专题2.5 二次函数（全章直通中考）（基础练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（北师大版）.docx

1、专题2.5 二次函数（全章直通中考）（基础练）【要点回顾】【要点一】二次函数的解析式一般式：（a、b、c是常数，）；顶点式：（），二次函数的顶点坐标是（h，k）；交点式：（），其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 【要点二】二次函数的图象与性质开口方向a0时，开口向上；a0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0（或k或）；a0x0（h或）时，y随x的增大而增大。即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。a0x0（h或）时，y随x的增大而减小。即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。对称性1.图象是轴对称图形；2. 抛物线

2、上y值相等的两点，其中点必在对称轴上；3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等.【要点三】二次函数的图象与各项系数之间的关系（1）的正负决定开口方向： ，抛物线开口向上；，抛物线开口向下.的大小决定开口的大小： 越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大.（2）、b的符号共同决定对称轴的位置当时，对称轴为y轴；当a、b同号时，对称轴在y轴左边；当a、b异号时，对称轴在y轴右边（简记为“左同右异”）（3）c决定抛物线与轴的交点的位置当c0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c0时，抛物线经过原点；当c0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.【要点四】二次函数图象的变换（1）图象的平移：任

3、意抛物线ya（xh）2k可以由抛物线yax2经过平移得到，在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”具体平移方法如下：（2）图象的对称：化成顶点式，结合图像，求出对称后的顶点和开口方向，再写出对称后的解析式.【要点五】二次函数与一元二次方程二次函数（）的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根.（1）当b24ac0时，抛物线与x轴有两个交点；（2）当b24ac0时，抛物线与x轴有一个交点；（3）当b24ac0时，抛物线与x轴没有交点.【要点六】二次函数与不等式（1）抛物线在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；（2

4、）抛物线在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集.【要点七】二次函数的应用（1）最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范围内.（2）面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积.（3）类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题.（4）与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1（2022浙江绍兴统考中考真题）已知抛物线的对称轴为直线，则关于x的方程的根是（）A0，4 B1，5 C1，5 D1，52（2022山东淄博统考中考真题）若二次函数的图象经过P（1，3），

5、Q（m，n）两点，则代数式的最小值为（）A1 B2 C3 D43（2022内蒙古通辽统考中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（）A BC D4（2022山东潍坊中考真题）抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（）A B C D45（2022陕西统考中考真题）已知二次函数y=x22x3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3当1x10，1x23时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（）A B C D6（2023山东淄博统考中考真题）下列函数图象中，能反映的值始终随值的增大而增大的是（）A

6、 BC D7（2013江苏苏州中考真题）已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程的两实数根是Ax11，x21 Bx11，x22Cx11，x20 Dx11，x238（2021陕西统考中考真题）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：-20136-4-6-4下列各选项中，正确的是A这个函数的图象开口向下 B这个函数的图象与x轴无交点C这个函数的最小值小于-6 D当时，y的值随x值的增大而增大9（2021浙江杭州统考中考真题）已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，则称函数和具有性质以下函数和具有性质的是（）A和

7、 B和C和 D和10（2012江西中考真题）对于抛物线，下列说法错误的是（ ）A若顶点在x轴下方，则一元二次方程有两个不相等的实数根B若抛物线经过原点，则一元二次方程必有一根为0C若，则抛物线的对称轴必在y轴的左侧D若，则一元二次方程，必有一根为-2二、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11（2023江苏镇江统考中考真题）二次函数的最大值为 12（2022黑龙江牡丹江统考中考真题）抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是 13（2019浙江杭州中考真题）某函数满足当自变量时，函数值；当自变量时，函数值，写出一个满足条件的函数表达式 .14（202

8、1四川巴中统考中考真题）y与x之间的函数关系可记为yf（x）例如：函数yx2可记为f（x）x2若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（x）f（x），则f（x）是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（x）f（x），则f（x）是奇函数例如：f（x）x2是偶函数，f（x）是奇函数若f（x）ax2+（a5）x+1是偶函数，则实数a 15（2020内蒙古中考真题）在平面直角坐标系中，已知和是抛物线上的两点，将抛物线的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为 16（2020广西贵港中考真题）如图，对于抛物线，给出下列结论：这三条抛物线都经过点；抛物

