专题2.5 对数与对数函数（解析版）.docx

1、2.5 对数与对数函数思维导图知识点总结知识点一对数运算性质如果a0，且a1，M0，N0，那么：(1)loga(MN)logaMlogaN；(2)logalogaMlogaN；(3)logaMnnlogaM(nR)知识点二换底公式1logab(a0，且a1；c0，且c1；b0)2对数换底公式的重要推论：(1)logaN(N0，且N1；a0，且a1)；(2)logab(a0，且a1，b0)；(3)logablogbclogcdlogad(a0，b0，c0，d0，且a1，b1，c1)知识点三对数函数的概念一般地，函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，)知

2、识点对数函数的图象和性质对数函数ylogax(a0，且a1)的图象和性质如下表：ylogax (a0，且a1)底数a10a0，且a1)； ylog3；ylogx(x0，且x1)；其中是对数函数的为()A B C D(2)已知对数函数的图象过点M(8,3)，则f _.答案(1)D(2)1解析(1)中对数式后面加1，所以不是对数函数；中真数不是自变量x，所以不是对数函数；和符合对数函数概念的三个特征，是对数函数；不是对数函数；中底数是自变量x，而非常数a，所以不是对数函数，故正确(2)设f(x)logax(a0，且a1)，由图象过点M(8,3)，则有3loga8，解得a2.所以对数函数的解析式为f

3、(x)log2x，所以f log21.反思感悟判断一个函数是否为对数函数的方法对数函数必须是形如ylogax(a0，且a1)的形式，即必须满足以下条件：(1)对数式系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数(3)对数的真数仅有自变量x.考向四 对数函数的图象问题例4(1)函数yxa与ylogax的图象可能是下图中的()答案C(2)函数yloga(x2)3(a0且a1)的图象过定点_答案(1,3)解析令x21，所以x1，y3.所以过定点(1,3)(3)已知f(x)loga|x|满足f(5)1，试画出函数f(x)的图象解因为f(5)1，所以loga51，即a5，故f(x)log5|x|所以函数y

4、log5|x|的图象如图所示反思感悟现在画图象很少单纯依靠描点，大多是以常见的函数为原料加工，所以一方面要掌握一些平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点考向五 反函数例5函数f(x)与g(x)互为反函数，若f(x)(x0)求函数g(x)的解析式，定义域、值域解(x0)是增函数，所以0100，所以0loga(x1)解(1)由题意可得解得0x2.所以原不等式的解集为x|0x1时，原不等式等价于解得x4.当0a1时，原不等式等价于解得x1时，原不等式的解集为x|x4；当0alogab的不等式，借助ylogax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0ab的不等式，应将b

5、化为以a为底数的对数式的形式(blogaab)，再借助ylogax的单调性求解(3)形如logf(x)alogg(x)a(f(x)，g(x)0且不等于1，a0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解基础题型训练一、单选题1通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，则和的关系为（）ABCD【答案】C【解析】考虑的值，再利用指对数转换可得和的关系.【详解】由题设可得，故，故选：C.【点睛】本题考查对数的运算以及指对数的转化，注意根据给定的

6、计算公式计算即可，本题属于容易题.2已知，函数与的图像只可能是（）ABCD【答案】B【分析】根据是增函数，函数的定义域为，且在定义域内为减函数，从而得出结论【详解】解：已知，故函数是增函数而函数的定义域为，且在定义域内为减函数，故选：【点睛】本题主要考查函数的定义域、单调性，函数的图象，属于基础题3已知，则的大小关系为()ABCD【答案】D【分析】利用指数的运算及对数函数的性质,结合幂函数的性质即可求解.【详解】因为，因为函数在上单调递增，又，所以，故故选：D.4设，则（）ABCD【答案】B【解析】先利用对数函数的图像与性质判断出与的符号，从而可判断出的符号，利用换底公式计算出与的大小，由此可

7、得出、三个数的大小关系.【详解】对数函数为上的减函数，则，即.又对数函数为上的增函数，则，即，由换底公式得，即，即，故选：B.【点睛】关键点睛：本题主要考查实数大小的比较和对数函数的性质，解答本题的关键是灵活应用对数的运算，考查学生对对数公式的掌握与运算能力，属于中档题.5已知函数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（）ABCD【答案】B【分析】由题可知函数为偶函数，且当时，函数单调递增，进而可得，然后利用基本不等式即得.【详解】因为函数满足，且定义域为R，所以函数为偶函数，且当时，函数单调递增，故可以变为，即，当时，；当时，可得又，当且仅当时取等号，所以，解得.故选：B6已知函数，若实数满

