专题2.4解一元二次方程-因式分解法（知识解读）（北师大版）.docx

1、专题2.4 解一元二次方程-因式分解法（知识解读）【直击考点】 【学习目标】1. 理解并掌握用因式分解法解一元二次方程；2.理解并掌握用换元法解一元二次方程，化繁为易。【知识点梳理】考点 1 解一元二次方程-因式分解 ：因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：（1）移项，使方程的右边化为零；（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；（3）令每个因式分别为零；（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。考点2 换元法解一元二次方程：（1）换元法就是把某一个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。（2）我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一

2、个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现，把一些形式复杂的方程通过换元方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的。【典例分析】【考点1 解一元二次方程-因式分解法】【例1】（2021秋任丘市期末）一元二次方程x（x+2）0的解为（）Ax0Bx2Cx10，x22Dx10，x22【变式1-1】（2021秋陵水县期末）方程x22x的解是（）Ax2Bx0Cx12，x20Dx1，x20【变式1-2】（2021秋河东区期末）方程x2x的解是（）Ax1Bx0Cx11，x20Dx11，x20【变式1-3】（2021秋上蔡县期末）方程3x（x2）x2的根为（）Ax2Bx0Cx12，x20D【例2】

3、（2021秋玄武区期末）用因分解法解下列一元二次方程：（1）2x2x10； （2）（2x+1）2（x1）2【变式2-1】（2022春义乌市月考）解方程：（1）x2+6x70； （2）（x5）28（x5）【变式2-2】（2021秋昆明期末）用因式分解法的方法解下列方程：（1）x2+2x30；（2）x7x（x7）0【变式2-3】（2021秋天府新区期末）用因式分解法的方法解下列方程：（1）x22x150； （2）（x+3）22x+6【考点2 换元法解元二次方程】【例3】（2021秋揭西县期末）若关于x的方程（x2+2x）2+2（x2+2x）80有实数根，则x2+2x的值为（）A4B2C4或2D4或

4、2【变式3-1】（2022芜湖一模）已知实数x满足（x2x）24（x2x）120，则代数式x2x+1的值是（）A7B1C7或1D5或3【变式3-2】（2022春蜀山区校级月考）若实数x满足方程（x2+2x）（x2+2x2）80，那么x2+2x的值为（）A2或4B4C2D2或4【变式3-3】（2021秋安居区期末）为解方程（x21）25（x21）+40，我们可以将x21视为一个整体，然后设x21y，则原方程可化为y25y+40，解此方程得y11，y24当y1时，x211，所以；当y4时，x214，所以所以原方程的根为，以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想运

5、用上述方法解下列方程：（1）（x2x）（x2x4）4；（2）x4+x2120专题2.4 解一元二次方程-因式分解法（知识解读）【直击考点】 【学习目标】2. 理解并掌握用因式分解法解一元二次方程；2.理解并掌握用换元法解一元二次方程，化繁为易。【知识点梳理】考点 1 解一元二次方程-因式分解 ：因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：（1）移项，使方程的右边化为零；（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；（3）令每个因式分别为零；（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。考点2 换元法解一元二次方程：（1）换元法就是把某一个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。

6、（2）我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现，把一些形式复杂的方程通过换元方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的。【典例分析】【考点1 解一元二次方程-因式分解法】【例1】（2021秋任丘市期末）一元二次方程x（x+2）0的解为（）Ax0Bx2Cx10，x22Dx10，x22【答案】D【解答】解：x（x+2）0，x0或x+20，x10，x22，故选：D【变式1-1】（2021秋陵水县期末）方程x22x的解是（）Ax2Bx0Cx12，x20Dx1，x20【答案】C【解答】解：移项得，x22x0，提公因式得x

7、（x2）0，x0或x20，x10，x22，故选：C【变式1-2】（2021秋河东区期末）方程x2x的解是（）Ax1Bx0Cx11，x20Dx11，x20【答案】D【解答】解：x2x，移项得x2x0，提公因式得x（x1）0，解得x11，x20故选：D【变式1-3】（2021秋上蔡县期末）方程3x（x2）x2的根为（）Ax2Bx0Cx12，x20D【答案】D【解答】解：3x（x2）x2，3x（x2）（x2）0，（x2）（3x1）0，x20或3x10，所以x12，x2故选：D【例2】（2021秋玄武区期末）用因分解法解下列一元二次方程：（1）2x2x10； （2）（2x+1）2（x1）2【答案】（1