9、线的对称轴可由抛物线的对称轴向右平移1个单位而得到；这三条抛物线的顶点在同一条直线上；这三条抛物线与直线的交点中，相邻两点之间的距离相等其中正确结论的序号是 17（2019四川遂宁统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段上一点，将沿翻折，O点恰好落在对角线上的点P处，反比例函数经过点B二次函数的图象经过、G、A三点，则该二次函数的解析式为 （填一般式）18（2021湖北襄阳统考中考真题）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满

10、足函数关系式，喷出水珠的最大高度是 三、解答题（本大题共6小题，共58分）19（8分）（2013浙江湖州中考真题）已知抛物线经过点A（3，0），B（1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标20（8分）（2021江苏盐城统考中考真题）已知抛物线经过点和（1）求、的值；（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式21（10分）（2020黑龙江鹤岗统考中考真题）如图，已知二次函数与轴交于、两点（点位于点的左侧），与轴交于点，已知的面积是6（1）求的值；（2）在抛物线上是否存在一点，使存在请求出坐标，若不存在请说明理由

11、22（10分）（2012黑龙江中考真题）如图，抛物线y=x2bxc经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）（1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且，求点B的坐标23（10分）（2021辽宁大连统考中考真题）某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（单位：千克）和每千克的售价x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中，（1）求y关于x的函数解析式；（2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？24（12分）（2016浙江湖州中考真题）如图，已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的

12、图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作ABx轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移m（m0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC的内部（不包括ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）参考答案：1D【分析】根据抛物线的对称轴为直线可求出m的值，然后解方程即可解：抛物线的对称轴为直线，解得，关于x的方程为，解得，故选：D【点拨】本题考查了二次函数的性质及解一

13、元二次方程，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键2A【分析】先求得a=1，推出，原式化简得，利用偶次方的非负性，即可求解解：二次函数的图象经过P（1，3），a=1，二次函数的解析式为，二次函数的图象经过Q（m，n），即，的最小值为1，故选：A【点拨】本题考查了配方法的应用，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，非负数的性质，利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键3D【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为故选D【点拨】本题考查了抛物线的平移规律关键是确定平移前后抛物线的顶点坐

14、标，寻找平移规律4B【分析】根据抛物线与x轴只有一个公共点，得到根的判别式等于0，即可求出c的值解：y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，x2+x+c=0有两个相等的实数根，=1-4c=0，解得：c=故选：B【点拨】此题考查了抛物线与x轴的交点，弄清根的判别式的意义是解本题的关键5B【分析】先求得抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的交点坐标，画出草图，利用数形结合，即可求解解：y=x22x3=（x-1）2-4，对称轴为直线x=1，令y=0，则（x-1）2-4=0，解得x=-1或3，抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），二次函数y=x22x3的图象如图：由图象知故选：B【点拨】

15、本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式利用数形结合解题是关键6C【分析】观察图象，由函数的性质可以解答解：由图可知：A、函数值具有对称性在对称轴的左侧y的值随x值的增大而增大，对称轴的右侧y的值随x值的增大而减小，该选项不符合题意；B、增减性需要限定在各个象限内，该选项不符合题意；C、图象是函数y的值随x值的增大而增大，该选项符合题意；D、图象在原点左侧是函数y的值随x值的增大而减小，该选项不符合题意；故选：C【点拨】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，正比例函数图象，反比例函数图象，准确识图并理解函数的增减性的定义是解题的关键7B解：试题分析：二次函数（m

16、为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），故选B8C【分析】利用表中的数据，求得二次函数的解析式，再配成顶点式，根据二次函数的性质逐一分析即可判断解：设二次函数的解析式为，依题意得：，解得：，二次函数的解析式为=，这个函数的图象开口向上，故A选项不符合题意；，这个函数的图象与x轴有两个不同的交点，故B选项不符合题意；，当时，这个函数有最小值，故C选项符合题意；这个函数的图象的顶点坐标为（，），当时，y的值随x值的增大而增大，故D选项不符合题意；故选：C【点拨】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，利用二次函数的性质解答是解题关键9A【分析】根据题中所给定义及一元二次方

17、程根的判别式可直接进行排除选项解：当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，对于A选项则有，由一元二次方程根的判别式可得：，所以存在实数m，故符合题意；对于B选项则有，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；对于C选项则有，化简得：，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；对于D选项则有，化简得：，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；故选A【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质是解题的关键10A【分析】A：当顶点在x轴的下方且开口

