专题2.3 一元二次不等式与其他常见不等式（解析版）.docx

1、专题2.3 一元二次不等式与其他常见不等式题型一解不含参的一元二次不等式题型二分式不等式题型三绝对值不等式题型四指数，对数不等式题型五高次不等式题型六解含参的一元二次不等式题型七一元二次不等式的恒成立问题题型八一元二次不等式的有解问题题型九一元二次不等式的实际应用题型一解不含参的一元二次不等式例1（2023四川自贡统考三模）已知集合，集合，则（）ABCD【答案】C【分析】先分别求出集合A,B,再根据并集的概念运算可得.【详解】因为，.故选：C.例2（2021秋广西桂林高二校考期中）求下列不等式的解集：(1)；(2)【答案】(1)或(2)【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】（1）原

2、不等式整理得，即，解得或，原不等式的解集为或（2）原不等式整理得，原不等式的解集为.练习1（2022秋浙江温州高一校考期中）不等式的解集为（）ABCD【答案】A【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解.【详解】不等式，又，不等式的解集为.故选：A.练习2（2023北京高三统考学业考试）不等式的解集是（）ABCD【答案】B【分析】由二次函数的性质，解二次不等式.【详解】当时，；当时，所以不等式的解集是.故选：B练习3（2023全国高一专题练习）的一个充分不必要条件是（）ABCD或【答案】C【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】解不等式可得或，因为或，故只有C选项中的条件才是

3、“”的充分不必要条件.故选：C.练习4（2020秋福建泉州高一晋江市第一中学校考阶段练习）已知集合，则（）ABCD【答案】B【分析】求解一元二次不等式化简集合，利用被开方数大于零化简集合，再利用交集的定义求解.【详解】化简集合，根据交集的定义，.故选：B练习5（河北省名校2023届高三5月模拟数学试题）设全集为，集合，则（）ABCD【答案】D【分析】根据一元二次不等式以及对数函数的单调性计算得出，然后求出交集，根据集合的补集运算计算，即可得出答案.【详解】由已知可得，所以，所以.故选：D.题型二分式不等式例3（2023上海高三专题练习）已知，则_【答案】【分析】解不等式，再求交集.【详解】等价

4、于，解得，即.则.故答案为：例4求关于的不等式的解集：(1)； (2)【答案】(1)或(2)【分析】（1）先通分，将分式不等式等价转化为二次不等式即可求解；【详解】（1），即，等价于，解得或，故的解集为或；（2）不等式可化为，也即，所以，解得：，所以原不等式的解集为.练习6已知全集，集合，则_，_.【答案】 或 或【分析】先由分式不等式求法求解出集合, 结合绝对值不等式解法求出集合 ,然后结合集合的交集与并集运算即可求得答案.【详解】由 得 ,整理得 ,解得 或 , 即 或因为或 或所以或;或.故答案为：或;或.练习7（2023春湖北高一随州市第一中学校联考阶段练习）全集，设集合，则（）ABC

5、D【答案】B【分析】解分式不等式与一元二次不等式求得集合A与集合B，运用集合的补集、交集计算即可.【详解】因为或，所以或，所以，又因为，所以，所以.故选：B.练习8（2022秋云南昆明高三统考期末）写出一个的充分条件_【答案】（答案不唯一）【分析】解不等式得，只要找的一个子集即可.【详解】等价于，即，则，解得，所以的一个充分条件是，故答案为：（答案不唯一）.练习9（2023天津河西天津市新华中学校考模拟预测）已知全集，集合，则（）ABCD【答案】C【分析】可解出集合，然后进行补集、交集的运算即可【详解】集合，或；则故选：C练习10已知集合，求【答案】.【分析】解含绝对值符号的不等式化简集合A，

6、解分式不等式化简集合B，再利用交集的定义求解作答.【详解】依题意，解不等式，得，解得，则，解不等式，得，解得，则，所以.题型三绝对值不等式例5（2023全国高三专题练习）已知集合，则（）ABCD【答案】C【分析】先求出集合，然后进行交集的运算即可【详解】依题意得，所以故选：C例6（2023全国模拟预测）已知集合， ，则的非空真子集的个数为（）A14B6C7D8【答案】B【分析】由绝对值不等式化简集合,进而由集合的交补运算即可化简即可求解.【详解】由可得或，故集合或，所以， 所以，所以的非空真子集的个数为.故选：B.练习11（2021春陕西渭南高二校考阶段练习）不等式的解集是（）ABC或D或【答

