专题19 最值问题中的费马点模型(原卷版).docx

1、专题19 最值问题中的费马点模型 【模型展示】特点费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点如图，点M为锐角ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120时，MA+MB+MC的值最小【证明】以AB为一边向外作等边三角形ABE，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接ENABE为等边三角形，ABBE，ABE60而MBN60，ABMEBN在AMB与ENB中，AMBENB（SAS）连接MN由AMBENB知，AMENMBN60，BMBN，BMN为等边三角形BMMNAM+BM+CMEN+MN+CM当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小此时，BMC180NMB1

2、20；AMBENB180BNM120；AMC360BMCAMB120结论三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点【模型证明】解决方案如图,在锐角ABC外侧作等边ACB,连接BB.求证:BB过ABC的费马点P,且BB=PA+PB+PC.【证明】在BB上取点P,使BPC=120,连接AP,在PB上截取PE=PC,连接CE.BPC=120,EPC=60,PCE为等边三角形,PC=CE,PCE=60,CEB=120.ACB为等边三角形,AC=BC,ACB=60,PCA+ACE=ACE+ECB=60,PCA=ECB,ACPBCE,APC=BEC=120,PA=EB,APB=APC=BPC=120,P为AB

3、C的费马点,BB过ABC的费马点P,且BB=EB+PB+PE=PA+PB+PC.如图,在ABC中,以它的边AB,AC为边,分别在形外作等边三角形ABD,ACE,连接BE,CD.求证:BE=DC.【证明】由已知可得AB=AD,AC=AE,BAD=CAE=60,BAD+BAC=CAE+BAC,即DAC=BAE.在BAE和DAC中,BAEDAC,BE=DC.【题型演练】一、单选题1数学很多的知识都是以发明者的名字命名的，如韦达定理、杨辉三角、费马点等，你知道平面直角坐标系是哪一位法国的数学家创立的，并以他的名字命名的吗？（）A迪卡尔B欧几里得C欧拉D丢番图2已知点P是ABC内一点，且它到三角形的三个

4、顶点距离之和最小，则P点叫ABC的费马点（Fermat point）已经证明：在三个内角均小于120的ABC中，当APB=APC=BPC=120时，P就是ABC的费马点若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=（）ABC6D3已知点P是ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫ABC的费马点（Fermat point）已经证明：在三个内角均小于120的ABC中，当APBAPCBPC120时，P就是ABC的费马点若点P是腰长为6的等腰直角三角形DEF的费马点，则PDPEPF（ ）A6BCD94已知点P是内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫的

5、费马点（Fermat point）已经证明：在三个内角均小于的中，当时，P就是的费马点若点P是腰长为的等腰直角三角形的费马点，则（）A6BCD9二、填空题5已知点P是ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫ABC的费马点（Fermat point），已经证明：在三个内角均小于120的ABC中，当APB=APC=BPC=120时，P就是ABC的费马点，若P就是ABC的费马点，若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=_6若P为ABC所在平面上一点，且APB=BPC=CPA=120，则点P叫做ABC的费马点若点P为锐角ABC的费马点，且ABC=60，PA=

6、3，PC=4，则PB的值为_7法国数学家费马提出：在ABC内存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小人们称这个点为费马点，此时PA+PB+PC的值为费马距离经研究发现：在锐角ABC中，费马点P满足APBBPCCPA120，如图，点P为锐角ABC的费马点，且PA3，PC4，ABC60，则费马距离为_8已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）若，P为的费马点，则_；若，P为的费马点，则_三、解答题9如图（1），P为ABC所在平面上一点，且APBBPCCPA120，则点P叫做

7、ABC的费马点（1）若点P是等边三角形三条中线的交点，点P（填是或不是）该三角形的费马点（2）如果点P为锐角ABC的费马点，且ABC60求证：ABPBCP；（3）已知锐角ABC，分别以AB、AC为边向外作正ABE和正ACD，CE和BD相交于P点如图（2）求CPD的度数；求证：P点为ABC的费马点10背景资料:在已知ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”如图，当ABC三个内角均小于120时，费马点P在ABC内部，此时APBBPCCPA120，此时，PAPBPC的值最小解决问题

8、：（1）如图，等边ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求APB的度数为了解决本题，我们可以将ABP绕顶点A旋转到ACP处，此时ACPABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出APB= ；基本运用：（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：如图，ABC中，CAB=90，AB=AC，E，F为BC上的点，且EAF=45，判断BE，EF，FC之间的数量关系并证明；能力提升：（3）如图，在RtABC中，C=90，AC=1，ABC=30，点P为RtABC的费马点，连接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的值11若P为ABC

9、所在平面上一点，且，则点P叫做ABC的费马点(1)若点P为锐角ABC的费马点，且ABC=60，PA=3，PC=4，则PB的值为_；(2)如图，在锐角ABC外侧作等边连结求证：过ABC的费马点P，且12若一个三角形的最大内角小于120，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120，此时该点叫做这个三角形的费马点如图1，当ABC三个内角均小于120时，费马点P在ABC内部，此时，的值最小(1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数为了解决本题，小林利用“转化”思想，将ABP绕顶点A旋转到处，连接，此时，这样就可以通过旋转变换，将三条线段PA，P