18、向下时，此时可根据抛物线与横轴的交点个数来判断一元二次方程的解的情况；B：当抛物线经过原点时，此时c=0，可求出一元二次方程ax2+bx+c=0的一根；C：a与b的符合共同决定了抛物线的对称轴的位置；D：可将方程的根代入一元二次方程求得a、b、c之间的关系解：A：当顶点在x轴的下方且a0时，此时抛物线与x轴没有交点，一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，A错误；B：当抛物线经过原点时，c=0，ax2+bx=0，解得：x=0或x=-，一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为0，B正确；C：抛物线的对称轴为：x=-，抛物线的对称轴的位置由与b的符合共同决定，C正确；D：令x=-2，得：4a

19、-2b+c=0，2b=4a+c，D正确，故选A11【分析】根据二次函数的顶点式确定二次函数的最大值解：二次函数的表达式为，当时，二次函数取得最大值，为故答案为：【点拨】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键12（3，5）【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标即可解：抛物线的顶点坐标为（1，2），将抛物线y=（x-1）2+2再向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，平移后的抛物线的顶点坐标为（3，5）故答案为：（3，5）【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减并用规律求

20、函数解析式13或或等.【分析】由于题中没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，二次函数等方面考虑，只要符合题中的两个条件即可解：符合题意的函数解析式可以是或或等，（本题答案不唯一）故答案为如或或等.【点拨】本题考查一次函数、二次函数的解析式，解题的关键是知道一次函数、二次函数的定义.145【分析】由f（x）=ax2+（a-5）x+1是偶函数，得a（-x）2+（a-5）（-x）+1=ax2+（a-5）x+1，解得a=5解：f（x）=ax2+（a-5）x+1是偶函数，对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），即a（-x）2+（a-5）（-x）+1=ax2+（a-5）x+1，（1

21、0-2a）x=0，可知10-2a=0，a=5，故答案为：5【点拨】本题考查新定义：偶函数与奇函数，解题的关键是理解偶函数定义，列出a（-x）2+（a-5）（-x）+1=ax2+（a-5）x+1154【分析】通过A、B两点得出对称轴，再根据对称轴公式算出b，由此可得出二次函数表达式，从而算出最小值即可推出n的最小值解：A、B的纵坐标一样，A、B是对称的两点，对称轴，即，b=-4抛物线解析式为：抛物线顶点（2，-3）满足题意n的最小值为4，故答案为：4【点拨】本题考查二次函数对称轴的性质，顶点式的变形及抛物线的平移，关键在于根据对称轴的性质从题意中判断出对称轴16【分析】根据抛物线图象性质及配方法

22、解题解：将分别代入抛物线，中，可知，这三条抛物线都经过点C，故正确；抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为，可由向右平移1个单位而得到，故正确；抛物线的顶点为A抛物线的顶点为B抛物线的顶点为C，三条抛物线的顶点不在同一条直线上，故错误；将分别代入三条抛物线，得0或1，0或2，0或3，可知，相邻两点之间的距离相等，故正确，综上所述，正确的是，故选：【点拨】本题考查二次函数的性质，其中涉及将一般式化为顶点式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键17【分析】先由题意得到，再设设，由勾股定理得到，解得x的值，最后将点C、G、A坐标代入二次函数表达式，即可得到答案.解：点，反比例函数经过点B，

23、则点，则，设，则，由勾股定理得：，解得：，故点，将点C、G、A坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故答案为【点拨】本题考查求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法.183【分析】把二次函数化为顶点式，进而即可求解解：，当x=1时，故答案是：3【点拨】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的顶点式，是解题的关键19（1）；（2）（1，4）解：（1）抛物线经过点A（3，0），B（1，0），抛物线的解析式为；，即，（2）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为：（1，4）（1）根据抛物线经过点A（3，0），B（1，0），直接由交点式得出抛物线的解析式（2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可

24、得出答案20（1），；（2）【分析】（1）将点和，代入解析式求解即可；（2）将，按题目要求平移即可解：（1）将点和代入抛物线得：解得：，（2）原函数的表达式为:，向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得：平移后的新函数表达式为:即【点拨】本题考查了待定系数法确定解析式，顶点式的函数平移，口诀：“左加右减，上加下减”，正确的计算和牢记口诀是解题的关键21（1）；（2）存在，点的坐标为或或【分析】（1）根据求出A,B,C的坐标，再由的面积是6得到关于a的方程即可求解；（2）根据得到点的纵坐标为3，分别代入解析式即可求解解：（1），令，则，令，即解得，由图象知：，解得：，（舍去）；（2），.

