专题19 数列大题训练（教师版）.docx

1、专题19 数列大题训练题型一、等差、等比数列的应用1（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）已知是各项均为正数的等比数列，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)本题首先可以根据数列是等比数列将转化为，转化为，再然后将其带入中，并根据数列是各项均为正数以及即可通过运算得出结果；(2)本题可以通过数列的通项公式以及对数的相关性质计算出数列的通项公式，再通过数列的通项公式得知数列是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果【详解】(1)因为数列是各项均为正数的等比数列，所以令数列的公比为，所以，解得(舍去)或，所以数列是首项为、公比为的等

2、比数列，(2)因为，所以，所以数列是首项为、公差为的等差数列，【点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题2已知等差数列中，.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用等差数列通项公式的基本量运算即得；（2）利用求和公式即得.【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，所以，解得，所以；（2）.3记数列的前项和为，.(1)证明数列为等差数列，并求通项公式；(2)记，求.【答案】(1)证明见解析，；(2)【分析】（1）由可得出，结合等差数列的定义可证明结论

3、成立，确定数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式；（2）求得，利用等差数列的求和公式可求得的值.【详解】（1）证明：，则，即，解得，所以，即，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，故.（2）解：，所以，.4（2023年云南省模拟考试数学试题）已知等差数列的前项和为，且(1)求的通项公式；(2)试求出所有的正整数，使得对任意正整数，均有【答案】(1)；(2)或10或11【分析】（1）利用基本量法可求首项与公差，故可求通项.（2）求出及其最小值，故可得关于的不等式，据此可求所有的正整数.【详解】（1）设的公差为，则，解得，故（2）由（1）可知，当时，取得最小值-100由恒成立，得，解得因为，

4、所以或10或115记等差数列的前n项和为，(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前n项和【答案】(1)；(2).【分析】(1)根据已知条件列出关于首项和公差的方程组即可求解；(2)根据等比数列求和公式即可求解【详解】（1）由题可知，解得，；（2），是首项为3，公比为9的等比数列，6（2023年江西省模拟数学试题）已知正项等差数列前项和为，_，请从条件，；条件，且，成等比数列，两个条件中任选一个填在上面的横线上，并完成下面的两个问题(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，证明：【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）若选，根据等差数列性质可得，再计算等差数列基本量即可；（2）代

5、入可得，再根据等比数列求和证明即可.【详解】（1）若选，由，得，又因为，所以，则，解得；故若选，设等差数列的公差为，且，成等比数列，即，解得：或（舍），（2），所以，即得证.7（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷）设是等差数列，其前项和为；是等比数列，公比大于0，其前项和为已知，8（）求和；9（）若，求正整数的值【答案】()，；()4.【分析】（I）由题意得到关于的方程，解方程可得，则.结合题意可得等差数列的首项和公差为，则其前项和.（II）由（I），知 据此可得 解得（舍），或.则的值为4.【详解】（I）设等比数列的公比为，由，可得因为，可得，故所以，设等差数列的公差为由

6、，可得由，可得从而，故，所以，（II）由（I），有.由,可得，整理得解得（舍），或所以的值为4点睛：本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.8已知数列的前n项和为，满足，.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前100项的和.【答案】(1)，；(2)【分析】（1）利用，整理可得数列是等比数列，求其通项公式即可；（2）求出，然后分组求和.【详解】（1）当时，整理得，又，得则数列是以-2为首项，-2为公比的等比数列.则，（2）当时，当时，当时，当时，则.题型二、分组求和法1（2023届新高考卷调研模拟考试数学试题）已知数列的首项，

7、且满足.(1)求证：数列为等比数列：(2)若，求满足条件的最大整数.【答案】(1)证明见解析；(2)50【分析】（1）两边取倒数，再同时减2，根据等比数列的定义，即可证明.(2)利用等比数列求和公式求和，再根据函数单调性，即可求解.【详解】（1）证明：由，可得，又故数列为等比数列.（2）由（1）可知，故.令，易知随的增大而增大，故满足的最大整数为50.2（2023届河北省一模数学试题）设数列的前n项和为，且(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据与的关系，即可求得数列的通项公式；（2）根据题意，由分组求和法结合等差数列与等比数列的求和公式，即可得到