8、足，则的取值范围是（）ABCD【答案】C【分析】由函数解析式可得函数为偶函数，且当时，为增函数，将不等式转化为求解即可【详解】因为，所以，所以函数为偶函数当时，为增函数，由（1），（1）得（1），即（1），可得，解得故选：【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判断与应用，考查转化思想的应用及运算求解能力，属于中档题二、多选题7已知，且，则（）ABCD【答案】AC【分析】由基本不等式可得，A由求的范围即可判断；B由求范围即可判断；C应用对数运算及对数的性质即可判断；D利用基本不等式求的范围即可判断.【详解】由题设，则(仅等号成立)，可得，由，即，则，A正确；由，即，B错误；由，C正确；由，当

9、且仅当时等号成立，D错误；故选：AC8已知函数，则（）A在单调递增B在单调递增，在单调递减C的图象关于直线对称D函数的最小值为0【答案】BC【分析】由对数性质求函数定义域，再根据二次函数、对数函数的单调性判断复合函数的单调性并判断最值情况，判断是否相等判断对称性.【详解】由题设，故，其定义域为，令，而递增，又在上递增，在上递减，故在上递增，在上递减，且最大值为，无最小值，所以A、D错误，B正确；，则的图象关于直线对称，C正确.故选：BC三、填空题9若，则a=_.【答案】2【分析】化为同底的对数相等求解即可.【详解】因为，所以，故答案为：2.10函数的定义域为_.【答案】【详解】试题分析：由题意

10、得，解得，即函数的定义域为.考点：指数函数与对数函数的性质.11已知函数（且），若对，都有则实数a的取值范围是_【答案】【分析】由条件可知函数是增函数，可得分段函数两段都是增函数，且时，满足，由不等式组求解即可.【详解】因为对，且都有成立，所以函数在上单调递增.所以，解得.故答案为：12已知，设，则的大小关系为（用“”号连接）_【答案】【分析】利用对数函数、指数函数的图象与性质，即可求解，得到答案【详解】由题意，因为，则，根据对数函数的单调性，可得，根据指数函数的图象与性质，可得，所以【点睛】本题主要考查了三个数的比较大小，同时考查了对数函数、指数函数的图象与性质的应用，着重考查了运算、求解能

11、力，属于基础题四、解答题13已知函数.(1)若函数的最小值为，求实数的值；(2)若函数，用定义证明函数在上单调递减.【答案】(1)(2)见解析【分析】(1)利用函数的单调性即可求解；(2)利用函数单调性的定义证明.【详解】（1）要使函数有意义，则，解得,二次函数的对称轴为，且，所以函数在单调递增，在单调递减，又因为，所以在单调递减，在单调递增，所以，解得.（2）由(1)得，所以，单调性证明如下，且，=，因为且，所以且，即，所以，即，所以函数在上单调递减.14已知，用对数的定义证明公式：【答案】详见解析.【解析】设，利用对数的定义得到，再利用同底数幂的除法求解.【详解】设，则，所以，即，所以.1

12、5已知，a=，求的值【答案】2020【分析】直接利用根式与分数指数幂的运算法则求解,利用对数的运算法则求解，然后代入化简即可.【详解】，【点晴】本题主要考查对数的运算、指数幂的运算，属于中档题. 指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示16设为奇函数，a为常数（1）求a的值（2）若，不等式恒成立，求实数m的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由奇函数的性质，代入运算后可

13、得，代入验证即可得解；（2）转化条件为对于恒成立，令，结合函数的单调性求得即可得解.【详解】（1）因为为奇函数，则，则，所以即，当时，不合题意；当时，由可得或，满足题意；故；（2）由可得，则对于恒成立，令，因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递增，所以在上单调递增，所以，所以.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将恒成立问题转化为求函数的最值.提升题型训练一、单选题1已知函数且，则函数恒过定点（）ABCD【答案】D【分析】利用对数函数过定点求解.【详解】令，解得，所以函数恒过定点，故选：D2已知函数，则的值为（）ABCD9【答案】B【解析】根据函数，先求得，再求即可.【详解】因为函数，所以，

14、所以，故选：B3已知满足则（）ABCD【答案】B【解析】根据指数与对数的性质，即可进行判断.【详解】，故故选：B【点睛】本题主要考查了指数与对数比较大小，属于中档题.4已知 1，那么a的取值范围是()A0aCa1D0a1【答案】D【分析】把1变成底数的对数，讨论底数与1的关系，确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于a的不等式，得到结果，把两种情况求并集得到结果【详解】当a1时，由loga，得a1；当0a1时，由logalogaa得0a，故0a0，且a-11，则a1且a2，若是原方程的解，必有(a-3)x+ 2a-4=2a-30，且2a-31，则且a2，因此，要使方程有且仅有一个解，必有，综上，方程的解集中有且仅有一个元素，有或a=3，所以实数a的取值范围为.