10、B，PC转化到一个三角形中，从而求出_(2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD使，求证：(3)如图4，在直角三角形ABC中 ，点P为直角三角形ABC的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出的值13【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶德费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”如图，点是内的一点，将绕点逆时针旋转60到，则可以构造出等边，得，所以的值转化为的值，当，四点共线时，线段的长为所求的最小值，即点为的“费马点”(1)【拓展应用】如图1，点是等边内的一点，连接，将绕点逆

11、时针旋转60得到若，则点与点之间的距离是_；当，时，求的大小；(2)如图2，点是内的一点，且，求的最小值14如图1，点M为锐角三角形内任意一点，连接以为一边向外作等边三角形，将绕点B逆时针旋转得到，连接（1）求证：；（2）若的值最小，则称点M为的费马点若点M为的费马点，求此时的度数；（3）受以上启发，你能想出作锐角三角形的费马点的一个方法吗？请利用图2画出草图，并说明作法以及理由15如图，在中，在内部有一点P，连接、（加权费马点）求：（1）的最小值；（2）的最小值（3）的最小值；（4）的最小值（5）的最小值；（6）的最小值（7）的最小值；（8）的最小值16阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世

12、纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔德费马提出的一个著名的几何问题1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答：给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置托里拆利成功地解决了费马的问题后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点A，B，C距离之和最小的点称为ABC的费马-托里拆利点，也简称为费马点或托里拆利点问题解决：（1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法如图1，我们可以将BPC绕点B顺时针旋转60得到BDE，连接PD，可得BPD为等边三角形，故

13、PD=PB，由旋转可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由 可知，PA+PB+PC的最小值与线段 的长度相等；（2）如图2，在直角三角形ABC内部有一动点P，BAC=90，ACB=30，连接PA，PB，PC，若AB=2，求PA+PB+PC的最小值；（3）如图3，菱形ABCD的边长为4，ABC=60，平面内有一动点E，在点E运动过程中，始终有BEC=90，连接AE、DE，在ADE内部是否存在一点P，使得PA+PD+PE最小，若存在，请直接写出PA+PD+PE的最小值；若不存在，请说明理由17综合与实践材料一：“转化思想”是几何变换中常用的思想，例如将图形进行旋转变换，实现图形位置

14、的“转化”，把一般情形转化为特殊情形，使问题化难为易它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散问题的思想材料二：皮埃尔德费马（如图），世纪法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”年勒笛卡儿邀请费马思考关于三个顶点距离为定值的问题，费马经过思考并由此推出费马点的相关结论定义：若一个三角形的最大内角小于则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为此时该点叫做这个三角形的费马点.如图1，当三个内角均小于时，费马点在内部，此时的值最小（1）如图2，等边三角形内有一点若点到顶点的距离分别为，求的度数.为了解决本题，小林利用“转化”思想，将绕顶点旋转到处，连接此时这样就可以通过旋转变换，将三条线段，

15、转化到一个三角形中，从而求出 ；（2）如图3，在图1的基础上延长，在射线上取点，连接使求证：；（3）如图4，在中，点为的费马点，连接，请直接写出的值18若点P为ABC所在平面上一点，且APBBPCCPA120，则点P叫做ABC的费马点当三角形的最大角小于120时，可以证明费马点就是“到三角形的三个顶点的距离之和最小的点“即PA+PB+PC最小（1）如图1，向ABC外作等边三角形ABD，AEC连接BE，DC相交于点P，连接AP证明：点P就是ABC费马点；证明：PA+PB+PCBEDC；（2）如图2，在MNG中，MN4，M75，MG3点O是MNG内一点，则点O到MNG三个顶点的距离和的最小值是 1

16、9如图，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM以AB为一边向外作等边三角形ABE，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN（1）求证：AMBENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为ABC的费马点若点M为ABC的费马点，试求此时AMB、BMC、CMA的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费马点的简便方法：如图，分别以ABC的AB、AC为一边向外作等边ABE和等边ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为ABC的费马点试说明这种作法的依据20(1) 知识储备如图 1，已知点 P 为等边ABC 外接圆的弧BC 上任意一点求证：PB+PC= PA定义：在

17、ABC 所在平面上存在一点 P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点 P 为ABC的费马点，此时 PA+PB+PC 的值为ABC 的费马距离(2)知识迁移我们有如下探寻ABC (其中A，B，C 均小于 120)的费马点和费马距离的方法：如图 2，在ABC 的外部以 BC 为边长作等边BCD 及其外接圆，根据(1)的结论，易知线段_的长度即为ABC 的费马距离.在图 3 中，用不同于图 2 的方法作出ABC 的费马点 P(要求尺规作图).(3)知识应用判断题（正确的打，错误的打）：.任意三角形的费马点有且只有一个（）；.任意三角形的费马点一定在三角形的内部（）.已知正方形 ABCD，P 是正方形内部一点，且 PA+PB+PC 的最小值为，求正方形 ABCD 的边长21如图（1），P 为ABC 所在平面上一点，且APB=BPC=CPA=120，则点 P 叫做ABC 的费马点（1）如果点 P 为锐角ABC 的费马点，且ABC=60求证：ABPBCP；若 PA=3，PC=4，则 PB=_（2）已知锐角ABC，分别以 AB、AC 为边向外作正ABE 和正ACD，CE 和 BD相交于 P 点如图（2）求CPD 的度数；求证：P 点为ABC 的费马点