专题2.2.6 二次函数y=ax² bx c（a≠0）图像和性质（2）（知识解读）-2022-2023学年九年级数学下册《同步考点解读•专题训练》（北师大版）.docx

1、专题2.2.6 二次函数y=ax+bx+c（a0）图像和性质（2）（知识解读）【学习目标】1.掌握二次函数y=ax+bx+c（a0）图像特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系；2.掌握二次函数y=ax+bx+c（a0）的综合应用3.运用待定系数法求二次函数解析式。【知识点梳理】考点1 二次函数图象和性质a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系项目字母字母的符号图象的特征aa0开口向上a0开口向下bab0(a，b同号)对称轴在y轴左侧ab0(a，b异号)对称轴在y轴右侧cc=0图象过原点c0与y轴正半轴相交c0与y轴负半轴相交b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点b2-4ac0与x

2、轴有两个交点b2-4ac0与x轴没有交点考点2 求y=ax+bx+c（a0）的对称轴、最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，注意：如果自变量的取值范围是x1xx2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1xx2内，若在此范围内，则当时，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1xx2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当xx2时，；当xx1时，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当xx1时，；当xx2时，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察xx1，xx2，时y值的情况【典例分析】【考点1 二次函数的对称轴，最值问题】【典例

3、1】（2022吴中区模拟）抛物线y2（x+3）（x1）的对称轴是（）Ax3Bx1Cx3Dx1【变式1-1】若 A(m,6) 与 B(4m,6) 在抛物线 y=ax2+bx+c 的图象上，则其对称轴是（） Ax=3 Bx=3 Cx=2Dx=2m【变式1-2】（2022秋滨江区校级月考）函数y（x1）（x+3）的最小值是（）A4B3C0D4【变式1-3】（2022秋朝阳区校级月考）写出一个开口向上，对称轴是直线x1，最小值是3的抛物线的解析式 【考点2 a、b、c及b-4ac对图像的影响】【典例2】如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A （1，0）， B （4，0），下列说法正确的

4、是（） Ab24ac0C图象的对称轴是直线 x=2D图象的对称轴是直线 x=52【变式2-1】（2022海淀区校级开学）二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中错误的是（）Aabc0Ba+b+c0C2a+b0D当y0时，x2【变式2-2】（2022信阳二模）如图，关于抛物线yax2+bx+c，下列说法正确的是（）Aa0Bb4ac0Cc0Dab0【典例3】抛物线yax2bxc的对称轴为直线x1，部分图象如图所示，下列判断中：abc0；b24ac0；9a3bc0；8a2bc0；若点（0.5，y1），（2，y2）均在抛物线上，则y1y2，其中正确的有（）ABCD【变式3-1】（2022秋

5、二七区校级月考）已知二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：ab+c0；b1；2a+b0；ab20其中正确的是（）ABCD【变式3-2】（2022浉河区校级开学）对称轴为直线x1的抛物线yax2+bx+c（a、b、c为常数，且a0）如图所示，某同学得出了以下结论：abc0；b24ac；4a+2b+c0；当x1时，y随x的增大而增大，其中结论正确的个数为（）A1B2C3D4【变式3-3】如图，二次函数yax2+bx+c（a0）的图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中2x11，0x21，下列结论：4a2b+c0；2ab0；abc0；b2+8a4ac其中正确的是

6、（）A B C D【变式3-4】（2022沈阳二模）如图，二次函数yax2+bx+c（a0）的图象经过点（1，2），与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中1x10，1x22下列结论：abc0；2a+b0；当xm（1m2）时，am2+bm2c；b1其中正确的个数有（）A1个B2个C3个D4个【考点3 二次函数综合】【典例4】（2022秋拱墅区月考）已知二次函数yax2+2ax2（a0）（1）二次函数图象的对称轴是 ；（2）当2x1时，y的最大值与最小值的差为3，求该二次函数的表达式【变式4-1】（2022春岳麓区校级期末）已知二次函数yx2+bx+c的图象的对称轴为直线x1，函数的最大值为4（

7、1）求b，c的值；（2）直线y2x+k与抛物线yx2+bx+c交于A（m，y1）和B（m+2，y2）两点，求A，B两点的坐标【变式4-2】（2022永嘉县模拟）如图，在直角坐标系中，以A为顶点的抛物线yax24ax+3（a是常数，a0）交y轴于点B，BCx轴交抛物线于另一点C（1）求该抛物线的对称轴及点C的坐标（2）直线ykx1（k是常数，k0）经过A，C两点，求a，k的值专题2.2.6 二次函数y=ax+bx+c（a0）图像和性质（2）（知识解读）【学习目标】1.掌握二次函数y=ax+bx+c（a0）图像特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系；2.掌握二次函数y=ax+bx+c（a0