7、案】A【分析】由绝对值不等式的解法解原不等式即可得解.【详解】由可得，解得，故原不等式的解集为.故选：A.练习12（2023全国高三专题练习）已知集合，则（）ABCD【答案】C【分析】分别化简集合，由集合的交集运算即可得出结论.【详解】由题意可得，则故选：C.练习13（2023上海高三专题练习）若不等式，则x的取值范围是_【答案】【分析】根据绝对值的几何意义解不等式.【详解】，则，解得，x的取值范围是.故答案为：.练习14（2023四川成都四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知全集，集合，集合，则等于（）ABCD【答案】A【分析】计算，再计算补集得到答案.【详解】，.故选：A练习15（2023

8、河南新乡统考三模）已知集合，则（）ABCD【答案】C【分析】根据题意求集合，进而求.【详解】因为，所以.故选：C.题型四指数，对数不等式例7（2023浙江高三专题练习）若集合，则（）ABCD【答案】B【分析】首先解绝对值不等式求出集合、再解指数不等式求出集合，最后根据交集的定义计算可得.【详解】由可得，解得，所以，由，可得，所以，即，所以.故选：B例8（2023全国模拟预测）若集合，则（）ABCD【答案】C【分析】由绝对值不等式及对数不等式求两个集合，在用交集运算即可.【详解】由题意得或，所以故选：C练习16（2022秋浙江杭州高三校考期中）不等式成立的一个充分不必要条件是（）ABCD【答案】

9、A【分析】解指数不等式，根据选项是条件的充分不必要条件来判断即可.【详解】不等式可以化简为：解得或，则或，所以满足条件则选项为A.故选：A练习17（2021春广东高三校联考专题练习）已知全集，集合，则（）ABCD【答案】C【分析】先化简集合和，再结合选项一一判断即可【详解】由或，所以，所以选项A，B都错；因为，则，所以选项C正确；由，所以，故选项D错故选：C练习18（2023全国模拟预测）已知集合，或，则（）A或B或C或D【答案】B【分析】解法一利用对数不等式及绝对值不等式的解法，结合交集的定义即可求解.解法二利用特殊值及交集的定义即可求解.【详解】解法一：由题可得或，或，所以或.解法二：由题

10、可得，所以，故排除A，D；又且，所以，故排除C故选：B练习19（2023春河南高三校联考阶段练习）已知集合，则（）ABCD【答案】A【分析】首先解对数不等式及一元二次不等式，求出集合、，再根据交集的定义计算，即可判断.【详解】由，即，所以，所以，由，得，所以，解得，所以，所以故选：A练习20（2023春江西南昌高三校考阶段练习）已知集合，则（）ABCD【答案】B【分析】解集合中的不等式，得到集合，再求两个集合的交集.【详解】不等式解得，不等式即，解得，则故选：B题型五高次不等式例9（2023上海高三专题练习）已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是_.【答案】【分析】根据图像判断出的关系，进而

11、求得不等式的解集.【详解】根据函数的图像可知：，即，不等式可化为，即，解得或，所以不等式的解集是.故答案为：例10（2019春安徽芜湖高一芜湖一中校考阶段练习）不等式的解集是_【答案】或【分析】将该不等式进行等价转化，从而利用数轴标根法即可得解.【详解】不等式可化为，故等价于，利用数轴标根法解得或，即不等式的解集是或.故答案为：或.练习21（2004全国高考真题）不等式的解集是_【答案】【分析】原不等式化为，即得解.【详解】原不等式可以化为，因为，所以.所以不等式的解集为.故答案为：练习22（2022秋河北保定高三校考阶段练习）解下列不等式(1)(2)【答案】(1)或，(2)无解【分析】（1）

12、将原不等式转化为两个不等式组，然后解不等式组即可得答案，（2）先对不等式变形，得，然后通过求判别式结合抛物线的性质可得结果.（1）由，得或，得或，由，解得或，由，解得，综上，或，所以原不等式的解集为或，（2）由，得，因为，抛物线的开口向上，所以，所以原不等式无解.练习23（2022秋宁夏石嘴山高二石嘴山市第三中学校考阶段练习）不等式的解集为_【答案】【分析】由题知，再根据穿根法求解即可.【详解】解：因为，所以，因为的根为，所以如图，根据穿根法可得可得不等式的解集为 故答案为：练习24（2022秋安徽亳州高三安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）不等式的解集为（）ABCD【答案】D【分析】原式可化为

