河北省邢台市2019届高三期末测试数学（文）试卷 WORD版含解析.doc

1、邢台市2018-2019学年高三（上）期末测试数学（文科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则的虚部为（ ）A. B. C. 6 D. -6【答案】D【解析】【分析】由复数的乘方运算之后，结合复数的概念判断即可.【详解】因为，所以的虚部为-6，故选D【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的概念，熟记概念即可，属于基础题型.2.已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解不等式得集合、，根据交集的定义写出【详解】解： 集合,1,，则,1故选：【点睛】本题考查了不等式的解法与交

2、集的定义,是基础题 3.已知函数为奇函数，当时，且，则（ ）A. -4 B. 4 C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数是奇函数以及时的解析式，列出方程，即可求解.【详解】因为为奇函数，且时，所以，即.故选C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及根据函数值求参数的问题，只需由题意列出适当的方程，求解即可，属于基础题型.4.已知是不同的平面，是不同的直线，则下列命题不正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则，C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】【分析】由面面垂直的判定定理，判断A；由线面位置关系判断B；由线面垂直定理判断C；由面面平行判断D；【详解】A.由线面垂直定理、面面垂直定理，知

3、：若，则，故A正确；B.若，则，或，或，故B错；C.由线面垂直定理，知：若，则，（垂直于同一个面的两条直线互相平行）故C正确；D.由面面平行定理，知：若，则，（垂直于同一条线的两个平面互相平行）故D正确因此选B【点睛】本题主要考查空间中线面、面面位置关系，需要考生熟记线面平行于垂直、面面平行与垂直的判定定理和性质定理，难度不大.5.函数的零点所在区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由零点的存在定理判断即可.【详解】，且为连续增函数，的零点所在区间为.故选B【点睛】本题主要考查零点的存在定理，熟记定理即可求解，属于基础题型.6.已知函数，且，则（ ）A. B. C. D

4、. 【答案】A【解析】【分析】先由函数整理后求出其对称轴，再结合，即可求解.【详解】由题意，令，得，又，所以函数关于对称，即因为，所以，,所以，所以.故选A【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，根据正弦函数的对称轴求出正弦型复合函数的对称轴，结合题中所给的条件即可求出参数的值，属于中档试题.7.双曲线与双曲线有共同的渐近线，且经过抛物线的顶点，则的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先依题意设出双曲线的方程，再由该双曲线过抛物线的顶点，即可求出结果.【详解】因为双曲线与双曲线有共同的渐近线，所以设双曲线的方程为：其中，又因的顶点为, 且经过抛物线的顶点,所以有,即，所

5、以，故即为所求；故选B【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，待定系数法是最常用的一种做法，属于基础题型.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由三视图确定几何体形状，再由简单几何体的体积公式计算即可.【详解】由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱体拼接而成，所以该几何体的体积.故选C【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求简单组合体的体积问题，只需先由三视图确定几何体的形状，再根据体积公式即可求解，属于常考题型.9.在中，点满足，为上一点，且 ，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由三点共线

6、，利用向量的方法求出的关系式，再由基本不等式即可求解.【详解】因为，所以，则，因为三点共线，所以，（当且仅当，即，时，等号成立），故.故选A【点睛】本题主要考查向量与基本不等式的结合，涉及向量中三点共线的充要条件，以及基本不等式的应用，属于中档试题.10.中国古代数学的瑰宝九章算术中涉及到一种非常独特的几何体鳖擩，它是指四面皆为直角三角形的四面体.现有四面体为一个鳖擩，已知平面，若该鳖擩的每个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：把此四面体放入长方体中，BC，CD，AB刚好是长方体的长、宽、高，算出长方体体对角线即可.详解：把此四面体放入长方体

7、中，BC，CD，AB刚好是长方体的长、宽、高，则，故.故选：B.点睛：本题主要考查了转化与化归思想的运用.11.有一种“三角形”能够像圆一样，当作轮子用.这种神奇的三角形，就是以19世纪德国工程师勒洛的名字命名的勒洛三角形.这种三角形常出现在制造业中（例如图1中的扫地机器人）.三个等半径的圆两两互相经过圆心，三个圆相交的部分就是勒洛三角形，如图2所示.现从图2中的勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出阴影部分面积和整个勒洛三角形的面积，根据面积型概率公式求解即可.【详解】设圆半径为R，如图，易得ABC的面积为，阴影部分面积为