8、）的综合应用3.运用待定系数法求二次函数解析式。【知识点梳理】考点1 二次函数图象和性质a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系项目字母字母的符号图象的特征aa0开口向上a0开口向下bab0(a，b同号)对称轴在y轴左侧ab0(a，b异号)对称轴在y轴右侧cc=0图象过原点c0与y轴正半轴相交c0与y轴负半轴相交b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点b2-4ac0与x轴有两个交点b2-4ac0与x轴没有交点考点2 求y=ax+bx+c（a0）的对称轴、最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，注意：如果自变量的取值范围是x1xx2，那

9、么首先要看是否在自变量的取值范围x1xx2内，若在此范围内，则当时，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1xx2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当xx2时，；当xx1时，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当xx1时，；当xx2时，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察xx1，xx2，时y值的情况【典例分析】【考点1 二次函数的对称轴，最值问题】【典例1】（2022吴中区模拟）抛物线y2（x+3）（x1）的对称轴是（）Ax3Bx1Cx3Dx1【答案】D【解答】解：y2（x+3）（x1）与x轴的交点坐标为（3，0），（1，0），对称轴为x1，故选：D【变式1-1】若 A(m

10、,6) 与 B(4m,6) 在抛物线 y=ax2+bx+c 的图象上，则其对称轴是（） Ax=3 Bx=3 Cx=2Dx=2m【答案】C【解答】解：A（m，6）与B（4-m，6）在抛物线 y=ax2+bx+c 的图象上， A（m，6），B（4-m，6）关于对称轴对称，即对称轴过A（m，6），B（4-m，6）的中点，x=m+4m2=42=2 ，故答案为：C【变式1-2】（2022秋滨江区校级月考）函数y（x1）（x+3）的最小值是（）A4B3C0D4【答案】A【解答】解：y（x1）（x+3）x2+2x3（x+1）24，抛物线开口向上，顶点坐标为（1，4），函数最小值为4，故选：A【变式1-3】（

11、2022秋朝阳区校级月考）写出一个开口向上，对称轴是直线x1，最小值是3的抛物线的解析式 【答案】yx22x+4（答案不唯一）【解答】解：依题意取a1，顶点坐标（1，3）由顶点式得y（x1）2+3即yx22x+4此题不唯一故答案为：yx22x+4（答案不唯一）【考点2 a、b、c及b-4ac对图像的影响】【典例2】如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A （1，0）， B （4，0），下列说法正确的是（） Ab24ac0C图象的对称轴是直线 x=2D图象的对称轴是直线 x=52【答案】D【解答】解： 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A （1，0）， B （4，0），

12、b24ac 0， 故 A 不符合题意，当 x=1 时， y=ab+c,由函数图像可得： (1，ab+c) 在第三象限，所以 ab+c 0， 故 B 不符合题意， 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A （1，0）， B （4，0）， 图象的对称轴是直线 x=1+42=2.5， 故 C 不符合题意， D 符合题意，故答案为：D【变式2-1】（2022海淀区校级开学）二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中错误的是（）Aabc0Ba+b+c0C2a+b0D当y0时，x2【答案】D【解答】解：二次函数的开口向上，a0，观察图象，抛物线与y轴的交点在x轴下方，则c0，对称轴在y轴

13、的右边，0，b0，abc0，故A正确，不符合题意；观察图象，当x1时，函数值ya+b+c0，故B正确，不符合题意；对称轴在1的右边，1，2a+b0，故C正确，不符合题意；观察图象，当1x2时，函数值y0，故D错误，符合题意故选：D【变式2-2】（2022信阳二模）如图，关于抛物线yax2+bx+c，下列说法正确的是（）Aa0Bb4ac0Cc0Dab0【答案】A【解答】解：A、抛物线开口向上，a0，故A正确，符合题意；B、抛物线与x轴交于两点，b24ac0，故B不正确，不合题意；C、观察函数图象，可知：c0，故C不正确，不合题意；D、对称轴在y轴的左侧，则ab0，故D不正确，不合题意故选：A【典

14、例3】抛物线yax2bxc的对称轴为直线x1，部分图象如图所示，下列判断中：abc0；b24ac0；9a3bc0；8a2bc0；若点（0.5，y1），（2，y2）均在抛物线上，则y1y2，其中正确的有（）ABCD【答案】A【解答】解：图象开口向上，a0，对称轴为直线x1，b2a1，b2a0，图象与y轴交点在y轴负半轴，c0，abc0，不符合题意由图象可知抛物线与x轴有两个交点，b24ac0，符合题意，由图象可知，抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），当x3时，y0，9a3b+c0，符合题意，8a2bc中：a0、b2a0；c0由（1,0）在抛物线上，可得a+b+c=0 c=-a-b所以8a2bc

15、=a0，复合题|2（1）|1，|0.5（1）|0.5，10.5，当x2时的函数值大于x0.5时的函数值，y1y2，不符合题意，正确的有，故答案为：A【变式3-1】（2022秋二七区校级月考）已知二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：ab+c0；b1；2a+b0；ab20其中正确的是（）ABCD【答案】C【解答】解：二次函数经过点（1，2）ab+c20，故正确；当x1时，y0，即a+b+c0，ab+c2，a+cb2，b2+b0，解得b1，故不正确；对称轴为直线x1，a0，b2a即2a+b0，故正确；ab+c2，ab24c，由图象可知c2，c2，即ab24c0，故正确；综上所述，正确