8、结果.【详解】（1）当时，解得当时，则，即，从而是首项为1，公比为2的等比数列，所以，且当时，也满足，所以故（2）由（1）可得，则，故3已知数列满足(1)求数列的通项公式；(2)当时，求数列的前项和为【答案】(1)；(2)【分析】（1）当时可得，令，则，即可得到数列是首项为，公比为的等比数列，从而求出，即可求出数列的通项公式；（2）利用分组求和法及等差数列前项和公式求和即可；【详解】（1）解：当时，则，令，则，又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即，从而；（2）解：因为，所以4（2023届安徽省联盟二模数学试题）已知首项为3的数列的前n项和为，且(1)求证：数列为等比数列；(2)

9、求数列的前n项和【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）根据，得出与的关系，进一步变形得出等比数列；（2）利用分组求和法及等比数列求和公式求得结果.【详解】（1）由题意得，即，故，即，又，故数列是以为首项，为公比的等比数列（2）由（1）知，即数列的前项和为，数列的前项和为，故5已知数列的前项和为，且对任意的有.(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）令可求得的值，令，由可得，两式作差可得出，结合等比数列的定义可证得结论成立；（2）求得，利用分组求和法可求得.【详解】（1）证明：当时，则；.当时，由可得.两式相减得，即，.因为，则，以

10、此类推可知，对任意的，所以，数列构成首项为，公比为的等比数列.（2）解：由（1），故，则.所以，.6已知等比数列满足，(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和【答案】(1)；(2)【分析】（1）直接利用等比数列的通项公式求解即可；（2）分组后利用等差数列、等比数列的求和公式求出结果即可【详解】（1）设等比数列的公比为，由已知，得，解得，；（2）由（1）得，.题型三、错位相减法1（2023届安徽省、云南省、吉林省、黑龙江省适应性测试数学试题）记数列的前n项和为，且(1)求数列的通项公式；(2)设m为整数，且对任意，求m的最小值【答案】(1)(2)7【分析】（1）由数列与的关系可得，再结合

11、等比数列的通项可得解；（2）利用错位相减法求出，结合范围即可得解.【详解】（1）因为，所以，当时，故，且不满足上式，故数列的通项公式为（2）设，则，当时，故，于是整理可得，所以，又，所以符合题设条件的的最小值为72（2023年安徽省模拟数学试题）已知数列满足(1)求证：数列是等比数列；(2)设，求的前项和【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）根据题干条件构造出，结合等比数列定义证明结论；（2）先求出的通项，利用分组求和法和错位相减法求出结果.【详解】（1）因为，所以，又，所以，数列是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）知，令两式相减，所以所以，又，.3（2017年全国普通高等学校招

12、生统一考试文科数学（天津卷）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，.（）求和的通项公式；（）求数列的前n项和.【答案】（）. .（）.【详解】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程求出等差数列首项和公差及等比数列的公比，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确.试题解析：（）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以，.由，可得.由，可得，联立，解得，由此可得.所以，的通项公式为，的通项公式为.（）解：设数列的前项和为，由，有，上述两式相减，得.得.所以，数列的前项和为.【考点

13、】等差数列、等比数列、数列求和【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法和分组求和法等，本题考查错位相减法求和.4（2023年渝琼辽（新高考2卷）名校仿真模拟联考数学试题）已知数列的前n项和为，且，(1)求数列和的通项公式；(2)若，求数列的前n项和【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据对数运算得，利用等比数列定义求通项公式，利用等差中项判断数列为等差数列，建立方程求出公差，从而可得的通项；（2）利用错位相减法计算即可.【详解】（1），

14、则，所以为等比数列，又，得，所以，由知是等差数列，且，得，.（2）因为，所以，所以则上面两式作差得，5已知数列为等差数列，数列的前n项和为，且满足(1)求和的通项公式；(2)若，数列的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围【答案】(1)；(2)【分析】（1）求解等差数列通项公式，只需设参数，列方程组即可求解，数列通过已知前项和求解通项公式；（2）需要先用错位相减法求得数列的前项和为，代入不等式中对分类讨论，转化为最值问题，求出范围即可【详解】（1）解：等差数列中，设公差为，则数列中的前项和为，且当时，当时，得：故数列是以1为首项，3为公比的等比数列，所以.（2）解：数列中，.则所以故，所以