8、,勒洛三角形的面积为若从勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为 故选D.【点睛】本题考查了与面积有关的几何概型的概率的求法，关键是求出相对应的面积，根据概率的计算公式 求解即可.12.已知函数，若（），则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设x2x14，将已知转为f（x2）+2mx2f（x1）+2mx1恒成立，构造函数g（x）f（x）+2mx，由函数单调性定义可知函数g（x）在4，+）上的单调性，由单调性可求得a的取值范围【详解】由已知不妨设x2x14，要恒成立，只需f（x2）+2mx2f（x1）+2mx1，令g（x）f（x）+2mx，即g（x2）

9、g（x1）,由函数单调性的定义可知g（x）在4，+）上单调递增又函数g（x），g（x）2x+2m，即g（x）0在4，+）恒成立，即x+m0在4，+）恒成立，变量分离得-mx+,令h(x)= x+,只需-m ，又h(x)在4，+）上单调递增，则=h(4)=4+，所以-m4+，由已知使-m4+成立，即,即，故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用构造函数法求参数的取值范围以及数学转化的思想.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若，则_【答案】【解析】【分析】先根据，求出，再由两角和的正切公式即可求解.【详解】， ，则，故答案为【点睛】本题

10、主要考查两角和的正切公式，需要考生灵活掌握对应的公式即可，属于基础题型.14.若满足约束条件，则的最大值为_【答案】20【解析】【分析】先由约束条件作出对应的可行域，再将目标函数化为，根据直线截距的最值确定目标函数的最值即可.【详解】画出约束条件表示的可行域（如图阴影部分所示），目标函数可变形为，作出直线，当平移直线经过点时，取最大值，即.故答案为20【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，通常先由约束条件作出可行域，再将目标函数转化为直线斜截式的形式，即可求解，属于基础题型.15.甲船在处观察到乙船在它的北偏东的方向，两船相距海里，乙船正在向东匀速行驶，经计算得知当甲船以北偏东方向前进，可追

11、上乙船，则甲船速度是乙船速度的_倍【答案】【解析】【分析】先设出追上时，乙船走了海里，甲船走了海里，由正弦定理解三角形即可求出结果.【详解】设追上时，乙船走了海里，甲船走了海里，根据正弦定理，解得，故甲船速度是乙船速度的倍.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，在解三角形中，正余弦定理是最常用到的知识，属于基础题型.16.设为曲线上一点，则的内切圆的半径为_【答案】【解析】【分析】先由曲线的方程确定曲线是椭圆的一部分，是椭圆的两焦点，再由椭圆的定义求出，进而求出三角形的面积，最后结合内切圆半径与三角形面积间的关系即可求出结果.【详解】易知曲线表示椭圆的右半部分，分别为该椭圆的左、右焦点，由椭圆的

12、定义可知，则，从而，则的内切圆的半径为.【点睛】本题主要考查解三角形的问题，其中涉及椭圆的定义，以及三角形面积公式，余弦定理等，属于常考题型.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知等比数列的公比为2，且.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）当时，;当时，.（2）【解析】【分析】(1)先由等比数列的公比为2，推出与间的关系，从而证明数列是等差数列，再结合题中条件求出首项，即可求出结果;(2)由(1)求出时，的通项公式，进而可求出数列的通项公式，用裂项相消法处理，即可求出其前n项和.【详解】（1）依题意可得：，则，从而

13、数列是公差为1的等差数列.，或，当时，当时，.（2），则【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的前n项和，熟记公式，即可求解，属于基础题型.18.2018年8月18日，举世瞩目的第18届亚运会在印尼首都雅加达举行，为了丰富亚运会志愿者的业余生活，同时鼓励更多的有志青年加入志愿者行列，大会主办方决定对150名志愿者组织一次有关体育运动的知识竞赛（满分120分）并计划对成绩前15名的志愿者进行奖励，现将所有志愿者的竞赛成绩制成频率分布直方图，如图所示，若第三组与第五组的频数之和是第二组的频数的3倍，试回答以下问题：（1）求图中的值；（2）求志愿者知识竞赛的平均成绩；（3）从受

14、奖励的15人中按成绩利用分层抽样抽取5人，再从抽取的5人中，随机抽取2人在主会场服务，求抽取的这2人中其中一人成绩在分的概率.【答案】（1）（2）96.8（3）【解析】【分析】(1)由频率分布直方图的性质结合条件即可求解；(2)每个小长方形底边中点所对应的横坐标乘以该组的频率，再求和即可求出平均数；(3)用列举法先求出从抽取的5人中，随机抽取2人所包含的基本事件总数，以及抽取的这2人中其中一人成绩在分所包含的基本事件个数，结合古典概型的概率公式即可求出概率.【详解】（1）由条件及频率分别直方图的性质可知：解得（2）由（1）可知，成绩在分的有9人，在分的有24人，在分的有60人，在分的有45人，