16、的有，故选：C【变式3-2】（2022浉河区校级开学）对称轴为直线x1的抛物线yax2+bx+c（a、b、c为常数，且a0）如图所示，某同学得出了以下结论：abc0；b24ac；4a+2b+c0；当x1时，y随x的增大而增大，其中结论正确的个数为（）A1B2C3D4【答案】B【解答】解：抛物线开口向上，a0，抛物线对称轴为直线x1，b2a0，抛物线与y轴交点在x轴下方，c0，abc0，错误抛物线与x轴有2个交点，b24ac0，即b24ac，正确x0时，y0，抛物线对称轴为直线x1，x2时，y4a+2b+c0，错误抛物线开口向上，对称轴为直线x1，x1时，y随x增大而增大，正确故选：B【变式3-

17、3】如图，二次函数yax2+bx+c（a0）的图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中2x11，0x21，下列结论：4a2b+c0；2ab0；abc0；b2+8a4ac其中正确的是（）A B C D【答案】D【解答】解：如图：x-2时，y0，4a2bc0，所以符合题意；抛物线开口向下，a0，2x11，0x21，-2x1+x201x1+x220，对称轴x=b2a=x1+x22，1b2a0，2ab0，故符合题意；b2a0，a0，b0，abc0，故符合题意；二次函数yax2+bx+c（a0）的图象经过点（1，2），对称轴在-1和0之间，顶点纵坐标大于2，4acb24a2，a0

18、，b28a4ac，所以符合题意正确的选项有4个；故答案为：D【变式3-4】（2022沈阳二模）如图，二次函数yax2+bx+c（a0）的图象经过点（1，2），与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中1x10，1x22下列结论：abc0；2a+b0；当xm（1m2）时，am2+bm2c；b1其中正确的个数有（）A1个B2个C3个D4个【答案】C【解答】解：抛物线开口向下，a0对称轴在x轴正半轴，0，a，b异号，b0抛物线与y轴交于正半轴，c0abc0故错误；抛物线与x轴的交点的横坐标为x1，x2，其中1x10，1x220（x1+x2）1，即抛物线的对称轴直线010b2a2a+b0故正确；当xm时

19、，y1am2+bm+c，当x1时，y221m2，点（m，y1），（1，2）都在对称轴的右侧，根据抛物线开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小可得y12，即am2+bm+c2整理得，am2+bm2c故正确；二次函数yax2+bx+c（a0）图象经过点（1，2），a+b+c2，abc2由图象可得，当x1时，yab+c0，2b2解得b1故正确综上所述，都正确故选：C【考点3 二次函数综合】【典例4】（2022秋拱墅区月考）已知二次函数yax2+2ax2（a0）（1）二次函数图象的对称轴是 ；（2）当2x1时，y的最大值与最小值的差为3，求该二次函数的表达式【解答】解：（1）二次函数图象的对称轴

20、是：x1故答案为：x1；（2）yax2+2ax2a（x+1）2a2，又a0，当x1时，y取得最小值为a2由（1）知：抛物线yax2+2ax2的对称轴为直线x1，（1）（2）1（1），二次函数yax2+2ax2在2x1范围内，当x1时y取得最大值为ya+2a23a2，当2x1时，y的最大值与最小值的差为3，（3a2）（a2）3，解得：a二次函数的表达式为yx2【变式4-1】（2022春岳麓区校级期末）已知二次函数yx2+bx+c的图象的对称轴为直线x1，函数的最大值为4（1）求b，c的值；（2）直线y2x+k与抛物线yx2+bx+c交于A（m，y1）和B（m+2，y2）两点，求A，B两点的坐标【

21、解答】解：（1）二次函数yx2+bx+c的图象的对称轴为直线x1，1，b2，yx2+2x+c，将x1代入yx2+2x+c得y1+c4，c3；（2）由（1）可得二次函数解析式为：yx2+2x+3，令x2+2x+32x+k，整理得x2+k30，x1+x2m+m+20，解得m1，将xm1代入yx2+2x+3，解得y10，将xm+21+21代入yx2+2x+3，解得y24，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（1，4）【变式4-2】（2022永嘉县模拟）如图，在直角坐标系中，以A为顶点的抛物线yax24ax+3（a是常数，a0）交y轴于点B，BCx轴交抛物线于另一点C（1）求该抛物线的对称轴及点C的坐标（2）直线ykx1（k是常数，k0）经过A，C两点，求a，k的值【解答】解：（1）根据题意，抛物线的对称轴是直线x，当x0时，yax24ax+33，点B的坐标是（0，3），BCx轴交抛物线于另一点C，点C的坐标为（4，3）；（2）把C（4，3）代入ykx1，得4k13，k1，直线AC的解析式为yx1，点A为抛物线的顶点，点A的横坐标为2，当x2时，yx1211，点A的坐标为（2，1），把A（2，1）代入yax24ax+31中，4a8a+31，a