专题19相似基本模型-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（原卷版）.docx

1、【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题19相似基本模型解题策略经典例题【例1】（2021山东嘉祥县马集镇中学九年级阶段练习）RtABC中，C=90，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动设运动时间为t秒（1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm?（2）若CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似?【例2】（2022

2、江苏无锡市天一实验学校一模）如图，在等边ABC边长为6，O是中心；在RtADE中，ADE=90，DAE=60，AD=2将ADE绕点A按顺时针方向旋转一周(1)当AD、AE分别在AC、AB边上，连结OD、OE，求ODE的面积；(2)设DE所在直线与ABC的边AB或AC交于点F，当O、D、E三点在一条直线上，求AF的长；(3)连结CE，取CE中点M，连结DM，DM的取值范围为_【例3】（2022全国八年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足1=2，则称点P为这个三角形的“理想点”(1)如图，若点D是ABC的边AB的中点，AC=22，AB=4，试判断点D是不是ABC的“理想点”，并

3、说明理由；(2)如图，在RtABC中，C=90，AB=5，AC=4，若点D是ABC的“理想点”，求CD的长【例4】（2022全国九年级专题练习）如图1，在RtABC中，C90，A30，BC1，点D，E分别为AC，BC的中点CDE绕点C顺时针旋转，设旋转角为（0360），记直线AD与直线BE的交点为点P(1)如图1，当0时，AD与BE的数量关系为_，AD与BE的位置关系为_；(2)当0360时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；(3)CDE绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线BC距离的最大值培优训练一、解答题1（2021

4、辽宁丹东九年级期中）如图，ABD中，A90，AB6cm，AD12cm某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts（1）求t为何值时，AMN的面积是ABD面积的29；（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与ABD相似时，求t值2（2022上海九年级专题练习）如图，在ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，AFFE=AEEC（1）求证：DFBE；（2）如且AF2，EF4，AB63求证ADEAEB3（2021辽宁鞍山九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，ADAC，ADC，

5、点E为射线BA上一动点，且AEAB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转交BA延长线于点H，DE所在直线与射线CA交于点G（1）如图1，当60时，求证：ADHCDG；（2）当60时，如图2，连接HG，求证：ADCHDG；若AB9，BC12，AE3，请直接写出EG的长4（2021山东省青岛第二十六中学九年级期中）矩形ABCD中，ABCD3cm，ADBC4cm，AC是对角线，动点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；动点Q从点C出发沿CD方向向点D匀速运动，速度为2cm/s过点P作BC的垂线段PH，运动过程中始终保持PH与BC互相垂直，连接HQ交AC于点O若点P和点Q同时

6、出发，设运动的时间为t（s）（0t1.5），解答下列问题：（1）求当t为何值时，四边形PHCQ为矩形；（2）是否存在一个时刻，使HQ与AC互相垂直？如果存在请求出t值；如果不存在请说明理由；（3）是否存在一个时刻，使矩形ABCD的面积是四边形PHCQ面积的7544，如果存在请求出t值；如果不存在请说明理由5（2022上海九年级专题练习）已知：矩形ABCD中，AB9，AD6，点E在对角线AC上，且满足AE2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N（1）当CF2时，求线段BN的长；（2）若设CFx，BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3

7、）试判断BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值6（2021全国九年级课时练习）一块直角三角形木板的面积为1.5m2，一条直角边AB为1.5m，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）7（2021江苏扬州市梅岭中学九年级阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，ADB=90，AB=10cm，AD=8cm，点P从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s.当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点P作P

8、E/BD交AB于点E，连接PQ，交BD于点F.设运动时间为ts0t4.解答下列问题：（1）当t为_时，PQ/AB？（2）连接EQ，设四边形APQE的面积为ycm2，求y与t的函数关系式.（3）当t为何值时，点E在线段PQ的垂直平分线上？（4）若点F关于AB的对称点为F，是否存在某一时刻t，使得点P，E，F三点共线？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.8（2021浙江温州市南浦实验中学九年级阶段练习）如图，AD是ABC的外角EAC的平分线，与ABC的外接圆O交于点D，连结BD交AC于点F（1）求证：BDCD（2）若BAC60，BC3，当AF将ABD的面积分为1：2两部分时，求ADF与BCF