15、对恒成立当为奇数时，当为偶数时，综上：实数的取值范围为6（2023届广西摸底测试数学（理）试题）设数列的前项和为，且满足(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前项和.【答案】(1)；(2)【分析】(1) 型的数列，利用公式来解决.(2) ，等差数列与等比数列的积数列的求和，用错位相减法【详解】（1）因为，当时，解得当，时，所以，得即，可知数列是首项为1，公比为5的等比数列，所以（2）由（1）可知，所以，所以，所以，则，两式相减，可得.，化简得题型四、裂项相消法1已知数列的前项和为，且有(1)求数列的通项公式；(2)设为数列的前项和，证明：【答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)

16、递推一项作差即可求解；(2)根据题意求出，利用裂项相消求和即可证明.【详解】（1）由题，当时，；当时，由，所以，两式相减，可得，当时，满足，（2）由题，所以，2设数列的前n项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据与的关系即可求出数列的通项公式（2），利用裂项相消法即可求出数列的和.【详解】（1）当时，解得，当时，即，即，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以.（2）由（1）知，所以.3（2023届山西省联考数学试题）已知等差数列满足，公比不为的等比数列满足，.(1)求与通项公式；(2)设，求的前n项和.【答案】(1)，(2)

17、，【分析】（1）由等差数列、等比数列的定义计算基本量即可求通项公式；（2）根据等比数列的求和公式及裂项相消求和即可.【详解】（1）设的公差为d，因为，所以，解得，从而，所以；设的公比为q，因为，所以，解得，因为，所以，所以 .（2）由上可知：，所以，所以，所以，.4（2023届广东省二模数学试题）已知数列满足，.(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)若，数列的前项和，求证：.【答案】(1)证明见解析，(2)证明见解析【分析】（1）根据递推公式证明为定制，即可证明数列为等比数列，再根据等比数列得通项即可得解；（2）由，得，则，则，再利用裂项相消法求出数列的前项和，即可得证.【详解】

18、（1）因为，所以，则，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则，所以；（2）由，得，则，所以，所以，所以，因为，所以，所以.5已知正项数列的前n项和为，且满足，(1)求(2)求【答案】(1)(2)【分析】(1)先令求出首项，再由数列的递推公式，当时，代入并结合等差数列的定义和通项公式求出.(2)由第一问的公式，正好利用分母有理化进行化简抵消即可得出结果【详解】（1）根据题意可得，当时，解得，由，代入得，整理后得，即，根据等差数列的定义可知，数列是首项为1，公差为1的等差数列，则，（2）由(1)可知，.6（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标）为数列的前项和.已知0，=.（

19、）求的通项公式；（）设 ,求数列的前项和.【答案】（）（）【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求的通项公式：（）求出，利用裂项法即可求数列的前项和【详解】解：（I）由，可知两式相减得，即，（舍）或，则是首项为3，公差的等差数列，的通项公式：（），数列的前项和.【点睛】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键7（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷）设是等比数列，公比大于0，其前项和为，是等差数列.已知，.（I）求和的通项公式；（II）设数列的前项和为，（i）求；（ii）证明.【答案】()，；()（i）.（ii）证明见解析.【详解】分

20、析：（I）由题意得到关于的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得 （II）（i）由（I），有，则.（ii）因为，裂项求和可得.详解：（I）设等比数列的公比为.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为，由，可得由，可得 从而 故 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为（II）（i）由（I），有，故.（ii）因为，所以.点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.题型五、并项求和法1（2020年天津市高考数学试题）已知为等差数列，为等比数列，（）求和的通项公式；（）记的前项和为，求证：；（）对任意的正整数，设求数

21、列的前项和【答案】（），；（）证明见解析；（）.【分析】()由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；()利用()的结论首先求得数列前项和，然后利用作差法证明即可；()分类讨论为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前项和即可.【详解】()设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由，可得.从而的通项公式为.由，又，可得，解得，从而的通项公式为.()证明：由()可得，故，从而，所以.()当为奇数时，当为偶数时，对任意的正整数，有，和 由得 由得，由于，从而得：.因此，.所以，数列的前项和为.【点睛】本题主