13、，解不等式即可【详解】解：原式可化为，即或，解得：或不等式解集为：故选：D练习25（2022秋上海徐汇高一上海中学校考期中）不等式的解集为_.【答案】【分析】将不等式变形为，利用数轴标根法得到不等式的解集.【详解】解：不等式，即，方程的根有（2重根），（2重根），按照数轴标根法可得不等式的解集为.故答案为：题型六解含参的一元二次不等式例11（2023全国高三专题练习）解下列关于的不等式【答案】答案见解析【分析】讨论大小关系求一元二次不等式的解集.【详解】由，可得或，则：当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；例12（2023全国高三专题练习）解下列关于的不等式【答案】

14、【分析】根据原不等式中参数的范围判断其对应一元二次方程根的大小，进而确定不等式的解集即可.【详解】依题意，且，所以，且，解得，所以原不等式的解集为练习26已知函数(1)当时，求关于x的不等式的解集(2)若，求关于x的不等式的解集【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）解一元二次不等式，求出解集；（2）不等式因式分解得到，分，与三种情况，求出不等式的解集.【详解】（1）时，解得：，故解集为；（2）时，变形为，当时，解得，当时，解得，当时，解得，综上：当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为.练习27（2023秋河北唐山高三统考期末）（多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（）A

15、BCD关于x的不等式的解集为【答案】BC【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系，即可由根与系数的关系得，进而结合选项即可求解.【详解】由不等式的解集为，所以和1是方程的两个根，由根与系数的关系可得 ，解得，故A错误，B正确，故C正确，不等式变为，解得，故D错误，故选：BC练习28（2023春重庆永川高一重庆市永川北山中学校校考开学考试）已知函数(1)解关于x的不等式；(2)若关于x的不等式的解集为，求的最小值【答案】(1)答案见解析(2)36【分析】（1）分类讨论参数范围，根据一元二次不等式的解法得出答案；（2）根据一元二次不等式的解集结合韦达定理确定参数范围和、与参数关系，构造

16、求出其值，结合基本不等式中常数的妙用解出答案.【详解】（1）因为，所以，即当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为（2）由题意，关于的方程有两个不等的正根，由韦达定理知解得则，因为，所以，当且仅当，且，即时，等号成立，此时，符合条件，则综上，当且仅当时，取得最小值36练习29（2023湖南长沙高二长郡中学校考学业考试）若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（）ABCD【答案】C【分析】分讨论解不等式，根据只有一个整数解建立不等关系求解即可.【详解】不等式化为，即，当时，不等式化为，得，有无数个整数解，不符合题意；当时，由关于x的不等式只有一个整数解，可知，不等

17、式的解为，由题意，解得；当时，不等式的解为或，有无数个整数解，不符合题意综上，实数a的取值范围是.故选：C练习30（2023北京东城统考二模）若，则实数的一个取值为_.【答案】（答案不唯一）【分析】根据题意，由交集的定义可知不等式的解集为的子集即可满足题意.【详解】因为，且当时，即时，当时，即时，才有可能使得，当的两根刚好是时，即，此时的解集为刚好满足，所以，所以实数的一个取值可以为.故答案为: 题型七一元二次不等式的恒成立问题例13（2023四川德阳统考模拟预测）已知，q：任意，则p是q成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据一元二次不

18、等式恒成立解得：，结合充分、必要条件的概念即可求解.【详解】命题：一元二次不等式对一切实数x都成立，当时，,符合题意；当时，有，即，解为，：又：，设，则是的真子集，所以p是q成立的充分非必要条件，故选：A例14（2023春湖南长沙高一长沙市明德中学校考期中）若，使得不等式成立，则实数的取值范围（）ABCD【答案】D【分析】由题意可转化为，使成立，求的最小值即可.【详解】因为，使得不等式成立，所以，使得不等式成立，令，因为对称轴为，所以，所以，所以实数的取值范围为.故选：D.练习31（2023全国高三专题练习）已知函数，若不等式在R上恒成立，则实数m的取值范围是_.【答案】【分析】利用换元法把目