15、在分的有12人，故志愿者知识竞赛平均成绩为（3）由（2）可知，受奖励的15人中有三人的成绩是分，其余12人的成绩是分，利用分层抽样抽取5人，有1人成绩在分中，4人成绩在分中.记成绩是分的1人为，成绩是分的4人为，从这5人中抽取2人去主会场服务共有以下10种可能：，满足条件的有，共4种，故所求概率.【点睛】本题主要考查根据频率分布直方图求平均数，以及列举法求古典概型的概率问题，熟记古典概型的计算公式，即可求解，属于基础题型.19.如图，在三棱锥中，.（1）证明：平面平面；（2）已知为棱上一点，若四面体的体积为，求线段的长.【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】(1)由面面垂直的判定定理即可

16、证明结论；(2)利用等体积法先计算的关系，进而可求出结果.【详解】（1）证明：取的中点，连接，因为，所以又因为，所以因为，为的中点，所以又，所以平面因为平面，所以平面平面.（2）因为，所以，由（1）知平面，且，则因为，所以则，.【点睛】本题主要考查面面垂直的证明，以及空间中几何体的几何计算，需要学生熟记面面垂直的判定定理，以及等体积法的应用，属于常考题型.20.在直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，且.（1）求的方程；（2）试问：在轴的正半轴上是否存在一点，使得的外心在上？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）； （2）在轴的正半轴上存在一点，使得的外心在上.【解析】【分析】

17、（1）联立，得，利用 ，结合韦达定理列方程求得，从而可得结果；（2）求出线段的中垂线方程.联立，得，解得或，从而的外心的坐标为或，分别利用求得的值，验证是否符合题意即可.【详解】（1）联立，得，则，从而 .， ，即，解得，故的方程为.（2）设线段的中点为，由（1）知，则线段的中垂线方程为，即.联立，得，解得或，从而的外心的坐标为或.假设存在点 ，设的坐标为， ，则.，.若的坐标为，则，则的坐标不可能为.故在轴的正半轴上存在一点，使得的外心在上.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、平面向量数量积的应用以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证

18、满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：当条件和结论不唯一时要分类讨论；当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.21.已知函数.（1）求的单调区间；（2）若，证明：；（3）若，直线与曲线相切，证明：.（参考数据：，）【答案】（1）在上单调递增, 在上单调递减；(2)见证明；（3）见证明【解析】【分析】（1）先求得，利用当，得的单调递增区间，由，得的单调递减区间.（2）分析可得0是的极小值点，求得a，构造函数，利用导函数分析可得在上单调递减，在上单调递增.则.从而.（3）设切点为,列出消掉k，得到.构造

19、函数，分析可得.构造，分析得到为增函数，可得.得到.【详解】（1）.当，得，则在上单调递增；当，得，则在上单调递减.（2）因为，所以，则0是的极小值点.由（1）知，则.设函数，则.设函数，则.易知.则恒成立.令，得；令，得.则在上单调递减，在上单调递增.则.从而，即.（3）设切点为,当时，则则.即.设函数，则为增函数.又，则.设，则.若，则，为增函数.则.又.故.【点睛】本题考查利用函数导数解决切线方程，函数的极值与最值的应用，考查零点存在定理，注意转化思想的应用，是难度较大的题目，常考题型请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，直线的参数方

20、程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；（2）直线与曲线交于两点，记弦的中点为，点，求.【答案】（1）曲线C的直角坐标方程为，直线的普通方程为；（2）【解析】【分析】(1)由直角坐标方程与极坐标方程的互化，可直接写出曲线的直角坐标方程；由直线的参数方程消去参数，即可得到直线的普通方程；(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，以及弦长公式即可求解.【详解】（1）由，从而有，即直线的普通方程为（2）易知点在直线上，则直线的参数方程为（为参数），将其代入曲线的直角坐标方程可得，所以所以【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及参数的方程求弦长的问题，熟记公式，即可求解，属于基础题型.23.设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)将代入函数的解析式，再将函数写成分段函数的形式，进而可求出不等式的解集；(2)由将原不等式进行转化，即可求出结果.【详解】（1）当时，故不等式的解集为（2）则，解得故的取值范围为.【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的基本定理，熟记定理和灵活运用分类讨论的思想即可求解，属于常考题型.