22、要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.2（2019年天津市高考数学试卷（理科）设是等差数列，是等比数列.已知.（）求和的通项公式；（）设数列满足其中.（i）求数列的通项公式；（ii）求.【答案】（）；（）（i）（ii）【分析】()由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；()结合()中的结论可得数列的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前项和公式可得的值.【详解】()设等差数列的公差为，等比数列的公比为.依题意得，解得，故，.所以，的通项公式为，的通项公式为.()(i).所以，数列的通项公式为.(ii

23、).【点睛】本题主要考查等差数列等比数列的通项公式及其前项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.3（2023年河南省模拟数学（文科）试题）已知数列满足，数列为等比数列且公比，满足.(1)求数列的通项公式；(2)数列的前项和为，若，记数列满足求数列的前项和.【答案】(1);(2)【分析】（1）根据等比数列基本量的关系可得公比，再进而可得为等差数列即可；（2）由得，再根据分组求和方法求解即可.【详解】（1）因为，令得，又数列为等比数列，设公比为有，而，解得，则，因此，即数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以.（2）由知数列是公比为2的等比数列，由得，解得，则

24、，因此，即有数列的奇数项是以1为首项4为公差的等差数列，偶数项是以4为首项4为公比的等比数列，所以4（2023届河南三模理数试题）在等比数列中，且，成等差数列(1)求的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，求满足的k的值【答案】(1)；(2)40或37【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合等差中项的意义求出公比及首项作答.（2）由（1）的结论求出，再分奇偶求和作答.【详解】（1）设的公比为，由，得，解得，由，成等差数列，得，即，解得，所以数列的通项公式是（2）由（1）知，当为偶数时，令，得；当为奇数时，令，得，所以或37.5（2023年黑龙江省模拟考试数学试题）已知数列满足.(1)求的通项

25、公式；(2)已知，求数列的前20项和.【答案】(1);(2)5【分析】（1）根据题意，由条件可得，然后与原式作差，即可得到结果；（2）根据题意，由分组求和即可得到结果.【详解】（1）当时，可得，当时，上述两式作差可得，因为满足，所以的通项公式为.（2）因为，所以，.所以数列的前20项和为5.6（2023年山东省模拟数学试题）已知数列是等差数列，是各项均为正数的等比数列，数列的前n项和为，且，(1)求数列，的通项公式；(2)令，求数列的前12项和【答案】(1)，(2)2796【分析】（1）由数列是等差数列，是各项均为正数的等比数列，设出公差和公比，根据题意列出方程组求解即可；（2）根据题意写出数

26、列通项公式，用分组求和法，结合等差等比求和公式求解即可.【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为，由题意可得，即，所以，因为，所以，所以，（2）由（1）可得，所以的所有奇数项组成以1为首项，4为公差的等差数列；所有偶数项组成以2为首项，4为公比的等比数列所以，题型六、倒序相加法1（2023届广东省模拟数学试题）已知函数满足，若数列满足：.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，（），数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，；(2)【分析】（1）由，运用倒序相加求和，可得所求通项公式；（2）由（1）可得的通项公式，由数列的裂项相消求和可得，再由参数分离和配方法求得

27、最值，即可得到所求的取值范围.【详解】（1）因为,由,则,所以可得：，故，.（2）由（1）知，则时，所以.又由对一切恒成立,可得恒成立,即有对一切恒成立.当时,取得最大值，所以；故实数的取值范围是.2已知为等比数列，且，若，求的值【答案】2021【分析】利用函数解析式和等比数列的性质求得，继而求出答案【详解】因为为等比数列，所以，因为，所以，同理可得，所以3已知函数对任意的，都有，数列满足.求数列的通项公式.【答案】【分析】由题得，所以.，两式相加即得解.【详解】因为，.故.+，得，.所以数列的通项公式为.4设函数，设，(1)计算的值(2)求数列的通项公式【答案】(1)2(2)【分析】（1）直

28、接计算可得答案；（2）由（1）的计算结果，当时，利用倒序相加法可得答案.【详解】（1）；（2）由题知，当时，又，两式相加得，所以，又不符合，所以.5已知函数，正项等比数列满足，则值是多少？.【答案】【分析】先证明，由等比数列的性质可得，即，继而可得，倒序相加法即可得解.【详解】因为，所以.因为数列是等比数列，所以，即.设 ，又 ，+，得，所以.题型七、数列中的结构不良问题1（2023年安徽省教学质量抽测数学试题）已知数列是首项为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且数列的前项和为(1)求数列的通项公式；(2)设_，求数列的前项和为 ， ， 从这三个条件中任选一个填入上面横线中，并回答问题【