19、标式转化为二次函数问题，结合二次函数的单调性和最值情况可得答案.【详解】令因为在区间上是增函数，所以因此要使在区间上恒成立，应有，即所求实数m的取值范围为故答案为：.练习32（2023全国高三专题练习）不等式（）恒成立的一个充分不必要条件是（）Aa1Ba1CDa2【答案】D【分析】先求得不等式（）恒成立的充要条件，再找其充分不必要条件.【详解】不等式（）恒成立，显然不成立，故应满足 ，解得，所以不等式（）恒成立的充要条件是，A、C选项不能推出，B选项是它的充要条件，可以推出，但反之不成立，故是的充分不必要条件.故选：D练习33（2023秋内蒙古呼和浩特高三统考期末）若不等式对一切实数x都成立，

20、则k的取值范围是（）ABC或D或【答案】A【分析】由对一切实数都成立，结合函数的性质分成，讨论进行求解.【详解】对一切实数都成立，时，恒成立，时，解得，综上可得，.故选：A.练习34（2022秋湖南张家界高三张家界市民族中学校考阶段练习）“”是“关于x的不等式对任意实数x恒成立”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】D【分析】先根据关于x的不等式对任意实数x恒成立得出，再根据取值范围的关系判断即可得出答案.【详解】因为关于x的不等式对任意实数x恒成立，当时，不等式可化为恒成立；当时，要使不等式恒成立，则有解得：；综上：实数的取值范围为：，若成立，则不一定

21、成立；反之也不成立，所以“”是“关于x的不等式对任意实数x恒成立”的既不充分也不必要条件，故选：.题型八一元二次不等式的有解问题例16（2023全国高一专题练习）若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】C【分析】直接利用判别式即可研究不等式的解的情况.【详解】若关于的不等式有解,则，解得.故选：C.例17（2022秋安徽马鞍山高一安徽省马鞍山市第二十二中学校考期中）不等式对于恒成立，则的取值范围是_【答案】【分析】由题意结合指数函数的单调性，得对于恒成立，设，结合二次函数的性质可求得答案.【详解】由得，得，即对于恒成立，设，显然开口向上，对称轴为，所以在上单调递增，当时，取得

22、最小值0，则，即 a的取值范围为.故答案为：.练习35（2023全国高三专题练习）若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是_.【答案】【分析】把题意转化为，设，由一次函数的单调性列不等式组，即可求解.【详解】可转化为.设，则是关于m的一次型函数.要使恒成立，只需，解得.故答案为：练习36（2022秋上海金山高三上海市金山中学校考期末）若关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围是_.【答案】【分析】运用判别式求解.【详解】由题意知 ，解得 或 ，b的取值范围是 ；故答案为：.练习37（2023全国高三专题练习）已知集合，则（）ABCD【答案】D【分析】由题得，解出的范围，再根据交集含义即可得到答

23、案.【详解】因为，所以，所以或，所以或，所以故选：D.练习38（2022秋北京高三统考阶段练习）若存在，有成立，则实数a的取值范围是_.【答案】【分析】参数分离可得，设，将存在问题转化为，求出函数的最大值，即可得到实数a的取值范围.【详解】解：将原不等式参数分离可得，设，已知存在，有成立，则，令，则，由对勾函数知在上单调递减，在上单调递增，所以，即，故答案为：.练习39（2023全国高三专题练习）若不等式在上有解，则的取值范围是（）ABCD【答案】C【分析】由已知可得在区间上有解，求出在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围【详解】因为关于的不等式在区间上有解，所以在区间上有解，设，其中在区间

24、上单调递减，所以有最小值为，所以实数的取值范围是故选：C练习40（2022秋广西桂林高三校考阶段练习）若关于的不等式在区间内有解，则的取值范围是_.【答案】【分析】将问题转化为在区间内有解，从而求得的最大值即可得解.【详解】因为在区间内有解，所以在区间内有解，令，则开口向上，对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，又，故，所以，即.故答案为：.题型九一元二次不等式的实际应用例18（2020秋黑龙江哈尔滨高一哈尔滨三中校考阶段练习）某种饲料原来每袋成本为10元，售价为15元，每月销售8万袋(1)若售价每袋提高1元，月销售量将相应减少2000袋，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润月销售总