8、）x11， （2）x12，x20【解答】解：（1）2x2x10（2x+1）（x1）0，故2x+10或x10，解得：x11，；（2）（2x+1）2（x1）2，（2x+1+x1）（2x+1x+1）0，则3x（x+2）0，解得：x12，x20【变式2-1】（2022春义乌市月考）解方程：（1）x2+6x70； （2）（x5）28（x5）【答案】（1）x11，x27 （2）x15，x213【解答】解：（1）x2+6x70，分解因式得：（x1）（x+7）0，所以x10或x+70，解得：x11，x27；（2）（x5）28（x5），移项得：（x5）28（x5）0，分解因式得：（x5）（x5）80，所以x50

9、或x130，解得：x15，x213【变式2-2】（2021秋昆明期末）用因式分解法的方法解下列方程：（1）x2+2x30；（2）x7x（x7）0【答案】（1）x13，x21； （2）x17，x21【解答】解：（1）（x+3）（x1）0，x+30或x10，所以x13，x21；（2）（x7）（1x）0，x70或1x0，所以x17，x21【变式2-3】（2021秋天府新区期末）用因式分解法的方法解下列方程：（1）x22x150； （2）（x+3）22x+6【答案】（1）x15，x23 （2）x13，x21【解答】解：（1）x22x150，（x5）（x+3）0，则x50或x+30，x15，x23；（2

10、）（x+3）22x+6，（x+3）22（x+3），移项，得（x+3）22（x+3）0，则（x+3）（x+1）0，x+30或x+10，x13，x21【考点2 换元法解元二次方程】【例3】（2021秋揭西县期末）若关于x的方程（x2+2x）2+2（x2+2x）80有实数根，则x2+2x的值为（）A4B2C4或2D4或2【答案】B【解答】解：设x2+2xy，则原方程可化为y2+2y80，解得：y14，y22，当y4时，x2+2x4，即x2+2x+40，224140，方程无解，x2+2x的值为2，故选：B【变式3-1】（2022芜湖一模）已知实数x满足（x2x）24（x2x）120，则代数式x2x+1

11、的值是（）A7B1C7或1D5或3【答案】A【解答】解：（x2x）24（x2x）120，（x2x+2）（x2x6）0，x2x+20或x2x60，x2x2或x2x6当x2x2时，x2x+20，b24ac141270，此方程无实数解当x2x6时，x2x+17故选：A【变式3-2】（2022春蜀山区校级月考）若实数x满足方程（x2+2x）（x2+2x2）80，那么x2+2x的值为（）A2或4B4C2D2或4【答案】B【解答】解：设x2+2xy，则原方程化为y（y2）80，解得：y4或2，当y4时，x2+2x4，此时方程有解，当y2时，x2+2x2，此时方程无解，舍去，所以x2+2x4故选：B【变式3

12、-3】（2021秋安居区期末）为解方程（x21）25（x21）+40，我们可以将x21视为一个整体，然后设x21y，则原方程可化为y25y+40，解此方程得y11，y24当y1时，x211，所以；当y4时，x214，所以所以原方程的根为，以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想运用上述方法解下列方程：（1）（x2x）（x2x4）4；（2）x4+x2120【答案】（1）x12，x21 （2）x1，x2【解答】解：（1）（x2x）（x2x4）4，设x2xa，则原方程可化为a24a+40，解此方程得：a1a22，当a2时，x2x2，即x2x20，因式分解得：（x2）（x+1）0，解得：x12，x21，所以原方程的解是x12，x21；（2）x4+x2120，设x2y，则原方程化为y2+y120，因式分解，得（y3）（y+4）0，解得：y13，y24，当y3时，x23，解得：x；当y4时，x24，无实数根，所以原方程的解是x1，x2