29、答案】(1)，(2)选择见解析，答案见解析【分析】（1）根据条件求出，再根据数列为等差数列，数列为等比数列，即可求出结果；（2）选择条件，利用错位相减法即可求出结果，选择条件，利用裂项相消法即可求出结果，选择条件，利用分组求和法即可求出结果.【详解】（1）设数列的公差为，数列的首项为，由题知，因为，解得，所以，又，即，解得，所以所以数列的通项公式为，数列的通项公式为（2）选条件：，则，故，两式相减得，选条件：，选条件：，2（2023年江西省模拟考试数学试题）从；前项和满足，；中任选一个，并将序号填在下面的横线上，再解答已知数列中，且_.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和，证明：.(

30、注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)【答案】(1)(2)证明见解析.【分析】（1）选，利用等式变形得，可得；选，利用可得，可得；选先变形为后用累加法可得；（2），利用裂项相消法可得.【详解】（1）若选：当时，由得，整理得，因，故，故是以为首项以为公差的等差数列，所以；若选：当时，由得，两式相减得，整理得，因，故，故是以为首项以为公差的等差数列，所以；若选：由得，得，故当时，所以；又，满足，故.（2），故，因，当越大时，越大，故.3（2023年江西省模拟数学试题）已知正项等差数列前项和为，_，请从条件，；条件，且，成等比数列，两个条件中任选一个填在上面的横线上，并完成下面的两个问题(

31、1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，证明：【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）若选，根据等差数列性质可得，再计算等差数列基本量即可；（2）代入可得，再根据等比数列求和证明即可.【详解】（1）若选，由，得，又因为，所以，则，解得；故若选，设等差数列的公差为，且，成等比数列，即，解得：或（舍），（2），所以，即得证.4（2023年安徽省调研测试数学试题）已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用即可求出通项公式；（2）求出，利用错位相减法求和.【详解】（1）当时，当时，因为，所以，得，即，所以，又因为，所以，所以，

32、当时，是以4为首项，2为公比的等比数列，所以.所以.（2）因为，所以，当时，当时，所以，所以，则数列的前项和为，当时，当时，得，所以.当时，也满足.故数列的前项和.5（2023届海南模拟数学试题）已知数列的各项均为正数且均不相等，记为的前项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立数列是等比数列；是等比数列注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分【答案】证明见解析【分析】选择为条件，为结论，可推出，即可求得，继而得的表达式，即可证明结论；选择为条件，为结论，即得，再利用条件求得的值，化简即可证明结论；选择为条件，为结论，设等比数列的公比为，即得，从而推出，可得，结合，求得，化简即可

33、证明结论.【详解】选择为条件，为结论证明过程如下：设等比数列的公比为且，则，由得，所以，则，即，所以，即，所以，所以是以为首项，2为公比的等比数列选择为条件，为结论证明过程如下：设等比数列的公比为且，则，所以，（*）因为是等比数列，所以，即所以因为，所以化简整理得，即，因为，所以，代入（*）式，得，即选择为条件，为结论证明过程如下：设等比数列的公比为且，则，当时，所以，又因为，所以，因为，所以，所以，得，因为当时，上式恒成立，所以是首项为，公比为2的等比数列6（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立数列是等差数列

34、：数列是等差数列；注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分【答案】证明过程见解析【分析】选作条件证明时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.选作条件证明时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证；选作条件证明时，设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.【详解】选作条件证明：方法一：待定系数法+与关系式设，则，当时，；当时，；因为也是等差数列，所以，解得；所以，故.方法二 ：待定系数法设等差数列的公差为，等差

35、数列的公差为，则，将代入，化简得对于恒成立则有，解得所以选作条件证明：因为，是等差数列，所以公差，所以，即，因为，所以是等差数列.选作条件证明：方法一：定义法设，则，当时，；当时，；因为，所以，解得或；当时，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；当时，不合题意，舍去.综上可知为等差数列.方法二【最优解】：求解通项公式因为，所以，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，符合题意.【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，平方后得到的关系式