9、的面积比值（3）将C点关于AD的对称点记为点C，当BC3BD时，写出AD与半径r的数量关系，并说明理由9（2022上海九年级专题练习）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BEAB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD（1）求证：BNDCNM；（2）如果AD2ABAF，求证：CMABDMCN10（2021四川省成都市石室联合中学九年级期中）如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CHBE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE（1）求证：CHBE；（2）如图2，若点E是CD的中点

10、，当BE12时，求线段GE的长；（3）设正方形ABCD的面积为S1，四边形DEGH的面积为S2，点E将CD分成12两部分，求S1S2的值11（2020湖南常德市第二中学九年级期中）如图1，ABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点（1）求证：BDE=ACD；（2）若DE=2DF，过点E作EG/AC交AB于点G，求证：AB=2AG；（3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2求证：ABBE=ADBC；若DE=4DF，

11、请直接写出SABC:SDEC的值12（2021安徽蒙城县第六中学九年级期中）如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D两点重合），连接BE，过点C作CHBE于点F，交对角线BD于点G，交AD边于点H，连接GE（1）求证：DHCE；（2）如图2，若点E是CD的中点，当BE8时，求线段GH的长；（3）设正方形ABCD的面积为S1，四边形DEGH的面积为S2，当CEDE=43时，S1S2值为 （直接写答案）13（2021山东滨州九年级期末）如图，直线AB经过O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，直线OB交O于点E、D，连接EC、CD（1）试判断直线AB与O的位置关系，并加以证明；（2

12、）求证：BC2=BDBE；（3）若tanE=12，O的半径为3，求OA的长14（2021广东佛山市第四中学九年级阶段练习）如图：在矩形ABCD中，AB=6m，BC=8m，动点以2m/s的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以1m/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒0t5（1）AP=_m，PC=_m，CQ=_m（用含t的代数式表示）（2）t为多少秒时，以P、Q、C为顶点的三角形与ABC相似？（3）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由15（2021吉林长春市第五十二中学九年级阶段练习）【基础巩

13、固】（1）如图1，在ABC中，D为AB上一点，ACDB求证：AC2ADAB【尝试应用】（2）如图2，在ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，BFEA若BF4，BE3，求AD的长16（2021四川成都九年级期中）如图1，在菱形ABCD中，AC是对角线，ABAC6，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且满足AEBF，连接AF与CE相交于点G（1）求CGF的度数（2）如图2，作DHCE交CE于点H，若CF4，AF=27，求GH的值（3）如图3，点O为线段CE中点，将线段EO绕点E顺时针旋转60得到线段EM，当MAC构成等腰三角形时，请直接写出AE的长17（2022山东济南八年级期末）某校

14、数学活动小组探究了如下数学问题：(1)问题发现：如图1，ABC中，BAC=90，AB=AC点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰RtAPQ，且PAQ=90，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是_；(2)变式探究：如图2，ABC中，BAC=90，AB=AC点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰RtCPQ，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由；(3)问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ若正方形DPEF的边长为10，CQ=2，求正方形ABCD的边长18（2022全国九年级专题练

15、习）【问题发现】如图1，在RtABC中，BAC90，ABAC，D为斜边BC上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转90得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是_，位置关系是_；【探究证明】如图2，在RtABC和RtADE中，BACDAE90，ABAC，ADAE，将ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一条直线上时，BD与CE具有怎样的位置关系，说明理由；【拓展延伸】如图3，在RtBCD中，BCD90，BC2CD4，过点C作CABD于A将ACD绕点A顺时针旋转，点C的对应点为点E设旋转角CAE为（0360），当C，D，E在同一条直线上时，画出图形，并求出线段BE的长度19（2

16、022重庆一中七年级期中）如图，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中ABAC，ADAE(1)如图1，若BAC90，当C、D、E共线时，AD的延长线AFBC交BC于点F，则ACE_；(2)如图2，连接CD、BE，延长ED交BC于点F，若点F是BC的中点，BACDAE，证明：ADCD；(3)如图3，延长DC到点M，连接BM，使得ABMACM180，延长ED、BM交于点N，连接AN，若BAC2NAD，请写出ADM、DAE它们之间的数量关系，并写出证明过程20（2022全国九年级课时练习）观察猜想(1)如图1，在等边ABC中，点M是边BC上任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边AMN，连接CN，则ABC与ACN的数量关系是_(2)类比探究如图2，在等边ABC中，点M是BC延长线上任意一点（不含端点C），（1）中其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由(3)拓展延伸如图3，在等腰ABC中，BA=BC，点M是边BC上任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰AMN，使顶角AMN=ABC连按CN试探究ABC与ACN的数量关系，并说明理由