25、点的纵坐标为3，把代入得，解得或，把代入得，解得或，点的坐标为或或【点拨】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的应用22（1）（2）顶点为（1，1）；对称轴为：直线x=1（3）（3，3）或（1，3）【分析】（1）直接把（0，0），（2，0）代入y=x2bxc中，列方程组求b、c的值即可（2）将二次函数解析式写成顶点式，可求顶点坐标及对称轴（3）设点B的坐标为（a，b），根据三角形的面积公式 求b的值，再将纵坐标b代入抛物线解析式求a的值，确定B点坐标解：（1）把（0，0），（2，0）代入y=x2bxc得，解得 此抛物线的解析式为（2）顶点为（1，1）；对称轴为：直线x=

26、1（3）设点B的坐标为（a，b），则由解得b=3或b=3顶点纵坐标为1，31，b=3舍去由x22x=3解得x1=3，x2=1点B的坐标为（3，3）或（1，3）23（1）y关于x的函数解析式为；（2）该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元【分析】（1）由图象易得和，然后设y关于x的函数解析式为，进而代入求解即可；（2）设该电商每天所获利润为w元，由（1）及题意易得，然后根据二次函数的性质可进行求解解：（1）设y关于x的函数解析式为，则由图象可得和，代入得：，解得：，y关于x的函数解析式为；（2）设该电商每天所获利润为w元，由（1）及题意得：，-20，开口向下，对称轴为

27、，当时，w有最大值，即为；答：该电商定价为70元时才能使每天获得的利润最大，最大利润是1800元【点拨】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键24（1）y=x2+2x+4；M（1，5）；（2）2m4；（3）P1（），P2（），P3（3，1），P4（3，7）【分析】（1）将点A、点C的坐标代入函数解析式，即可求出b、c的值，通过配方法得到点M的坐标；（2）点M是沿着对称轴直线x=1向下平移的，可先求出直线AC的解析式，将x=1代入求出点M在向下平移时与AC、AB相交时y的值，即可得到m的取值范围；（3）由题意分析可得MCP=90，则若PCM与BCD相似，则要进行分类讨论，

28、分成PCMBDC或PCMCDB两种，然后利用边的对应比值求出点坐标解：（1）把点A（3，1），点C（0，4）代入二次函数y=x2+bx+c得，解得二次函数解析式为y=x2+2x+4， 配方得y=（x1）2+5，点M的坐标为（1，5）；（2）设直线AC解析式为y=kx+b，把点A（3，1），C（0，4）代入得，解得：直线AC的解析式为y=x+4，如图所示，对称轴直线x=1与ABC两边分别交于点E、点F把x=1代入直线AC解析式y=x+4解得y=3，则点E坐标为（1，3），点F坐标为（1，1）15m3，解得2m4；（3）连接MC，作MGy轴并延长交AC于点N，则点G坐标为（0，5） MG=1，GC

29、=54=1MC=， 把y=5代入y=x+4解得x=1，则点N坐标为（1，5），NG=GC，GM=GC， NCG=GCM=45， NCM=90，由此可知，若点P在AC上，则MCP=90，则点D与点C必为相似三角形对应点若有PCMBDC，则有BD=1，CD=3， CP=， CD=DA=3， DCA=45，若点P在y轴右侧，作PHy轴，PCH=45，CP=PH=把x=代入y=x+4，解得y=， P1（）；同理可得，若点P在y轴左侧，则把x=代入y=x+4，解得y=P2（）；若有PCMCDB，则有CP=3PH=3=3，若点P在y轴右侧，把x=3代入y=x+4，解得y=1；若点P在y轴左侧，把x=3代入y=x+4，解得y=7P3（3，1）；P4（3，7）所有符合题意得点P坐标有4个，分别为P1（），P2（），P3（3，1），P4（3，7）【点拨】本题考查二次函数综合题