36、，利用得到的通项公式，进而得到，是选择证明的通式通法；法二：分别设出与的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进而得到；选时，按照正常的思维求出公差，表示出及，进而由等差数列定义进行证明；选时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；法二：利用是等差数列即前两项的差求出公差，然后求出的通项公式，利用，求出的通项公式，进而证明出结论.7（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.【答案】证明见解析.【分析】先根据求出数列的公差，进一步写出的通项，从而

37、求出的通项公式，最终得证.【详解】数列是等差数列，设公差为，当时，当时，满足，的通项公式为，是等差数列.【点睛】在利用求通项公式时一定要讨论的特殊情况.题型八、强化训练第一问1（2023届高三一轮复习联考（三）全国卷理科数学试题）已知数列满足.求的通项公式；【答案】；【分析】根据所给递推关系，得出，两式相减即可求解；【详解】由题，当时，即.当时，-得，所以.当时，也适合，综上，.2已知数列的首项，且满足证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；【答案】【分析】对已知等式两边取倒数，再利用等比数列的定义证明，进而求得通项公式；【详解】由，两边取倒数得，即，即故数列是首项为，公比为3的等比数列，

38、所以，即所以数列的通项公式为.3（2023届云南省教学质量检测数学试题）已知数列的前项和为，且满足设，证明：是等比数列【答案】证明见解析【分析】由题设可得，整理变形得，结合等比数列定义即可证结论；【详解】由题设，则，所以，即，而，故是首项与公比都为的等比数列.4（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标）已知是递增的等差数列，是方程的根.求的通项公式；【答案】;.【分析】方程的两根为，由题意得，在利用等差数列的通项公式即可得出；【详解】方程的两根为2，3.由题意得，.设数列的公差为，则，故，从而得.所以的通项公式为.5（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷）数列

39、满足，.证明：数列是等差数列；【答案】证明见解析；【详解】试题分析：将的两边同除以 ，得到，由等差数列的定义，即可作出证明；证明：由已知可得，即.所以是以为首项，1为公差的等差数列6（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷）已知数列和满足，求与；【答案】；【详解】根据数列递推关系式，确定数列的特点，得到数列的通项公式；（2）根据（1）问得到新的数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和.试题解析：由，得.当时，故.当时，整理得，所以.7（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项求的值；【答案】；【分析】分析:根据条件、等差数列的

40、性质及等比数列的通项公式即可求解公比；【详解】详解：由是的等差中项得，所以，解得.由得，因为，所以.8设数列满足.求的通项公式；【答案】；【解析】利用递推公式,作差后即可求得的通项公式.【详解】数列满足时, ，当时,上式也成立9等比数列的各项均为正数，且.求数列的通项公式；【答案】；【分析】根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可；【详解】设数列的公比为,由得,所以.由条件可知,故.由得,所以.故数列的通项公式为.10（2021年天津高考数学试题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64是公比大于0的等比数列，求和的通项公式；【答案】（I），；【分析】由等差数列的求

41、和公式运算可得的通项，由等比数列的通项公式运算可得的通项公式；【详解】因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64所以，所以，所以；设等比数列的公比为，所以，解得（负值舍去），所以；11（2023年上海市模拟数学试题）在数列中，证明数列是等比数列；【答案】见解析【分析】由题意构造数列，再利用等比数列的定义即可证明；【详解】因为，所以，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.12（2023年陕西省模拟（理科）数学试题）已知等比数列的公比，前项和为，且.求数列的通项公式；【答案】【分析】由题意可得出，解方程求出，再由等比数列的通项公式即可求出数列的通项公式；【详解】由已知可得:，所以，两式相除可

42、得：，即，即，解得或（舍），.13（2023年江苏省模拟数学试题）已知等差数列的前n项和为，数列为等比数列，满足是与的等差中项.求数列的通项公式；【答案】，；【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，利用，求出值即可得到的通项公式；再由题意得，结合可求出值，进一步可得的通项公式；【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，所以，解得，所以，由题意知：，因为，所以，解得，所以；14设数列的首项n=1，2，3，判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；【答案】是，证明见解析【分析】根据题设条件，可得，由等比数列的定义可得结论；【详解】数列出是以为首项，为公比的等比数列，证明如下：又数列是