25、收入月总成本），该饲料每袋售价最多为多少元？(2)厂家决定下月进行营销策略改革，计划每袋售价元，并投入万元作为营销策略改革费用据市场调查，若每袋售价每提高1元，月销售量将相应减少万袋则当每袋售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润【答案】(1)(2)当售价为时有最大利润为【分析】（1）设饲料每袋售价为元，则，解得答案.（2）设月总利润为，利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）设饲料每袋售价为元，则，解得，故饲料每袋售价最多为元（2）设月总利润为，则，当，即时等号成立，此时故当售价为时有最大利润为.例19（2022秋高一课时练习）（多选）某商场若将进货单价为元的商品按每件元出售

26、，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润已知这种商品每件销售价提高元，销售量就要减少件那么要保证每天所赚的利润在元以上，每件销售价可能为（）A元B元C元D元【答案】AB【分析】确定每件商品的利润、销售量，根据利润=每件利润销售量，得出销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系，解不等式可得答案.【详解】设销售价定为每件x元，利润为y元，则，依题意有，即，解得，所以每件销售价应为12元到16元之间，故每件销售价可能为13元或15元，故选AB练习41（2022春辽宁高二统考学业考试）刹车距离是分析交通事故的一个重要依据在一条限速为30 km/h的道路上，某汽车司机发现情况不对，紧急刹车，

27、但还是发生了交通事故经现场勘查，测得汽车的刹车距离大于10 m已知该种车型的刹车距离（单位，m）与刹车前的车速v（单位km/h）之间有如下函数关系：，要判断该汽车是否超速，需要求解的不等式是（）ABCD【答案】B【分析】根据题意列出不等式即可.【详解】汽车的刹车距离大于10 m,故选：B练习42某旅店有200张床位，若每床每晚的租金为50元，则可全部出租，若将出租收费标准每晚提高10的整数倍，则出租的床位会减少10的相应倍数张，若要使该旅店每晚的收入超过15000元，则每个床位的出租价格应定在什么范围内？（答案用集合表示）【答案】【分析】设每床每晚的租金提高10的倍，由题意可得，解不等式可得的

28、范围，再计算每个床位的定价的取值范围即可求解.【详解】设每床每晚的租金提高10的倍，即为元，出租的床位会减少10的倍张，即为张，由题意可得该旅社每晚的收入为，整理可得：解得：，因为，所以可取6，7，8，9，此时每个床位的定价即为110，120，130，140，所以每个床位的定价的取值范围是，故答案为：.练习43（2020秋浙江温州高三校考阶段练习）某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：）和汽车刹车前的车速（单位：）之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车刹车距离大于40，则这辆汽车刹车前的车速至少为（）（精确到1）A76B77C78D80【答案】B【分析】设这辆汽车刹车前的车速，利用题设

29、中的的关系式和不等式关系可得的一元二次不等式，求的范围可得【详解】设这辆汽车刹车前的车速为，根据题意，有，移项整理，得，解得所以这辆汽车刹车前的速度至少为77故选：B练习44（2022秋广东江门高一江门市第二中学校考期中）某地区上年度电价为0.8元，年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元至0.75元之间，而用户期望的电价为0.4元经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比练习系数为k）该地区的电力成本价为0.3元(1)写出本年度电价下调后电力部门的收益y（单位：元）关于实际电价x（单位：元）的函数解析式（收益=实际电量（实际电价-成本价）(2)设，当电价最低定为

30、多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？【答案】(1)(2)0.6元【分析】（1）根据用电量、下调电价后新增用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比，得到本年度实际用电量，再乘以即可； （2）根据上年度电力部门实际收益，（1）知本年度电力部门预收益，然后由求解即可.【详解】（1）设下调后的电价为x元，依题意知用电量增至，电力部门的收益为；（2）依题意有，整理得，解此不等式组得答：当电价最低定为0.6元仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%练习45（2022秋江苏常州高三统考期中）某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为_（元）.【答案】120或130【分析】设每个床位的定价应为元，进而得旅馆每晚的收入为元，再解不等式并结合是10的整数倍求解即可.【详解】解：设每个床位的定价应为元，则每晚上有张床位有人入住，所以，旅馆每晚的收入为元，因为要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，所以，即，解得，因为是10的整数倍，所以，每个床位的定价应为120或130元.故答案为：120或130.