所求，如图所示：（2）解：连接，根据折叠可知，纸片为长方形纸片，设，则，在中，根据勾股定理可知，即，解得：，即【点拨】本题

26、主要考查了折叠的性质，尺规作一个角的平分线，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理和折叠的性质29(1) 4(2) 3(3) 22【分析】（1）由折叠的性质确定的长即可；（2）由折叠的性质可知，设，则，在中，由勾股定理可知，然后代入求解即可获得答案；（3）首先求得，然后由计算着色面积即可解：（1）解：由折叠的性质可知，故答案为：4；（2）四边形为长方形，由折叠的性质可知，设，则，在中，即，解得，即；（3）由折叠的性质可知，设，则，在中，即，解得，即， ，即着色面积为22故答案为：22【点拨】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形和梯形面积公式等知识，熟练掌握相关知识是解题关键30(1)

27、见分析(2) (3) ，见分析【分析】（1）先判定出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而得证；（2）根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后根据代入数据即可得解（3）先求出，由，得到，求出，进而求出的度数为，即可得到结论解：（1）证明：，是等腰直角三角形，在和中，；（2），在中，；（3），理由如下：证明：，【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，勾股定理的应用，以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键