43、为首项，为公比的等比数列.15（2023年广东省模拟数学试题）已知数列满足，.记，证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；【答案】证明见详解，【分析】根据题意结合等比数列的定义分析证明，进而求通项公式；【详解】由题意可知：，且，所以数列是以首项，公比的等比数列，可得.16数列满足：，求数列的通项公式；【答案】，【分析】根据递推关系得，再验证满足条件即可求得答案；【详解】解：当，得（*）在中令，得，也满足（*），所以，.17（2023年全国名校大联考数学试题）在数列中，且对任意的，都有.证明：是等比数列，并求出的通项公式；【答案】证明见解析，；【分析】由，可得，即是等比数列，可求得，变形为，即可

44、得到是等差数列，可求得，从而求得；【详解】证明：因为，所以.因为，所以，又，则有，所以，所以是以4为首项，2为公比的等比数列.所以，所以，又，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以.18（2023届福建省模拟考试数学试题）已知数列的前项的积记为，且满足证明：数列为等差数列;【答案】证明见解析【分析】将代入到中，得，结合等差数列的定义可证结论正确；【详解】当时，得，当时，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列.19设数列满足求数列的通项公式.【答案】=【分析】由，求出时的通项公式，再检验是否满足所求通项公式即可;【详解】因为，所以当时，则即又当时，则，满足故20（2024届重庆市适应

45、性月考数学试题）已知数列满足，记，求证：为等比数列；【答案】证明见解析【分析】由可知结合可得进而可证为等比数列；【详解】证明：且，又，为以4为首项，2为公比的等比数列.21（2023年安徽省阶段性测试数学试题）已知数列的前项和)求；【答案】【分析】利用与的关系求解；【详解】当时，当时，作差得，故22（2023年江西省模拟数学试题）在数列中，且.设为满足的的个数.求，的值；取值范围.【答案】，【分析】由递推式判断是等差数列，利用等差通项公式求基本量，进而得到，结合已知可得，即可写出对应项；【详解】因为，所以，则是等差数列，设数列的公差为，由，则，解得，则，因为是满足的的个数，所以，则，.23（2

46、023年浙江省名校联盟联考数学试题），递增数列前项和为(1)证明：为等比数列并求；(2)记，为使成立的最小正整数，求【答案】(1)证明见解析；【分析】由题意可得为递增数列：，（），根据等比数列定义即可证明结论，并求得；【详解】证明：由于，当时，；当时，依次取值为，（）时，总存在使得成立，证明该结论，只需证明能被3整除，由于，即能被3整除，即上述结论成立，当时,，由于能被3整除，则不是3的倍数，即时，不适合题意；综合上述，为递增数列：，（），故，即是以为首项，公比为4的等比数列，则.24（2023年福建省模拟考试数学试题）数列满足，为常数是否存在实数，使得数列成为等比数列，若存在，找出所有的，及

47、对应的通项公式；若不存在，说明理由；【答案】存在，【分析】假设存在实数，使得数列成为等比数列，根据可求出可得答案；【详解】假设存在实数，使得数列成为等比数列，则有，因为，所以数列成为等比数列，存在，；25（2023年广东省联考数学试题）正数数列满足，且成等差数列，成等比数列求的通项公式；【答案】；.【分析】根据题意，由等差中项与等比中项的性质列出方程，结合递推关系可得数列是以为首项，为公差的等差数列，再由数列的通项公式可得数列的通项公式；【详解】成等差数列，成等比数列，数列为正数数列，当时，且，则，数列是以为首项，为公差的等差数列，当时，满足上式，当时，当时，满足上式，.26（2023年山西省模拟数学试题）若数列满足，则称数列为“平方递推数列.已知数列中，点在函数的图象上，其中n为正整数，(1)证明:数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列;【答案】证明见解析【分析】根据“平方递推数列”的定义和等比数列的定义进行证明即可；【详解】点在函数的图象上，数列是“平方递推数列”，因为，对两边同时取对数得，数列是以1为首项、2为公比的等比数列；27（2024届湖北省新起点摸底考试数学试题）已知是数列的前项和，求数列的通项公式；【答案】【分析】利用与的关系，结合累乘法即可求出数列的通项公式；【详解】由，则，两式相减得：，整理得：，即时，所以时，又时，得，也满足上式故